Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Matematika III - 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Obsah přednášky Q Literatura Q Integrální počet více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování • Numerická kvadratura (integrování) Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Plán přednášky Q Literatura Q Integrální počet více proměnných • IM ClbUUII" III LC^I d Iy 9 Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice O Numerické metody 9 Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování 9 Numerická kvadratura (integrování) Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. 9 Předmětové záložky v IS MU • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Plán přednášky Q Literatura Q Integrální počet více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice O Numerické metody 9 Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování 9 Numerická kvadratura (integrování) Integrální počet více proměnných Numerické metody •ooooooooooooooooo ooooooooooooooc Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y e [ • • • > xn) dxi) dxn Jai \Ja2 \-Jan / / nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Integrální počet více proměnných oo«ooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál 1=1 3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2 dxdy. J [0,1] x [0,3] Literatura Integrální počet více proměnných oo«ooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál 1=1 3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2 dxdy. J [0,1] x [0,3] Řešení S využitím předchozí věty dostáváme / = £ (jí1 3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2dx^j dy = = f [{x-lf+x{y-2f + 2x]1x=Qdy Jo = J (y-2)2 + 3dy = [^y-2)3 + 3y]3Q = 12 Stejný výsledek dostaneme i při integraci v opačném pořadí. Literatura Integrální počet více proměnných ooo«oooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál xy dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Literatura Integrální počet více proměnných ooo«oooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál / = J xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Řešení Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0,0] a [1,1], přičemž pro x e [0,1] je x2 < x. Literatura Integrální počet více proměnných ooo«oooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál / = J xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y 2 y = x . Řešení Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0,0] a [1,1], přičemž pro x e [0,1] je x2 < x. Proto je y=xz dx Integrální počet více proměnných Numerické metody oooo»ooooooooooooo ooooooooooooooc Záměna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f{x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u{ť), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako du dx = —dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako Wt))^dt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u'(t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Literatura Integrální počet více proměnných ooooo«oooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integrat ion_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Literatura Integrální počet více proměnných ooooo«oooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integrat ion_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Věta Necht G(ŕi,...,ŕ„) : En -»■ E„, [ X\,..., xn ] = G(ŕi,...,ŕn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G{T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S —> R spojitá funkce. Potom platí f(x1,.. .,xn)dx1 ...xn = J f(G(t1}tn))\ detíD^íri,..., tn))\dt!... dtn. Literatura Integrální počet více proměnných oooooo»ooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, ř) = (g(s, t),h(s, ŕ)). Dostáváme / f(x,y)dxdy= í f(g(s,t),h(s,t)) JG(T) JT dg dh ds dt dg dh dt ds dsdt. Literatura Integrální počet více proměnných oooooo»ooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, ř) = (g(s, t),h(s, ŕ)). Dostáváme / f(x,y)dxdy= í f(g(s,t),h(s,t)) JG(T) JT Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. dg dh ds dt dg dh dt ds dsdt. Literatura Integrální počet více proměnných oooooo»ooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc dsdt. Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, ř) = (g(s, t),h(s, ŕ)). Dostáváme /5(r/(-)-^//(^0,K,t,)||f-|l| Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = rcosip, y = r sin ip p1£._fcosLp —rs\r\

O, if g [O, 2tt),z g R} —>• e3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = rs\r\ip, z = z, Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooo«oooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Časté transformace souřadnic v £3 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tf, z]; r > O, if g [O, 2tt),z g r} —>■ E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = rs\r\ip, z = z, Integrální počet více proměnných OOOOOOOOOO0OOOOOOO Numerické metody ooooooooooooooc Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tf, z]; r > 0,

• e3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = rs\r\ip, z = z, r = \/x2 +y2,tgíp = -,z = z x Integrální počet více proměnných OOOOOOOOOO0OOOOOOO Numerické metody ooooooooooooooc Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tf, z]; r > 0,

• e3 je dáno předpisem x = rcastp, y = r sin t£>, z = z, r = a/*2 +y2,tg<£ = -,z = z x a tedy ^cost£> — rsint/? 0^ D1G = [ sin t£> rcosip 0 0 0 Literatura Integrální počet více proměnných OOOOOOOOOO0OOOOOOO Numerické metody ooooooooooooooc Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tf, z]; r > 0,

• e3 je dáno předpisem x = rcastp, y = r sin t£>, z = z, (r = a/x2 +y2,tg(^ = -,z = z v x a tedy ^cos(/? — rsint/? 0^ D1G = I sint£> rcosip 0 ] . 0 0 Proto je det D1G = r. Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooooo«oooooo Numerické metody ooooooooooooooc Časté transformace souřadnic v £3 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, (p];r>0,9e [0, vr], ip G [0, 2vr)} E3 je dáno předpisem x = rsin 9costp, y = rsin #sin ip, z = rcosO, Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooooo«oooooo Numerické metody ooooooooooooooc Časté transformace souřadnic v £3 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, (p];r>0,9e [0, vr], ip G [0, 2vr)} E3 je dáno předpisem x = rsin 9costp, y = rsin #sin ip, z = rcosO, Integrální počet více proměnných oooooooooooo»ooooo Numerické metody ooooooooooooooc Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, p];r>0,9e [0, vr], ip G [0, 2vr)} E3 je dáno předpisem x = rsin Ocosp, y = rsin #sin ip, z = rcosO, r = \/x2 + y2 + z2,tgip = -,cos# x ;x2 + y2 + z2 a tedy ^sin#cos(£> rcos#sint£> — r sin 9 sin ^ D*G = ( sin ŕ?sin rcos9s\np rs\r\9cos(p cos9 —rs\n9 0 Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooo»ooooo Numerické metody ooooooooooooooc Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, (p];r>0,9e [0, vr], ip G [0, 2vr)} E3 je dáno předpisem x = rsin Ocostp, y = rsin #sin ip, z = rcosO, / y r = V*2 +y2 +z2,tg(P = -,cos9 X rcos#sint£> — r sin 9 sin ^ sin ŕ? sin rcosOsmip r s\n 9 cos

sin2 t£> + r2 cos2 9s\r\9 cos2 + r cos 9 sin 9 sin (£> + r sin #cos ip = = r2 sin3 9 + r2 cos2 9 sin 9 = r2 sin 9. Integrální počet více proměnných ooooooooooooo«oooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Literatura Integrální počet více proměnných ooooooooooooo«oooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r,9,ip) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0,7r] x [0, 2tt), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r2s\n0. Proto je objem koule roven Integrální počet více proměnných ooooooooooooo«oooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r,9,ip) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0,7r] x [0, 2tt), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r2s\n0. Proto je objem koule roven / ldxdydz= í r2sm0drdOdp = Jb Ju Í'R Í'7t í'2tT a = / r2dr / s\n9d9 / d

yo = J YPdxdydz, zQ = j^zpdxdydz. Literatura Integrální počet více proměnných 00000000000000000» Numerické metody ooooooooooooooc Využití ve fyzice - pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je U = pľ2 dx dy dz, Jv kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy í. Literatura Integrální počet více proměnných 00000000000000000» Numerické metody ooooooooooooooc Využití ve fyzice - pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y, z] od osy í. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 +y2 < a, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xT = -l,yT = 0] Literatura Integrální počet více proměnných 00000000000000000» Numerické metody ooooooooooooooc Využití ve fyzice - pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y, z] od osy í. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 +y2 < a, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xT = -l,yT = 0] Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního válce x2 +y2 < a2 o hustotě po vzhledem k ose tvořené přímkou x = y = z. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Plán přednášky Q Literatura Q Integrální počet více proměnných • IM ClbUUII" III LC^I d Iy a Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování • Numerická kvadratura (integrování) Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo •oooooooooooooc Interpolace a aproximace - opakování Interpolace - stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xo,... ,xn. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně rí). Mimo interval - extrapolace. Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Interpolace a aproximace - opakování Numerické metody •oooooooooooooc Interpolace - stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xo,... ,xn. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně n). Mimo interval - extrapolace. Aproximace - stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xo,... ,xn. Formule má obvykle méně "stupňů volnosti" než n, proto danou funkční hodnotu obvykle nejde dodržet. Snažíme se najít nejlepší možnou aproximaci podle předem daného kritéria (např. metoda nejmenších čtverců). Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + ■■■+ yn£n(x), kde £i(x) Uj^í(x - xj) Ylj^i(xi - Xj) ' Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + ■■■+ yn£n(x), kde £i(x) Uj^í(x - xj) Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody o«ooooooooooooc Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x)=ybe0(x)+y1e1(x) + kde £i(x) Ujjti(xi - xj) Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny - intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody o«ooooooooooooc Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + ■■■+ yn£n(x), kde £-,{x) Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny - intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. Trigonometrická interpolace - interpolační polynom A) " 2 Qn(x) + (A/cosJx + fy s'n Jx)> 7=1 jehož koeficienty obvykle počítáme pomocí rychlé Fourierovy transformace - FFT. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo oo»oooooooooooc Aproximace metodou nejmenších čtverců Slouží k rekonstrukci funkce f z hodnot fo,..., fn naměřených v uzlových bodech ao,... ,an . Tuto rekonstrukci hledáme vzhledem k danému modelu - dané posloupnosti funkcí (obecně více proměnných) go(x),..., gm(x),... - ve tvaru m Ym{x) = ^Cjgj{x). j=0 Cílem je při tom minimalizovat "součet čtverců" n J2(fi - y™(ai)Y i=0 Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooo«ooooooooooc Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooo«ooooooooooc Aproximace metodou nejmenšřch čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • Sjix) ~ obecný polynom stupně j Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooo«ooooooooooc Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • Sjix) ~ obecný polynom stupně j • SÁX) ~ ortogonální polynomy na dané množině bodů Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Literati Aproximace metodou nejmenších čtverců Numerické metody ooo«ooooooooooc Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • Sjix) ~ obecný polynom stupně j • Sj(x) ~ ortogonální polynomy na dané množině bodů • gj{x) - trigonometrický polynom Literatura Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooo«ooooooooc Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi,yi],..., [*n,yn]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooo«ooooooooc Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi,yi],..., [xn,y„]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f(x) = a ■ x + b s neznámými a, b G R tak, aby hodnota n ;=i byla minimální. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooo«ooooooooc Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi,yi],..., [xn,y„]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f(x) = a ■ x + b s neznámými a, b G R tak, aby hodnota n £('(*/)-y?)2 ;=i byla minimální. S využitím diferenciálního počtu lze snadno odvodit následující tvrzení. Věta Mezi přímkami tvaru f(x) = a ■ x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x\,...,xn od hodnot y, funkce splňující a x? + b Xi = X/y/ a£x/ + b- n = £y 90.0- Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooo»oooooooc Metoda nej menších čtverců Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooo»oooooooc Metoda nej menších čtverců Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy X2 1 1.5 1.5 1 2 1.6 3.2 4 3 2.1 6.3 9 4 3 12 16 10 8.2 23 30 Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooo»oooooooc Metoda nej menších čtverců Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy X2 1 1.5 1.5 1 2 1.6 3.2 4 3 2.1 6.3 9 4 3 12 16 10 8.2 23 30 Odtud a = 0,5, b = 0,8. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooo«ooooooc Numerické derivování Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické derivování Numerické metody ooooooo«ooooooc Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Pro výpočet odhadu k-té derivace funkce v daném bodě, známe-li hodnoty této funkce v několika bodech, lze využít interpolaci této funkce, např. Lagrangeův interpolační polynom. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooo0oooooc Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooo0oooooc Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f'(x)^(f(x + /7)-f(x)), Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooo0oooooc Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f'(x)^(f(x + /7)-f(x)), f'(x)*±-h(f(x+h)-f(x-h)) Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooo0oooooc Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce odhad derivace: f'(x)^(f(x + /7)-f(x)), f'(x)^^(f(x+h)-f(x-h)), nebo pětibodový vzorec f'{x) w -|- (-f(x + 2h) + 8f(x + h)- 8f(x -h) + f(x - Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooo«ooooc Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerická integrace (kvadratura) Numerické metody ooooooooo«ooooc Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) • integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit jakožto elementární funkci. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooo0oooc Numerická kvadratura Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem "pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooo0oooc Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem "pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b] , nad kterým integrujeme, rozdělíme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak Wj jsou váhy (uzavřený tvar). Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooo«ooc Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. ŕ b ŕb / f(x)dxPä / L(x)dx = Ja Ja = ľ É f(xiMx) dx=ibf (*'•) ľe^dx •J a ;_r\ ;_n J a i=0 i=0 W; Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody oooooooooooo»oc Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooo«c lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesová formule) interpolace lineární funkcí J f{x)dxPá{b-á) f(a) + f(b) y 4578 Literatura Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooí Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte rir/2 I = sin x dx. Jo Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte rir/2 I = sin x dx. Jo Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte tt/2 sin x dx. Řešení • lichoběžníkové pravidlo: / ~ ? • Simpsonovo pravidlo: / ř« [ • \ « 0.785 (0 + 4^ + l) « 1.003. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Metody Monte Carlo Numerické metody ooooooooooooooc Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Metody Monte Carlo Numerické metody ooooooooooooooc Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Metody Monte Carlo Numerické metody ooooooooooooooc Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Metody Monte Carlo Numerické metody ooooooooooooooc Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Literati Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooo Metody Monte Carlo Numerické metody ooooooooooooooc Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Podíl objemu tělesa a krychle je pak aproximován relativní četností jevu, že náhodný bod leží uvnitř tělesa. Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Metody Monte Carlo Integrál jb f(x)dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x; z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak Integrální počet více proměnných Numerické metody oooooooooooooooooo ooooooooooooooc Metody Monte Carlo Integrál jb f(x)dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x; z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak <-b ft> k — a / f(x)rfx!«—^f(4 >a n 7=1