Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
MB101 – 4. demonstrovaná cvičení
Relace ekvivalence a vektorové prostory
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
19.10. 2010
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Relace ekvivalence
Základy lineární algebry
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. 1. Určete, které neprůhledné strany konvexního
čtyřúhelníka s vrcholy [92, 31], [99, 28], [106, 30], [100, 34] jsou
vidět z bodu [2, 1].
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. 1. Určete, které neprůhledné strany konvexního
čtyřúhelníka s vrcholy [92, 31], [99, 28], [106, 30], [100, 34] jsou
vidět z bodu [2, 1].
Řešení. Označíme-li body ze zadání postupně A, B, C a D, tak z
bodu [2, 1] jsou vidět strany SA a SD. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. 2. Určete obsah pětiúhelníka ABCDE, kde A = [0, 0],
B = [10, −1], [5, 2], [6, 3] and E = [1, 10].
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. 2. Určete obsah pětiúhelníka ABCDE, kde A = [0, 0],
B = [10, −1], [5, 2], [6, 3] and E = [1, 10].
Řešení. 42, 5. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. 3. Určete počet relací uspořádání na množině {1, 2, 3, 4}
takových, že prvek 2 je nesrovnatelný s prvkem 3.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. 3. Určete počet relací uspořádání na množině {1, 2, 3, 4}
takových, že prvek 2 je nesrovnatelný s prvkem 3.
Řešení. 87. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Relace ekvivalence
Základy lineární algebry
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Ekvivalence, rozklad.
pause Uvažme množinu Z celých čísel a ní relaci
x ∼ y =⇒ 3|(x − y).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Ekvivalence, rozklad.
pause Uvažme množinu Z celých čísel a ní relaci
x ∼ y =⇒ 3|(x − y).
Množina zbytkových tříd Zp (o p prvcích)
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Ekvivalence, rozklad.
pause Uvažme množinu Z celých čísel a ní relaci
x ∼ y =⇒ 3|(x − y).
Množina zbytkových tříd Zp (o p prvcích)
Příklad. Určete počet relací ekvivalence na čtyřprvkové množině.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Ekvivalence, rozklad.
pause Uvažme množinu Z celých čísel a ní relaci
x ∼ y =⇒ 3|(x − y).
Množina zbytkových tříd Zp (o p prvcích)
Příklad. Určete počet relací ekvivalence na čtyřprvkové množině.
Příklad. Určete počet relací ekvivalence na množině {1, 2, 3, 4, 5}
takových, že 1 není v relaci s 2.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. Nalezněte inverzní matici k matici


1 2 4
1 0 1
−1 1 0


Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými
prostory nad tělesem reálných čísel:
1 {f : R → R|f je polynom}
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými
prostory nad tělesem reálných čísel:
1 {f : R → R|f je polynom}
2 Množina řešení rovnice (tedy množina posloupností
splňujících) xn = xn−1 + xn−2 + xn−3.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými
prostory nad tělesem reálných čísel:
1 {f : R → R|f je polynom}
2 Množina řešení rovnice (tedy množina posloupností
splňujících) xn = xn−1 + xn−2 + xn−3.
3 Množina posloupností {xn}∞
n=1 vyhovující rovnici
xn = xn−1 + xn−2 + 1.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými
prostory nad tělesem reálných čísel:
1 {f : R → R|f je polynom}
2 Množina řešení rovnice (tedy množina posloupností
splňujících) xn = xn−1 + xn−2 + xn−3.
3 Množina posloupností {xn}∞
n=1 vyhovující rovnici
xn = xn−1 + xn−2 + 1.
4 Množina řešení rovnice (tedy množina posloupností
splňujících) xn = x2
n−1 + xn−2 + x2
n−3.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Množina řešení soustavy rovnic
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 0
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 0
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
2 Množina řešení soustavy rovnic
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 0
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
2 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 1
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 0
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
2 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 1
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
3 {f : R → R|f (1) = 1}
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 0
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
2 Množina řešení soustavy rovnic
2x + 3y + z = 1
x + y − z = 0
x + 2y + 3x = 0
3 {f : R → R|f (1) = 1}
4 {f : R → R|f (1) = 0}
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. Rozhodněte, zda jsou vektory
1 (1, 1, 2), (1, 0, 2) a (0, 1, 1)
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. Rozhodněte, zda jsou vektory
1 (1, 1, 2), (1, 0, 2) a (0, 1, 1)
2 (1, 3, 2), (4, 1, 3),(−2, 5, 1) lineárně nezávislé v R3.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. Určete množinu řešení soustavy rovnic v oboru reálných
čísel.
a)
x + 2y + 4z = 3
x + z = 2
−x + y = 1
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad. Určete množinu řešení soustavy rovnic v oboru reálných
čísel.
a)
x + 2y + 4z = 3
x + z = 2
−x + y = 1
b)
x + y − z = 1
−x + 2y = −1
2x − y − z = 2