PŘÍKLADY CVIČENÍ 29.10.
Příklad 1 Napište v goniometrickém tvaru komplexní číslo z = — 1 + i a/3. Řešení
Číslo bude tvaru
z = |z|(cos a + i sin a),
sin a = tt, cos a = t4 a = .
ftde |z| =     —l)2 + (v/3)2, Ted?/
z = 2   cos--+ isin a —
V      3 3
Příklad 2 (Moivreova věta) Nechťx = 9 — 2i, y = —3 — 4i, spočtěte (x + y)4. lešení
(x + y)4 = (6 — 6i)4
Vyjádříme nejprve z = 6 — 6i v goniometrickém tvaru: z = 6 — 6i   =   |z|(cos a + i sin a)
i- (   7n 7n
=   6v 2   cos--+ i sin —
44
Nyní
z4 = (6V2)4 ( cos47ín + i sin 4^ ) = 644( —1 + 0) = —644.
Příklad 3 (Moivreova věta) Řešte rovnici
z3 = 8i.
Řešení
8i v goniometrickém tvaru:
n n
8i = 8 ( cos — + i sin —
Po odmocnění:
r(   P, + 2kn       n + 2fcii\     / 2mA 2MT
'8   cos---+ i sin-- =2 cos
l 3      + 3 /
Rovnice má 3 řešení:
1
Pro k = 0:
z = 2 (cos + i si^n^)) = +
Pro k = 1; Pro k = 2:
,'9m /9IT. .
z = 2 j cos j — I +1 sin I — ) ) = -2i
Příklad 4 (Rotace v rovině pomocí komplexních čísel) Rotujte vektor (2,1) o 30P.
Trocha teorie: vektor (x, y) napíšeme jako komplexní číslo x + iy a rotujeme ho o úhel p tak, že toto komplexní číslo vynásobíme tzv. "komplexníjednotkou"
(cos p + i sin p)
a dostáváme zrotovaný vektor (x', y')
Řešení
x + iy    =   (2 + i)(cos 6 + isin ^)
=   (2cos--sin—)+ i(2sin--+ cos—)
(V3 - 2)+ i(1 + ^23)
Rotovaný vektor má souřadnice: (a/3 — 2, 1 + ^). Příklad 5 Napište všechny matice A2x2 takové, že A2 = E.
Řešení
A = ( a \
(
a c
d      v o i
2
Řešit lze buď rozepsáním těchto rovnic, což je ale zdlouhavé a snadno můžeme udělat chybu (u 6. té mocniny téměř jistě).
Nabízí se elegantnější řešení: na A můžeme pohlížet jako na rotaění matici, která vektor (x, y) po dvou vynásobeních zobrazí zpátky na sebe. Z pohledu na jednotkovou kružnici jasně vidíme, že to musí být matice rotace o úhel 180° = n (např. vektor (1,0) se po prvním vynásobení rotaění maticí zobrazí na vektor ( —1,0), ten znova vynásobíme rot.mat. a dostáváme zpět vektor (1,0)J.
Takže jedním řešením je rotaění matice
cos n   — sin n \ _ ( —1 0 sin n    cos n   J     \  0 —1
Jako každá kvadratická rovnice má ovšem i tato 2 řešení a tím druhým je identita, tedy vektor se zobrazí sám na sebe hned po prvním vynásobením rotaění maticí, tedy i po druhém, po třetím také,     po miliontém také,...
(1, 0)
(1, 0)
o 360°, tedy 2n:
cos 2n — sin 2n \ / 1 0 sin2n    cos2n   J     y 0 1
(Jak už bylo řeěeno, je to identita, proto nám právem vyšla jednotková matice.) Množinu řešení tedy můžeme pomocí jedné matice zapsat následovně:
{( cos kn — sin kn \ I y sin kn     cos kn yfc_12í
Příklad 6 (Zrcadlení v R2) Zrcadlete bod [2,1] podle přímky
a) x = y
b) x = 0 (y-ová osa!!!!) y = 0 x
Trocha teorie: matice zrcadlení
cos 2^    sin 2^
Z =
'   sin 2^   — cos 2^ j '
kde je úhel, který svírá osa zrcadlení (nebo chcete-li osa souměrnosti) s osou x. Zrcadlíme-li vektor (x,y), dostaneme "v zrcadle "vektor (x',y') takto:
Řešení
3
a)
b)
x' \     / cos 2 • 90°     sin 2 • 90°   \ { 2 \ _ { -2 y' )     ^ sin 2 • 90°   - cos 2 • 90° J y 1 )\ 1
x' \ _ / cos 2 • 45° sin 2 • 45° \ / 2 \ _ / 1 y' )     ^ sin 2 • 45°   - cos 2 • 45° J y 1 j     y 2
x' \ _ / cos 2 • 0°     sin 2 • 0°   \ / 2 \ _ / 2 y' j     y sin 2 • 0°   - cos 2 • 0° ) \ 1 )\ -1
Pokud by nám osa neprocházela počátkem, museli bychom stejně jako u rotace posunout vektor do počátku, zrcadlit a posunout zpčt.
4