Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Matematika III - 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Obsah přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných » Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). 9 Předmětové záložky v IS MU Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace a Směrové derivace a Totální diferenciál a Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Zobrazenia funkce více proměnných • O Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Literatura Zobrazenia funkce více proměnných • O Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných • O Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (f> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (f> Rn+1. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o» ooooooooooooooo Funkce jedné proměnné v polárních souřadnicích Jak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o» ooooooooooooooo Funkce jedné proměnné v polárních souřadnicích Jak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Příklad Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde a, b G R jsou parametry. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace a Směrové derivace a Totální diferenciál a Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x e 0{a) \ {a} platí f(x) G 0{Ľ). Píšeme lim f(x) = L. x—^a Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x e 0{a) \ {a} platí f(x) G 0{Ľ). Píšeme lim f(x) = L. Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v " nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x e 0{a) \ {a} platí f(x) e 0{Ľ). Píšeme lim f(x) = L. Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v " nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na "cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta <» jednoznačnost limity, 3někdy také o dvou policajtech :) po. o- Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, 3někdy také o dvou policajtech :) po. o- Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), X—»3 X—»3 X—»3 aněkdy také o dvou policajtech :) 90.0- Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), X—»3 X—»3 X—»3 • multiplikativita, divisibilita, 3někdy také o c/vou policajtech :) po. o- Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f (x) + d ■ lim g(x), X—»3 X—»3 X—»3 • multiplikativita, divisibilita, • je-// limx^.a f(x) = 0 a funkce g{x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f(x)g(x) = 0. aněkdy také o c/vou policajtech :) Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooooooooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) yjx2+y2+l-l v bodě (0,0). Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooooooooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) V^+yHl-l v bodě (0,0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) yV+y2+l-l v bodě (0,0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = x*+y2 v bodě (0,0) Definice Funkce f : R" —> R je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f (x) = f (a). x—y 3 Definice Funkce f : R" —> R je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f (x) = f (a). X—»3 Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Definice Funkce f : R" —> R je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f (x) = f (a). X—»3 Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : R" —> R je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Zobr3zcní 3 funkce více proměnných Q Parciální a směrové derivace » Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •oooooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •oooooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita t™0\ (f(xí>--->x<*-i>x<* + t, x,-+1,..., xn) - f(*í,...,*„*)), říkáme, že funkce f : En —> derivaci podle proměnné x; U(Xl*,...,xn*) nebo ^(4, R má v bodě [xx*, a značíme fXi(xí>. .. ,x*] parciální . .,x*) (příp. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •oooooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim \ {f(xi, xi-i,xi + t, x*+i, • • •, x*) - f (xí,..., xn*)) , říkáme, že funkce f : En —> R má v bodě [xx*,... ,x*] parciální derivaci podle proměnné x; a značíme fXi(xí> ■ ■ ■ >xn) (příp-^(Xl*,...,xn*) nebo^xí,...^*)). Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do R. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o«ooooooooooooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 T-f(*o,yo) = lim -(f(x0 + t,y0) - f(x0,y0)) CIX t-)-0 t x-i-xo X — Xq ' d 1 T-f(*o,yo) = lim -(f(x0,y0 + ť) - f(x0,y0)) oy t—>o t = y f(*o,y) - f{xo,yo) y-s-yo y — yo Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o«ooooooooooooo Pro funkce v E2 dostáváme d_ dx d_ dy f(xo,yo) f(xo,yo) lim -(f(x0 + t,y0) t-)-o t lim x—s-x0 f(xo,yo)) f(*,yo) - f(x0,y0) x0 lim -(f(x0,y0 + ŕ) t-)-o t lim y-s-yo f(xo,yo)) f(*o,y) - f(x0,y0) y-yo Poznámka Parciální derivace funkce f : E2 —> M podle x v bodě [xo,yo] udává směrnici tečny v bodě [xn,yo, f(xn,yo)] ke křivce, která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yn. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oo»oooooooooooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oo»oooooooooooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) pro x=0 nebo y=0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooo«ooooooooooo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooo«ooooooooooo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" —> R má derivaci ve směru vektoru i/eR"v bodě x G En, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení ř h-> f(x + tv) v bodě ř = 0, tj. dvf(x) = lim -(f(x + tv) - f(x)). t->o t Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv{x). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooo«ooooooooooo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" —> R má derivaci ve směru vektoru i/eR"v bodě x G En, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení t h-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim -(f(x + tv) - f(x)). t->o t Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv{x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOO Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOO Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOO Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOO Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ŽOjedvM = ^{dvf{x) g(x) - f(x)dvg(x)). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOO Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ŽOjedvM = ^{dvf{x) g(x) - f(x)dvg(x)). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OOOOOOOOOO Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ŽOjedvM = ^{dvf{x) g(x) - f(x)dvg(x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: f(x)^duf(x) + dvf(x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na "směru"vektoru, ale i na jeho velikosti. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooo«ooooooooo Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) x4y2 x8 +y4 mimo počátek a f(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci "po různých parabolách"dostáváme různé limity). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooo«ooooooooo Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo an ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) i zavedení směrových derivací, 4 2 x y xs+y* mimo počátek a f(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci "po různých parabolách"dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo ooooo«ooooooooo Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo an ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) i zavedení směrových derivací, 4 2 x y xs+y* mimo počátek a f(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci "po různých parabolách"dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál, i Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOO0OOOOOOOO Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOO0OOOOOOOO Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f'(xo) ■ dx. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOO0OOOOOOOO Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f'(xo) ■ dx. Formálně říkáme, že funkce f : R —> R je diferencovatelná v xo, pokud existuje A e R tak, že |jm f (xq + h)- f (xp) - Ah = Q /i->o h (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooo«ooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo«ooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (a\,..., an) e R" takový, že pro všechny "směry" v e R" platí lim 7A7 (fix + v) - f(x) - a ■ v) = 0. i/->o \\v\\ v ' □ S - ■ M. -00.0 Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo«ooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (a\,..., an) G R" takový, že pro všechny "směry" v G R" platí lim 7A7 (fix + v) - f(x) - a ■ v) = 0. v->0 \\v\\ V ' Lineární funkci df definovanou předpisem v i—> a ■ v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oooooooo»oooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x e R", pak je v tomto bodě spojitá. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oooooooo»oooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x e R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f(x + v) - f(x) = a ■ v + t(v), kde lirn^n = 0. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooo»oooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R" ->■ R diferencovatelná v bodě x e Rn, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f(x + v)- f(x) = a ■ v + r(w), kde lim^0 ^ = 0. Proto: lim (fix +v)- f(x)) = lim (a ■ v + t(v)) = 0, i/—)-0 i/—>0 a tedy lim fix +v) = f(x). □ Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooooo«ooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v e R" je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf{x) = a ■ v. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooo«ooooo Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné i/eR' je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t{f{x + tv) - f{x)) = lim ±{df(x)(tv) + r(tv)) df(x)(^) + HNm^=df(x)(1/) t^o tv a ■ v. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooo«ooooo Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné i/eR' je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t{f{x + tv) - f{x)) = lim ±{df(x)(tv) + r(tv)) df(x)(^) + HNm^=df(x)(1/) t^o tv a ■ v. Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f'{x) je přímo roven vektoru a. Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 0000000000*0000 Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xn,yo] je lineární funkce df : E2 —> M ,, df . df . áf = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 0000000000*0000 Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xn,yo] je lineární funkce df : E2 —> K ,, df . df . áf = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f{x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 0000000000*0000 Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xn,yo] je lineární funkce df : E2 —> K ,, df . df , áf = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f{x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Řešení Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy. Pak f(x*+dx,y*+dy)-f(x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*/7 + 2y*/7 + /72 + /c2. Odtud df (x*, y*)(h, k) = 2x* ■ h + 2y* ■ k a r(h, k) = h2 + k2. Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooooooo«ooo Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 ooooooooooo«ooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně df a platí: ,, df . df . „. . df = —oxi + — dx2 H-----h t— dxn OX\ OX2 oxn (*) Necht f : En —> R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu xef„ spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oooooooooooo«oo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e1 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oo oooooooooooo«oo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f{x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme d f (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = Odx + Idy, což celkem dává odhad =0,053-0,02 _ f (0,05; -0,02) « f(0, 0) + df (0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooo»o Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : E2 —> M a pevný bod [xn,yo] € E2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,yo) + —(x0,y0)(x -x0) + ^(x0, yo)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xn,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), f(x(ř),y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooo»o Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : Ei —> R a pevný bod [xo,yo] G £2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,y0) + 7^(x0,yo)(x -x0) + ^(x0, yo)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), f(x(ř),y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t, ŕ)). Literatura Zobraze ní a funkce ví :e proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00 00000000000000« Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+i. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOO* Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+\. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) O její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> R, tj. diferenciálu v bodě x e En. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace 00000000000000« Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+\. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) O její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> R, tj. diferenciálu v bodě x e En. Analogie s funkcemi jedné proměnné Diferencovatelná funkce f má na En v bodě xef„ nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších.