Desátá sada úloh k přednášce Matematika I,
k odevzdání 29. listopadu 2010
Příklad 1. Nalezněte kolmý průmět vektoru (3, 4, 5) do prostoru generovaného vektory (1, 0, 1) a (1, 2, −3).
Příklad 2. Nalezněte jedinou posloupnost vyhovující rekurentní rovnici
xn+3 = 2xn+1 + 4xn − 2xn+2 − 3n,
s počátečními podmínkami x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.
Příklad 3. Uvažujme následující model bujení byrokracie: počítejme, že každý úředník má místo na 30 let.
V prvních a posledních deseti letech v úřadě úředník nevytváří nová místa. Naopak v druhých deseti letech
úředník vytvoří v průměru 2 nová úřednická místa. Žádné úřednické místo nezaniká. Popište, jak bude růst
úřednický aparát (poroste asymptoticky jako jistá geometrická řada). Na jakém poměru se ustálí poměr
počtu nových, středně starých a starých úředníků?
1