Matematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 9. 2007 □ S Obsah přednášky O Literatura Zobrazení a funkce více proměnných a Funkce více proměnných 9 Topologie euklidovských prostorů a Křivky v euklidovských prostorech Plán přednášky O Literatura ných runKce více promennycn • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. □ s Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. □ S • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). 9 Předmětové záložky v IS MU Plán přednášky Q Literatura Zobrazení a funkce více proměnných a Funkce více proměnných 9 Topologie euklidovských prostorů a Křivky v euklidovských prostorech V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -»■ M". Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru R" □ s Definice Zobrazení f : R" —> R nazývame reálna funkce více proměnných (ty obvykle značíme x\,... ,xn). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných pramenných používame písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v prostom En = R" budou značeny f:R"3(xll..,x„)Hf(xll...,x„)ÉR a např. funkce f definované v rovině E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) ^ f (x, y) G R □ s Definice Zobrazení f : R" —> R nazývame reálna funkce více proměnných (ty obvykle značíme x\,... ,xn). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používame písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v prostom En = R" budou značeny f:R"3(xll..,x„)Hf(xll...,x„)ÉR a např. funkce f definované v rovině E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) ^ f (x, y) G R ^^^— » Definiční obor A c R" - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) □ s - Definiční obor funkce Příklad ^ Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f (x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + y x + \y\ - -y/2. □ s Definiční obor funkce Příklad ^ Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f (x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + y x + \y\ - -y/2. Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Definiční obor funkce Příklad ^ Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f (x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + y x + \y\ - -y/2. Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfCR"xR = Rn+1 splňující Gf = {(xi, ■ ■ ■ ,xn, f(xi, • • • ,xn)); (xi,... ,x„) G A}, kde A je definiční obor funkce f. □ g - = Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfCR"xR = Rn+1 splňující Gf = {(xi, ■ ■ ■ ,xn, f(xi, • • • ,xn)); (xi,... ,x„) G A}, kde A je definiční obor funkce f. Příklad ^ Grafem funkce definované v E2 c í \ x+y 2- je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2\{(0,0)}. 0 -2- 3^r~^ o^^p ^2^ľ /-2 ^-3 3 U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 - -^Rje fc funkce dvou proměnných = (x,y)G/?2:f(x,y) = c G c R. M nožinu nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. □ s Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 - -^Rje fc funkce dvou proměnných = (x,y)eR2:f(x,y) = c G c R. M nožinu nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = 0 (bokorys), y = 0 (nárys), z = 0 (půdorys). □ s [ Příklad 1 Pomocí vrstevnic a řezů určete graf funkce f(x,y) - = V*2 + y2- \ □ s [ Příklad 1 Pomocí vrstevnic a řezů určete graf funkce f(x,y) - = V*2 + y2- Řešení Viz ilustrace v programu Maple. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u ■ v = YJ]=i xiYi' kde u = (xi,...,x„) a v = (yi,...,yn) jsou libovolné vektory. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u ■ v = YJ]=i xiYi' kde u = (xi,...,x„) a v = (yi,...,y„) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P|| dvojic bodů P, Q předpisem ll ;=i kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a Pí = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (y1-y2)2. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u ■ v = YJ]=i xiYi' kde u = (xi,...,x„) a v = (yi,...,y„) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P|| dvojic bodů P, Q předpisem ll ;=i kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a Pí = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (y1-y2)2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R \\R-P\\ = \\(Q-P) + (R-Q)\\<\\(Q-P)\\j-\\(R-Q)\\.t Rozšírení pojmů topologie Euklidovského En: pro body P\ libovolného □ s Rozšírení pojmů topologie Euklidovského En: Definice pro body P\ libovolného • Cauchyovská posloupnost - ||P; — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P; JVgN), Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné □ s Rozšírení pojmů topologie Euklidovského En: Definice pro body P\ libovolného Cauchyovská posloupnost - \\Pj — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P; — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné JVgN), konvergentní posloupnost - \\Pj — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot /,_/', bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P\, □ s Rozšírení pojmů topologie Euklidovského En: Definice pro body P\ libovolného Cauchyovská posloupnost - \\Pj — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P; — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné JVgN), konvergentní posloupnost - \\Pj — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot /,_/', bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P\, hromadný bod P množiny A C En - existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, □ s Definice uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, □ s Definice uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina - její doplněk je uzavřený, □ s Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené b-okolí bodu P - množina Ö6(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <6}, □ S Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené b-okolí bodu P - množina Ö6(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <6}, 9 hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, Pozn: pozor na kvantifikátory! □ s Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené b-okolí bodu P - množina Ö6(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <6}, 9 hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, Pozn: pozor na kvantifikátory! □ s Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené b-okolí bodu P - množina Ö6(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <6}, 9 hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, • ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ö), Pozn: pozor na kvantifikátory! □ s Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené b-okolí bodu P - množina Ö6(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <6}, 9 hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, • ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ö), • kompaktní množina - uzavřená a ohraničená množina. Pozn: pozor na kvantifikátory! □ s Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ö-okolí, □ s Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ö-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, □ s Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ö-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, □ s Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ö-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, □ s Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ö-okolí, O každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Q A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné podpokrytí, □ s O Jsou-li A CRm,ß C A x B C Rm+". otevřené, je otevřená i množina □ s O Jsou-li A C Rm, ß C R" otevřené, je otevřená i množina Ax ß C Rm+". O Jsou-li A C Rm, ß C R" uzavřené, je uzavřená i množina Ax B C Rm+". □ g - = roffii O Jsou-li A C Rm ß C R" otevřené, je otevřená i množina A x B C Rm+" O Jsou-// 4 C Rm B C R" uzavřené, je uzavřená i množina 4 x ß C Rm+" O Jsou-// 4 C Rm B C R" kompaktní, je kompaktní i množina 4 x ß C Rm+" □ g - = Křivky Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových' křivek. Definice Křivka je zobrazení c : R —> En. Křivky Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových' křivek. Definice Křivka je zobrazení c E„. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En: Příklad Obrazem křivky ř i—> (cos(ř),sin(ř)), t G M v rovině Ei je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky 11-» (cos(ř3), sin(ř3)), t G M. □ g - = Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. □ s Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice • Limita: limt^to c(ř) G E„ • Derivace: c'(t0) = limt^to (c(ŕ|:^(ŕo)) G M" Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. □ s Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice • Limita: limt^to c(ř) G E„ • Derivace: c'(řo) = limt^to • Integrál: Jabc(t)dt R" křivka spojitá na Riemannův integrál J c{ť)dt. Na intervalu [a, b], pak existuje její víc je křivka C(í) = ÍC (s)cfc G R" dobře definovaná, diferencovatelní všechny hodnoty t G [a, b]. ' a platí C (t) = = c(ŕ) pro □ s Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: □ s Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř), existenci čísel ŕ; takových, že •, c„{t)) Ci(b)-Ci(á) = (b-á)-c'i(ti). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. □ s Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř),..., c„(r)) existenci čísel ŕ; takových, že ci(b)-ci(a) = (b-a)c'i(ti). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Např. v rovině E2 pro c(ř) = (x(ř),y(ř)) takto dostáváme c(b) - c{a) = (x'(ab-a),y'(r])(b-a)) = {b-a)- (x^),/^)) pro dvě (obecně různé) hodnoty £, r\ e [a, b]. □ s Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c En v bodě c (to) e£„- vektor c'(ŕ0) G derivací. v prostoru zaměření R" daný □ s Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ŕ, ŕ2), t G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ř = 0. Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ŕ, ŕ2), t G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ř = 0. c'(í) = (- sin t, 1, 2ř), c"(í) = (- cos t, 0, 2), Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ŕ, ŕ2), t G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ř = 0. c'(í) = (- sin t, 1, 2ř), c"(í) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1,0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1,0,2). Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je řecna /ce křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad ^ Pro křivku c(r) = (cos ŕ, ŕ, ŕ2) t G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(t) = (- sin ř, 1 ,2t),c"(t) = (—cos ŕ, 0,2), c'(0) = (0, 1,0), |c'(0)|| = l, ~"(0) = (- -i,o, 2). Zrychlení ve směru tečny je pak ..^^..(c •'(0) c"(0)).