Matematika III, 5. cvičení Lokální extrémy funkcí více proměnných Připomeňme, že pro funkci jedne proměnné f: R — R a její stacionární bod x0 (tj. bod x0 G R, pro který platí f '(xo) = 0) platí: • je-li f''(xo) < 0, mý funkce • je-li f''(xo) < 0, mý funkce • je-li f''(xo) > 0, mý funkce • je-li f''(xo) > 0, mý funkce Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou promenných f: R2 — R, obecný prípad pro funkci Rn — R býl probran na prednasce. Podobne tvrzený jako pro lokalní extrémy funkcí jedne promenne dostaneme pro funkce dvou (resp. více) promenných: Necht [xo, yo] je stacionýrní bod funkce f: R2 — R (tedý platí f£(xo, yo) = 0, fy(xo, yo) = 0) a necht' ma tato funkce v nejakem okolí bodu [xo,yo] spojite parcialní derivace druheho radu. Pak platí: • Je-li fX'x(xo,yo) > 0 a detHf(xo,yo) = det (f|fy^J^) = fXx(xo,yo)f^(xo,yo)-[fXy(xo,yo)]2 > 0, mý funkce f v bode [xo,yo] ostré lokalní minimum, • Je-li fX'X(xo,yo) < 0 a det Hf (xo,yo) > 0, ma funkce f v bode [xo,yo] ostre lokýlní maximum, • Je-li det Hf (xo,yo) < 0, extrém v bode [xo,yo] nenastava, • V ostatních prípadech (tj. pokud det Hf (xo, yo) = 0), nic o extrému v bode [xo, yo] nevíme, musýme použít ružne triký. Dale platí, že funkce f: R2 — R (platí to i pro funkce více než dvou promenných) muže mít lokalní extrém použe ve svem stacionarním bode nebo v bode, kde alespoň jedna ž parcialních derivací neexistuje. Příklad 87. Určete lokální extrémy funkce f (x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. Výsledek. Tri stacionarní bodý: Pi = [0,0], P2 = [1,1], P3 = [—1, —1]. V Pi extrém nenastava, v obou bodech P2,P3 mý funkce f ostre lokalní minimum. Příklad 88. Určete lokální, extrémy funkce f (x, y) = x3 + y3 — 3xy. Výsledek. Stacionarní bodý jsou P1 = [0,0], P2 = [1,1], v P1 není extrém, v P2 je ostre lokalní minimum. Příklad 89. Určete lokální, extrémy funkce f (x, y) = ln(5x) — x2 + xy + y2. Výsledek. Stacionarní bodý jsou P1 = [a/2/5, —1/\/10], P2 = [—a/2/5,1/\/10], ani v jednom ž nich extríem nenastíavía. 13 Příklad 90. Určete lokální extrémy funkce y2 z2 2 f (x, y, z) = x + — + — + -4x y z ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, kde jsou všechny tri souřadnice nezáporné) á určete jejich typ. Vísledek. Jediný stacionární bod je [1,1,1], ve kterém je lokální minimum, nebot' 1 4 -2 0 Hf = 1 -2 3 -2 \ 0 2 6 je pozitivne definitní napr. podle Sýlvestrova kriteria (au > 0, ana22 — ai2a2i > 0, det H f > 0). Příklad 91. Nájdete všechny stacionární body funkce z = f (x, y) definované implicitne rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz — z + 8 = 0 á zjistěte, zdá jsou v těchto bodech lokální extrémy. Vísledek. Výjde 4x + 8z 4y 8x + 2z — ľ y 8x + 2z — 1 stacionární bodý jsou [—2,0,1], [16, 0, — |]. Dale '4/15 0 Hf (—2, 0) = y 0 4/15J, takze funkce f (x, y) ma v bode [—2, 0] lokální minimum; Hf (16, 0) = ^ _4(/15 -4/15), takze funkce f (x, y) ma v bode [—2, 0] lokalní maximum. Příklad 92. Nájdete všechny stácionární body funkce z = f (x, y) definované implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \/2yz = 1 á zjistěte, zdá jsou v těchto bodech lokální extrémy. Vísledek. Výjde z — 2x , v^z — 2y 2z - x - V2y y 2z - x - y/2y stacionární body jsou [1, \/2,2], [—1, - \/2, —2]. Dále ve stacionárních bodech je 22 xx 2z - x-vV XV ' VV 2z - x ^^2y' Ve stacionárních bodech je Hf negativne, resp. pozitivne definitní, proto zde nastává ostré lokální maximum, resp. minimum funkce f. Příklad 93. Určete lokální extrémy funkce f (x,y) = xy ln(x2 + y2). Výsledek. fX = y ln(x2 + y2) + x^+y2 , fy = x ln(x2 + y2) + x22+y2 , stacioníarní bodý jsou Pl,2 = [0, ±1], P3,4 = [±1, 0], P5-8 = [±1^\/2i, ±1^\Z2i]. Díale .„ = 2xy(x2 + 3y2) .„ =.n(x2 + y2) 1 2 4x2y2 f„ = 2xy(3x2 + y2) fxx (x2 + y2)2 , fxy ln(x +y ) + 2 (x2 + y2)2, fyy (x2 + y2)2 ' 14 det H f (-P1-4) = det (° (j) = -4 < O, tudíž v bodech P1-4 není extrém. Pro P5 = [1/\/2ě, 1/\/2ě] a Po = [-1/\/2ě, -1/\/2ě] je f^Pi.o) = 2 > O, det Hf (P^) =4 > O, tudížž v bodech P5, P6 je ostre lokainí minimum. Pro P7 = [1/\/2ě, -1/\/2ě] a Ps = [-1/\/2ě, 1/\/2ě] je fX^Pz.s) = -2 < O, det Hf (P^) = 4 > O, tudíž v bodech P7, Ps je ostre lokainí maximum. Příklad 94. Najděte lokální extrémy funkce f (x, y) = x - 2y + in \J x2 + y2 + 3 arctg x a pro každý extrém určete jeho typ. Výsledek. Vyjde f/ = -, + x - 3y f/ 2 + 3x + y fx 1 + x2 + y2, fy 2 + x2 + y2, stacionárni bod je [-7/5,1/5]. Daie // = y2 - x2 + 6xy // = 3y2 - 3x2 - 2xy // = x2 - y2 - 6xy fxx = (x2 + y2)2 , fxy = (x2 + y2 )2 , fyy = (x2 + y2)2 , Hf (-7/5,1/5) = ^ —193/11°° -193//110° j, takže funkce f (x, y) v bode [-7/5,1/5] nemí extrem. Implicitne zadaná funkce Necht F (x, y): R2 — R je spojite diferencovatelna funkce v okoli bodu [x°, y°], daie F (x°, y°) = O a Fý(x°,y°) = O. Pak existuje spojita funkce f: R — R definovaní na nejakem okoli U bodu x°, pricemž F (x, f (x)) = O pro všechna x G U. Funkce y = f (x) je tedy rovnosti F (x, y) = O implicitne definovaní v okoli bodu x°. Pokud Fý(x°, y°) = O, funkce f se žmineními vlastnostmi neexistuje. Podobne tvržení platí pro funkci více promenních, uvedeme si jeste prípad pro 3 promenne: Necht F (x, y, z): R3 — R je spojite diferencovatelna funkce v okolí bodu [x°,y°,z°], dale F(x°,y°,z°) = O a FZ(x°,y°,z°) = O. Pak existuje spojita funkce f: R2 — R definovana na nejakem okolí U bodu [x°,y°], pricemž F (x, y, f (x, y)) = O pro vsechna x G U. Pokud FZ(x°,y°,z°) = O, funkce f se žmínenymi vlastnostmi neexistuje. Příklad 95. V okolí kterých bodU jednodélneho hyperboloidu h o rovnici x2 y2 z2 --+----= 1 a2 b2 c2 nelze vyjádrit z jako funkci z = f (x, y) ? a2 + b2 2 2 Népoveda. Urcete body [x° ,y°,z°] na h splňující FZ (x°,y°,z°) = O, kde F (x, y, z) = ^ + fj - 4 -1. c2 Výsledek. Množina hledaných boduje elipsa obsahující body [x°,y°, O], kde x0 + |íí- = 1. Příklad 96. V okolí kterych bodU krivky x2 + 2xy - y2 - 8 = O nelze vyjadrit y jako funkci y = f (x)? Výsledek. [2,2], [-2, -2]. Příklad 97. V okolí kterych bodu parabolicke valcove plochy z2 - 2px = O, kde p > O, nelze vyjadrit z jako funkci z = f (x, y) ? Výsledek. Vsechny body osy y. 15