Matematika III, 3. cvičení
Derivace funkce zadané implicitně
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad	36.	Určete první a druhou	derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
Výsledek.	y'	=     x   y'' = y2+x2	
Příklad	37.	Určete derivaci, pokud	xy2 - 2xy + x3 - 3y2 + 5 = 0.
Výsledek.	v'	= 2y-3x2-y2 2xy—2x—6y .	
Příklad	38.	Určcete derivaci, pokud	sin(x2) + cos(y2) — 1 = 0.
Výsledek.	v'	x cos(x2) = y sin(y2) .	
Příklad 39. Necht je funkce y = y(x) dana v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí y3—2xy+x2 = 0. Určete y'(1) a y''(1).
Výsledek. y'(1) = 0, y''(1) = —2.
Příklad 40. Necht, je funkce y = y(x) dína v okolí bodu [, 12] implicitne rovnicí y — ^^ŕp = x. Určete y'(^) a y''(^).
Výsledek. y'(^f1) = 1,y''(^f1) = —1.
Příklad 41. Rozhodnete, zda krivka x3 — y3 + 2xy = 0 lečí v okolí bodu [1, —1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nýpověda. Křivku v okolí bodu [1, —1] považujte za funkci y(x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty dřuhě derivace těto funkce v daněm bodě.
Výsledek. y''(1) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tecnou.
Příklad 42. Rozhodnete, zda krivka |x2 — 3xy2 + y3 — | = 0 leZí v okolí bodu [1,3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Výsledek. y''(1) = 15 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tecnou. Parciální derivace
Přo funkci f: R2 — R jsou parciálni derivace prvního řadu definovaný takto:
ť,       x    , ■   f (xo + í,yo) — f (xo,yo) ,     .   f (xo,yo + t) — f (xo,yo)
fx (xo,yo) = ]im---,     fy (xo,yo) = ]im---•
Při výpoctu parciální derivace podle jedně proměnně považujeme druhou proměnnou za konstantu a derivujeme podle první proměnně.
Parcialní derivace druhěho a vyssích řádu dostaneme (podobně jako několikanásobně derivace funkcí jedně proměnně) opětovnym derivovaním daně funkce. Např. fX'y dostaneme tak, ze nejdřív zderivujeme funkci f podle x (přitom y povazujeme za konstantu) a vysledek pak zderivu-jeme podle y (tentokrat x povazujeme za konstantu).
6
Příklad 43. Vypočtěte f'x a f ý, kde f (x, y) = arctg |. Příklad 44. Vypočtěte fX a fý, kde f (x,y) = xý; x > 0.
Příklad 45. Vypočtěte vsečhny parciálni derivace prvního a druhého radu funkče f (x,y, z) =
y
X z .
Vásledek. f X = f x Z 1, f ý = x Z ln x • T , f f = x Z ln x • --ý,
fxx = f (f — 1)x Z     , fý'ý = x Z ln  x ^ f2 , f'Jz = x Z ln  x ^ f4 + x Z ln x ^ ^3 ,
fXý = 1 x Z-1 + f x y-1 ln x •T, fX'f = ^ x y-1 + f xy-1 ln x •    , fýf = xy ln2 x • ^ + x y ln x • ^.
Příklad 46. Vypočtete vsečhny parčiainí derivace prvního radu funkče f (x, y, z) = xyZ (pozor: xýZ = x(ýZ) = (xý )f).
Příklad 47. Vypočtete vsečhny parčiální derivače prvního rádu: f (x, y) = ln( x+4). Příklad 48. Vypočtete vsečhny parčiální derivače prvního a druheho rádu: f (x, y) = cosýX ).
Příklad 49. Vypočtete vsečhny parčiální derivače prvního a druheho radu v bode [1, y/2, 2] funkče z = f (x, y) definovane v okolí daneho bodu impličitne rovničí x2 + y2 + z2 — xz — y/2yz = 1.
Vásledek. zX(1, x/2) = 2fr--72ý = 0, zý(1, ^2) = 2f-2f-|ý = 0, zXx(1, V^) = zýý(1, V2) = —2,
zXý (1,^2) = 0.
Příklad 50. Vypočtete vsečhny parčiální derivače prvního a druheho rádu v bode [—2, 0,1] funkče z = f (x, y) definovane v okolí daneho bodu impličitne rovničí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz — z + 8 = 0.
Vásledek. zX(—2, 0) = — gX+if-T = 0, zý(—2, 0) = — gx+f-T = 0, zXx(—2, 0) = zýý(—2, 0) = ±, zXý(—2, 0) = 0.
Směrové derivace
Je-li u = (u1,u2) nenulový vektor, pak smerová derivace funkce f (x,y) v bode [xo,yo] ve smeru vektoru u je
-//n     ,;_ f (x0 +        y0 + u2t) — f (xo, yo) fu(x0, y0) = -1-.
Zrejme fX = f(l,0) a fý = f(0,1).
Jiný zpusob výpoCtu smerove derivace: Nejdríve spoCítáme obe parciální derivace fX(x0,y0) a f ý (x0,y0). Pak
fL(xo, y0) = fX(xo, y0) ^ u1 + fý(x0, y0) ^ u2. Pro funkce trí a více promenných je to analogicke.
Příklad 51. Vypočtete f'u (1, —1), kde f (x, y) = arctg(x2 + y2) a u = (1,2). Výsledek. — |.
Příklad 52. Vypočtete smerovou derivači funkče f (x,y) = x3 + 4xy v bode [2, —1] ve smeru vektoru (1,3).
Vásledek. f('1;3)(2, — 1) = 32.
Příklad 53. Vypočtete smerovou derivači funkče f (x,y) = yj x2 + y2 v bode [1,1] ve smeru vektoru (—1, 3).
7
Výsledek. /(/_1;3)(l, 1) = \/2.
Příklad 54. Vypočtěte směrovou derivaci funkce /(x,y) = ex(y_1) v bode [0,2] ve směru vektoru (-1, 2).
Výsledek. /(_1;2)(0,2) = -1.
Příklad 55. Vypočtete smerovou derivaci funkce /(x, y, z) = z — ex siny v bode [ln3, 32n, —3] ve smeru vektoru (1, 2, 2).
Výsledek. /(1)2;2)(ln3, ^, —3) = 5. Směrové derivace a spojitost
V následujícím příkladě si ukážeme, ze z existence derivací funkce více proměnných v libovolném směru neplyne spojitost teto funkce (avšak u funkce jedne promenne z existence derivace plyne spojitost).
Příklad 56. Dokažte, že funkce
x4y2 x8+y4
0 pro [x, y] = [0, 0]
není spojitá v bode [0, 0], ale v tomto bode existuje derivace funkce f v libovolném směru.
f (x,y) = { [X,y] = [0, 0]-
pro [x, y] = [0,0]
Nápověda. Pomocí přibližování se k limitnímu bodu po parabolách dokažte, že funkce nemá v bodě [0,0] limitu; smerove derivace vypočítejte podle definice.
8