Petr Zemánek Petr Hasil
Ústav matematiky a statistiky, Ústav matematiky,
Pˇrírodovˇedecká fakulta, Lesnická a dˇrevaˇrská fakulta,
Masarykova univerzita, Brno Mendelova univerzita v Brnˇe
Sbírka ˇrešených
pˇríklad˚u z matematické
analýzy I
(2. vydání)
k zemanek@math.muni.cz http://www.math.muni.cz/~xzemane2
k hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil
a = b / · a
a2
= ab / + a2
− 2ab
2a2
− 2ab = a2
− ab
2(a2
− ab) = a2
− ab / : (a2
− ab)
2 =? 1
Úvod
Milá čtenářko, milý čtenáři,
cílem této sbírky je nabídnout podrobný návod k řešení příkladů, které jsou standardní součástí
praktické části úvodního kurzu z matematické analýzy. Základy této sbírky tvoří zápisky ze
cvičeních k předmětům MB101, MB102, M1100, M1101 a demonstrativních cvičení k MB101
a MB102 vedených autory v letech 2006–2009 na Fakultě informatiky a Přírodovědecké fakultě
Masarykovy univerzity. Většina zadání uvedených příkladů je buď převzata z publikací [1–8]
(mnohdy z příkladů uvedených k samostatnému řešení) nebo z různých zdrojů, které se autorům
dostaly v průběhu let do rukou, případně na monitor. Avšak uvést zde kompletní seznam všech
použitých zdrojů by bylo bohužel nemožné, proto prohlašujeme, že drtivá většina zadání příkladů
je převzata od jiných autorů. Na druhou stranu, veškeré postupy řešení jsou původní a byly
vypracovány autory této publikace.
Brno, léto 2010 Petr Zemánek a Petr Hasil
i
Errata
V této verzi (oproti 1. vydání) bylo opraveno několik překlepů, sjednoceno značení a změněno
pořadí některých příkladů. Čísla příkladů/stran (odpovídající této verzi), jichž se hlavní změny
týkají, jsou uvedena v následujícím soupisu. Rádi bychom požádali Vás, čtenáře, o zpětnou vazbu
v případě nalezení jakékoli chyby, překlepu, nepřesnosti či nejasnosti, abychom je mohli v příštím
vydání opravit a vytvořit tak z počtu jejich výskytů posloupnost konvergující (co možná nejrychleji)
k nule. Chtěli bychom proto na tomto místě poděkovat panu A. Souškovi za upozornění na několik
problematickým míst.
• Změněno zadání Příkladu 39 a příslušný obrázek;
• opraven překlep ve výsledku Příkladu 40 (funkce f4(x) je lichá);
• změněno zadání Příkladu 120;
• opraven překlep ve výsledku Příkladu 123;
• opraven překlep (stupeň odmocniny ve jmenovateli v mezikroku) v Příkladě 124;
• opraven překlep ve vzorci pro zbytek v Taylorově větě (špatně zapsaná mocnina výrazu
(x − x0)) na str. 342;
• opravena a doplněna Tabulka 1 pro volbu funkcí při integrování pomocí per-partes na
str. 364;
• opraven překlep ve výpočtu integrálu z parciálního zlomku A
x−x0
(chybějící koeficientu
v posledních dvou krocích výpočtu) na str. 398;
• opraven překlep ve vzorci pro úpravu výrazů sin2
x a cos2
x pro integrály typu
sinn
x · cosm
x dx
v bodě iv) na str. 418;
• opraveny vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy y na
str. 493.
ii
Obsah
Errata ii
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1
Kapitola I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kapitola I. 2. Limity posloupností a funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Kapitola I. 3. Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Kapitola I. 4. l’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Kapitola I. 5. Vyšetřování průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Kapitola I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Kapitola I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Integrální počet funkcí jedné proměnné 363
Kapitola II. 1. Základní integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Kapitola II. 2. Integrace racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Kapitola II. 3. Speciální integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Kapitola II. 4. Určitý a nevlastní integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Kapitola II. 5. Aplikace integrálního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Seznam použité literatury 522
iii
I. Diferenciální poˇcet
funkcí jedné promˇenné
I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy
Základní vzorce
Poznámka 1. Nejde o úplný přehled. Je uvedeno pouze znění základních vzorců bez ohledu na
to, kde (ne)jsou definovány. Některé vzorce lze snadno odvodit z ostatních zde uvedených.
• Mnohočleny
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
,
a2
− b2
= (a − b)(a + b),
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
,
a3
± b3
= (a ± b)(a2
ab + b2
).
• Mocninná funkce
a0
= 1,
a−r
= 1
ar ,
a
1
r = r
√
a,
ar
as
= ar+s
,
(ar
)s
= ars
.
• Logaritmus a exponenciála
loga x = y ⇔ x = ay
,
log 1 = 0,
loga a = 1,
log ab
= b log a,
log(ab) = log a + log b,
log a
b
= log a − log b,
loga ax
= x = aloga x
,
ln x = lg x = loge x, e = 2, 71828 . . . ,
loga b =
logc b
logc a
= ln b
ln a
.
• Goniometrické funkce
tg x = sin x
cos x
,
cotg x = cos x
sin x
,
sin2
x + cos2
x = 1,
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2
x − sin2
x,
sin2 x
2
= 1−cos x
2
,
cos2 x
2
= 1+cos x
2
.
x 0 π
6
π
4
π
3
π
2
sin x 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos x 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
x 0 π
6
π
4
π
3
π
2
tg x 0
√
3
3
1
√
3 –
cotg x –
√
3 1
√
3
3
0
1
2 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
• Zlomky
a
b
± c
d
= ad±cb
bd
,
a
b
c
d
= ac
bd
,
a
b
c
d
= a
b
d
c
= ad
bc
,
(a
b
)−1
= b
a
,
(a
b
)r
= ar
br ,
ca
cb
= a
b
,
c
cb
= 1
b
,
a
a
= 1.
• Ostatní
Komplexní čísla (C)
i2
= −1,
a + ib = a − ib,
a2
+ b2
= (a − ib)(a + ib).
Kvadratický polynom P(x) = ax2
+ bx + c
D = b2
− 4ac,
x1,2 = −b±
√
D
2a
,
P(x) = a(x − x1)(x − x2).
Doplnění na čtverec
ax2
+ bx + c = a(x2
+ b
a
x + c
a
),
x2
+ px + q = (x + p
2
)2
− p2
4
+ q.
Reálná čísla
Definice 2. Buď A = ∅ uspořádaná množina, B ⊆ A, B = ∅, libovolná. Řekneme, že prvek a ∈ A
je supremum množiny B (píšeme supB = a), jestliže
1) x ≤ a pro každé x ∈ B;
2) je-li y ∈ A takové, že x ≤ y pro každé x ∈ B, pak je a ≤ y.
Analogicky se definuje infimum množiny B (inf B).
Je-li a = max A, pak je a největším prvkem množiny A, tj. pro každý prvek x ∈ A platí x ≤ a.
Analogické tvrzení platí pro min A.
Kvadratické rovnice
Rovnice tvaru ax2
+ bx + c = 0, kde x ∈ R, nebo x ∈ C. Řešíme pomocí vzorců
D = b2
− 4ac, x1,2 =
−b ±
√
D
2a
.
• D > 0 ⇒ 2 různé reálné kořeny,
• D = 0 ⇒ 1 dvojnásobný reálný kořen,
• D < 0 ⇒ 2 komplexně sdružené komplexní kořeny.
Posouvání grafu
Nechť je dána funkce y = f(x) a nenulová reálná čísla a, b.
(i) Uvažujme funkci ˜y = f(x + a). Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď
doleva (je-li a > 0) nebo doprava (je-li a < 0), a to o velikost čísla a.
(ii) Uvažujme funkci ^y = f(x) + b. Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď
nahoru (je-li b > 0) nebo dolů (je-li b < 0), a to o velikost čísla b.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 3
(1) Určete (jestliže existují) sup M, inf M, max M a min M, kde
i)
M = {0, −1, 2, 5, 6, 8} ;
ii)
M =
1
n
: n ∈ N ;
iii)
M = n2
− 2n + 1 : n ∈ Z ;
iv)
M = 0, 1).
Řešení:
i) max M = sup M = 8 a min M = inf M = −1;
ii) max M = sup M = 1, inf M = 0 a min M neexistuje;
iii) max M a sup M neexistuje, min M = inf M = 0;
iv) max M neexistuje, sup M = 1 a min M = inf M = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
4 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(2) Dokažte následující tvrzení: "Buď M = ∅, M ⊆ R a nechť a ∈ R. Pak
a = sup M ⇔ 1) x ≤ a ∀x ∈ M,
2) ∀ε > 0 ∃x1 ∈ M : x1 > a − ε."
Řešení:
„⇒“ Buď a = sup M, pak z definice x ≤ a pro ∀x ∈ M, tj. platí 1). Předpokládejme, že
2) neplatí. Pak existuje ε0 > 0 tak, že ∀x ∈ M je x ≤ a − ε0. Tedy a − ε0 je horní závora
množiny M a zároveň a = sup M ⇒ a ≤ a − ε0, což je spor. Tedy 2) platí.
„⇐“ Nechť platí 1) i 2). Podle definice určitě platí sup M ≤ a. Předpokládejme, že
sup M < a.
Potom položme ε = a − sup M > 0. Z 2) plyne, že
∃x1 ∈ M : x1 > a − ε = sup M,
což je spor. Proto nutně sup M = a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 5
(3) Za předpokladu existence daných výrazů dokažte:
i)
sup
x∈A
[−f(x)] = − inf
x∈A
[f(x)];
ii)
inf
x∈A
[−f(x)] = − sup
x∈A
[f(x)];
iii)
sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
[f(x)] + sup
x∈A
[g(x)];
iv)
inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
[f(x)] + inf
x∈A
[g(x)];
v) v částech iii) a iv) nelze nerovnosti nahradit rovnostmi.
Řešení:
Jednotlivá tvrzení dokážeme standardním způsobem známým z algebry.
i)
sup
x∈A
[−f(x)] = c ⇒
⇒ [−f(x) ≤ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≤ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≤ b] ⇒
⇒ [f(x) ≥ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≥ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≥ −b] ⇒
⇒ inf
x∈A
[f(x)] = −c ⇒ sup
x∈A
[−f(x)] = c = − inf [f(x)] .
ii)
inf
x∈A
[−f(x)] = c ⇒
⇒ [−f(x) ≥ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≥ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≥ b] ⇒
⇒ [f(x) ≤ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≤ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≤ −b] ⇒
⇒ sup
x∈A
[f(x)] = −c ⇒ inf
x∈A
[−f(x)] = c = − sup [f(x)] .
iii)
f(x) ≤ sup
x∈A
f(x), g(x) ≤ sup
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ f(x) + g(x) ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x)
⇒ sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x).
iv)
f(x) ≥ inf
x∈A
f(x), g(x) ≥ inf
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ f(x) + g(x) ≥ inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x)
⇒ inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
6 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
v) Tvrzení dokážeme nalezením vhodného protipříkladu. Uvažujme např. funkce f(x) =
sin x a g(x) = cos x na množině A = 0, π
2
. Pak v iii) obdržíme
sup
x∈A
[sin x + cos x] =
√
2,
přičemž supx∈A sin x = 1 a supx∈A cos x = 1. V části iv) dostaneme
inf
x∈A
[sin x + cos x] = 1,
přičemž infx∈A sin x = 0 a infx∈A cos x = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 7
(4) Dokažte pro libovolné podmnožiny A a B množiny R a libovolná reálná čísla a, b, c:
i)
a = max M ⇒ a = sup M;
ii)
A ⊆ B ⇒ sup A ≤ sup B;
iii)
A ⊆ B ⇒ inf A ≥ inf B;
iv)
sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B};
v)
inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B};
vi)
sup(A ∩ B) ≤ min {sup A, sup B};
vii)
inf(A ∩ B) ≥ max {inf A, inf B};
viii)
min {a, b} =
1
2
(a + b − |a − b|);
ix)
max {a, b} =
1
2
(a + b + |a − b|);
x)
|a| = max {a, −a} = − min {a, −a};
xi)
min {a, max {b, c}} = max {min {a, b}, min {a, c}};
xii)
max {a, min {b, c}} = min {max {a, b}, max {a, c}}.
Řešení:
i)
a = max M ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ a ∈ M ⇒
⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ [(b ∈ R, x ≤ b ∀x ∈ M) ⇒ a ≤ b] ⇒
⇒ a = sup M.
ii) Označme a = sup A a b = sup B. Pak platí
b = sup B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ A ⇒ a ≤ b,
neboť a = sup A.
iii) Označme a = inf A a b = inf B. Pak platí
b = inf B ⇒ x ≥ b ∀x ∈ B ⇒ x ≥ b ∀x ∈ A ⇒ a ≥ b,
neboť a = inf A.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
8 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
iv) Označme a = sup A, b = sup B, c = sup (A ∪ B) a d = max {sup A, sup B}. Pak platí
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≤ a ≤ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ≤ d ∀x ∈ B] ⇒
⇒ x ≤ d ∀x ∈ A ∪ B ⇒ c ≤ d.
Také platí
d = max {a, b} ⇒ (d = a) ∨ (d = b)
podle ii)
⇒ d ≤ c ∨ d ≤ c ⇒ d ≤ c.
To znamená, že
c = d.
v) Označme a = inf A, b = inf B, c = inf (A ∪ B) a d = min {inf A, inf B}. Pak platí
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≥ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≥ a ≥ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≥ b ≥ d ∀x ∈ B] ⇒
⇒ x ≥ d ∀x ∈ A ∪ B ⇒ c ≥ d.
Také platí
d = min {a, b} ⇒ (d = a) ∨ (d = b)
podle iii)
⇒ d ≥ c ∨ d ≥ c ⇒ d ≤ c.
To znamená, že
c = d.
vi) Označme a = sup A, b = sup B, c = sup (A ∩ B) a d = min {sup A, sup B}. Pak platí
x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≤ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ≤ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒
⇒ x ≤ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒ c ≤ d.
vii) Označme a = inf A, b = inf B, c = inf (A ∩ B) a d = max {inf A, inf B}. Pak platí
x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≥ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≥ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ≥ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒
⇒ x ≥ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒ c ≥ d.
viii) Pro a ≥ b platí
1
2
(a + b − |a − b|) =
1
2
(a + b − a + b) = b = min {a, b} .
Pro a < b platí
1
2
(a + b − |a − b|) =
1
2
(a + b + a − b) = a = min {a, b} .
ix) Pro a ≥ b platí
1
2
(a + b + |a − b|) =
1
2
(a + b + a − b) = a = max {a, b} .
Pro a < b platí
1
2
(a + b + |a − b|) =
1
2
(a + b − a + b) = b = max {a, b} .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 9
x) Z části viii) a ix) plyne
max {a, −a} =
1
2
(a − a + |a − (−a)|) =
1
2
|2a| = |a| ,
− min {a, −a} = −
1
2
(a − a − |a − (−a)|) =
1
2
|2a| = |a| .
xi) Zvážíme všechny možné varianty. Pro a ≥ b a a ≥ c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {b, c} = min {a, max {b, c}} .
Pro a < b a a < c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {a, a} = a = min {a, max {b, c}} .
Pro a ≥ b a a < c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {b, a} = a = min {a, max {b, c}} .
Pro a < b a a ≥ c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {a, c} = a = min {a, max {b, c}} .
xii) Zvážíme všechny možné varianty. Pro a ≥ b a a ≥ c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {a, a} = a = max {a, min {b, c}} .
Pro a < b a a < c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {b, c} = max {a, min {b, c}} .
Pro a ≥ b a a < c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {a, c} = a = max {a, min {b, c}} .
Pro a < b a a ≥ c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {b, a} = a = max {a, min {b, c}} .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
10 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(5) Dokažte:
i)
max x : x =
n
n + 1
, n = −1, n ∈ Z = 2;
ii)
sup x : x =
n
n + 1
, n ∈ N = 1;
iii)
inf x : x =
1
n2 + 1
, n ∈ Z = 0;
iv)
max x : x =
1
n2 + 1
, n ∈ Z = 1;
v)
sup (A ∪ B ∪ C) = 1, kde
A = x : x =
n2
n2 + 1
, n ∈ Z ,
B = x : x =
1
n
, n ∈ N ,
C = x : x =
n − 3
2n + 1
, n ≥ 0 .
Řešení:
i) Pro n = −2 je x = −2
−1
= 2. Dále platí n
n+1
= 1 − 1
n+1
≤ 1+ 1
n+1
≤ 2 pro všechna
n ∈ Z \ {−1}.
ii) Platí n
n+1
≤ n+1
n+1
≤ 1 pro n ∈ N. Buď nyní ε > 0 libovolné. Zvolíme-li n ∈ N, n > 1
ε
,
pak
n
n + 1
=
1
1 + 1
n
>
1
1 + ε
= 1 −
ε
1 + ε
> 1 − ε.
iii) Platí 1
n2+1
≥ 0 pro n ∈ Z. Buď dále ε > 0 libovolné. Zvolíme-li n ∈ N, n > 1√
ε
, pak
1
n2 + 1
≤
1
1
ε
+ 1
=
ε
1 + ε
< ε.
iv) Platí 1
n2+1
≤ 1 pro n ∈ Z. Pro n = 0 platí x = 1
0+1
= 1.
v) Platí sup A = 1, sup B = 1 a sup C = 1
2
. Z Příkladu 4 části iv) plyne
sup (A ∪ B ∪ C) = sup [(A ∪ B) ∪ C] =
= max {sup (A ∪ B) , sup C} =
= max {max {sup A, sup B} , sup C} =
= max {sup A, sup B, sup C} = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 11
(6) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí tzv. distributivní zákony
i)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
ii)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Řešení:
i)
⊆: x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ,
⊇: x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∨ x ∈ (B ∩ C) ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
ii)
⊆: x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ,
⊇: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
12 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(7) Určete množiny dané těmito výrazy:
i)
(1, ∞) ∩ (−1, 2 ;
ii)
(0, ∞) \ (−1, 2);
iii)
((−∞, −2) ∪ −2, 0)) ∪ 0, ∞);
iv)
−1, 5 ∩ 5, 100 ;
v)
−1, 10 ∩ 15, 20 ;
vi)
−1, 4) = −1, 4) = −1, 4)C
;
vii)
1, 5) \ (0, 5 .
Řešení:
i)
(1, ∞) ∩ (−1, 2 = (1, 2 ;
ii)
(0, ∞) \ (−1, 2) = 2, ∞) ;
iii)
((−∞, −2) ∪ −2, 0)) ∪ 0, ∞) = (−∞, ∞) ;
iv)
−1, 5 ∩ 5, 100 = {5} ;
v)
−1, 10 ∩ 15, 20 = {∅} ;
vi)
−1, 4) = (−∞, −1) ∪ 4, ∞) ;
vii)
1, 5) \ (0, 5 = {∅} .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 13
(8) Vyřešte kvadratickou rovnici 2x2
− x − 3 = 0 a) v R, b) v C.
Řešení:
Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice
D = (−1)2
− 4 · 2 · (−3) = 25.
Protože D > 0, rovnice má dva reálné kořeny. Ty snadno dopočítáme.
x1,2 =
−(−1) ±
√
D
2 · 2
=
1 ± 5
4
=
3
2
,
−1.
Rovnice má tedy v R dva kořeny a to 3
2
a −1, stejně jako v C, neboť komplexní čísla jsou
nadmnožinou čísel reálných.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
14 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(9) Vyřešte kvadratickou rovnici x2
+ 4x + 4 = 0 a) v R, b) v C.
Řešení:
Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice
D = 42
− 4 · 1 · 4 = 0.
Protože D = 0, rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. Ten snadno dopočítáme.
x1,2 =
−4 ±
√
D
2 · 1
= −2.
Rovnice má tedy v R jeden dvojnásobný kořen a to −2, stejně jako v C, neboť komplexní
čísla jsou nadmnožinou čísel reálných.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 15
(10) Vyřešte kvadratickou rovnici x2
− 4x + 29 = 0 a) v R, b) v C.
Řešení:
Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice
D = (−4)2
− 4 · 1 · 29 = −100.
Protože D < 0, rovnice nemá žádný reálný kořen – má dvojici komplexních kořenů. Ty
dopočítáme.
x1,2 =
−(−4) ±
√
D
2 · 1
=
4 ±
√
−100
2
=
4 ±
√
100i2
2
=
4 ± 10i
2
=
2 + 5i,
2 − 5i.
Rovnice tedy v R nemá žádný kořen. V C jsou jejími kořeny komplexně sdružená čísla
2 + 5i a 2 − 5i.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
16 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(11) Určete, pro která x ∈ R je výraz −2x2
+ x + 3 a) nezáporný, b) kladný.
Řešení:
Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf –
parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny
polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.
Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient
(−2) záporný, je parabola otevřena dolů.
Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:
D = 25 ⇒ x1,2 =
3
2
,
−1.
Graf tedy vypadá takto:
Daný výraz je tedy nezáporný pro x ∈ −1, 3
2
a kladný pro x ∈ (−1, 3
2
).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 17
(12) Určete, pro která x ∈ R je výraz x2
+ 4x + 4 a) kladný, b) nezáporný.
Řešení:
Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf –
parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny
polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.
Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient
(1) kladný, je parabola otevřena nahoru.
Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:
D = 0 ⇒ x1,2 = −2.
Graf tedy vypadá takto:
Daný výraz je tedy kladný pro x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, ∞) a nezáporný pro x ∈ R.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
18 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(13) Určete, pro která x ∈ R je výraz x2
− 4x + 29 a) kladný, b) záporný.
Řešení:
Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf –
parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny
polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.
Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient
(1) kladný, je parabola otevřena nahoru.
Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:
D = −100.
Protože je diskriminant záporný, rovnice nemá žádný reálný kořen a parabola osu x nikde
neprotíná. Graf tedy vypadá takto:
Daný výraz je tedy kladný pro x ∈ R a nikdy není záporný, tj. můžeme říct, že je záporný
pro x ∈ ∅.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 19
(14) Určete definiční obor funkce
f(x) =
1
x3 − x2 + x − 1
.
Řešení:
Musí platit
x3
− x2
+ x − 1 = 0 ⇐⇒ (x − 1) x2
+ 1 = 0 ⇐⇒ x = 1.
Proto
D(f) = R \ {1}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
20 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(15) Určete definiční obor funkce
f(x) =
2x2
x + |x|
.
Řešení:
Musí platit
x + |x| = 0.
Nejdříve uvažme x ≥ 0, potom
x + x = 0 ⇐⇒ 2x = 0 ⇐⇒ x = 0.
Pro x < 0 dostaneme
x − x = 0 ⇐⇒ 0 = 0,
proto definiční obor je
D(f) = (0, ∞) .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 21
(16) Určete definiční obor funkce
f(x) = x2 − 5x + 6.
Řešení:
Musí platit
x2
− 5x + 6 ≥ 0.
Kořeny tohoto kvadratického polynomu jsou x1 = 2 a x2 = 3. Poněvadž koeficient u druhé
mocniny je kladný, má graf této kvadratické funkce podobu
Proto definiční obor funkce je
D(f) = (−∞, 2 ∪ 3, ∞).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
22 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(17) Určete definiční obor funkce
f(x) = ln x
2x2+3x−2
.
Řešení:
Z logaritmu dostáváme, že x > 0. Dále ve jmenovateli nesmí být nula, tedy v definičním
oboru dané funkce nejsou kořeny polynomu 2x2
+ 3x − 2. Snadno určíme, že kořeny jsou
x1 = −2, x2 = 1
2
. Tedy
D(f) = 0,
1
2
∪
1
2
, ∞ .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 23
(18) Určete definiční obor funkce
f(x) = 3x
2x−8
+
√
10 − x − ln(x + 2).
Řešení:
Zde určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části, lomeném výrazu, nesmí být ve jmenovateli nula. Tedy nutně x = 4. V druhé
části musí být pod odmocninou nezáporné číslo, odtud x ≤ 10. A konečně, z logaritmu
dostáváme, že x > −2. Celkem
D(f) = (−2, 4) ∪ (4, 10 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
24 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(19) Určete definiční obor funkce
f(x) = ln(x2
+ 4x − 5) +
2x2
√
2x + 6
.
Řešení:
Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části musí platit
x2
+ 4x − 5 > 0.
Jde o kvadratický polynom jehož grafem je parabola otevřená nahoru (vedoucí koeficient
je kladný) a snadno dopočítáme, že jeho kořeny jsou −5 a 1. Graf tedy vypadá takto:
Tedy x ∈ (−∞, −5) ∪ (1, ∞).
V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není
přípustná nula, tj.
2x + 6 > 0 ⇒ x > −3.
Celkem
D(f) = (1, ∞).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 25
(20) Určete definiční obor funkce
f(x) = arccos
1 − 2x
4
.
Řešení:
Nejdříve si připomene grafy a základní vlastnosti cyklometrických funkcí
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
26 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Proto musí platit
−1 ≤
1 − 2x
4
≤ 1 ⇐⇒ −4 ≤ 1 − 2x & 1 − 2x ≤ 4 ⇐⇒
⇐⇒ −5 ≤ −2x & − 2x ≤ 3 ⇐⇒ x ≤
5
2
& x ≥ −
3
2
.
Proto máme definiční obor
D(f) = −
3
2
,
5
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 27
(21) Určete definiční obor funkce
g(x) = arcsin
x + 3
2
+
x + 4
x − 2
.
Řešení:
Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části musí platit
−1 ≥
x + 3
2
≥ 1,
−2 ≥ x + 3 ≥ 2,
−5 ≥ x ≥ −1,
tedy x ∈ −5, −1 .
V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není
přípustná nula. Nulové body jsou přitom −4 a 2. Ty rozdělují reálnou osu na tři intervali,
na nichž výraz pod odmocninou nabývá vždy stejného znaménka. Dosazením zjistíme jaká
(přitom číslo 2 vůbec neuvažujeme, aby ve jmenovateli nebyla nula):
(−∞, −4 −4, 2) (2, ∞)
x + 4 − + +
x − 2 − − +
x+4
x−2
+ − +
Odtud dostáváme, že x ∈ (−∞, −4 ∪ (2, ∞).
Celkem
D(g) = −5, −4 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
28 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(22) Určete definiční obor funkce
f : y = arccotg
x − 1
√
1 − x
+ log−2
1
3
(2x + 21).
Řešení:
Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části jsou jediná omezení odmocnina a zlomek, tedy x < 1.
V druhé části musíme vzít v úvahu jak logaritmus, tak i fakt, že je tento výraz umocněn
na záporný exponent, je tedy ve jmenovateli, a proto musí být různý od nuly. Logaritmus
je roven nule v jedničce, tj.
2x + 21 = 1 ⇒ x = −10.
Jako poslední zbývá vyřešit už zmíněný logaritmus, do nějž lze dosazovat pouze kladná
čísla, tedy
2x + 21 ≥ 0 ⇒ x ≥ −
21
2
.
Celkem
D(f) = −
21
2
, −10 ∪ (−10, 1) .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 29
(23) Určete definiční obor funkce
f(x) = ln(1 − ex
).
Řešení:
Musí platit
1 − ex
> 0 ⇐⇒ 1 > ex
.
Graf funkce ex
má podobu
proto je definiční obor
D(f) = (−∞, 0).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(24) Určete definiční obor funkce
f(x) =
cos x
5x+1 − 3 · 5x − 50
.
Řešení:
Musí platit
5x+1
− 3 · 5x
− 50 = 0.
Položme y = 5x
, potom
5x+1
− 3 · 5x
− 50 = 0 ⇐⇒ 5y − 3y − 50 = 0 ⇐⇒ 2y = 50 ⇐⇒
⇐⇒ y = 25 ⇐⇒ 5x
= 25 ⇐⇒
⇐⇒ 5x
= 52
⇐⇒ x = 2.
Proto máme definiční obor
D(f) = R \ {2}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 31
(25) Určete definiční obor funkce
f(x) =
3x+1
sin x + cos x
.
Řešení:
Musí platit
sin x + cos x = 0 ⇐⇒ sin x + sin x +
π
2
= 0 ⇐⇒
⇐⇒ 2 sin
x + x + π
2
2
· cos
x − x − π
2
2
= 0 ⇐⇒
⇐⇒ 2 sin x +
π
4
· cos −
π
4
= 0 ⇐⇒
⇐⇒
√
2 sin x +
π
4
= 0 ⇐⇒
⇐⇒ sin x +
π
4
= 0 ⇐⇒
⇐⇒ x +
π
4
= kπ, k ∈ Z ⇐⇒
⇐⇒ x = −
π
4
+ kπ, k ∈ Z ⇐⇒
⇐⇒ x =
3π
4
+ kπ, k ∈ Z.
Proto máme definiční obor
D(f) = R \
k∈Z
3π
4
+ kπ .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
32 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(26) Určete definiční obor funkce
f(x) =
x − cos x
2 sin2
x + 3 cos x
.
Řešení:
Musí platit
2 sin2
x + 3 cos x = 0 ⇐⇒ 2 1 − cos2
x + 3 cos x = 0 ⇐⇒
⇐⇒ −2 cos2
x + 3 cos x + 2 = 0
cos x=y
⇐⇒
cos x=y
⇐⇒ −2y2
+ 3y + 2 = 0 ⇐⇒
⇐⇒ y1 = 2, y2 = −
1
2
& cos x = y ⇐⇒
⇐⇒ cos x = 2 (vždy) , cos x = −
1
2
⇐⇒
⇐⇒ x =
2π
3
+ 2kπ & x =
4π
3
+ 2kπ, k ∈ Z.
Proto máme definiční obor
D(f) = R \
k∈Z
2
3
π + 2kπ,
4
3
π + 2kπ .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 33
(27) Dokažte, že pro x > 0 platí
arctg x = arccotg
1
x
.
Řešení:
Položme u = arctg x a v = arccotg 1
x
. Potom platí u ∈ 0, π
2
a v ∈ 0, π
2
. Musíme
ukázat, že u = v. Proto
tg u = x & cotg v =
1
x
⇐⇒ tg u = x &
1
tg v
=
1
x
⇐⇒
⇐⇒ tg u = x & tg v = x ⇐⇒
⇐⇒ tg u = x = tg v ⇐⇒
⇐⇒ u = v.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
34 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(28) Je dán graf funkce f(x). Načrtněte grafy následujících funkcí
−f(x), f(−x), f(x) + b, f(x − a), k · f(x), f(m · x).
Řešení:
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 35
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
36 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 37
(29) Načrtněte graf funkce
(i)y = x2
, (ii)y = −x2
, (iii)y = (−x)2
.
Řešení:
Obrázek 1. Řešení (i) a (iii). Obrázek 2. Řešení (ii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
38 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(30) Načrtněte graf funkce
(i)y = (x + 1)2
, (ii)y = x2
+ 1, (iii)y = (1 − x)3
.
Řešení:
Obrázek 3. Řešení (i).
Obrázek 4. Řešení (ii).
Obrázek 5. Řešení (iii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 39
(31) Načrtněte graf funkce
(i)y = 2 −
√
x, (ii)y = 1
3−x
− 1.
Řešení:
Obrázek 6. Řešení (i).
Obrázek 7. Řešení (ii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
40 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(32) Načrtněte graf funkce
(i)y = ln(x − 3), (ii)y = 2 + e1−x
.
Řešení:
Obrázek 8. Řešení (i).
Obrázek 9. Řešení (ii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 41
(33) Načrtněte graf funkce
(i)y = sin x, (ii)y = sin(3x), (iii)y = sin x
5
, (iv)y = 2 sin x.
Řešení:
Obrázek 10. Řešení (i). Obrázek 11. Řešení (ii).
Obrázek 12. Řešení (iii).
Obrázek 13. Řešení (iv).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
42 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(34) Načrtněte graf funkce
(i)y = sin(x − 1), (ii)y = 3 + sin x, (iii)y = tg(3x).
Řešení:
Obrázek 14. Řešení (i). Obrázek 15. Řešení (ii).
Obrázek 16. Řešení (iii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 43
(35) Načrtněte graf funkce
f(x) =
1
2
x2
− 4x + 5.
Řešení:
Nejdříve upravíme zadání do tvaru
f(x) =
1
2
x2
− 4x + 5 ⇐⇒ f(x) =
1
2
x2
− 8x + 10 ⇐⇒
⇐⇒ f(x) =
1
2
(x − 4)2
− 6 ⇐⇒
⇐⇒ f(x) =
1
2
(x − 4)2
− 3.
Nyní můžeme využít Příklad 28 a graf funkce f(x) načrtnout díky znalosti grafu funkce
x2
, proto
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
44 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(36) Načrtněte grafy funkcí
f1(x) = |x| + 1 a f2(x) = 2 |x − 1| + |x| + 2.
Řešení:
Pomocí řešení Příkladu 28 můžeme ze znalosti grafu funkce |x| načrtnout graf funkce
f1(x), tj.
Nyní načrtneme graf funkce f2(x). Nejdříve určíme nulové body jednotlivých absolutních
hodnot, tj. x1 = −1 a x2 = 0. Tyto body nám rozdělí reálnou osu na tři subintervaly.
Proto
x ∈ (−∞, 0 ⇐⇒ f2(x) = −2(x − 1) − x + 2 = −3x + 4,
x ∈ (0, 1 ⇐⇒ f2(x) = −2(x − 1) + x + 2 = −x + 4,
x ∈ (1, ∞) ⇐⇒ f2(x) = 2(x − 1) + x + 2 = 3x.
Na jednotlivých subintervalech je graf funkce tvořen přímkami, které prochází postupně
body [−1, 7], [0, 4], [1, 3] a [2, 6], tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 45
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
46 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(37) Načrtněte graf funkce
f(x) = log
10
2 − x
.
Řešení:
Je zřejmé, že definiční obor funkce je D(f) = (−∞, 2). Upravíme zadání funkce, tj.
f(x) = log
10
2 − x
⇐⇒ f(x) = log 10 − log(2 − x) ⇐⇒
⇐⇒ f(x) = 1 − log [− (x − 2)] ⇐⇒
⇐⇒ f(x) = −log [− (x − 2)] + 1.
Ještě určíme průsečík s osou x, tj.
0 = −log [− (x − 2)] + 1 ⇐⇒ 1 = log(2 − x) ⇐⇒ 10 = 2 − x ⇐⇒
⇐⇒ x = −8.
Proto s pomocí Příkladu 28 můžeme načrtnou graf funkce f(x), tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 47
(38) Načrtněte graf funkce
f(x) = 2 sin 3x −
π
4
− 1.
Řešení:
Pro snažší náčrt nejdříve určíme průsečík s osou x, tj.
2 sin 3x −
π
4
− 1 = 0 ⇐⇒ sin 3x −
π
4
=
1
2
⇐⇒
⇐⇒ 3x −
π
4
=
π
6
+ 2kπ nebo
3x −
π
4
=
7π
6
+ 2kπ, k ∈ Z ⇐⇒
⇐⇒ x =
5π
36
+
2kπ
3
nebo x =
17π
36
+
2kπ
3
, k ∈ Z.
Osa grafu funkce se posune do y = −1, proto určíme i průsečíky s touto osou, tj.
2 sin 3x −
π
4
− 1 = −1 ⇐⇒ sin 3x −
π
4
= 0 ⇐⇒
⇐⇒ 3x −
π
4
= kπ, k ∈ Z ⇐⇒
⇐⇒ x =
π
12
+
kπ
3
, k ∈ Z.
Tedy hledaný graf funkce f(x) má podobu
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
48 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(39) Načrtněte graf funkce
y(x) =
3
2
arcsin −
1
2
x + 1 − π.
Řešení:
S pomocí Příkladu 28 dostaneme
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 49
(40) Rozhodněte o paritě funkcí (je daná funkce sudá či lichá?)
f1(x) = 2, f2(x) =
x2
1 + x2
, f3(x) =
√
x, f4(x) = ln
1 − x
1 + x
,
f5(x) = sin x + cos x, f6(x) = x cosh x.
Jak se mění parita funkce vzhledem k součtu, rozdílu, součinu a podílu?
Řešení:
Přímým výpočtem dostaneme
f1(x) = 2 ⇔ f1(−x) = 2 ⇒ sudá funkce,
f2(x) =
x2
1 + x2
⇔ f2(−x) =
(−x)2
1 + (−x)2
=
x2
1 + x2
⇒ sudá funkce,
f3(x) =
√
x ⇔ f3(−x) =
√
−x neexistuje ⇒ funkce není sudá ani lichá,
f4(x) = ln
1 − x
1 + x
⇔ f4(−x) = ln
1 + x
1 − x
= ln
1 − x
1 + x
−1
=
= − ln
1 − x
1 + x
⇒ lichá funkce,
f5(x) = sin x + cos x ⇔ f5(−x) = sin(−x) + cos(−x) =
= − sin x + cos x ⇒ funkce není sudá ani lichá,
Nyní si připomene definice hyperbolických funkcí a jejich grafy, tj. sinh x = ex − e−x
2
,
cosh x = ex + e−x
2
, tgh x = sinh x
cosh x
a
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
50 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Potom dostaneme
f6(x) = x cosh x ⇔ f6(−x) = −x cosh(−x) = −x cosh x ⇒ lichá funkce.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 51
(41) Určete inverzní funkci
f(x) =
x − 2
x + 2
.
Řešení:
Z rovnice
y =
x − 2
x + 2
musíme vyjádřit x, potom přeznačením y x dostaneme hledaný předpis pro inverzní
funkci. Proto
y =
x − 2
x + 2
⇐⇒ y(x + 2) = x − 2 ⇐⇒ x(y − 1) = −2(y + 1) ⇐⇒
⇐⇒ x =
−2(y + 1)
y − 1
⇐⇒ f−1
(x) =
−2(x + 1)
x − 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
52 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(42) Určete inverzní funkci
f(x) = 1 + log(x + 2).
Řešení:
Z rovnice
y = 1 + log(x + 2)
musíme vyjádřit x, potom přeznačením y x dostaneme hledaný předpis pro inverzní
funkci. Proto
y = 1 + log(x + 2) ⇐⇒ y − 1 = log(x + 2) ⇐⇒ 10y−1
= x + 2 ⇐⇒
⇐⇒ x = 10y−1
− 2 ⇐⇒ f−1
(x) = 10x−1
− 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 53
(43) Určete inverzní funkci
f(x) =



x, x < 1;
x2
, x ∈ 1, 4 ;
2x
, x > 4.
Řešení:
Přímým výpočtem dostaneme výsledek
f−1
(x) =



x, x < 1;
√
x, x ∈ 1, 16 ;
log2 x, x > 16.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
54 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(44) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce
F(x) = 3
sin(x3 + 3).
Řešení:
Složky jsou
f(x) = 3
√
x, g(x) = sin x, h(x) = x3
+ 3.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = f(g(h(x))) = (f ◦ g ◦ h)(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 55
(45) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce
F(x) = log2 tg(2 + x).
Řešení:
Složky jsou
f(x) = log2 x, g(x) =
√
x, h(x) = tg x, l(x) = 2 + x.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = f(g(h(l(x)))) = (f ◦ g ◦ h ◦ l)(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
56 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(46) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce
a)F(x) = cotg5
x, b)G(x) = cos x7
.
Řešení:
a) Složky jsou
f(x) = cotg x, g(x) = x5
.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x).
b) Složky jsou
f(x) = cos x, g(x) = x7
.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 57
(47) Vypočtěte f(x), jestliže f 1
x
= x +
√
1 + x2.
Řešení:
Musíme za x dosadit takovou hodnotu, aby na levé straně rovnice f(1
x
) = x +
√
1 + x2
zůstala pouze „nějaká“ proměnná, zbytek dostaneme pouze přeznačením. Zvolme x = 1
t
,
potom máme
f
1
1
t
= f(t) =
1
t
+ 1 +
1
t
2
=
sgn(t)
|t|
+
√
1 + t2
|t|
=
sgn(t) +
√
1 + t2
|t|
.
Nyní položíme t x a dostaneme řešení
f(x) =
sgn(x) +
√
1 + x2
|x|
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
58 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(48) Vypočtěte f(x), jestliže f x
x+1
= x2
.
Řešení:
Využijeme postup z Příkladu 47. Musíme najít vhodnou hodnotu x. Proto musíme vyřešit
rovnici
x
x + 1
= t ⇐⇒ x =
t
t − 1
.
Nyní zvolíme x = t
t−1
, potom
f
t
t−1
t
t−1
+ 1
= f(t) =
t
t − 1
2
.
Pro t x jsme našli funkční předpis ve tvaru
f(x) =
x
1 − x
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 59
(49) Vyřešte nerovnici
2x + 1
x − 3
+ 1 ≤ 1.
Řešení:
Nejdříve rovnici upravíme
2x + 1
x − 3
+ 1 ≤ 1 ⇐⇒
2x + 1 + x − 3
x − 3
≤ 1 ⇐⇒
⇐⇒
3x − 2
x − 3
≤ 1 ⇐⇒ |3x − 2| ≤ |x − 3| .
Nulové body absolutních hodnot jsou x1 = 2
3
a x2 = 3. Tímto se nám rozdělí reálná osa
na tři subintervaly, na kterých budeme muset vyřešit nerovnici zvlášť. Proto
x ∈ −∞,
2
3
: −3x + 2 ≤ −x + 3 ⇔ x ≥ −
1
2
⇒ x ∈ −
1
2
,
2
3
,
x ∈
2
3
, 3 : 3x − 2 ≤ −x + 3 ⇔ x ≤
5
4
⇒ x ∈
2
3
,
5
4
,
x ∈ (3, ∞) : 3x − 2 ≤ x − 3 ⇔ x ≤ −
1
2
⇒ x ∈ {∅} .
Proto řešením je interval x ∈ −1
2
, 5
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
60 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(50) Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich průměru
geometrickému.
Řešení:
Jinými slovy máme dokázat, že platí
a + b
2
≥
√
ab, a ≥ 0, b ≥ 0.
To plyne z této úvahy
√
a −
√
b
2
≥ 0 ⇐⇒ a − 2
√
ab + b ≥ 0 ⇐⇒
⇐⇒ a + b ≥ 2
√
ab ⇐⇒
a + b
2
≥
√
ab.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 61
(51) Pomocí matematické indukce dokažte, že platí Bernoulliova nerovnost
(1 + x)n
≥ 1 + nx, kde n ∈ N, n > 1, x > −1.
Řešení:
Nerovnost dokážeme pomocí matematické indukce, proto vezme první možnou hodnotu n,
tj. n = 2, a ukážeme, že je nerovnost splněna, proto
(1 + x)2
≥ 1 + 2x ⇐⇒ 1 + 2x + x2
≥ 1 + 2x ⇐⇒ x2
≥ 0.
Uděláme indukční krok, proto předpokládejme, že rovnost platí pro nějaké n ∈ N \ {1}, tj.
(1 + x)n
≥ 1 + nx. Teď ukážeme, že nerovnost platí i pro n + 1. Proto
(1 + x)n
≥ 1 + nx / · (1 + x) > 0 =⇒
=⇒ (1 + x)n+1
≥ (1 + nx) (1 + x) = 1 + nx + x + nx2
=⇒
nx2≥0
=⇒ (1 + x)n+1
≥ 1 + nx + x =⇒
=⇒ (1 + x)n+1
≥ 1 + (n + 1)x.
Tedy i pro n + 1 je nerovnice splněna. Tím jsme dokázali Bernoulliovu nerovnost.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
62 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(52) Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n ∈ N platí
1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
.
Řešení:
Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n = 1, tj.
1 =
1 · 2
2
.
Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n ∈ N. Pak pro n + 1 dostaneme
1 + 2 + · · · + n + n + 1 =
n(n + 1)
2
+ n + 1 =
n(n + 1) + 2n + 2
2
=
=
n2
+ 3n + 2
2
=
(n + 1) (n + 2)
2
,
čímž je identita dokázána.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 63
(53) Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n ∈ N platí
n
i=1
i3
=
n2
(n + 1)2
4
.
Řešení:
Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n = 1, tj.
1
i=1
i3
= 1 =
12
(1 + 1)2
4
=
1 · 4
4
= 1.
Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n ∈ N. Pak pro n + 1 dostaneme
n+1
i=1
i3
=
n
i=1
i3
+ (n + 1)3
=
n2
(n + 1)2
4
+
4(n + 1)3
4
=
=
(n + 1)2
n2
+ 4n + 4
4
=
(n + 1)2
(n + 2)2
4
,
čímž je identita dokázána.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
64 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Rozklad na parciální zlomky
• Lomená racionální funkce P1(x)
Q1(x)
;
• má-li polynom v čitateli stejný, nebo vyšší stupeň než polynom ve jmenovateli, provedeme
dělení polynomů – tím získáme (polynom +) ryze lomenou racionální funkci P(x)
Q(x)
(tj.,
st P < st Q);
• určíme reálné kořeny polynomu Q(x) (pomocí Hornerova schématu, vzorců, vytýkáním či
jinými úpravami) a zapíšeme Q(x) jakou součin lineárních polynomů ve tvaru x − x0, kde
x0 je reálný kořen, a kvadratických polynomů ve tvaru (x − a)2
+ b2
, které nemají reálné
kořeny;
• zapíšeme P(x)
Q(x)
pomocí parciální zlomků s neurčitými koeficienty, přičemž jednoduchému
reálnému kořenu x0, tj. členu x − x0, odpovídá parciální zlomek ve tvaru
A
x − x0
,
jednoduchému komplexnímu kořenu a + ib, tj. členu (x − a)2
+ b2
, odpovídá parciální
zlomek
Bx + C
(x − a)2 + b2
,
pro k-násobný reálný kořen x0, tj. pro člen (x − x0)k
, odpovídá k parciálních zlomků
A1
x − x0
+
A2
(x − x0)2
+ · · · +
Ak
(x − x0)k
a pro k-násobný komplexní kořen a+ib, tj. pro člen [(x−a)2
+b2
]k
, odpovídá k parciálních
zlomků ve tvaru
B1x + C1
(x − a)2 + b2
+
B2x + C2
[(x − a)2 + b2]2
+ · · · +
Bkx + Ck
[(x − a)2 + b2]k
;
• metodou neurčitých koeficientů (příp. s pomocí dosazení některých kořenů) určíme všechny
neznámé koeficienty v čitatelích parciálních zlomků.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 65
(54) Rozložte na parciální zlomky
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
.
Řešení:
Nejdříve musíme rozložit jmenovatele na součin, tj. učit kořeny. K tomu můžeme využít
tzv. Hornerovo schéma (viz později) nebo některou z elementárních úprav, proto
x3
− 2x2
+ x − 2 = x2
(x − 2) + x − 2 = x2
+ 1 (x − 2) .
Proto rozklad na parciální zlomky musí vypadat takto
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x − 2
.
Pro další výpočet musíme obě strany rovnice vynásobit jmenovatelem původního zlomku,
proto
3x2
− 5x + 8 = (Ax + B) (x − 2) + Cx2
+ C,
3x2
− 5x + 8 = Ax2
− 2Ax + Bx − 2B + Cx2
+ C.
Pro určení jednotlivých koeficientů lze využít dosazení jednotlivých kořenů (zde pouze
x = 2), ovšem takovým způsobem dostaneme všechny hledané koeficienty pouze v případě
jednoduchých reálných kořenů. Druhou možností je tzv. metoda neurčitých koeficientů, kdy
porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin x, tj.
x2
: 3 = A + C, x1
: −5 = −2A + B, x0
(koeficienty bez x) : 8 = −2B + C.
Tím jsme obdrželi soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou lze vyřešit přímo (metodami
známých ze střední školy nebo pomocí matic). Řešením jsou hodnoty A = 1, B = −3
a C = 2. Tedy hledaný rozklad je tvaru
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
=
2
x − 2
+
x − 3
x2 + 1
.
Při hledání je možné použít i kombinaci obou popsaných metod – část koeficientů získat
dosazením kořenů a zbytek metodou neurčitých koeficientů, kde bude nutné již vyřešit
nižší počet rovnic.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(55) Rozložte na parciální zlomky
1
x3 + 1
.
Řešení:
Rozložením jmenovatele (buď se znalostí vhodného vzorce nebo z faktu, že x = −1 je
kořen tohoto polynomu, a dále pomoci dělení dvou polynomů) obdržíme x3
+ 1 = (x +
1) x2
− x + 1 . Proto rozklad musí vypadat takto
1
x3 + 1
=
A
x + 1
+
Bx + C
x2 − x + 1
,
což vede k rovnici
1 = Ax2
− Ax + A + Bx2
+ Bx + Cx + C.
Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x2
: 0 = A + B, x1
: 0 = −A + B + C, x0
: 1 = A + C,
jejímž řešením je trojice A = 1
3
, B = −1
3
a C = 2
3
. Proto máme
1
x3 + 1
=
1
3
x + 1
+
−1
3
x + 2
3
x2 − x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 67
(56) Rozložte na parciální zlomky
1
x3(x + 1)
.
Řešení:
Jmenovatel je již ve tvaru požadovaného součinu, proto rozklad musí vypadat takto
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
,
z čehož obdržíme rovnici
1 = Ax3
+ Ax2
+ Bx2
+ Bx + Cx + C + Dx3
.
Tedy metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x3
: 0 = A + D, x2
: 0 = A + B, x1
: 0 = B + C, x0
: 1 = C,
jejímž řešením je čtveřice A = 1, B = −1, C = 1 a D = −1. Proto hledaný rozklad je
tvaru
1
x3(x + 1)
=
1
x3
−
1
x2
+
1
x
−
1
x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
68 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(57) Rozložte na parciální zlomky
x2
− 2
x4 − 2x3 + 2x2
.
Řešení:
Jmenovatel upravíme do tvaru
x4
− 2x3
+ 2x2
= x2
x2
− 2x + 2 ,
proto parciální zlomky musí být ve tvaru
x2
− 2
x4 − 2x3 + 2x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 − 2x + 2
.
Úpravou dostaneme rovnici
x2
− 2 = Ax3
− 2Ax2
+ 2Ax + Bx2
− 2Bx + 2B + Cx3
+ Dx2
,
což nám metodou neurčitých koeficientů dá soustavu rovnic
x3
: 0 = A + C, x2
: 1 = −2A + B + D, x1
: 0 = 2A − 2B, x0
: −2 = 2B.
Řešením soustavy je čtveřice A = −1, B = −1, C = 1 a D = 0, proto hledaný rozklad je
tvaru
x2
− 2
x4 − 2x3 + 2x2
= −
1
x
−
1
x2
+
x
x2 − 2x + 2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 69
(58) Rozložte na parciální zlomky
x3
+ 3x2
+ 4
x3 + x − 2
.
Řešení:
Poněvadž jsou stupně obou polynomů (alespoň) stejné, musíme nejdříve zadaný podíl
upravit tak, abychom dostali ryzí racionální lomenou funkci, tj.
x3
+ 3x2
+ 4 : x3
+ x − 2 = 1 +
3x2
− x + 6
x3 + x − 2
.
− x3
+ x − 2
3x2
− x + 6
Nyní musíme rozložit jmenovatele x3
+ x − 2 na součin. Má-li polynom celočíselné kořeny,
musí to být dělitelé absolutního členu. Má-li polynom racionální kořen (tj. ve tvaru
zlomku), je čitatel zlomku tvořen dělitelem absolutního člene polynomu a jmenovatel
tohoto kořene je dělitelem koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu. Tuto skutečnost
využijeme při aplikování Hornerova schématu, kde postupujeme takto:
• Nejprve sepíšeme do tabulky koeficienty studovaného polynomu. (Přitom nesmíme
zapomenout na možné nulové koeficienty.)
x3
x2
x1
x0
1 0 1 -2
• Tabulku rozšíříme o jeden sloupec, do něhož budeme psát kandidáty na kořeny.
kand. 1 0 1 -2
2
• První (vedoucí) koeficient polynomu sepíšeme do řádku s kandidátem na kořen.
kand. 1 0 1 -2
2 1
• Nyní nastupuje hlavní část – doplnění zbylých polí druhého řádku tabulky.
kand. 1 0 1 -2
2 1 2 · 1 + 0 = 2
• Tím dostaneme tabulku
kand. 1 0 1 -2
2 1 2 2 · 2 + 1 = 5 2 · 5 - 2 = 8
• Protože poslední číslo v druhém řádku je různé od nuly, číslo 2 není kořenem studovaného
polynomu x3
+x−2. (Poznamenejme, že tato pozice obsahuje funkční hodnotu
studovaného polynomu v testovaném čísle.)
• Druhý řádek tabulky vymažeme (v zápise na papír ho škrtáme a rozšíříme tabulku
o volný řádek) a otestujeme v něm dalšího kandidáta na kořen.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
70 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
kand. 1 0 1 -2
1 1 1 2 0
• Poslední pozice druhého řádku je nulová, což znamená, že studovaný polynom nabývá
v čísle 1 hodnoty 0. Číslo 1 je tedy kořenem polynomu x3
+x−2. Ostatní čísla (tj. mimo
prvního a posledního) v druhém řádku tabulky navíc udávají koeficienty polynomu
vzniklého vydělením studovaného polynomu kořenovým činitelem právě nalezeného
kořene.
kand. 1 0 1 -2
1 1 1 2 0
– x2
x1
x0
–
• Shrňme si předchozí postup do jediné tabulky.
– x3
x2
x1
x0
kand. 1 0 1 -2
2 1 2 · 1 + 0 = 2 5 8
1 1 1 2 0
– x2
x1
x0
–
Tímto postupem jsme dostali x3
+ x − 2 = (x − 1) x2
+ x + 2 . Proto rozklad musí být
3x2
− x + 6
x3 + x − 2
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + x + 2
,
z čehož dostaneme rovnici
3x2
− x + 6 = Ax2
+ Ax + 2A + Bx2
− Bx + Cx − C,
neboli
x2
: 3 = A + B, x1
: −1 = A − B + C, x0
: 6 = 2A − C.
Řešením této soustavy je čtveřice A = 2, B = 1 a C = −2, proto hledaný rozklad je ve
tvaru
x3
+ 3x2
+ 4
x3 + x − 2
= 1 +
2
x − 1
+
x − 2
x2 + x + 2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 71
(59) Rozložte na parciální zlomky
x + 1
x5 + 3x3 + 2x
.
Řešení:
Nejdříve upravíme jmenovatele, tj. x5
+3x3
+2x = x x4
+ 3x2
+ 2 . S využitím substituce
y = x2
dostaneme kvadratickou rovnici y2
+ 3y + 2 s řešeními y1 = −1 a y2 = −2. Proto
jmenovatele můžeme rozložit do tvaru x x2
+ 1 x2
+ 2 . Hledaný rozklad tedy musí být
ve tvaru
x + 1
x5 + 3x3 + 2x
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 2
+
Dx + E
x2 + 1
,
z čehož dostaneme rovnici
x + 1 = Ax4
+ 3Ax2
+ 2A + Bx4
+ Bx2
+ Cx3
+ Cx + Dx4
+ 2Dx2
+ Ex3
+ 2Ex.
Odtud metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic
x4
: 0 = A + B + D, x3
: 0 = C + E, x2
: 0 = 3A + B + 2D,
x1
: 1 = C + 2E, x0
: 1 = 2A
a její řešení A = 1
2
, B = 1
2
, C = −1, D = −1 a E = 1. Tím jsme získali rozklad na
parciální zlomky
x + 1
x5 + 3x3 + 2x
=
1
2x
+
1
2
·
x − 2
x2 + 2
+
1 − x
x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
72 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(60) Rozložte na parciální zlomky
x − 4
x4 + 8x
.
Řešení:
Upravíme jmenovatele do tvaru x4
+ 8x = x x3
+ 8 a s pomocí Hornerova schématu
1 0 0 8
-2 1 -2 4 0
zjistíme, že x = −2 je také kořenem a další rozklad je ve tvaru x4
+ 8x = x x3
+ 8 =
x (x + 2) x2
− 2x + 4 , proto rozklad bude mít podobu
x − 4
x4 + 8x
=
A
x
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 − 2x + 4
.
Odtud dostaneme rovnici
x − 4 =Ax3
− 2Ax2
+ 4Ax + 2Ax2
− 4Ax + 8A + Bx3
− 2Bx2
+ 4Bx+
+ Cx3
+ 2Cx2
+ Dx2
+ 2Dx.
Metodou neurčitých koeficientů získáme soustavu
x3
: 0 = A + B + C, x2
: 0 = −2A + 2A − 2B + 2C + D,
x1
: 1 = 4A − 4A + 4B + 2D, x0
: −4 = 8A
s řešeními A = −1
2
, B = 1
4
, C = 1
4
a D = 0. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
x − 4
x4 + 8x
= −
1
2x
+
1
4
x + 2
+
1
4
x
x2 − 2x + 4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 73
(61) Rozložte na parciální zlomky
2x4
− x3
+ x2
+ 3x + 3
x2 − 1
.
Řešení:
Nejdříve získáme ryzí racionální funkci, tj.
2x4
− x3
+ x2
+ 3x + 3 : x2
− 1 = 2x2
− x + 3 +
2x + 6
x2 − 1
.
− 2x4
+ 2x2
− x3
+ 3x2
+ 3x + 3
− −x3
+ x
3x2
+ 2x + 3
− 3x2
− 3
2x + 6
Poněvadž platí x2
− 1 = (x − 1) (x + 1), bude rozklad ve tvaru
2x + 6
x2 − 1
=
A
x + 1
+
B
x − 1
,
což vede k rovnici
2x + 6 = Ax − A + Bx + B.
S využitím metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu
x1
: 2 = A + B, x0
: 6 = B − A
s řešením A = −2 a B = 4. Řešením je tedy rozklad
2x4
− x3
+ x2
+ 3x + 3
x2 − 1
= 2x2
− x + 3 −
2
x + 1
+
4
x − 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
74 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(62) Rozložte na parciální zlomky
2x − 1
2x4 + x3 + x2
.
Řešení:
Úpravou jmenovatele obdržíme 2x4
+ x3
+ x2
= x2
2x2
+ x + 1 , proto musí být rozklad
ve tvaru
2x − 1
2x4 + x3 + x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
2x2 + x + 1
,
což vede na rovnici
2x − 1 = 2Ax3
+ Ax2
+ Ax + 2Bx2
+ Bx + B + Cx3
+ Dx2
.
Pomocí metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu
x3
: 0 = 2A + C, x2
: 0 = A + 2B + D, x1
: 2 = A + B, x0
: −1 = B
a její řešení A = 3, B = −1, C = −6 a D = −1. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
2x − 1
2x4 + x3 + x2
=
3
x
−
1
x2
−
6x + 1
2x2 + x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 75
(63) Rozložte na parciální zlomky
−5x + 2
x4 − x3 + 2x2
.
Řešení:
Upravíme jmenovatele do tvaru součinu, tj. x4
− x3
+ 2x2
= x2
x2
− x + 2 , proto bude
rozklad mít podobu
−5x + 2
x4 − x3 + 2x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 − x + 2
.
Odtud dostaneme rovnici
−5x + 2 = Ax3
− Ax2
+ 2Ax + Bx2
− Bx + 2B + Cx3
+ Dx2
,
což nás metodou neurčitých koeficientů přivede k soustavě
x3
: 0 = A + C, x2
: 0 = −A + B + D, x1
: −5 = 2A − B, x0
: 2 = 2B
s řešením A = −2, B = 1, C = 2 a D = −3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
−5x + 2
x4 − x3 + 2x2
= −
2
x
+
1
x2
+
2x − 3
x2 − x + 2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
76 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(64) Rozložte na parciální zlomky
2x2
+ 4x + 9
x3 + 3x2 + 3x + 2
.
Řešení:
S pomocí Hornerova schématu dostaneme
1 3 3 2
-2 1 1 1 0
proto platí x3
+ 3x2
+ 3x + 2 = (x + 2) x2
+ x + 1 . Tedy rozklad bude ve tvaru
2x2
+ 4x + 9
x3 + 3x2 + 3x + 2
=
A
x + 2
+
Bx + C
x2 + x + 1
,
což vede k rovnici
2x2
+ 4x + 9 = Ax2
+ Ax + A + Bx2
+ 2Bx + Cx + 2C.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x2
: 2 = A + B, x1
: 4 = A + 2B + C, x0
: 9 = A + 2C
s řešením A = 3, B = −1 a C = 3. Hledaný rozklad je tedy tvaru
2x2
+ 4x + 9
x3 + 3x2 + 3x + 2
=
3
x + 2
+
−x + 3
x2 + x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 77
(65) Rozložte na parciální zlomky
9x3
− 4x + 1
x4 − x2
.
Řešení:
Upravíme jmenovatele do tvaru x4
− x2
= x2
x2
− 1 = x2
(x − 1) (x + 1), proto rozklad
bude ve tvaru
9x3
− 4x + 1
x4 − x2
=
A
x
+
B
x2
+
C
x + 1
+
D
x − 1
.
Odtud dostaneme rovnici ve tvaru
9x3
− 4x + 1 = Ax3
− Ax + Bx2
− B + Cx3
+ Dx3
+ Dx2
.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x3
: 9 = A + C + D, x2
: 0 = B − C + D, x1
: −4 = −A, x0
: 1 = −B
s řešením A = 4, B = −1, C = 2 a D = 3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
9x3
− 4x + 1
x4 − x2
=
4
x
−
1
x2
+
2
x + 1
+
3
x − 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
78 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(66) Rozložte na parciální zlomky
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
.
Řešení:
Jmenovatele již nelze nijak rozložit, proto rozklad musí být v tomto tvaru
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
=
Ax + B
x2 − 3x + 10
+
Cx + D
(x2 − 3x + 10)2
,
což vede na rovnici
x2
− x + 10 = Ax3
+ 3Ax2
+ 10Ax + Bx2
− 3Bx + 10B + Cx + D.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic
x3
: 0 = A, x2
: 1 = 3A + B,
x1
: −1 = 10A − 3B + C, x0
: 10 = 10B + D
s řešením A = 0, B = 1, C = 2 a D = 0. Proto hledaný rozklad je tvaru
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
=
1
x2 − 3x + 10
+
2x
(x2 − 3x + 10)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 79
(67) Rozložte na parciální zlomky
1
x6 + 2x4 + x2
.
Řešení:
Nejdříve upravíme jmenovatele do tvaru x6
+ 2x4
+ x2
= x2
x4
+ 2x2
+ 1 = x2
x2
+ 1
2
.
Proto bude rozklad ve tvaru
1
x6 + 2x4 + x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 + 1
+
Ex + F
(x2 + 1)2
,
z čehož obdržíme rovnici
1 = Ax5
+ 2Ax3
+ Ax + Bx4
+ 2Bx2
+ B + Cx5
+ Cx3
+ Dx4
+ Dx2
+ Ex3
+ Fx2
.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x5
: 0 = A + C, x4
: 0 = B + D, x3
: 0 = 2A + C + E,
x2
: 0 = 2B + D + F, x1
: 0 = A, x0
: 1 = B
a řešení A = 0, B = 1, C = 0, D = −1, E = 0 a F = −1. Tedy hledaný rozklad je ve
tvaru
1
x6 + 2x4 + x2
=
1
x2
−
1
x2 + 1
−
1
(x2 + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
80 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(68) Rozložte na parciální zlomky
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1
x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3
.
Řešení:
Pomocí vytýkání upravíme jmenovatele do tvaru x8
+ 3x7
+ 5x6
+ 5x5
+ 3x4
+ x3
=
x3
x5
+ 3x4
+ 5x3
+ 5x2
+ 3x + 1 . S využitím Hornerova schématu
1 3 5 5 3 1
-1 1 2 3 2 1 0
můžeme psát x8
+ 3x7
+ 5x6
+ 5x5
+ 3x4
+ x3
= x3
x5
+ 3x4
+ 5x3
+ 5x2
+ 3x + 1 =
x3
(x + 1) x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 2x + 1 = x3
(x + 1) x2
+ x + 1
2
. Proto rozklad bude ve
tvaru
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1
x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
+
+
Ex + F
x2 + x + 1
+
Gx + H
(x2 + x + 1)2
,
což vede na rovnici
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1 =
= Ax7
+ 3Ax6
+ 5Ax5
+ 5Ax4
+ 3Ax3
+ Ax2
+ Bx6
+ 3Bx5
+ 5Bx4
+
+ 5Bx3
+ 3Bx2
+ Bx + Cx5
+ 3Cx4
+ 5Cx3
+ 5Cx2
+ 3Cx + C+
+ Dx7
+ 2Dx6
+ 3Dx5
+ 2Dx4
+ Dx3
+ Ex7
+ 2Ex6
+ 2Ex5
+ Ex4
+
+ Fx6
+ 2Fx5
+ 2Fx4
+ Fx3
+ Gx5
+ Gx4
+ Hx4
+ Hx3
.
Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x7
: 5 = A + D + E,
x6
: 12 = 3A + B + 2D + 2E + F,
x5
: 24 = 5A + 3B + C + 3D + 2E + 2F + G,
x4
: 19 = 5A + 5B + 3C + 2D + E + 2F + G + H,
x3
: 8 = 3A + 5B + 5C + D + F + H,
x2
: 4 = A + 3B + 5C,
x1
: 3 = B + 3C,
x0
: 1 = C
s řešením A = −1, B = 0, C = 1, D = 4, E = 2, F = 3, G = 6 a H = −1. Proto hledaný
rozklad je ve tvaru
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1
x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3
=
= −
1
x
+
1
x3
+
4
x + 1
+
2x + 3
x2 + x + 1
+
6x − 1
(x2 + x + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 81
I. 2. Limity posloupností a funkcí
Limita posloupnosti
Definice 3. Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má
limitu A (píšeme limn→∞ an = A), jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro
každé n ≥ n0 platí, že |an − A| < ε, nebo-li
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε.
Definice 4. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ±∞ (píšeme limn→∞ an = ±∞), jestliže
ke každému A ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an > A (an < A), nebo-li
∀A > 0 (A < 0) ∃n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí an > A (an < A).
Pokud limn→∞an = A a limn→∞bn = B, kde A, B ∈ R, platí následující pravidla pro počítání
s limitami:
limn→∞ |an| = |A| ,
limn→∞(an + bn) = A + B,
limn→∞(an · bn) = A · B.
Jestliže navíc B = 0, pak platí
limn→∞
an
bn
=
A
B
.
Důležité vzorce:
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e,
lim
n→∞
n
√
n = 1,
lim
n→∞
ohraničená posloupnost
posloupnost jdoucí do ± ∞
= 0.
Neučité výrazy:
∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 · (±∞), ±
∞
∞
,
0
0
, 00
, ∞0
, 1∞
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
82 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(69) Z definice limity dokažte, že platí
lim
n→∞
n
n + 1
= 1.
K číslu ε = 0,1 určete n0.
Řešení:
Ke každému ε musíme najít příslušné n0 tak, že platí nerovnost z definice, tzn.
n
n + 1
− 1 < ε.
Proto řešením dostaneme
n − n − 1
n + 1
< ε
n∈N
⇐⇒
1
n + 1
< ε ⇐⇒
⇐⇒ n + 1 <
1
ε
=⇒ n0 :=
1
ε
− 1 + 1,
kde · značí (horní) celou část čísla. Pro ε = 0, 1 máme n0 = 10.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 83
(70) Z definice limity dokažte, že
lim
n→∞
n = ∞.
Řešení:
Mějme dle definice A ∈ R. Musíme určit n0 tak, aby
∀n > n0 an > A, tj. n > A,
proto n0 := max {1 + [A] , 1}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
84 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(71) Udejte příklad posloupností an a bn takových, že limn→∞ an = 0 a limn→∞ bn = 0
a zároveň
lim
n→∞
an
bn
= 1 nebo lim
n→∞
an
bn
= 0.
Řešení:
Řešením jsou např. posloupnosti an = bn = 1
n
a an = 1
n
, bn = 1
n2 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 85
(72) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
− 3n
3n
.
Řešení:
lim
n→∞
2n
− 3n
3n
= lim
n→∞
2
3
n
−
3
3
n
= lim
n→∞
2
3
n
− 1 = −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
86 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(73) Vypočtěte
lim
n→∞
3n2
+ 1
3n + n2
.
Řešení:
lim
n→∞
3n2
+ 1
3n + n2
= lim
n→∞
n2
3 + 1
n2
n2 3
n
+ 1
= 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 87
(74) Vypočtěte
lim
n→∞
(n2
− 5n − 1).
Řešení:
lim
n→∞
(n2
− 5n − 1) = lim
n→∞
n2
1 −
5
n
−
1
n2
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
88 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(75) Vypočtěte
lim
n→∞
−8n2
+ 6n + 7
2n + 5
.
Řešení:
lim
n→∞
−8n2
+ 6n + 7
2n + 5
= lim
n→∞
n −8n + 6 + 7
n
n 2 + 5
n
= −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 89
(76) Vypočtěte
lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n .
Řešení:
lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n = lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n
(n + a)(n + b) + n
(n + a)(n + b) + n
=
= lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n2
(n + a)(n + b) + n
= lim
n→∞
(a + b)n + ab
(n + a)(n + b) + n
=
= lim
n→∞
n a + b + ab
n
n 1 + a+b
n
+ ab
n2 + 1
=
a + b
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
90 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(77) Vypočtěte
lim
n→∞
n +
√
n −
√
2n + 1 .
Řešení:
lim
n→∞
n +
√
n −
√
2n + 1 = lim
n→∞
n +
√
n −
√
2n + 1
n +
√
n +
√
2n + 1
n +
√
n +
√
2n + 1
=
= lim
n→∞
n +
√
n − (2n + 1)
n +
√
n +
√
2n + 1
= lim
n→∞
−n − 1 +
√
n
n +
√
n +
√
2n + 1
=
= lim
n→∞
√
n −
√
n − 1√
n
+ 1
√
n 1 + 1√
n
+ 2 + 1√
n
= −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 91
(78) Vypočtěte
lim
n→∞
9n2 − 4 − 3n .
Řešení:
lim
n→∞
9n2 − 4 − 3n = lim
n→∞
9n2 − 4 − 3n
√
9n2 − 4 + 3n
√
9n2 − 4 + 3n
=
= lim
n→∞
9n2
− 4 − 9n2
√
9n2 − 4 + 3n
= lim
n→∞
−4
√
9n2 − 4 + 3n
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
92 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(79) Vypočtěte
lim
n→∞
9n2 − 4 − 2n .
Řešení:
lim
n→∞
9n2 − 4 − 2n = lim
n→∞
9n2 − 4 − 2n
√
9n2 − 4 + 2n
√
9n2 − 4 + 2n
=
= lim
n→∞
9n2
− 4 − 4n2
√
9n2 − 4 + 2n
= lim
n→∞
n 5n − 4
n
n 9 − 4
n2 + 2
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 93
(80) Vypočtěte
lim
n→∞
√
2n + 3 −
√
n − 1 .
Řešení:
lim
n→∞
√
2n + 3 −
√
n − 1 = lim
n→∞
√
2n + 3 −
√
n − 1
√
2n + 3 +
√
n − 1
√
2n + 3 +
√
n − 1
=
= lim
n→∞
2n + 3 − (n − 1)
√
2n + 3 +
√
n − 1
= lim
n→∞
n + 4
√
2n + 3 +
√
n − 1
=
= lim
n→∞
√
n
√
n + 4√
n
√
n 2 + 3√
n
+ 1 − 1
n
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
94 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(81) Vypočtěte
lim
n→∞
3
√
n2 + 1 − 16n
3
√
n4 + 18n
.
Řešení:
lim
n→∞
3
√
n2 + 1 − 16n
3
√
n4 + 18n
= lim
n→∞
n4/3 3 1
n2 + 1
n4 − 16n
3√
n4
n4/3 3
1 + 18n
n4
= lim
n→∞
3 1
n2 + 1
n4 − 16 3 1
n
3
1 + 18
n3
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 95
(82) Vypočtěte
lim
n→∞
3
√
2n5 + 3n + 1 +
√
5n2 + 3n
√
2n3 + 4n + 1 − 3
√
5n5 + 1
.
Řešení:
lim
n→∞
3
√
2n5 + 3n + 1 +
√
5n2 + 3n
√
2n3 + 4n + 1 − 3
√
5n5 + 1
= lim
n→∞
n5/3 3
2 + 3
n4 + 1
n5 + 5
n4/3 + 3
n7/3
n5/3 2
3√
n
+ 4
n7/3 + 1
n10/3 − 3
5 + 1
n5
= −
3 2
5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
96 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(83) Vypočtěte
lim
n→∞
n · a +
1
n
−
√
a .
Řešení:
lim
n→∞
n · a +
1
n
−
√
a = lim
n→∞

n · a +
1
n
−
√
a
a + 1
n
+
√
a
a + 1
n
+
√
a

 =
= lim
n→∞
n
a + 1
n
− a
a + 1
n
+
√
a
= lim
n→∞
1
a + 1
n
+
√
a
=
1
2
√
a
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 97
(84) Vypočtěte
lim
n→∞
cos
1
n
.
Řešení:
lim
n→∞
cos
1
n
= cos lim
n→∞
1
n
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
98 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(85) Vypočtěte
lim
n→∞
(1 + cos nπ).
Řešení:
lim
n→∞
(1 + cos nπ) = 1 + lim
n→∞
(cos nπ) = 1 + (±1) ⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 99
(86) Vypočtěte
lim
n→∞
(1 + sin nπ).
Řešení:
lim
n→∞
(1 + sin nπ) = 1 + lim
n→∞
(sin nπ) = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
100 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(87) Vypočtěte
lim
n→∞
2n + sin n
3n − 1
.
Řešení:
lim
n→∞
2n + sin n
3n − 1
= lim
n→∞
n 2 + sin n
n
n 3 − 1
n

limn→∞
sin n
n
= 0
neboť −1 ≤ sin n ≤ 1

=
2
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 101
(88) Vypočtěte
lim
n→∞
n
√
5n.
Řešení:
lim
n→∞
n
√
5n = lim
n→∞
n
√
5 n
√
n = 1,
neboť platí limn→∞
n
√
n = 1. Nechť platí
n
√
n = 1 + hn,
kde jistě hn ≥ 0. Musíme proto ukázat, že limn→∞ hn = 0. Postupnými úpravami obdržíme
n
√
n = 1 + hn, /n
n = (1 + hn)n
= 1 + hn +
n(n − 1)
2
h2
n + · · · + hn
n,
⇓
n ≥
n(n − 1)
2
h2
n ≥ 0,
0 ← 0 ≤ h2
n ≤
2
n − 1
→ 0,
proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti (též „o dvou policajtech“) plyne limn→∞ hn = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
102 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(89) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
√
n.
Řešení:
lim
n→∞
2n
√
n = lim
n→∞
n
√
n
1/2
=
√
1 = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 103
(90) Vypočtěte
lim
n→∞
n
√
2n + 3n.
Řešení:
Zadanou posloupnost můžeme omezit
3 ←
n
√
3n ≤
n
√
2n + 3n ≤
n
√
3n + 3n → limn√
2·3n
= 3
n
√
2 = 3,
proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti plyne limn→∞
n
√
2n + 3n = 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
104 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(91) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
n − 1
2n
.
Řešení:
lim
n→∞
2n
n − 1
2n
= lim
n→∞
22n n
n − 1
2n
= lim
n→∞
22n n − 1 + 1
n − 1
2n
=
= lim
n→∞
22n
1 +
1
n − 1
2n
= lim
n→∞
4n
1 +
1
n − 1
n−1
1 +
1
n − 1
2
= ∞ · (e ·1)2
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 105
(92) Vypočtěte
lim
n→∞
1 −
1
n
n
.
Řešení:
lim
n→∞
1 −
1
n
n
= lim
n→∞
n − 1
n
n
=
1
limn→∞
n
n−1
n =
=
1
limn→∞
n−1+1
n−1
n =
1
limn→∞ 1 + 1
n−1
n−1
1 + 1
n−1
=
1
e
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
106 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(93) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
n
3n
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
n
3n
= lim
n→∞
1 +
1
n
n 3
= e3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 107
(94) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
n
n+5
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
n
n+5
= lim
n→∞
1 +
1
n
n
1 +
1
n
5
= e .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
108 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(95) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
5n
n
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
5n
n
= lim
n→∞
1 +
1
5n
5n 1/5
= 5
√
e.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 109
(96) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
7n+6
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
7n+6
= lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
7
2
(2n+3)− 9
2
=
= lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
2n+3 7/2
1 +
1
2n + 3
−9/2
=
√
e7.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
110 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(97) Vypočtěte
lim
n→∞
1
n
cos
n2
+ 1
2n − 1
.
Řešení:
Neboť platí
−1 ≤ cos
n2
+ 1
2n − 1
≤ 1 ⇐⇒ 0 ← −
1
n
≤
1
n
cos
n2
+ 1
2n − 1
≤
1
n
→ 0,
plyne z Věty o limitě sevřené posloupnosti limn→∞
1
n
cos n2+1
2n−1
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 111
(98) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
+ (−2)n
2 · 4n
.
Řešení:
lim
n→∞
2n
+ (−2)n
2 · 4n
= lim
n→∞
2n
(1 + (−1)n
)
2 · 2n · 2n
= lim
n→∞
1 + (−1)n
2 · 2n
=
1
2
lim
n→∞
1
2
n
+ −
1
2
n
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
112 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(99) Vypočtěte
lim
n→∞
(n + 2)! − 3n!
(n + 2)! + 1
.
Řešení:
lim
n→∞
(n + 2)! − 3n!
(n + 2)! + 1
= lim
n→∞
(n + 2)(n + 1)n! − 3n!
(n + 2)(n + 1)n! + 1
=
= lim
n→∞
(n + 2)(n + 1) − 3
(n + 2)(n + 1) + 1
n!
= lim
n→∞
n2
+ 3n + 2 − 3
n2 + 3n + 2 + 1
n!
= lim
n→∞
1 + 3
n
− 1
n2
1 + 3
n
+ 2
n2 + 1
n2·n!
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 113
(100) Vypočtěte
lim
n→∞
(n + 2)! + (n + 1)!
(n + 2)! − (n + 1)!
.
Řešení:
lim
n→∞
(n + 2)! + (n + 1)!
(n + 2)! − (n + 1)!
= lim
n→∞
(n + 2) + 1
(n + 2) − 1
= lim
n→∞
n 1 + 3
n
n 1 + 1
n
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
114 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(101) Vypočtěte
lim
n→∞
1 + 2 + · · · + n
n2
.
Řešení:
lim
n→∞
1 + 2 + · · · + n
n2

ve jmenovateli je součet
aritmetické posloupnosti

= lim
n→∞
n
2
(n + 1)
n2
= lim
n→∞
n2 1
2
+ 1
2n
n2
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 115
(102) Vypočtěte
lim
n→∞
1
1 · 2
−
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · +
1
(n − 1) · n
.
Řešení:
Rozkladem na parciální zlomky obdržíme
1
(k − 1)k
=
1
k − 1
−
1
k
.
Proto můžeme spočítat
lim
n→∞
1
1 · 2
−
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · +
1
(n − 1) · n
=
= lim
n→∞
1
1
−
1
2
−
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
(n − 1)
−
1
n
=
= lim
n→∞
1 −
1
n
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
116 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(103) Najděte hromadné body posloupnosti
cos
2nπ
3
∞
n=1
.
Řešení:
Vzhledem k periodicitě funkce cos x můžeme rozlišit následující situace (k ∈ N)
n = 3k ⇒ cos
2nπ
3
= cos
6kπ
3
= cos 2π = 1
∞
k=1
,
n = 3k − 1 ⇒ cos
2nπ
3
= cos
6kπ − 2π
3
= cos
2π
3
= −
1
2
∞
k=1
,
n = 3k − 2 ⇒ cos
2nπ
3
= cos
6kπ − 4π
3
= cos
4π
3
= −
1
2
∞
k=1
.
Tedy posloupnost cos 2nπ
3
∞
n=1
má hromadné body 1 a −1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 117
(104) Najděte hromadné body posloupnosti
1 + (−1)n
2
∞
n=1
.
Řešení:
Uvažujme následující dvě varianty (k ∈ N)
n = 2k ⇒
1 + (−1)n
2
=
1 + (−1)2k
2
=
1 + 1
2
= 1
∞
k=1
,
n = 2k − 1 ⇒
1 + (−1)n
2
=
1 + (−1)2k−1
2
=
1 − 1
2
= 0
∞
k=1
.
Tedy posloupnost 1+(−1)n
2
∞
n=1
má dva hromadné body 1 a 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
118 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(105) Určete lim sup a lim inf posloupnosti
n
n + 1
sin2 nπ
4
∞
n=1
.
Řešení:
Vzhledem k charakteru funkce sin n stačí uvažovat následující varianty (k ∈ N)
n = 4k ⇒
n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k
4k + 1
sin2 4kπ
4
=
4k
4k + 1
sin2
(π) = 1 · 0 = 0
∞
k=1
,
n = 4k − 1 ⇒



n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k − 1
4k
sin2
kπ −
π
4
= 1 ·
√
2
2
2
=
1
2



∞
k=1
,
n = 4k − 2 ⇒
n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k − 2
4k − 1
sin2
kπ −
π
2
= 1 · ( 1)2
= 1
∞
k=1
,
n = 4k − 3 ⇒



n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k − 3
4k − 2
sin2
kπ −
3π
4
= 1 ·
√
2
2
2
=
1
2



∞
k=1
.
To znamená, že
lim sup
n→∞
n
n + 1
sin2 nπ
4
= 1 a lim inf
n→∞
n
n + 1
sin2 nπ
4
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 119
Limita funkce
Definice 5. Nechť x0, L ∈ R∗
= R ∪ {±∞}. Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu rovnu
číslu L a píšeme limx→x0
f(x) = L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0)
bodu x0 tak, že pro všechna x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L), neboli
∀O(L) ∃O(x0) tak, že ∀x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L).
V podání ε − δ definice to znamená:
• vlastní limita ve vlastním bodě (x0, L ∈ R, limx→x0
= L)
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε;
• nevlastní limita ve vlastním bodě (x0 ∈ R, limx→x0
= ±∞)
∀M ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > M (f(x) < M);
• vlastní limita v nevlastním bodě (L ∈ R, limx→±∞ = L)
∀ε > 0 ∃K ∈ R ∀x ∈ R : x > K (x < K) ⇒ |f(x) − L| < ε;
• nevlastní limita v nevlastním bodě (limx→±∞ = ±∞)
∀M ∈ R ∃K ∈ R ∀x ∈ R : x > K (x < K) ⇒ f(x) > M (f(x) < M).
Pokud existují limx→x0
f(x) = L1 a limx→x0
g(x) = L2, kde x0, ∈ R∗
a L1, L2 ∈ R (obě limity
jsou konečné), platí následující pravidla pro počítání s limitami:
limx→x0
|f(x)| = |L1| ,
limx→x0
(f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
limx→x0
(f(x) · g(x)) = L1 · L2.
Jestliže navíc L2 = 0, pak platí
limx→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
.
Důležité vzorce:
lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e, lim
x→∞
x
√
x = 1, lim
x→∞
sin x
x
= 0,
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
ex
−1
x
= 1, lim
x→0
ax
− 1
x
= ln a,
lim
x→∞
ohraničená funkce
funkce jdoucí do ± ∞
= 0.
Neučité výrazy:
∞ − ∞, 0 · (±∞), ±
∞
∞
,
0
0
, 00
, ∞0
, 1∞
.
Spojitost funkce
Definice 6. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě x0, jestliže
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Nechť nyní funkce f(x) není spojitá v bodě x0. Potom rozlišujeme následující případy.
• Existuje vlastní limita limx→x0
f(x) = a, ale a = f(x0). Potom bod x0 nazýváme bodem
odstranitelné nespojitosti funkce f(x). (Přitom připouštíme i situaci, kdy hodnota f(x0)
není definována.)
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
120 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
• Existují obě jednostranné limity limx→x0+ f(x) = a1 a limx→x0− f(x) = a2, ale a1 = a2.
Potom bod x0 nazýváme bodem nespojitosti prvního druhu (někdy také skokem) funkce
f(x).
• Alespoň jedna z jednostranných limit funkce f(x) v bodě x0 neexistuje nebo je nevlastní.
Potom bod x0 nazýváme bodem nespojitosti druhého druhu funkce f(x).
Definice 7. Nechť (a, b) ⊆ R. Řekneme, že funkce f(x) je spojitá na intervalu (a, b), jestliže je
spojitá v každém bodě x0 ∈ (a, b).
Poznámka 8. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f(x) je v bodě x0 spojitá zprava, jestliže
lim
x→x+
0
f(x) = f(x0).
Řekneme, že funkce f(x) je v bodě x0 spojitá zleva, jestliže
lim
x→x−
0
f(x) = f(x0).
Řekneme, že funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b ⊂ R, jestliže je v bodě a spojitá zprava, v
bodě b je spojitá zleva a je spojitá v každém bodě x0 ∈ (a, b).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 121
(106) Vypočtěte limitu
lim
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
.
Řešení:
lim
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
= lim
x→1
1 + x + x2
− 3
1 − x3
= lim
x→1
x2
+ x − 2
1 − x3
0
0
 =
= lim
x→1
(x − 1)(x + 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lim
x→1
−(x + 2)
1 + x + x2
= −1
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
122 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(107) Vypočtěte limitu
lim
x→3
√
x + 1 − 2
x2 − 5x + 6
.
Řešení:
lim
x→3
√
x + 1 − 2
x2 − 5x + 6
0
0
 = lim
x→3
√
x + 1 − 2
x2 − 5x + 6
·
√
x + 1 + 2
√
x + 1 + 2
=
= lim
x→3
x + 1 − 4
(x − 3)(x − 2)
√
x + 1 + 2
= lim
x→3
1
(x − 2)
√
x + 1 + 2
=
1
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 123
(108) Vypočtěte limitu
lim
x→0
tg x − sin x
sin3
x
.
Řešení:
lim
x→0
tg x − sin x
sin3
x
0
0
 = lim
x→0
sin x
cos x
− sin x
sin3
x
= lim
x→0
1
cos x sin2
x
−
1
sin2
x
=
= lim
x→0
1 − cos x
cos x sin2
x
0
0
 = lim
x→0
1 − cos x
(1 − cos2 x) cos x
= lim
x→0
1
(1 + cos x) cos x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
124 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(109) Vypočtěte limitu
lim
x→0
tg x
x
.
Řešení:
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
sin x
cos x
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 125
(110) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1 − cos 2x + tg2
x
x sin x
.
Řešení:
lim
x→0
1 − cos 2x + tg2
x
x sin x
= lim
x→0
1 − cos2
x − sin2
x + sin2
x
cos2 x
x sin x
=
= lim
x→0
2 sin2
x
x sin x
+
sin2
x
x cos2 x sin x
= lim
x→0
2
sin x
x
+
sin x
x
1
cos2 x
= 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
126 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(111) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin kx
x
.
Řešení:
lim
x→0
sin kx
x
= lim
x→0
k
sin kx
kx
= k.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 127
(112) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
2
3x
x+2 .
Řešení:
lim
x→∞
2
3x
x+2

díky spojitosti funkce af(x)
můžeme limitu přepsat

= 2limx→∞
3x
x+2 = 23
= 8.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
128 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(113) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin 2x
x
1+x
.
Řešení:
lim
x→0
sin 2x
x
1+x

musíme využít exponenciální
funkci, neboť proměnná x
je v základu i v exponetu funkce

= lim
x→0
e(1+x) ln sin 2x
x =
= elimx→0[(1+x) ln sin 2x
x ] = eln 2
= 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 129
(114) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin 4x + sin 7x
sin 3x
.
Řešení:
lim
x→0
sin 4x + sin 7x
sin 3x
= lim
x→0
sin 4x
4x
4x
3x
3x
sin 3x
+
sin 7x
7x
7x
3x
3x
sin 3x
=
4
3
+
7
3
=
11
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
130 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(115) Vypočtěte
lim
x→∞
πx + sin x
2x + cos x
.
Řešení:
lim
x→∞
πx + sin x
2x + cos x
=
∞
∞
, v čitateli i jmenovateli vytkneme x

= lim
x→∞
π + sin x
x
2 + cos x
x
=
π + 0
2 + 0
=
π
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 131
(116) Vypočtěte
lim
x→∞
ex
− e−x
sin 2x
.
Řešení:
lim
x→∞
ex
− e−x
sin 2x
=
0
0
, rozšíříme x
x
 = lim
x→∞
ex
− e−x
x
·
x
sin 2x
= lim
x→∞
ex
−1 − e−x
+1
x
·
1
sin 2x
x
= lim
x→∞
ex
−1
x
+
e−x
−1
−x
·
1
2sin 2x
2x
= 2
1
2
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
132 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(117) Vypočtěte
lim
x→2
x2
+ x − 6
x2 − 3x + 2
.
Řešení:
lim
x→2
x2
+ x − 6
x2 − 3x + 2
=
0
0
, tj. číslo 2 je kořenem obou polynomů

= lim
x→2
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x − 1)
= lim
x→2
x + 3
x − 1
= 5.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 133
(118) Vypočtěte
lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
.
Řešení:
lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
=

0
0
, rozšíříme
√
1+x+
√
1−x√
1+x+
√
1−x

= lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
·
√
1 + x +
√
1 − x
√
1 + x +
√
1 − x
= lim
x→0
1 + x − 1 + x
x(
√
1 + x +
√
1 − x)
= lim
x→0
2
√
1 + x +
√
1 − x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
134 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(119) Vypočtěte limitu
lim
x→2
x2
x2 − 3x + 2
.
Řešení:
lim
x→2
x2
x2 − 3x + 2
=
4
0
 = lim
x→2
x2
(x − 2)(x − 1)
,
lim
x→2+
x2
(x − 2)(x − 1)
=
 4
0+
 = ∞,
lim
x→2−
x2
(x − 2)(x − 1)
=
 4
0−
 = −∞.
Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 135
(120) Vypočtěte limitu
lim
x→4
x − 5
x2 − 7x + 12
.
Řešení:
lim
x→4
x − 5
x2 − 7x + 12
= lim
x→4
x − 5
(x − 3)(x − 4)
−1
0
 =
+∞ x → 4−
,
−∞ x → 4+
=⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
136 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(121) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
√
1 + x −
√
1 + x2
√
1 + x − 1
.
Řešení:
lim
x→∞
√
1 + x −
√
1 + x2
√
1 + x − 1
= lim
x→∞
√
x 1
x
+ 1 − 1
x
+ x
√
x 1
x
+ 1 − 1√
x
= −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 137
(122) Vypočtěte limitu
lim
x→3
√
x + 13 − 2
√
x + 1
x2 − 9
.
Řešení:
lim
x→3
√
x + 13 − 2
√
x + 1
x2 − 9
= lim
x→3
√
x + 13 − 2
√
x + 1
x2 − 9
√
x + 13 + 2
√
x + 1
√
x + 13 + 2
√
x + 1
=
= lim
x→3
x + 13 − 4x − 4
(x2 − 9)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
= lim
x→3
−3x + 9
(x2 − 9)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
=
= lim
x→3
−3(x − 3)
(x2 − 9)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
0
0
 = lim
x→3
−3(x − 3)
(x − 3)(x + 3)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
=
= lim
x→3
−3
(x + 3)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
= −
1
16
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
138 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(123) Vypočtěte limitu
lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
.
Řešení:
lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
=
= lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
=
= lim
x→3
x2
− 2x + 6 − (x2
+ 2x − 6)
(x2 − 4x + 3)
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
0
0
 =
= lim
x→3
−4(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
= −
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 139
(124) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
√
x2 + 1 +
√
x
4
√
x3 + x − x
.
Řešení:
lim
x→∞
√
x2 + 1 +
√
x
4
√
x3 + x − x
= lim
x→∞
x 1 + 1
x2 + 1√
x
x 4 1
x
+ 1
x3 − 1
= −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
140 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(125) Vypočtěte limitu
lim
x→0
2x − 3
sin x
.
Řešení:
lim
x→0
2x − 3
sin x
=
−3
0
 ,
lim
x→0+
2x − 3
sin x
=
 −3
sin 0+ = −3
0+
 = −∞,
lim
x→0−
2x − 3
sin x
=
 −3
sin 0− = −3
0−
 = ∞.
Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 141
(126) Vypočtěte limitu
lim
x→0
x2
− 1
cos x − 1
.
Řešení:
lim
x→0
x2
− 1
cos x − 1
=
−1
0
 ,
lim
x→0+
x2
− 1
cos x − 1
=
 −1
cos 0+−1
= −1
0−
 = ∞,
lim
x→0−
x2
− 1
cos x − 1
=
 −1
cos 0−−1
= −1
0−
 = ∞.
Protože limita zprava je rovna limitě zleva, zadaná limita existuje a platí
lim
x→0
x2
− 1
cos x − 1
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
142 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(127) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
2x
+ x4
+ 1
3 · 2x + x2 − 1
.
Řešení:
lim
x→∞
2x
+ x4
+ 1
3 · 2x + x2 − 1
=
nejrychleji do ∞ jde 2x
 = lim
x→∞
2x
(1 + x4
2x + 1
2x )
2x(3 + x2
2x − 1
2x )
= lim
x→∞
1 + x4
2x + 1
2x
3 + x2
2x − 1
2x
=
1+0+0
3+0−0
 =
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 143
(128) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
2 log6 x − 3x+1
+ 15x6
3 log6 x + 3x − 5x6
.
Řešení:
lim
x→∞
2 log6 x − 3x+1
+ 15x6
3 log6 x + 3x − 5x6
=
nejrychleji do ∞ jde 3x
 = lim
x→∞
3x
(
2 log6 x
3x − 3 + 15x6
3x )
3x(
3 log6 x
3x + 1 − 5x6
3x )
= lim
x→∞
2 log6 x
3x − 3 + 15x6
3x
3 log6 x
3x + 1 − 5x6
3x
=
0−3+0
0+1−0
 = −3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
144 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(129) Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu.
lim
x→2π−
ecotg x
.
Řešení:
lim
x→2π−
ecotg x
=
ecotg 2π−
= e−∞
= 1
e∞ = 1
∞
 = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 145
(130) Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu.
lim
x→∞
(5
1
x + 2).
Řešení:
lim
x→∞
(5
1
x + 2) =
5
1
∞ + 2 = 50
+ 2
 = 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
146 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(131) Vypočtěte limitu
lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
x
.
Řešení:
lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
x
= lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
x
·
3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
=
= lim
x→0
1 + x − (1 − x)
x 3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
=
= lim
x→0
2x
x 3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
=
2
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 147
(132) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x2 + x + 1 − x2 + x .
Řešení:
lim
x→∞
x2 + x + 1 − x2 + x =
= lim
x→∞
x2 + x + 1 − x2 + x
√
x2 + x + 1 +
√
x2 + x
√
x2 + x + 1 +
√
x2 + x
=
= lim
x→∞
1
√
x2 + x + 1 +
√
x2 + x
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
148 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(133) Vypočtěte limitu
lim
x→0+



1
x
+
1
x
+
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x


 .
Řešení:
lim
x→0+



1
x
+
1
x
+
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x


 =
= lim
x→0+









1
x
+
1
x
+
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x


 ·
1
x
+ 1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
+ 1
x
1
x
+ 1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
+ 1
x






=
= lim
x→0+






1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
− 1
x
+ 1
x
1
x
+ 1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
+ 1
x
·
√
x
√
x






=
= lim
x→0+
2 1 +
√
x
1 + x +
√
x3 + 1 − x +
√
x3
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 149
(134) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
√
x
x + x +
√
x
.
Řešení:
lim
x→∞
√
x
x + x +
√
x
= lim
x→∞
√
x
√
x

 1 + 1
x
+ 1
x3


= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
150 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(135) Vypočtěte limitu
lim
x→2
1
x − 2
−
1
x2 − 4
.
Řešení:
lim
x→2
1
x − 2
−
1
x2 − 4
= lim
x→2
x + 2 + 1
x2 − 4
=
= lim
x→2
x + 3
(x + 2)(x − 2)
5
0
 =
+∞ x → 2+
,
−∞ x → 2−
=⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 151
(136) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin 4x
√
1 + x − 1
.
Řešení:
lim
x→0
sin 4x
√
1 + x − 1
= lim
x→0
sin 4x
√
1 + x − 1
·
√
1 + x + 1
√
1 + x + 1
= lim
x→0
sin 4x
√
1 + x + 1
1 + x − 1
=
= lim
x→0
4 ·
sin 4x
4x
√
1 + x + 1 = 8.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
152 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(137) Vypočtěte limitu
lim
x→−2
x3
+ 3x2
+ 2x
x2 − x − 6
.
Řešení:
lim
x→−2
x3
+ 3x2
+ 2x
x2 − x − 6
0
0
 = lim
x→−2
x(x + 2)(x + 1)
(x + 2)(x − 3)
0
0
 = lim
x→−2
x(x + 1)
x − 3
0
0
 = −
2
5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 153
(138) Vypočtěte limitu
lim
x→0
ln(1 + ax)
x
.
Řešení:
lim
x→0
ln(1 + ax)
x
= lim
x→0
ln(1 + ax)
1
x

funkce ln x
je spojitá

=
= ln lim
x→0
(1 + ax)
1
x
z = 1
x
 = ln lim
z→±∞
1 +
a
z
z u = z
a
 =
= ln lim
u→±∞
1 +
1
u
ua
= ln lim
u→±∞
1 +
1
u
u a
= ln ea
= a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
154 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(139) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
−
π
4
.
Řešení:
lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
−
π
4
=
= lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
− arctg 1
arctg x − arctg y = arctg x−y
1+xy
, pro xy > −1
 =
= lim
x→∞
x arctg
x+1
x+2
− 1
1 + x+1
x+2
= lim
x→∞
x arctg
x + 1 − x − 2
x + 2 + x + 1
= lim
x→∞
x arctg
−1
2x + 3
.
Nyní výraz u limity upravíme
arctg
1
2x + 3
= z ⇒ tg z =
1
2x + 2
⇒
1
tg z
= 2x + 3 ⇒ x =
1
2
1
tg z
− 3 .
Proto
lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
−
π
4
= lim
x→∞
1
2
1
tg z
− 3 (−z) =
1
2
lim
x→∞
−
z
tg z
+ 3z =
=
1
2
lim
x→∞
−
z
sin z
cos z
+ 3z =
1
2
lim
x→∞
−
z
sin z
· cos z + 3z = −
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 155
(140) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1 − cos x
x
√
1 + x − 1
.
Řešení:
lim
x→0
1 − cos x
x
√
1 + x − 1
= lim
x→0
1 − cos x
x
√
1 + x − 1
·
√
1 + x + 1
√
1 + x + 1
=
= lim
x→0
(1 − cos x)
√
1 + x + 1
x(1 + x − 1)
sin α
2
= ± 1−cos α
2
 =
= lim
x→0
2
√
1 + x + 1 sin2 x
2
x2
= lim
x→0
2
4
√
1 + x + 1 ·
sin x
2
x
2
2
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
156 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(141) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x − 1
x + 1
x
.
Řešení:
lim
x→∞
x − 1
x + 1
x
= lim
x→∞
x 1 − 1
x
x 1 + 1
x
x
= lim
x→∞
1 − 1
x
x
1 + 1
x
x =
= lim
x→∞
1 − 1
x
−x −1
1 + 1
x
x = lim
x→∞
e−1
e
=
1
e2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 157
(142) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
.
Řešení:
lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
cos 2x = cos2
x − sin2
x
 = lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos2 x
2
− sin2 x
2
=
= lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
2
+ sin x
2
= lim
x→ π
2
1
cos x
2
+ sin x
2
=
√
2
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
158 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(143) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
6
sin x − π
6
√
3
2
− cos x
.
Řešení:
lim
x→ π
6
sin x − π
6
√
3
2
− cos x
= lim
x→π
6
sin x − π
6
+ sin 0
cos π
6
− cos x

sin α + sin β = 2 sin α+β
2
cos α−β
2
,
cos α − cos β = −2 sin α+β
2
sin α−β
2

=
= lim
x→ π
6
2 sin
x− π
6
2
cos
x−π
6
2
−2 sin
π
6
+x
2
sin
π
6
−x
2
= lim
x→ π
6
cos
x− π
6
2
sin
π
6
+x
2
= 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 159
(144) Vypočtěte limitu
lim
x→π
4
cos 2x − sin 2x + 1
cos x − sin x
.
Řešení:
lim
x→ π
4
cos 2x − sin 2x + 1
cos x − sin x
= lim
x→ π
4
cos2
x − sin2
x − 2 sin x cos x + 1
cos x − sin x
=
= lim
x→ π
4
2 cos2
x − 2 sin x cos x
cos x − sin x
= lim
x→ π
4
2 cos x (cos x − sin x)
cos x − sin x
= lim
x→ π
4
(2 cos x) =
√
2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
160 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(145) Vypočtěte limitu
lim
x→0
e2x
−1
x
.
Řešení:
lim
x→0
e2x
−1
x
z = 2x
 = lim
z→0
ez
−1
z
· 2 = 2 · lim
z→0
ez
−1
z
= 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 161
(146) Vypočtěte limitu
lim
x→0
x
√
cos x + x + 2.
Řešení:
lim
x→0
x
√
cos x + x + 2 = lim
x→0
e
1
x
ln(cos x+x+2)
neboť platí
lim
x→0
ln (cos x + x + 2)
x
=
+∞ x → 3−
,
−∞ x → 3+
,
proto obdržíme
lim
x→0
x
√
cos x + x + 2 = lim
x→0
e
1
x
ln(cos x+x+2)
=
+∞ x → 3−
,
0 x → 3+
=⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
162 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(147) Určete druhy nespojitosti v bodě x0 = 0 pro funkce
f1(x) =
sin x
x
, f2(x) =
cos x
x
, f3(x) = [x], f4(x) =
e
1
x +1
e
1
x −1
.
Řešení:
Ze základních vzorců víme, že limx→0
sin x
x
= 1. Funkce f1(x) také není v 0 definována,
proto v x0 nastává odstranitelná nespojitost.
Pro funkci f2(x) spočítáme limitu přímo, tj.
lim
x→0
cos x
x
1
0
 =
+∞ x → 0+
,
−∞ x → 0−
,
což znamená, že v x0 nastává nespojitost II. druhu.
Pro funkci f3(x) je nutné si uvědomit, jak se počítá celá část reálného čísla – je to
vlastně nejbližší menší celé číslo, proto platí
lim
x→0
[x] =
0 x → 0+
,
−1 x → 0−
,
tedy funkce f3(x) má v bodě x0 nespojitost I. druhu.
Limitu funkce f4(x) si rozdělíme na dvě možnosti
lim
x→0+
e
1
x +1
e
1
x −1
= lim
x→0+
e
1
x +1
e
1
x −1
·
e− 1
x
e− 1
x
= lim
x→0+
1 + e− 1
x
1 − e− 1
x
= lim
x→0+
1 + 1
e
1
x
1 − 1
e
1
x
= 1,
lim
x→0−
e
1
x +1
e
1
x −1
= −1,
tudíž funkce f4(x) má v bodě x0 nespojitost I. druhu.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 163
(148) Určete, zda je daná funkce spojitá/spojitá zleva/spojitá zprava v bodech −π/2, 0, 1, 2, 3, 4.
Jestliže je nespojitá, určete druh nespojitosti.
f(x) =



cos x x < 0,
1 0 ≤ x < 1,
2 x = 1,
1 1 < x < 2,
x 2 ≤ x ≤ 3,
1
(x−3)2 x > 3.
Řešení:
Nejprve si pro názornost ukažme graf této funkce. K vyřešení příkladu samozřelmě není
nutný – stačí spočítat příslušné limity a funkční hodnoty.
Řešení příkladu shrnuje následující tabulka.
x0 −π
2
0 1 2 3 4
f(x0) 0 1 2 2 3 1
lim
x→x−
0
0 1 1 1 3 1
lim
x→x+
0
0 1 1 2 ∞ 1
lim
x→x0
0 1 1 neex. neex. 1
spojitá zleva ano ano ne ne ano ano
spojitá zprava ano ano ne ano ne ano
spojitá ano ano ne ne ne ano
druh nespojitosti — — odstran. skok 2. druh —
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
164 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
I. 3. Derivace funkce
Definice 9. Buď f(x) funkce a x0 ∈ D(f). Existuje-li
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
= lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
nazýváme tuto limitu derivací funkce f(x) v bodě x0 a značíme f (x0). Je-li tato limita vlastní,
hovoříme o vlastní derivaci. Je-li tato limita nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci.
Základní vzorce pro počítání s derivacemi (f a g jsou funkce, k ∈ R):
(f ± g) = f ± g , (k · f) = k · f , (f · g) = f g + fg ,
f
g
=
f g − fg
g2
,
(f ◦ g) (x) = [f(g(x))] = f (g(x)) · g (x).
Derivace elementárních funkcí (k, α ∈ R, α = 0, a > 0, b > 0, b = 1):
(k) = 0, (tg x) =
1
cos2 x
,
(xα
) = αxα−1
, (cotg x) = −
1
sin2
x
,
(ex
) = ex
, (arcsin x) =
1
√
1 − x2
,
(ax
) = ax
· ln a, (arccos x) = −
1
√
1 − x2
,
(ln x) =
1
x
, (arctg x) =
1
1 + x2
,
(logb x) =
1
x · ln b
, (arccotg x) = −
1
1 + x2
,
(sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
Věta 10. Nechť funkce f : x = f(y) je spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť y0 je
vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y0 derivaci f (y0). Pak inverzní funkce f−1
: y = f−1
(x)
má v bodě x0 = f(y0) derivaci a platí
f−1
(x0) =



1
f (y0)
= 1
f (f−1(x0))
, je-li f (y0) = 0,
+∞, je-li f (y0) = 0 a funkce f je na I rostoucí,
−∞, je-li f (y0) = 0 a funkce f je na I klesající.
Rovnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě dotyku (x0, f(x0)):
t : y = f(x0) + f (x0) · (x − x0).
Pokud f (x0) = ±∞ a pokud je funkce f v tomto bodě spojitá, pak je tečna v tomto bodě
rovnoběžná s osou y a její rovnice tedy je
t : x = x0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 165
Rovnice normály ke grafu funkce y = f(x) v bodě dotyku (x0, f(x0)):
n : y = f(x0) −
1
f (x0)
(x − x0), je-li f (x0) = 0,
n : x = x0, je-li f (x0) = 0.
Pokud f (x0) = ±∞ a pokud funkce f v tomto bodě spojitá, pak je normála v tomto bodě
rovnoběžná s osou x a její rovnice tedy je
n : y = f(x0).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
166 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(149) Z definice vypočtěte hodnotu f (0), kde f(x) = sin x.
Řešení:
Z definice platí
f (0) = (sin x)x=0 = lim
x→0
sin x − sin 0
x − 0
= lim
x→0
sin x
x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 167
(150) Z definice vypočtěte hodnotu f (0), kde f(x) = |sin x|.
Řešení:
lim
x→0
|sin x| − |sin 0|
x − 0
= lim
x→0
|sin x|
x
=
limx→0+
sin x
x
= 1,
limx→0−
− sin x
x
= −1,
⇒ derivace neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
168 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(151) Z definice vypočtěte hodnotu f (
√
5), kde f(x) =
√
x2 − 1.
Řešení:
lim
x→
√
5
√
x2 − 1 − 2
x −
√
5
= lim
x→
√
5
x2
− 1 − 4
x −
√
5
√
x2 − 1 + 2
=
= lim
x→
√
5
x −
√
5 x +
√
5
x −
√
5
√
x2 − 1 + 2
= lim
x→
√
5
x +
√
5
√
x2 − 1 + 2
=
√
5
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 169
(152) Z definice určete derivaci funkce sinh x = ex − e−x
2
.
Řešení:
(sinh x) = lim
h→0
sinh(x + h) − sinh x
h
= lim
h→0
ex+h − e−(x+h)
2
− ex − e−x
2
h
=
= lim
h→0
ex+h
− ex
− e−x−h
+ e−x
2h
=
1
2
lim
h→0
ex
eh
− ex
h
+
e−x
e−h
− e−x
−h
=
=
1
2
lim
h→0
ex eh
−1
h
+ e−x e−h
−1
−h
=
1
2
ex
lim
h→0
eh
−1
h
+ e−x
lim
h→0
e−h
−1
−h
=
=
1
2
(ex
·1 + e−x
·1) =
ex
+ e−x
2
=
= cosh x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
170 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(153) Zderivujte
f(x) ≡ 1.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
(1) = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 171
(154) Zderivujte
f(x) = 6x.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
(6x) = 6.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
172 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(155) Zderivujte
f(x) = x2
.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
x2
= 2x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 173
(156) Zderivujte
f(x) =
√
x.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
√
x = x
1
2 =
1
2
x− 1
2 =
1
2
√
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
174 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(157) Zderivujte
f(x) =
1
x
.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
1
x
= x−1
= −x−2
= −
1
x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 175
(158) Zderivujte
f(x) =
4
√
x7.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
4
√
x7 = x
7
4 =
7
4
x
3
4 =
7
4
4
√
x3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
176 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(159) Zderivujte
f(x) = x3
+ 2x − sin x + 2.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
x3
+ 2x − sin x + 2 = 3x2
+ 2 − cos x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 177
(160) Zderivujte
f(x) = −2 cos x + 4 ex
+
1
3
x7
.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
−2 cos x + 4 ex
+
1
3
x7
= 2 sin x + 4 ex
+
7
3
x6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
178 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(161) Zderivujte
f(x) = x ex
.
Řešení:
Pomocí vzorce pro derivaci součinu funkcí obdržíme
(x ex
) = 1 · ex
+x · ex
= (1 + x) ex
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 179
(162) Zderivujte
f(x) =
3x − 2
x2 + 1
.
Řešení:
Derivováním podílu odostaneme
3x − 2
x2 + 1
=
3 · (x2
+ 1) − (3x − 2) · 2x
(x2 + 1)2
=
−3x2
+ 4x + 3
(x2 + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
180 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(163) Zderivujte
f(x) =
x ln x
arcsin x + arctg x
.
Řešení:
Kombinací derivování podílu a součinu získáme přímo
x ln x
arcsin x + arctg x
=
(ln x + 1)(arcsin x + arctg x) − x ln x 1√
1−x2
+ 1
1+x2
(arcsin x + arctg x)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 181
(164) Zderivujte
f(x) = x7
+ 4
3
√
x2 + arctg(3x + 1) + sin x2
+ 2x
+ arcsin 7x + ln(1 + x2
) + x2
e1−10x
.
Řešení:
Aplikováním základních vzorců, derivováním složené funkce a součinu dostaneme
x7
+ 4
3
√
x2 + arctg(3x + 1) + sin x2
+ 2x
+ arcsin 7x + ln(1 + x2
) + x2
e1−10x
=
= 7x6
+ 4 x
2
3 +
1
(3x + 1)2 + 1
· (3x + 1) + cos x2
· x2
+ 2x
ln 2+
+
1
1 − (7x)2
· (7x) +
1
1 + x2
· x2
+ 2x · e1−10x
+x2
· e1−10x
· (1 − 10x) =
= 7x6
+
8
3
1
3
√
x
+
3
9x2 + 6x + 2
+ 2x cos x2
+ 2x
ln 2 +
7
√
1 − 49x2
+
2x
1 + x2
+
+ 2x e1−10x
−10x2
e1−10x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
182 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(165) Zderivujte
f(x) = (3x2
− 2x + 10)10
.
Řešení:
(3x2
− 2x + 10)10
= 10(3x2
− 2x + 10)9
3x2
− 2x + 10 = 10(3x2
− 2x + 10)9
(6x − 2).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 183
(166) Zderivujte
f(x) = 4 − x2.
Řešení:
4 − x2 = 4 − x2
1
2
=
1
2
· 4 − x2 − 1
2
· 4 − x2
= −
x
√
4 − x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
184 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(167) Zderivujte
f(x) = ln sin x.
Řešení:
(ln sin x) =
1
sin x
· cos x = cotg x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 185
(168) Zderivujte
f(x) =
√
sin 3x.
Řešení:
√
sin 3x = (sin 3x)
1
2 =
1
2
(sin 3x)− 1
2 · (sin 3x) =
1
2
(sin 3x)− 1
2 · cos 3x · (3x) =
=
1
2
(sin 3x)− 1
2 · cos 3x · 3 =
3 cos 3x
2
√
sin 3x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
186 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(169) Zderivujte
f(x) =
5
√
x2
√
x −
2
5x2
+ 6
5
√
x3 .
Řešení:
f(x) = x
2
5 x
1
2 −
2
5
x−2
+ 6x
3
5 = x
9
10 −
2
5
x− 8
5 + 6x,
f (x) =
9
10
x− 1
10 −
2
5
−
8
5
x− 13
5 + 6 =
9
10 10
√
x
+
16
25
5
√
x13
+ 6 =
=
9
10 10
√
x
+
16
25x2 5
√
x3
+ 6 =
9
10
√
x9
10x
+
16
5
√
x2
25x3
+ 6.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 187
(170) Zderivujte
f(x) = x2
ex
sin x.
Řešení:
f (x) = [x2
(ex
sin x)] = 2x(ex
sin x) + x2
(ex
sin x) =
= 2x ex
sin x + x2
(ex
sin x + ex
cos x) = x ex
(2 sin x + x sin x + x cos x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
188 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(171) Zderivujte
f(x) =
1
ln x
.
Řešení:
f (x) = (ln−1
x) = −1 ln−2
x
1
x
= −
1
x ln2
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 189
(172) Zderivujte
f(x) = arccotg 2x.
Řešení:
f (x) =
−1
1 + (2x)2
· 2 =
−2
1 + 4x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
190 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(173) Zderivujte
f(x) = (2x + 6)4x
.
Řešení:
f (x) = 2 · 4x
+ (2x + 6)4x
ln 4 = 2 · 4x
1 + (x + 3) ln 4 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 191
(174) Zderivujte
f(x) = 7
√
x
ln x .
Řešení:
f (x) = 7
√
x
ln x ln 7
1
2
√
x
ln x −
√
x1
x
ln2
x
= 7
√
x
ln x ln 7
1
2
√
x
ln x − 1√
x
ln2
x
=
= 7
√
x
ln x ln 7
ln x − 2
2
√
x ln2
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
192 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(175) Zderivujte
f(x) = x sin2
(2x).
Řešení:
f (x) = 1 sin2
2x + x2 sin 2x cos 2x2 = sin2
2x + 2x2 sin x cos x = sin2
2x + 2x sin 4x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 193
(176) Zderivujte
f(x) =
−2
ln cos x
.
Řešení:
f (x) = −2[(ln cos x)−1
] = −2(−1)(ln cos x)−2 1
cos x
(− sin x) =
= −2
sin x
cos x(ln cos x)2
=
−2 tg x
ln2
cos x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
194 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(177) Zderivujte
f(x) = 72x3+x−9
.
Řešení:
f (x) = 72x3+x−9
ln 7(6x + 1).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 195
(178) Zderivujte
f(x) =
1 − x
x2 + 1
.
Řešení:
f (x) =
1
2
x2 + 1
1 − x
(−1)(x2
+ 1) − (1 − x)2x
(x2 + 1)2
=
=
x2 + 1
1 − x
x2
− 2x − 1
2(x2 + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
196 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(179) Zderivujte
f(x) = arccotg
2x
x2 − 1
.
Řešení:
f (x) =
−1
1 + 2x
x2−1
2
2(x2
− 1) − 2x · 2x
(x2 − 1)2
=
−1
(x2−1)2+4x2
(x2−1)2
−2x2
− 2
(x2 − 1)2
=
=
2x2
+ 2
x4 + 2x2 + 1
=
2(x2
+ 1)
(x2 + 1)2
=
2
x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 197
(180) Zderivujte
f(x) =
1
√
5
arctg
√
5x
1 − x2
.
Řešení:
f (x) =
1
√
5
1
1 +
√
5x
1−x2
2
√
5(1 − x2
) −
√
5x(−2x)
(1 − x2)2
=
=
1
√
5
1
1 + 5x2
(1−x2)2
√
5(x2
+ 1)
(1 − x2)2
=
1
(1−x2)2+5x2
(1−x2)2
x2
+ 1
(1 − x2)2
=
x2
+ 1
x4 + 3x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
198 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(181) Zderivujte
f(x) = x5
+ 5x
.
Řešení:
f (x) = 5x4
+ 5x
ln 5.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 199
(182) Zderivujte
f(x) = 5x5 5
√
5x.
Řešení:
f (x) = 5 · 5x4 5
√
5x + 5x5 1
5
(5x
)−4
5 5x
ln 5 = 25x4 5
√
5x + x5 5
√
5x ln 5 =
= x4 5
√
5x(25 + x ln 5).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
200 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(183) Zderivujte
f(x) = ln ln(x − 3) + arcsin
x − 5
2
.
Řešení:
f (x) =
1
ln(x − 3)
1
x − 3
+
1
1 − x−5
2
2
1
2
=
=
1
(x − 3) ln(x − 3)
+
1
√
−x2 + 10x − 21
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 201
(184) Zderivujte
f(x) = arccos log2
3
x2
.
Řešení:
f (x) =
−1
1 − log2
2
3
x2
1
x2 ln 2
3
2x =
=
−2
x ln 2
3
1 − log2
2
3
x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
202 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(185) Zderivujte
f(x) = ln2
cos3
x5
.
Řešení:
f (x) = 2 ln cos3
x5 1
cos3 x5
3 cos2
x5
(− sin x5
)5x4
= −30
ln cos3
x5
· cos 2x5
· sin x5
· x4
cos3 x5
=
= −30x4
· ln cos3
x5
· tg x5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 203
(186) Zderivujte
f(x) =
3
ln cos
2x + 1
4
.
Řešení:
f (x) =
1
3
ln cos
2x + 1
4
− 2
3 1
cos 2x+1
4
− sin
2x + 1
4
1
2
=
= −
1
6
1
3
ln cos 2x+1
4
2
tg
2x + 1
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
204 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(187) Zderivujte
f(x) = xx
.
Řešení:
Poněvadž se proměnná x vyskytuje v základu i v exponentu, musíme využít exponenciální
funkci, tj.
(xx
) = ex ln x
= ex ln x
(x ln x) = ex ln x
1 · ln x + x ·
1
x
=
= ex ln x
(1 + ln x) = xx
(1 + ln x) .
Zkuste výsledek porovnat s tím, který byste obdrželi aplikováním vzorce (xn
) = nxn−1
nebo ax
= ax
ln a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 205
(188) Zderivujte
f(x) = xx2
.
Řešení:
xx2
= ex2 ln x
= ex2 ln x
x2
ln x = ex2 ln x
2x · ln x + x2
·
1
x
=
= xx2
(2x · ln x + x) = xx2+1
(2 ln x + 1)
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
206 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(189) Zderivujte
f(x) = xsin x
.
Řešení:
xsin x
= esin x·ln x
= esin x·ln x
(sin x · ln x) =
= esin x·ln x
cos x · ln x +
sin x
x
= xsin x
cos x · ln x +
sin x
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 207
(190) Zderivujte
f(x) = (sin x)ln x
.
Řešení:
(sin x)ln x
= eln x·ln sin x
= eln x·ln sin x
(ln x · ln sin x) =
= eln x·ln sin x 1
x
· ln sin x + ln x ·
1
sin x
· cos x =
= (sin x)ln x ln sin x
x
+
cos x · ln x
sin x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
208 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(191) Zderivujte
f(x) = (ln x)tg x
.
Řešení:
f (x) = etg x ln ln x
= etg x ln ln x
(tg x ln ln x) = (ln x)tg x 1
cos2 x
ln ln x + tg x
1
ln x
1
x
=
= (ln x)tg x ln ln x
cos2 x
+
tg x
x ln x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 209
(192) Zderivujte
f(x) =
1 − ex
1 + ex
.
Řešení:
1 − ex
1 + ex
=
1
2
·
1
1−ex
1+ex
·
− ex
(1 + ex
) − (1 − ex
) ex
(1 + ex)2
=
=
1
2
1 + ex
1 − ex
·
−2 ex
(1 + ex)2
=
(1 + ex)2
1 − e2x
·
− ex
(1 + ex)2
=
=
− ex
(1 + ex)
√
1 − e2x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
210 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(193) Zderivujte
f(x) = (x2
+ 1)arctg x
.
Řešení:
(x2
+ 1)arctg x
= earctg x·ln(x2+1)
= earctg x·ln(x2+1)
arctg x · ln(x2
+ 1) =
= earctg x·ln(x2+1) 1
1 + x2
· ln(x2
+ 1) + arctg x ·
1
x2 + 1
· 2x =
= (x2
+ 1)arctg x−1
2x arctg x + ln(x2
+ 1) .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 211
(194) Zderivujte
f(x) = ln
ex
x2 + 1
.
Řešení:
ln
ex
x2 + 1
=
1
ex
x2+1
·
ex
x2
+ 1 − ex
2x
(x2 + 1)2
=
x2
+ 1
ex
·
ex
(x − 1)2
(x2 + 1)2
=
(x − 1)2
x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
212 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(195) Zderivujte
f(x) = ln
√
x2 + 1
x + 1
.
Řešení:
ln
√
x2 + 1
x + 1
=
x + 1
√
x2 + 1
·
2x
2
√
x2+1
· (x + 1) −
√
x2 + 1
(x + 1)2
=
=
x(x + 1) − x2
− 1
(x2 + 1)(x + 1)
=
x − 1
(x + 1)(x2 + 1)
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 213
(196) Zderivujte
f(x) = ln
1 − sin x
1 + sin x
.
Řešení:
ln
1 − sin x
1 + sin x
=
1
1−sin x
1+sin x
·
1
2 1−sin x
1+sin x
·
− cos x(1 + sin x) − (1 − sin x) cos x
(1 + sin x)2
=
=
1
2
·
1 + sin x
1 − sin x
·
−2 cos x
(1 + sin x)2
=
− cos x
1 − sin2
x
= −
1
cos x
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
214 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(197) Zderivujte
f(x) = ln
x + 2 − 2
√
x + 1
x
.
Řešení:
ln
x + 2 − 2
√
x + 1
x
=
x
x + 2 − 2
√
x + 1
·
1 − 2
2
√
x+1
· x − x − 2 + 2
√
x + 1
x2
=
=
√
x + 1 − 1 x − x
√
x + 1 − 2
√
x + 1 + 2x + 2
x2
√
x + 1 + 2x
√
x + 1 − 2x2 − 2x
=
=
2 + x − 2
√
x + 1
x x + 2 − 2
√
x + 1
√
x + 1
=
1
x
√
x + 1
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 215
(198) Zderivujte
f(x) =
arccos x
x
+
1
2
ln
1 −
√
1 − x2
1 +
√
1 − x2
.
Řešení:
arccos x
x
+
1
2
ln
1 −
√
1 − x2
1 +
√
1 − x2
=
− 1√
1−x2
· x − arccos x
x2
+
+
1
2
·
1 +
√
1 − x2
1 −
√
1 − x2
·
− −2x
2
√
1−x2
· 1 +
√
1 − x2 − 1 −
√
1 − x2 −2x
2
√
1−x2
1 +
√
1 − x2
2
=
= −
1
x
√
1 − x2
−
arccos x
x2
+
1
2
·
x√
1−x2
+ x + x√
1−x2
− x
1 − 1 + x2
=
= −
1
x
√
1 − x2
−
arccos x
x2
+
1
2
·
2x√
1−x2
x2
=
= −
1
x
√
1 − x2
−
arccos x
x2
+
1
2
·
1
x
√
1 − x2
= −
arccos x
x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
216 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(199) Zderivujte
f(x) = (x − 2)
√
1 + ex − ln
√
1 + ex − 1
√
1 + ex + 1
.
Řešení:
(x − 2)
√
1 + ex − ln
√
1 + ex − 1
√
1 + ex + 1
=
√
1 + ex + (x − 2) ·
ex
2
√
1 + ex
−
−
√
1 + ex + 1
√
1 + ex − 1
·
ex
2
√
1+ex
√
1 + ex + 1 −
√
1 + ex − 1 ex
2
√
1+ex
√
1 + ex + 1
2
=
=
√
1 + ex +
(x − 2) ex
2
√
1 + ex
−
ex
+ ex
2
√
1+ex − ex
+ ex
2
√
1+ex
1 + ex −1
=
=
√
1 + ex +
(x − 2) ex
2
√
1 + ex
−
2 ex
2
√
1+ex
ex
=
=
√
1 + ex +
(x − 2) ex
2
√
1 + ex
−
1
√
1 + ex
=
=
1 + ex
+x ex
2
− ex
−1
√
1 + ex
=
x ex
2
√
1 + ex
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 217
(200) Zderivujte
f(x) = arcsin
1 − x
1 + x
.
Řešení:
arcsin
1 − x
1 + x
=
1
1 − 1−x
1+x
·
1
2 1−x
1+x
·
−1 · (1 + x) − (1 − x) · 1
(1 + x)2
=
=
1
2
·
1
1+x−1+x
1+x
·
1 + x
1 − x
·
−2
(1 + x)2
=
= −
1 + x
2x
·
1 + x
1 − x
·
1
(1 + x)2
=
= −
1
(1 + x)
√
2x − 2x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
218 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(201) Určete první a druhou derivaci funkce
f(x) = x2
sin
√
x.
Řešení:
x2
sin
√
x = 2x sin
√
x +
x2
2
√
x
cos
√
x,
x2
sin
√
x = 2x sin
√
x +
x2
2
√
x
cos
√
x =
= 2 sin
√
x +
2x
2
√
x
cos
√
x +
1
2
·
3
2
√
x cos
√
x −
1
2
x
3
2 ·
1
2
√
x
sin
√
x =
= 2 sin
√
x +
7
4
√
x cos
√
x −
1
4
x sin
√
x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 219
(202) Určete první a druhou derivaci funkce
f(x) = tg2
x.
Řešení:
tg2
x =
sin2
x
cos2 x
=
2 · sin x · cos x · cos2
x − sin2
x · 2 · cos x · (− sin x)
cos4 x
=
=
2 · sin x · cos x · cos2
x + sin2
x
cos4 x
=
2 · sin x
cos3 x
,
tg2
x =
2 · sin x
cos3 x
=
2 · cos x · cos3
x − 2 · sin x · 3 · cos2
x · (− sin x)
cos6 x
=
=
2 · cos4
x + 6 · sin2
x · cos2
x
cos6 x
=
=
2 · cos2
x + 6 · sin2
x
cos4 x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
220 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(203) Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x0.
f(x) = 3x2
+ 2x − 8, x0 = −1.
Řešení:
f (x) = 6x + 2,
f (−1) = 6(−1) + 2 = −4.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 221
(204) Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x0.
f(x) = ln tg x, x0 =
π
12
.
Řešení:
f (x) =
1
tg x
1
cos2 x
=
1
sin x
cos x
cos2 x
=
=
1
sin x cos x
=
2
2 sin x cos x
=
2
sin 2x
,
f ( π
12
) =
2
sin π
6
=
2
1
2
= 4.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
222 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(205) Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první
a druhé derivace této funkce.
f(x) = 3x4 + 1, x0 = −1.
Řešení:
f (x) =
1
2
(3x4
+ 1)−1
2 12x3
=
6x3
√
3x4 + 1
,
f (x) =
18x2
√
3x4 + 1 − 6x3 6x3
√
3x4+1
3x4 + 1
,
f(−1) =
√
3 + 1 = 2,
f (−1) =
−6
2
= −3,
f (−1) =
18 · 2 − 36
2
4
=
9
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 223
(206) Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první
a druhé derivace této funkce.
f(x) = x sin 2x, x0 =
π
4
.
Řešení:
f (x) = 1 sin 2x + x cos 2x2 = sin 2x + 2x cos 2x,
f (x) = 2 cos 2x + 2 cos 2x + 2x(− sin 2x)2 = 4 cos 2x − 4xsin2x,
f(π
4
) = π
4
1 = π
4
,
f (π
4
) = 1 + 0 = 1,
f (π
4
) = 0 − 4π
4
1 = −π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
224 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(207) Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce arccos x.
Řešení:
(arccos x) =
1
cos (arccos x)
=
1
− sin(arccos x)
=
=
−1
1 − cos2(arccos x)
=
−1
√
1 − x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 225
(208) Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce x3
.
Řešení:
( 3
√
x)
 3
√
x = y
 =
1
(y3)
=
1
3y2
=
1
3( 3
√
x)2
=
1
3( 3
√
x)2
=
1
3
x− 2
3 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
226 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(209) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = x2 − 3x + 11
v bodě x0 = 2.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 2, tj.
f (x) =
2x − 3
2
√
x2 − 3x + 11
x=2 1
6
, f(x) = x2 − 3x + 11
x=2
3.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 3 =
1
6
(x − 2) , n : y − 3 = −6(x − 2),
y =
x
6
+
8
3
, y = −6x + 15.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 227
(210) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = arctg x2 − 1
v bodě x0 =
√
2.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 =
√
2, tj.
f (x) =
1
1 + x2 − 1
·
2x
2
√
x2 − 1
x=
√
2
√
2
2
, f(x) = arctg x2 − 1
x=
√
2 π
4
.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y −
π
4
=
√
2
2
x −
√
2 , n : y −
π
4
= −
2
√
2
· x −
√
2 ,
y =
√
2
2
x − 1 +
π
4
, y = −
2
√
2
x + 2 +
π
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
228 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(211) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = 4 − x2
v dotykovém bodě x0, jenž je průsečíkem grafu funkce f(x) s kladnou částí osy x.
Řešení:
Nejdříve určíme bod x0. Funkce f(x) má s osou x průsečíky v bodech, které jsou řešením
kvadratické rovnice f(x) = 0. Tato řešení jsou ±2, proto x0 = 2. Nyní spočítáme funkční
hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 2, tj.
f (x) = −2x
x=2
−4, f(x) = 4 − x2 x=2
0.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 0 = −4 (x − 2) , n : y − 0 =
1
4
· (x − 2) ,
y = −4x + 8, y =
1
4
x −
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 229
(212) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = x e−x2
2
v bodě x0 = 1.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 1, tj.
f (x) = e− x2
2 +x e− x2
2 −
2x
2
x=1
0, f(x) = x e− x2
2
x=1
e−1
2 .
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − e− 1
2 = 0 (x − 1) , n : x = 1,
y = e− 1
2 , x = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
230 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(213) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = x2
log2(x2
− 7).
v bodě x0 = −3.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −3, tj.
f (x) = 2x log2(x2
− 7) +
2x3
(x2 − 7) ln 2
x=−3
−6 −
27
ln 2
,
f(x) = x2
log2(x2
− 7)
x=−3
9.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 9 = −6 −
27
ln 2
(x + 3),
y = − 6 +
27
ln 2
x + 9 − 3 6 +
27
ln 2
,
n : y − 9 =
1
6 + 27
ln 2
(x + 3),
y =
ln 2
6 ln 2 + 27
x + 9 + 3
ln 2
6 ln 2 + 27
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 231
(214) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) =
1 − x
x2 − 3
.
v bodě x0 = −2.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −2, tj.
f (x) =
x2
− 2x + 3
(x2 − 3)2
x=−2
11,
f(x) =
1 − x
x2 − 3
x=−2
3.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 3 = 11(x + 2),
y = 11x + 25,
n : y − 3 = −
1
11
(x + 2),
y = −
x
11
+
31
11
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
232 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(215) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = 2x + sin x.
v bodě x0 = π.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = π, tj.
f (x) = 2 + cos x
x=π
1,
f(x) = 2x + sin x
x=π
2π.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 2π = 1(x − π),
y = x + π,
n : y − 2π = −1(x − π),
y = −x + 3π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 233
(216) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = (x2
+ 1) x2 − 4x + 11.
v bodě x0 = −1.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −1, tj.
f (x) =
3x3
− 10x2
+ 23x − 2
√
x2 − 4x + 11
x=−1
−
19
2
,
f(x) = (x2
+ 1) x2 − 4x + 11
x=−1
8.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 8 = −
19
2
(x + 1),
y = −
19
2
x −
3
2
,
n : y − 8 =
2
19
(x + 1),
y =
2
19
x +
154
19
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
234 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo
Věta 11 (l’Hospitalovo pravidlo). Buď x0 ∈ R∗
. Nechť je splněna jedna z podmínek
• limx→x0
f(x) = limx→x0
g(x) = 0,
• limx→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limx→x0
f (x)
g (x)
, pak existuje také limx→x0
f(x)
g(x)
a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f (x)
g (x)
.
V roce 1921 bylo dokázáno, že autorem tohoto pravidla je Johann I. Bernoulli (1667–1748),
jehož byl Guillaume Francois Antoine de l’Hospital (1661–1704) žákem. Na základě poznámek
z Bernoulliových přednášek vydal l’Hospital v roce 1696 první tištěnou učebnici diferenciálního
počtu Analýza nekonečně malých veličin.
Výpočet limit s neurčitými výrazy pomocí L’Hospitalova pravidla:
• ∞ − ∞ ⇒ lim
x→x0
(f(x) − g(x)) = lim
x→x0





1
1
f(x)
−
1
1
g(x)





= lim
x→x0
1
g(x)
−
1
f(x)
1
f(x)g(x)
⇒
0
0
;
• − ∞ + ∞ ⇒ analogicky jako předchozí úprava;
• 0 · ∞ ⇒ lim
x→x0
f(x)g(x) = lim
x→x0
f(x)
1
g(x)
⇒
0
0
;
• 00
, ∞0
, 1∞
⇒ lim
x→x0
f(x)g(x)
= lim
x→x0
eg(x)·ln f(x)
= elimx→x0
(g(x) ln f(x))
⇒ předchozí případ ⇒
0
0
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 235
(217) Vypočtěte limitu
lim
x→2
x2
− 4
x2 − x − 2
.
Řešení:
lim
x→2
x2
− 4
x2 − x − 2
0
0

l’H.p.
= lim
x→2
2x
2x − 1
=
4
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
236 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(218) Pro a > 0 vypočtěte limitu
lim
x→0
ax
− 1
x
.
Řešení:
lim
x→0
ax
− 1
x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
ax
ln a
1
= ln a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 237
(219) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1 − cos x
x sin x
.
Řešení:
lim
x→0
1 − cos x
x sin x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
sin x
sin x + x cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
cos x
cos x + cos x − x sin x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
238 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(220) Vypočtěte limitu
lim
x→1
cos(πx) + 1
(x − 1)2
.
Řešení:
lim
x→1
cos(πx) + 1
(x − 1)2
0
0

l’H.p.
= lim
x→1
−π sin(πx)
2(x − 1)
0
0

l’H.p.
= lim
x→1
−π2
cos(πx)
2
=
π2
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 239
(221) Následující příklad ukazuje, že ne vždy je vhodné použít l’Hospitalovo pravidlo
lim
x→∞
x
√
x2 + 1
.
Řešení:
lim
x→∞
x
√
x2 + 1
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
2x
2
√
x2+1
= lim
x→∞
√
x2 + 1
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
x
√
x2 + 1
,
čímž jsme se dostali zpět k zadání. Řešení příkladu bez použití l’Hospitalova pravidla
vede k výsledku
lim
x→∞
x
√
x2 + 1
= lim
x→∞
x
x 1 + 1
x2
= lim
x→∞
1
1 + 1
x2
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
240 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(222) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
4
−
tg 2x ln(tg x).
Řešení:
lim
x→ π
4
−
tg 2x ln(tg x)
∞ · 0
 = lim
x→ π
4
−
ln(tg x)
1
tg 2x
0
0
 =
l’H.p.
= lim
x→ π
4
−
−
tg2
2x cos2
2x
2 tg x cos2 x
= lim
x→ π
4
−
−
sin2
2x
2 sin x cos2 x
=
= lim
x→ π
4
−
−
sin2
2x
sin 2x
= − lim
x→ π
4
−
sin 2x = −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 241
(223) Vypočtěte limitu
lim
x→0
ln(1 + sin x)
sin 4x
.
Řešení:
lim
x→0
1 + sin x
sin 4x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
1
1+sin x
cos x
4 cos 4x
=
1
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
242 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(224) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
2
(1 − sin x) tg x.
Řešení:
lim
x→ π
2
(1 − sin x) tg x
0 · ∞
 = lim
x→ π
2
1 − sin x
cotg x
0
0
 =
l’H.p.
= lim
x→ π
2
sin2
x cos x = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 243
(225) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1
x sin x
−
1
x2
.
Řešení:
lim
x→0
1
x sin x
−
1
x2
∞ − ∞
 = lim
x→0
x − sin x
x2 sin x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
1 − cos x
2x sin x + x2 cos x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
sin x
2 sin x + 2x cos x + 2x cos x − x2 sin x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
cos x
2 cos x + 4 cos x − 4x sin x − x2x sin x − x2 cos x
=
1
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
244 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(226) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1
sin x
−
1
ex −1
.
Řešení:
lim
x→0
1
sin x
−
1
ex −1
∞ − ∞
 = lim
x→0
ex
−1 − sin x
(ex −1) sin x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
ex
− cos x
ex sin x + (ex −1) cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
ex
+ sin x
ex sin x + ex cos x + ex cos x − (ex −1) sin x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 245
(227) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
1
x
−
1
sin x
.
Řešení:
lim
x→0+
1
x
−
1
sin x
∞ − ∞
 = lim
x→0+
sin x − x
x sin x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0+
cos x − 1
sin x + x cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0+
− sin x
cos x + cos x − x sin x
= 0
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
246 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(228) Vypočtěte limitu
lim
x→0
x − 1
2x2
+
1
x(e2x −1)
.
Řešení:
lim
x→0
x − 1
2x2
+
1
x(e2x −1)
−∞ + ∞
 = lim
x→0
(x − 1) e2x
−1 + 2x
2x2 (e2x −1)
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
e2x
+2x e2x
−1 − 2 e2x
+2
4x (e2x −1) + 4x2 e2x
= lim
x→0
− e2x
+2x e2x
+1
4x e2x −4x + 4x2 e2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
−2 e2x
+2 e2x
+4x e2x
4 e2x +8x e2x −4 + 8x e2x +8x2 e2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
4 e2x
+8x e2x
8 e2x +16x e2x +32x e2x +16x e2x +16x2 e2x
=
1
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 247
(229) Vypočtěte limitu
lim
x→1
x
x − 1
−
1
ln x
.
Řešení:
lim
x→1
x
x − 1
−
1
ln x
∞ − ∞
 = lim
x→1
x ln x − x + 1
(x − 1) ln x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→1
ln x + 1 − 1
ln x + x−1
x
= lim
x→1
ln x
ln x + 1 − 1
x
0
0

l’H.p.
= lim
x→1
1
x
1
x
+ 1
x2
·
x2
x2
= lim
x→1
x
x + 1
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
248 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(230) Vypočtěte limitu
lim
x→1
1
2 ln x
−
1
x2 − 1
.
Řešení:
lim
x→1
1
2 ln x
−
1
x2 − 1
∞ − ∞
 = lim
x→1
x2
− 1 − 2 ln x
2(x2 − 1) ln x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→1
2x − 2
x
4x ln x + 2(x2−1)
x
·
x
x
= lim
x→1
2x2
− 2
4x2 ln x + 2x2 − 2
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→1
4x
8x ln x + 4x + 4x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 249
(231) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1
x
−
1
ln(1 + x)
.
Řešení:
lim
x→0
1
x
−
1
ln(1 + x)
±∞ ∞
 = lim
x→0
ln(1 + x) − x
x ln(1 + x)
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
1
1+x
− 1
ln(1 + x) + x
1+x
·
1 + x
1 + x
= lim
x→0
1 − 1 − x
(1 + x) ln(1 + x) + x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
−1
ln(1 + x) + 1 + 1
= −
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
250 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(232) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
x ln x.
Řešení:
lim
x→0+
x ln x
0 · (−∞)
 = lim
x→0+
ln x
1
x
−∞
∞

l’H.p.
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
(−x) = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 251
(233) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
(π − 2 arctg x) ln x.
Řešení:
lim
x→∞
(π − 2 arctg x) ln x
0 · ∞
 = lim
x→∞
π − 2 arctg x
1
ln x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→∞
− −2
1+x2
− 1
ln2
x
· 1
x
= lim
x→∞
2x ln2
x
1 + x2
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
2 ln2
x + 4x ln x
x
2x
=
= lim
x→∞
2 ln2
x + 4 ln x
2x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
4 ln x
x
+ 4
x
2
= lim
x→∞
4 ln x + 4
2x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
4
x
2
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
252 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(234) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x e−x
.
Řešení:
lim
x→∞
x e−x
∞ · 0
 = lim
x→∞
x
ex
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
ex
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 253
(235) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
x e
1
x .
Řešení:
lim
x→0+
x e
1
x
0 · ∞
 = lim
x→0+
e
1
x
x−1
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→0+
−x−2
e
1
x
−x−2
= lim
x→0+
e
1
x
e
1
0+
 = ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
254 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(236) Vypočtěte limitu
lim
x→0−
x e− 1
x .
Řešení:
lim
x→0−
x e− 1
x
0 · ∞
 = lim
x→0−
e− 1
x
x−1
∞
∞

l’H.p.
=
= lim
x→0−
x−2
e− 1
x
−x−2
= lim
x→0−
− e− 1
x
− e− 1
0−
 = −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 255
(237) Vypočtěte limitu
lim
x→0
e−x−2
x100
.
Řešení:
lim
x→0
e−x−2
x100
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
e−x−2
(−1)(−2)x−3
100x99
=
1
50
lim
x→0
e−x−2
x102
.
Je vidět, že situace se zhoršila a tudy cesta nevede. Upravme tedy zadání a počítejme
znovu.
lim
x→0
e−x−2
x100
= lim
x→0
x−100
ex−2
∞
∞

l’H.p.
=
= lim
x→0
−100x−101
ex−2
(−2)x−3
= 50 lim
x→0
x−98
ex−2
∞
∞
 =
použijeme ještě 49 × l’Hospitalovo pravidlo

= 50! lim
x→0
x0
ex−2
 1
∞
 = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
256 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(238) Vypočtěte limitu
lim
x→0
(cos 3x)
1
x2
.
Řešení:
lim
x→0
(cos 3x)
1
x2
= elimx→0( 1
x2 ·ln cos 3x) = e−9
2 ,
neboť platí
lim
x→0
ln cos 3x
x2
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
−3 sin 3x
cos 3x
2x
= − lim
x→0
3 sin 3x
2x cos 3x
0
0

l’H.p.
=
= − lim
x→0
9 cos 3x
2 cos 3x − 6x sin 3x
= −
9
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 257
(239) Vypočtěte limitu
lim
x→0
tg
π
4
+ x
cotg 2x
.
Řešení:
lim
x→0
tg
π
4
+ x
cotg 2x
= elimx→0{cotg(2x)·ln[tg(π
4
+x)]} = e,
neboť platí
lim
x→0
cotg(2x) · ln tg
π
4
+ x = lim
x→0
cos(2x) · ln π
4
+ x
sin 2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
−2 sin(2x) · ln π
4
+ x + cos(2x) · 1
tg(π
4
+x)
· 1
cos2
(π
4
+x)
2 cos 2x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
258 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(240) Vypočtěte limitu
lim
x→1+
x
1
1−x .
Řešení:
lim
x→1+
x
1
1−x = elimx→1+( 1
1−x
·ln x) = e−1
,
neboť platí
lim
x→1+
1
1 − x
· ln x = lim
x→1+
ln x
1 − x
0
0

l’H.p.
= lim
x→1+
1
x
−1
= −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 259
(241) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
4
(tg x)tg 2x
.
Řešení:
lim
x→ π
4
(tg x)tg 2x
= e
limx→ π
4
[tg(2x)·ln(tg x)]
= e−1
,
neboť platí
lim
x→ π
4
[tg (2x) · ln (tg x)] = lim
x→ π
4
sin(2x) · ln(tg x)
cos 2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→ π
4
2 cos(2x) · ln(tg x) + sin(2x) · 1
tg x
· 1
cos2 x
−2 sin 2x
= −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
260 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(242) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin x
x
1
x2
.
Řešení:
lim
x→0
sin x
x
1
x2
= elimx→0( 1
x2 ·ln sin x
x ) = e−1
6 ,
neboť platí
lim
x→0
1
x2
· ln
sin x
x
= lim
x→0
ln sin x
x
x2
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
x
sin x
· (cos x)·x−sin x
x2
2x
=
= lim
x→0
x cos x − sin x
2x2 sin x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
cos x − x sin x − cos x
4x sin x + 2x2 cos x
=
= lim
x→0
− sin x
4 sin x + 2x cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
− cos x
4 cos x + 2 cos x − 2x sin x
= −
1
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 261
(243) Vypočtěte limitu
lim
x→0
arctg x
x
1
x
.
Řešení:
lim
x→0
arctg x
x
1
x
= elimx→0(1
x
·ln arctg x
x ) = e0
= 1,
neboť platí
lim
x→0
1
x
· ln
arctg x
x
= lim
x→0
ln arctg x
x
x

což je limita typu 0
0
, neboť platí
limx→0
arctg x
x
l’H.p.
= limx→0
1
1+x2
1
= 1

l’H.p.
=
= lim
x→0
x
arctg x
x
1+x2 −arctg x
x2
1
= lim
x→0
x
1+x2 − arctg x
x arctg x
= lim
x→0
x − (1 + x2
) arctg x
(1 + x2)x arctg x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
1 − 2x arctg x − 1
(1 + 3x2) arctg x + x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
−2 arctg x − 2x
1+x2
6x arctg x + 1+3x2
1+x2 + 1
=
= lim
x→0
−2(1 + x2
) arctg x − 2x
6x(1 + x2) arctg x + 1 + 3x2 + 1 + x2
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
262 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(244) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
(cotg x)sin x
.
Řešení:
lim
x→0+
(cotg x)sin x
= elimx→0+ (sin x·ln cotg x)
= 1,
neboť platí
lim
x→0+
(sin x · ln cotg x)
0 · ∞
 = lim
x→0+
ln cos x
sin x
1
sin x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→0+
sin x
cos x
· −1
sin2
x
− cos x
sin2
x
=
= lim
x→0+
sin x
sin2
x · cos x
·
sin2
x
cos x
= lim
x→0+
sin x
cos2 x
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 263
(245) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin x
x
1
1−cos x
.
Řešení:
lim
x→0
sin x
x
1
1−cos x
= elimx→0( 1
1−cos x
·ln sin x
x ) = e− 1
3 ,
neboť platí
lim
x→0
1
1 − cos x
· ln
sin x
x
= lim
x→0
ln sin x
x
1 − cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
x
sin x
· (cos x)x−sin x
x2
sin x
=
= lim
x→0
x cos x − sin x
x sin2
x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
cos x − x sin x − cos x
sin2
x + 2x sin x cos x
=
= lim
x→0
−x sin x
sin2
x + x sin 2x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
− sin x − x cos x
2 sin x cos x + sin 2x + 2x cos 2x
=
= lim
x→0
− sin x − x cos x
sin 2x + sin 2x + 2x cos 2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
− cos x − cos x + x sin x
2 cos 2x + 2 cos 2x + 2 cos 2x − 4x sin 2x
= −
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
264 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(246) Rozhodněte, zda je funkce
f(x) =
x·cos 2x·sin 3x
x2−π2 , x = π,
−1
2
, x = π
spojitá.
Řešení:
Pomocí l’Hospitalova pravidla dostaneme
lim
x→π
x · cos 2x · sin 3x
x2 − π2
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→π
cos 2x · sin 3x − 2x sin 2x · sin 3x + 3x cos 2x · cos 3x
2x
= −
3
2
,
což znamená, že funkce f(x) není spojitá.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 265
I. 5. Vyšetˇrování pr ˚ubˇehu funkce
Monotonie a lokální extrémy
Důsledek 12. Nechť má funkce f(x) konečnou derivaci na intervalu I.
• Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
• Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Definice 13. Nechť x0 ∈ D(f). Tento bod se nazývá stacionární, pokud f (x0) = 0.
Poznámka 14. Lokální extrém může nastat buď ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde f (x0)
neexistuje.
Věta 15. Nechť je funkce f(x) spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí
O{x0}\x0. Jestliže pro všechna x ∈ O(x0), x < x0, je f(x0) > 0 (f(x0) < 0) a jestliže pro všechna
x ∈ O{x0}, x > x0, je f(x0) < 0 (f(x0) > 0), pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum
(minimum).
Věta 16. Nechť f (x0) = 0. Je-li f (x0) > 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální minimum.
Je-li f (x0) < 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum.
Konvexnost, konkávnost a inflexní body
Důsledek 17. Nechť I je otevřený interval a funkce f(x) má vlastní druhou derivaci na intervalu I.
• Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konvexní na I.
• Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konkávní na I.
Definice 18. Nechť x0 ∈ D(f). Tento bod se nazývá kritický, pokud f (x0) = 0.
Věta 19.
• Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f (x0). Potom f (x0) = 0.
• Nechť f (x0) = 0 a existuje okolí Oδ(x0) takové, že platí f (x0) < 0 pro každé x ∈
(x0 − δ, x0) a f (x0) > 0 pro každé x ∈ (x0, x0 + δ), nebo naopak. Pak je x0 inflexním
bodem funkce f(x).
• Nechť f (x0) = 0 a f (x0) = 0. Pak je x0 inflexním bodem funkce f(x).
Poznámka 20. Inflexním bodem může může být buď kritický bod nebo bod, kde f (x0) neexistuje.
Zde je potřeba dát pozor na definici inflexního bodu. V některých publikacích bývá inflexní bod
definován jako kritický bod, v němž druhá derivace mění znaménko, což znamená, že v inflexním
bodě musí existovat vlastní druhá derivace, jejíž hodnota je rovna nule. Inflexní body bývají někdy
ještě rozdělovány do dvou kategorií podle chování f (x0). Pokud x0 je inflexní bod a současně
f (x0) = 0, nazývá se bod x0 sedlovým bode (též stacionární inflexní bod). Pokud x0 je inflexní
bod s f (x0) = 0, hovoříme o nestacionárním inflexním bodě.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Asymptoty
Definice 21. Buď x0 ∈ R. Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže
má f v x0 alespoň jednu limitu nevlastní, tj.
lim
x→x0+
f(x) = ±∞ nebo lim
x→x0−
f(x) = ±∞.
Věta 22. Přímka y = ax+b je asymptotou se směrnicí funkce f pro x → +∞ právě tehdy, když
existují konečné limity
lim
x→+∞
f(x)
x
= a, lim
x→+∞
(f(x) − ax) = b.
Analogické tvrzení platí pro x → −∞.
Vyšetřování průběhu funkce — postup
i) Definiční obor;
ii) spojitost, charakterostika bodů nespojitosti;
iii) lichost, sudost, periodičnost;
iv) f(x) = 0, intervaly, kde je funkce kladná a záporná;
v) f (x) = 0 a D(f );
vi) monotonie, extrémy;
vii) f (x) = 0 a D(f );
viii) konvexnost, konkávnost, inflexní body;
ix) asymptoty bez směrnice a směrnicí;
x) graf funkce.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 267
(247) Zjistěte, zda je funkce
f(x) = x−3
e−x sin x
sudá, nebo lichá.
Řešení:
Připomeňme, že funkce je sudá, jestliže je její graf symetrický dle osy y, tj. f(−x) = f(x),
a lichá, jestliže je její graf symetrický dle počátku soustavy souřadnic, tj. f(−x) = −f(x).
Spočtěme tedy, čemu se rovná f(−x).
f(−x) = (−x)−3
e−(−x) sin(−x)
= −x−3
ex(− sin x)
= −x−3
e−x sin x
= −f(x).
Daná funkce je tedy lichá.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
268 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(248) Zjistěte, zda je funkce
f(x) =
x(x2
+ 5)
cotg 1
x7 ln
3
√
x2
sudá, nebo lichá.
Řešení:
Spočtěme, čemu se rovná f(−x).
f(−x) =
(−x)[(−x)2
+ 5]
cotg 1
(−x)7 ln 3
(−x)2
=
−x(x2
+ 5)
cotg − 1
x7 ln
3
√
x2
=
−x(x2
+ 5)
− cotg 1
x7 ln
3
√
x2
=
x(x2
+ 5)
cotg 1
x7 ln
3
√
x2
= f(x).
Daná funkce je tedy sudá.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 269
(249) Zjistěte, zda je funkce
f(x) =
x2
− 2x + 1
sin x
sudá, nebo lichá.
Řešení:
Spočtěme, čemu se rovná f(−x).
f(−x) =
(−x)2
− 2(−x) + 1
sin(−x)
=
x2
+ 2x + 1
− sin x
= −
x2
+ 2x + 1
sin x
= ±f(x).
Daná funkce tedy není ani sudá, ani lichá.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
270 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(250) Rozhodněte o kladnosti a zápornosti funkce
f(x) =
(x − 2) esin x
arccotg x
.
Řešení:
Funkce může změnit znaménko pouze ve svém nulovém bodě (protnutím osy x), nebo
v bodech, kde není definována (přeskočením osy x). Proto nejprve určíme definiční obor
dané funkce
D(f) = R.
Nyní najdeme nulové body této funkce
f(x) = 0,
(x − 2) esin x
arccotg x
= 0,
(x − 2) esin x
= 0,
x − 2 = 0,
x = 2.
Obdrželi jsme celkem dva intervaly, na nichž musíme zjistit znaménko funkce.
x (−∞, 2) (2, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
Daná funkce je tedy záporná (její graf je pod osou x) v intervalu (−∞, 2) a kladná (její
graf je nad osou x) v intervalu (2, ∞).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 271
(251) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) = 12x5
− 15x4
− 40x3
+ 60.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obor funkce f(x). Je zřejmé, že platí D(f) = R. Spočítáme první
derivaci, tj.
f (x) = 60x4
− 60x3
− 120x2
= 60x2
(x2
− x − 2).
Nyní musíme určit definiční obor pro f (x), ten je očividně D(f ) = R, a stacionární body
funkce f(x), tedy musíme vyřešit rovnici f (x) = 0. Proto
60x2
(x2
− x − 2) = 0 ⇒
⇒ x1 = 0 nebo x2
− x − 2 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2, x3 = −1.
Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly (−∞, −1), (−1, 0), (0, 2)
a (2, ∞), ve kterých zjistíme znaménka f (x). Podle těchto znamének určíme průběh funkce
v jednotlivých intervalech a určíme případné extrémy. K tomu nám pomůže následující
tabulka
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 2) (2, ∞)
sgn f + − − +
f
Odtud je vidět, že funkce f(x) je rostoucí v intervalech (−∞, −1), a (2, ∞), klesající
v (−1, 2). Funkce f(x) má dva lokální extrémy, lokální maximum pro x = −1 a lokální
minimum pro x = 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
272 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(252) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) = x e−x2
.
Řešení:
Stejným postupem jako v předchozím příkladě obdržíme
D(f) = R, f (x) = e−x2
−2x2
e−x2
= e−x2
(1 − 2x2
) a D(f ) = R.
Nyní určíme stacionární body funkce f(x), proto
e−x2
(1 − 2x2
) = 0 ⇒
⇒ 1 − 2x2
= 0 ⇒ x2
=
1
2
⇒ x1 =
√
2
2
a x2 = −
√
2
2
.
Nyní se nám definiční obor funkce f(x) rozpadl na tři intervaly, ve kterých určíme průběh
funkce, tj.
x −∞, −
√
2
2
−
√
2
2
,
√
2
2
√
2
2
, ∞
sgn f − + −
f
Tedy funkce f(x) je rostoucí v intervalu −
√
2
2
,
√
2
2
a klesající v intervalech −∞, −
√
2
2
,
√
2
2
, ∞ . Také má dva lokální extrémy, konkrétně lokální minimum pro x = −
√
2
2
a lokální
maximum pro x =
√
2
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 273
(253) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) =
x2
ln x
.
Řešení:
Určíme potřebné definiční obory a derivaci f(x), tj.
D(f) = (0, 1) ∪ (1, ∞), f (x) =
2x ln x − x
ln2
x
, D(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞).
Určíme stacionární body, proto
2x ln x − x
ln2
x
⇒ x (2 ln x − 1) = 0 ⇒
⇒ x1 = 0 nebo ln x =
1
2
⇒ x1 = 0 nebo x2 = e
1
2 .
Ovšem bod x1 ∈ D(f), proto je stacionárním bodem pouze x2. Nyní analyzujeme monotonii
funkce f(x), tj.
x (0, 1) 1, e
1
2 e
1
2 , ∞
sgn f − − +
f
Tedy funkce f(x) je klesající v intervalech (0, 1), a (1,
√
e), rostoucí v intervalu (
√
e, ∞)
a s lokálním minimem pro x =
√
e.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
274 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(254) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) = x − 2 sin x, x ∈ (0, 2π).
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory (ty jsou určeny již zadáním příkladu) a f (x), tj.
D(f) = (0, 2π), f (x) = 1 − 2 cos x, D(f ) = (0, 2π).
Najdeme stacionární body
1 − 2 cos x = 0 ⇒ cos x =
1
2
⇒ x1 =
π
3
a x2 =
5π
3
.
A analyzujeme monotonii funkce f(x)
x 0, π
3
π
3
, 5π
3
5π
3
, 2π
sgn f − + −
f
Funkce f(x) je tedy rostoucí na intervalu π
3
, 5π
3
a klesající na intervalech 0, π
3
,
5π
3
, 2π . Funkce má také dva lokální extrémy, lokální minimum pro x = π
3
a lokální
maximum v bodě x = 5π
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 275
(255) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) =
1
x
ln
1
x
.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = (0, ∞), f (x) = −
1
x2
1 + ln
1
x
, D(f ) = (0, ∞).
Najdeme stacionární body
−
1
x2
1 + ln
1
x
= 0 ⇒ ln
1
x
= −1 ⇒
1
x
= e−1
⇒ x = e .
A analyzujeme monotonii funkce f(x)
x (0, e) (e, ∞)
sgn f − +
f
Funkce f(x) je tedy rostoucí na intervalu (e, ∞) a klesající na intervalu (0, e). Funkce
má také lokální minimum pro x = e.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
276 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(256) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci
f(x) =
(x + 3)2
ex
.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = R, f (x) = −
x2
+ 4x + 3
ex
, D(f ) = R.
Najdeme stacionární body
−
x2
+ 4x + 3
ex
= 0 ⇒ x2
+ 4x + 3 = 0
⇒ (x + 1)(x + 3) = 0 ⇒ x = −1 nebo x = −3.
A analyzujeme monotonii funkce f(x)
x (−∞, −3) (−3, −1) (−1, ∞)
sgn f − + −
f
Funkce f(x) je tedy rostoucí pro x ∈ (−3, −1) a klesající pro x ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, ∞).
Funkce má lokální minimum pro x = −3 a lokální maximum pro x = −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 277
(257) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) =
(x + 3)2
ex
.
Řešení:
K analyzování chování tečen grafu funkce f(x) použijeme postup analogický vyšetřování
monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f (x). Tedy,
nejdříve určíme definiční obory a f (x), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f (x)
– tu ale již známe z příkladu 256, tedy
D(f) = R, f (x) = −
x2
+ 4x + 3
ex
, f (x) =
x2
+ 2x − 1
ex
, D(f ) = R.
Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f (x) = 0, tj.
x2
+ 2x − 1
ex
= 0 ⇒ x2
+ 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = −1 −
√
2 a x2 = −1 +
√
2.
Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka
f (x), tj.
x (−∞, −1 −
√
2) (−1 −
√
2, −1 +
√
2) (−1 +
√
2, ∞)
sgn f + − +
f ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−∞, −1−
√
2) a (−1+
√
2, ∞), konkávní v intervalu
(−1 −
√
2, −1 +
√
2) a má dva inflexní body pro x = −1 −
√
2 a x = −1 +
√
2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
278 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(258) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) = x4
− 2x3
− 12x2
+ 7x − 3.
Řešení:
K analyzování chování tečen grafu funkce f(x) použijeme postup analogický vyšetřování
monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f (x). Tedy,
nejdříve určíme definiční obory a f (x), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f (x),
tj.
D(f) = R, f (x) = 4x3
− 6x2
− 24x + 7, f (x) = 12x2
− 12x − 24, D(f ) = R.
Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f (x) = 0, tj.
12x2
− 12x − 24 = 0 ⇒ x1 = 2 a x2 = −1.
Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka
f (x), tj.
x (−∞, −1) (−1, 2) (2, ∞)
sgn f + − +
f ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−∞, −1) a (2, ∞), konkávní v intervalu (−1, 2).
Funkce má dva inflexní body pro x = −1 a x = 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 279
(259) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) = x e−x2
2 .
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = R, f (x) = e−x2
2 1 − x2
, f (x) = x e−x2
2 x2
− 3 , D(f ) = R.
Nyní určíme kritické body, tj.
x e−x2
2 x2
− 3 = 0 ⇒
⇒ x1 = 0 nebo x2
= 3 ⇒ x1 = 0, x2 =
√
3 a x3 = −
√
3.
Teď se nám definiční obor rozpadl na čtyři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka
f (x), tj.
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−
√
3, 0) a (
√
3, ∞), konkávní v (−∞, −
√
3)
a (0,
√
3). Funkce má tři inflexní body pro x = 0, ±
√
3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
280 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(260) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce
f(x) =
5
√
x3.
Řešení:
Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj.
D(f) = R, f (x) =
3
5
5
√
x2
, f (x) = −
6
25
5
√
x7
, D(f ) = R \ {0}.
Rovnice
−
6
25
5
√
x7
= 0
nemá řešení. Ovšem druhá derivace neexistuje pro x = 0, proto nám tento bod rozdělí
definiční obor funkce f(x) na dva intervaly, proto
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f + −
f ∪ ∩
Funkce f(x) je konvexní na intervalu (−∞, 0) a konkávní na intervalu (0, −∞). Funkce
má inflexní bod pro x = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 281
(261) Určete asymptoty bez směrnice funkce
f(x) =
1
x2
.
Řešení:
Určíme definiční obor funkce f(x), tj.
D(f) = R \ {0},
proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je x = 0. Musíme
ověřit limitní chování funkce f(x) v tomto bodě, tj.
lim
x→0
1
x2
= +∞.
Proto existuje asymptota bez směrnice a je dána rovnicí x = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
282 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(262) Určete asymptoty bez směrnice funkce
f(x) = 5x +
sin x
x
.
Řešení:
Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Určíme definiční obor funkce f(x), tj.
D(f) = R \ {0},
proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je x = 0. Musíme
ověřit limitní chování funkce f(x) v tomto bodě, tj.
lim
x→0
5x +
sin x
x
= 1.
Proto asymptota bez směrnice neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 283
(263) Určete asymptoty v ±∞ funkce
f(x) =
3x2
x − 1
.
Řešení:
K určení rovnice asymptoty se směrnicí budeme postupovat dle daných vzorců, proto
a = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
3x2
x−1
x
= lim
x→±∞
3x
x − 1
= lim
x→±∞
3
1 − 1
x
= 3,
b = lim
x→±∞
(f(x) − ax) = lim
x→±∞
3x2
x − 1
− 3x = lim
x→±∞
3x2
− 3x2
+ 3x
x − 1
=
= lim
x→±∞
3x
x − 1
= 3.
Při výpočtu jsme využili možnost nerozlišovat, zda limitu počítáme v +∞ nebo −∞ (toto
samozřejmě v některých případech není možné a asymptoty se mohou lišit). Proto rovnice
asymptoty se směrnicí je v obou směrech rovna y = 3x + 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
284 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(264) Určete asymptoty funkce
f(x) =
4 + x3
4 − x2
.
Řešení:
Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor
D(f) = R \ {±2}.
V „dírách“ definičního oboru vypočítáme jednostranné limity, tj.
lim
x→2
4 + x3
4 − x2
= lim
x→2
4 + x3
(2 − x)(2 + x)
=
+∞, x → 2−
,
−∞, x → 2+
,
lim
x→−2
4 + x3
4 − x2
= lim
x→−2
4 + x3
(2 − x)(2 + x)
=
+∞, x → −2−
,
−∞, x → −2+
.
Funkce f(x) má tedy dvě asymptoty bez směrnice o rovnicí x = 2 a x = −2. Nyní určíme
asymptoty se směrnicí, tj.
a = lim
x→±∞
4+x3
4−x2
x
= lim
x→±∞
4 + x3
4x − x3
= lim
x→±∞
4
x3 + 1
4
x2 − 1
= −1,
b = lim
x→±∞
4 + x3
4 − x2
+ x = lim
x→±∞
4 + x3
+ 4x − x3
4 − x2
= lim
x→±∞
4
x2 + 4
x
4
x2 − 1
= 0.
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí o rovnici y = −x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 285
(265) Určete asymptoty funkce
f(x) =
ex
x + 1
.
Řešení:
Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor
D(f) = R \ {−1}.
Vypočítáme jednostranné limity v −1, tj.
lim
x→−1
ex
x + 1
=
+∞, x → −1+
,
−∞, x → −1−
,
Funkce f(x) má tedy asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1. Nyní určíme asymptoty
se směrnicí, tj.
a = lim
x→±∞
ex
x+1
x
= lim
x→±∞
ex
x2 + x
=
=



limx→∞
ex
x2+x

∞
∞

l’H.p.
= limx→∞
ex
2x+1

∞
∞

l’H.p.
= limx→∞
ex
2
= ∞,
limx→−∞
ex
x2+x
= 0.
V dalším nás tedy zajímá pouze směr do −∞, proto
b = lim
x→±−∞
ex
x + 1
= 0.
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí pouze ve směru −∞ o rovnici y = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
286 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(266) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x3
x2 − 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2
−1 = 0. Proto máme
D(f) = R \ {±1}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme
lim
x→1+
x3
x2 − 1
= lim
x→1+
x3
x + 1
·
1
x − 1
= +∞,
lim
x→1−
x3
x2 − 1
= lim
x→1−
x3
x + 1
·
1
x − 1
= −∞,
lim
x→−1+
x3
x2 − 1
= +∞,
lim
x→−1−
x3
x2 − 1
= −∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
−x3
x2 − 1
= −f(x),
je zadaná funkce lichá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže
být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x3
= 0 ⇐⇒ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f − + − +
f záporná kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
x2
x2
− 3
(x2 − 1)2
, D(f ) = R \ {±1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x2
x2
− 3 = 0 ⇐⇒ x1 = 0, x2 =
√
3, x3 = −
√
3,
x −∞, −
√
3 −
√
3, −1 (−1, 0) (0, 1) 1,
√
3
√
3, ∞
sgn f + − − − − +
f
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má lokální maximum pro x = −
√
3 a lokální minimum
pro x =
√
3. Ve význačných bodech (lok. extrémy, infl. body) je vhodné znát i jejich
funkční hodnotu, proto spočítáme f −
√
3 = −3
2
√
3 a f
√
3 = 3
2
√
3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 287
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2x x2
+ 3
(x2 − 1)3
, D(f ) = R \ {±1}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2x x2
+ 3 = 0 ⇐⇒ x = 0,
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) má tedy v bodě x = 0 inflexní bod. Z předchozího již víme, že f(0) = 0.
V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 0, což znamená, že tečna je
v tomto bodě rovnoběžná s osou x.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = 1 a x = −1.
Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x3
x2−1
x
= lim
x→±∞
x2
x2 − 1
= lim
x→±∞
1
1 − 1
x2
= 1,
b = lim
x→±∞
x3
x2 − 1
− x = lim
x→±∞
x3
− x3
+ x
x2 − 1
= lim
x→±∞
1
x
1 − 1
x2
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 17. Graf funkce f(x) z Příkladu 266.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
288 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(267) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = −
x2
x + 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x + 1 = 0. Proto máme
D(f) = R \ {−1}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
lim
x→−1+
−
x2
x + 1
= − lim
x→−1+
x2
x + 1
= −(+∞) = −∞,
lim
x→−1−
−
x2
x + 1
= lim
x→−1−
−
x2
x + 1
= −(−∞) = ∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = −
x2
−x + 1
= ±f(x),
není zadaná funkce ani lichá, ani sudá (což je vidět už z nesymetrie definičního
oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x2
= 0 ⇐⇒ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞)
sgn f + − −
f kladná záporná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
−x2
− 2x
(x + 1)2
, D(f ) = R \ {−1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ −x(x + 2) = 0 ⇐⇒ x1 = 0, x2 = −2.
x (−∞, −2) (−2, −1) (−1, 0) (0, ∞)
sgn f − + + −
f
Z tabulky vidíme, že funkce má v x = −2 lokální minimum a v x = 0 lokální maximum.
Spočtěme v těchto význačných bodech funkční hodnotu.
f(−2) = 4, f(0) = 0.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−2x − 2
(x + 1)4
=
−2
(x + 1)3
,
D(f ) = R \ {−1}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 289
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ −2 = 0,
což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout,
že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována (tj.
v „dírách“ jejího definičního oboru).
x (−∞, −1) (−1, ∞)
sgn f + −
f ∪ ∩
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1.
Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
= −
x2
x2 + x
= −1,
b = lim
x→±∞
−
x2
x + 1
+ x = lim
x→±∞
x
x + 1
= 1.
Funkce f(x) má tedy v +∞ i −∞ asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí
y = −x + 1.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 18. Graf funkce f(x) z Příkladu 267.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
290 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(268) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1
x
+ ln x
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna kladná reálná čísla, tedy
D(f) = (0, ∞).
ii) Zjistíme limitní chování na okraji definičního oboru
lim
x→0+
1
x
+ ln x
∞ − ∞
 = lim
x→0+
1 + x ln x
x

lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
ln x
1
x
l’H.p.
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
= lim
x→0+
−x = 0
⇒ lim
x→0+
1+x ln x
x
= 1+0
0

= ∞.
iii) Vzhledem k tvaru definičního oboru je zřejmé, že zadaná funkce není ani lichá, ani
sudá, ani periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0,
1
x
+ ln x = 0,
ln x = −
1
x
,
ln xx
= −1,
kde použité úpravy jsou vzhledem k oboru hodnot korektní. Protože ln xx
> 0, daná
funkce nemá žádný nulový bod a je tedy na celém svém definičním oboru buď pouze
kladná, nebo pouze záporná (zdůrazněme, že definiční obor je „bez děr“). Tedy
x (0, ∞)
sgn f +
f kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
x − 1
x2
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x1 = 1.
Připomeňme, že vše navíc probíhá na definičním oboru původní funkce, tj.
x (0, 1) (1, ∞)
sgn f − +
f
Z tabulky vidíme, že funkce má v x = 1 lokální minimum. Spočtěme v tomto význačném
bodě funkční hodnotu.
f(1) = 1 + 0 = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 291
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−x2
+ 2x
x4
=
2 − x
x3
,
D(f ) = R \ {0}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2 − x = 0 ⇐⇒ x = 2.
x (0, 2) (2, ∞)
sgn f + −
f ∪ ∩
Čili funkce f má v x = 2 inflexní bod. Funkční hodnota v něm je
f(2) =
1
2
+ ln 2
.
= 1, 19.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0.
Asymptotu se směrnicí má, opět vzhledem k definičnímu oboru, smysl hledat pouze
v +∞:
a = lim
x→∞
1
x
+ ln x
x
= lim
x→∞
1 + x ln x
x2
=
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1 + ln x
2x
=
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
2x
= 0,
b = lim
x→∞
1
x
+ ln x = ∞,
tedy funkce f(x) asymptotu se směrnicí nemá.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 19. Graf funkce f(x) z Příkladu 268.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
292 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(269) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1 − 2x
3x2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3x2
= 0. Proto máme
D(f) = R \ {0}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, tj.
lim
x→0
1 − 2x
3x2
= lim
x→0
1 − 2x
3
·
1
x2
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
1 + 2x
3x2
,
není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ 1 − 2x = 0 ⇐⇒ x =
1
2
.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) 0, 1
2
1
2
, ∞
sgn f + + −
f kladná kladná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 (x − 1)
3x3
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2(x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 1,
x (−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má pro x = 1 lokální minimum s hodnotou f(1) = −1
3
.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = −
2 (2x − 3)
3x4
, D(f ) = R \ {0}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2 (2x − 3) = 0 ⇐⇒ x =
3
2
,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 293
x (−∞, 0) 0, 3
2
3
2
, ∞
sgn f + + −
f ∪ ∪ ∩
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má pro x = 3
2
inflexní bod. Platí f 3
2
= − 8
27
a směrnice tečny je rovna f 3
2
= 8
81
, což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme
i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
1−2x
3x2
x
= lim
x→±∞
1 − 2x
3x3
= lim
x→±∞
1
x3 − 2
x2
3
= 0,
b = lim
x→±∞
1 − 2x
3x2
= lim
x→±∞
1
x2 − 2
x
3
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 20. Graf funkce f(x) z Příkladu 269.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
294 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(270) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x2
− 1
x2 + 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, tj.
D(f) = R.
ii) Z bodu ii) plyne, že funkce je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
x2
− 1
x2 + 1
= f(x),
je zadaná funkce sudá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže
být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x2
− 1 = 0 ⇐⇒ x = ±1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
4x
(x2 + 1)2
, D(f ) = R.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f
V bodě lokálního minima x = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f(0) = −1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = −
4 3x2
− 1
(x2 + 1)3
, D(f ) = R.
viii) Určíme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 3x2
− 1 = 0 ⇐⇒ x = ±
√
3
3
,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 295
x −∞, −
√
3
3
−
√
3
3
,
√
3
3
√
3
3
, ∞
sgn f − + −
f ∩ ∪ ∩
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má dva inflexní body x = ±
√
3
3
s hodnotami f ±
√
3
3
=
−1
2
a f ±
√
3
3
= ±3
√
3
4
.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá dvě asymptoty bez. Určíme asymptoty se směrnicí
(pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x2−1
x2+1
x
= lim
x→±∞
x2
− 1
x3 − x
= lim
x→±∞
1
x
− 1
x3
1 − 1
x2
= 0,
b = lim
x→±∞
x2
− 1
x2 + 1
= lim
x→±∞
1 − 1
x2
1 + 1
x2
= 1.
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 1.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 21. Graf funkce f(x) z Příkladu 270.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
296 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(271) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x2
+ 1
x2 − 1
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2
−1 = 0. Proto máme
D(f) = R \ {±1}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme
lim
x→1+
x2
+ 1
x2 − 1
= lim
x→1+
x2
+ 1
x + 1
·
1
x − 1
= +∞,
lim
x→1−
x3
x2 − 1
= lim
x→1−
x2
+ 1
x + 1
·
1
x − 1
= −∞,
lim
x→−1+
x3
x2 − 1
= −∞,
lim
x→−1−
x3
x2 − 1
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
x2
+ 1
x2 − 1
= −f(x),
je zadaná funkce sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Je zřejmé, že průsečíky s osou x neexistují (neboť rovnice x2
+ 1 = 0 nemá řešení).
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = −
4x
(x2 + 1)2
, D(f ) = R \ {±1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + + − −
f
V bodě lokálního maxima x = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f(0) = −1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
4 3x2
+ 1
(x2 − 1)3
, D(f ) = R \ {±1}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 297
viii) Funkce nemá kritické body (rovnice 3x2
+ 1 = 0 nemá řešení). Určíme intervaly
konvexnosti a konkávnosti, tj.
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f ∪ ∩ ∪
Je vidět, že funkce nemá inflexní body.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = 1 a x = −1.
Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x2+1
x2−1
x
= lim
x→±∞
x2
+ 1
x3 − x
= lim
x→±∞
1
x
+ 1
x3
1 − 1
x2
= 0,
b = lim
x→±∞
x2
+ 1
x2 − 1
= lim
x→±∞
1 + 1
x2
1 − 1
x2
= 1.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 1.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 22. Graf funkce f(x) z Příkladu 271.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
298 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(272) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
x
3 − x2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3−x2
= 0. Proto máme
D(f) = R \ {±
√
3}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme
lim
x→
√
3
+
x
3 − x2
= lim
x→
√
3
+
x
√
3 + x
·
1
√
3 − x
= −∞,
lim
x→
√
3
−
x
3 − x2
= lim
x→
√
3
−
x
√
3 + x
·
1
√
3 − x
= +∞,
lim
x→−
√
3
+
x
3 − x2
= −∞,
lim
x→−
√
3
−
x
3 − x2
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
−x
3 − x2
= −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f + − + −
f kladná záporná kladná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
3 + x2
(3 − x2)2
, D(f ) = R \ {±
√
3}.
vi) Je zřejmé, že funkce f(x) nemá stacionární body. Určíme intervaly monotonie, tj.
x −∞, −
√
3 −
√
3,
√
3
√
3, ∞
sgn f + + +
f
Funkce f(x) tedy nemá žádný lokální extrém.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2x 9 + x2
(3 − x2)3
, D(f ) = R \ {±
√
3}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 299
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2x 9 + x2
= 0 ⇐⇒ x = 0,
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f + − + −
f ∪ ∩ ∪ ∩
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má inflexní bod pro x = 0. Z předchozího již víme,
že f(0) = 0. Určíme zde ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 1
3
.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x =
√
3
a x = −
√
3. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x
3−x2
x
= lim
x→±∞
x
3x − x3
= lim
x→±∞
1
x2
3
x2 − 1
= 0,
b = lim
x→±∞
x
3 − x2
= lim
x→±∞
1
x
3
x
− 1
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 23. Graf funkce f(x) z Příkladu 272.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
300 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(273) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1
2
x +
1
x
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x = 0. Proto máme
D(f) = R \ {±0}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
lim
x→0+
1
2
x +
1
x
= +∞, lim
x→0−
1
2
x +
1
x
= −∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
1
2
−x −
1
x
= −
1
2
x +
1
x
= −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x +
1
x
= 0 ⇐⇒ x = −
1
x
⇐⇒ x2
= −1,
tedy funkce nemá průsečíky s osou x. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x)
kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
x2
− 1
2x2
, D(f ) = R \ {±0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x2
− 1 = 0 ⇐⇒ x = ±1,
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + − − +
f
Určíme funkčního hodnoty lokálního maxima pro x = −1 a minima pro x = 1, tj.
f(−1) = −1 a f(1) = 1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
1
x3
, D(f ) = R \ {±0}.
viii) Inflexní body očividně neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 301
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f ∩ ∪
Z tabulky vidíme, že funkce f(x) nemá inflexní bod.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici x = 0. Určíme
i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
1
2
x + 1
x
x
= lim
x→±∞
x2
+ 1
2x2
= lim
x→±∞
1 + 1
x2
2
=
1
2
,
b = lim
x→±∞
1
2
x +
1
x
−
x
2
= lim
x→±∞
1
2x
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x
2
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 24. Graf funkce f(x) z Příkladu 273.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
302 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(274) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
ln x
x
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2
−1 = 0. Proto máme
D(f) = (0, ∞) .
ii) Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, tj.
lim
x→0+
ln x
x
= −∞.
iii) Definiční obor funkce f(x) není symetrický, proto funkce f(x) ani nemůže být lichá
nebo sudá. Navíc, je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ ln x = 0 ⇐⇒ x = 1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (0, 1) (1, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
1 − ln x
x2
, D(f ) = (0, ∞) .
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 1 − ln x = 0 ⇐⇒ x = e,
x (0, e) (e, ∞)
sgn f + −
f
Pro x = e má funkce f(x) lokální maximum s funkční hodnotou f (e) = −1
e
.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−3 + 2 ln x
x3
, D(f ) = (0, ∞) .
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2 ln x − 3 = 0 ⇐⇒ x = e
3
2 ,
x 0, e
3
2 e
3
2 , ∞
sgn f − +
f ∩ ∪
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 303
V bodě x = e
3
2 má funkce f(x) inflexní bod. Platí f e
3
2 = 3
2
e− 3
2 a směrnice tečny
je rovna f e
3
2 = − 1
2 e3 , což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme
i asymptotu se směrnicí (pokud existuje – směr pro x → −∞ nemá smysl uvažovat),
proto
a = lim
x→∞
ln x
x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
x
2x
= 0,
b = lim
x→∞
ln x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
x
1
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 25. Graf funkce f(x) z Příkladu 274.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
304 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(275) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
ln x2
x
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x = 0. Proto máme
D(f) = R \ {0}.
ii) Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
lim
x→0+
ln x2
x
= −∞, lim
x→0−
ln x2
x
= +∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
ln x2
−x
= −
ln x2
x
= −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ ln x2
= 0 ⇐⇒ x2
= 1 ⇐⇒ x = ±1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f − + − +
f záporná kladná záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 − ln x2
x2
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ ln x2
− 2 = 0 ⇐⇒ x2
= e2
⇐⇒ x = ± e,
x (−∞, − e) (− e, 0) (0, e) (e, ∞)
sgn f − + + −
f
Funkce f(x) ma lokální minimum pro x = − e a lokální maximum pro x = e s funkčními
hodnotami f (− e) = −2
e
a f (e) = 2
e
.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2 ln x2
− 6
x3
, D(f ) = R \ {0}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ ln x2
− 3 = 0 ⇐⇒ x2
= e3
⇐⇒ x = ± e
3
2 ,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 305
x −∞, − e
3
2 − e
3
2 , 0 0, e
3
2 e
3
2 , ∞
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ± e
3
2 a x = 0. Vypočítáme funkční hodnoty
a směrnice tečen, proto f − e
3
2 = −3 e−3
2 , f − e
3
2 = 5 e3
, f e
3
2 = 3 e− 3
2 ,
f e
3
2 = − e−3
.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme
i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
ln x2
x
x
= lim
x→±∞
ln x2
x2
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1
x2 · 2x
2x
= 0,
b = lim
x→±∞
ln x2
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1
x2 · 2x
1
= 0.
Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 26. Graf funkce f(x) z Příkladu 275.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
306 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(276) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = x − ln x.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že ln x existuje. Proto máme
D(f) = (0, ∞) .
ii) Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, proto
lim
x→0+
(x − ln x) ∞.
iii) Definiční obor není symetrický, proto funkce f(x) nemůže být sudá ani lichá. Navíc,
je zřejmé, že funkce není ani periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x = ln x.
Pokud si vzpomenete na grafy elementárních funkcí, viz
je zřejmé, že funkce f(x) nemá žádné průsečíky s osou x, proto
x (0, ∞)
sgn f +
f kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = 1 −
1
x
, D(f ) = R \ {0}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 1 =
1
x
⇐⇒ x = 1,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 307
x (0, 1) (1, ∞)
sgn f − +
f
Určíme hodnotu lokálního minima, tj. f (1) = 1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
1
x2
, D(f ) = R \ {0}.
viii) Kritické body neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
x (0, ∞)
sgn f +
f ∪
Je tedy zřejmé, že funkce f(x) nemá inflexní bod.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme i asymptotu
se směrnicí (směr pro x → −∞ nemá smysl), proto
a = lim
x→∞
x − ln x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1 − 1
x
1
= 1,
b = lim
x→∞
(x − ln x − x) = lim
x→∞
ln x = ∞.
Funkce f(x) tey nemá asymptotu se směrnicí.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 27. Graf funkce f(x) z Příkladu 276.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
308 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(277) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = ln
1 + sin x
1 − sin x
v intervalu x ∈ 0, 2π .
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Základní rámec definičního oboru je již dán zadáním příkladu. Dále musí platit
1 + sin x
1 − sin x
> 0 a současně sin x = 1.
Řešení druhé rovnice dostaneme ihned, tj. x = π
2
(stále platí x ∈ 0, 2π ). První
rovnici rozdělíme do dvou možností
1 + sin x > 0 & 1 − sin x > 0 nebo 1 + sin x < 0 & 1 − sin x < 0,
sin x > −1 & sin x < 1 nebo sin x < −1 & sin x > 1,
x ∈ 0, 3π
2
∪ 3π
2
, 2π & x ∈ 0, π
2
∪ π
2
, 2π nebo soustava nemá řešení.
Tedy definiční obor zadané funkce je
D(f) = 0,
π
2
∪
π
2
,
3π
2
∪
3π
2
, 2π .
ii) Určíme hodnoty v krajních bodech definičního oboru, tj. f(0) = 0 a f(2π) = 0. Také
zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dosta-
neme
lim
x→ π
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
= +∞, lim
x→ 3π
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
= −∞.
iii) Vzhledem k definičními oboru není funkce f(x) sudá, lichá ani periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒
1 + sin x
1 − sin x
= 1 ⇐⇒ 1 + sin x = 1 − sin x ⇐⇒
⇐⇒ 2 sin x = 0 ⇐⇒ x = π.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x 0, π
2
π
2
, π π, 3π
2
3π
2
, 2π
sgn f + + − −
f kladná kladná záporná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
1
cos x
, D(f ) = 0,
π
2
∪
π
2
,
3π
2
∪
3π
2
, 2π .
vi) Stacionární body neexistují, nyní určíme intervaly monotonie, tj.
x 0, π
2
π
2
, 3π
2
3π
2
, 2π
sgn f + − +
f
Zadaná funkce tedy nemá žádné lokální extrémy.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 309
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
sin x
cos2 x
, D(f ) = 0,
π
2
∪
π
2
,
3π
2
∪
3π
2
, 2π .
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ sin x = 0 ⇐⇒ x1 = 0, x2 = π, x3 = 2π.
x 0, π
2
π
2
, π π, 3π
2
3π
2
, 2π
sgn f + + − −
f ∪ ∪ ∩ ∩
Je zřejmé, že kritické body x1 = 0 a x3 = 2π nemohou být inflexními body. Určíme
funkční hodnotu a směrnici tečny v inflexním bodě x = π, tj. f (π) = 0 a f (π) = 0.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = π
2
a x = 3π
2
.
Poněvadž jsme na omezeném intervalu, nemá smysl uvažovat asymptoty se směrnicí.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 28. Graf funkce f(x) z Příkladu 277.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
310 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(278) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = x e−x2
2 .
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Funkce f(x) je spojitá v celém definičním oboru.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = −x e−x2
2 = −f(x),
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = e− x2
2 1 − x2
, D(f ) = R.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 1 − x2
= 0 ⇐⇒ x = ±1,
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f − + −
f
Funkce f(x) má lokální minimum pro x = −1 a lokální maximum x = 1 s funkčními
hodnotami f(−1) = − e−1
2 a f(1) = e− 1
2 .
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = x e−x2
2 x2
− 3 , D(f ) = R \ {±1}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x x2
− 3 = 0 ⇐⇒ x1 = 0, x2 = −
√
3, x3 =
√
3.
x −∞, −
√
3 −
√
3, 0 0,
√
3
√
3, ∞
sgn f − + − +
f ∩ ∪ ∩ ∪
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 311
Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ±
√
3 a pro x = 0. Určíme funkční hodnoty
a směrnice tečen v inflexních bodech, proto f −
√
3 = −
√
3 e− 3
2 , f −
√
3 =
−2 e−3
2 , f (0) = 0, f (0) = 1, f
√
3 =
√
3 e− 3
2 a f
√
3 = −2 e− 3
2 .
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty se směrnicí. Určíme i asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
x e−x2
2
x
= lim
x→±∞
e− x2
2 = 0,
b = lim
x→±∞
x e− x2
2 = lim
x→±∞
x
e
x2
2
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1
x e
x2
2
= 0.
Funkce f(x) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 29. Graf funkce f(x) z Příkladu 278.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
312 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(279) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = x − arctg x.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Je zřejmé, že funkce f(x) je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = −x − arctg(−x) = −(x − arctg x) = −f(x)
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určit průsečíky s osou x není snadné, zřejmě
f(x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Existence dalších nulových bodů můžeme vyloučit, neboť v bodě vi) ukážeme, že
funkce je stále rostoucí. Proto obdržíme
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f záporná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = 1 −
1
1 + x2
=
x2
1 + x2
, D(f ) = R.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x2
= 0 ⇐⇒ x = 0,
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f + +
f
Funkce f(x) tedy nemá lokální extrémy.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2x
(1 + x2)3
, D(f ) = R.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
x (−∞, 0) (0, ∞)
sgn f − +
f ∩ ∪
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 313
Funkce f(x) má tedy inflexní bod pro x = 0. Z předchozího již víme, že f(0) = 0.
V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 0, což znamená, že tečna je
v tomto bodě rovnoběžná s osou x.
ix) Asymptoty bez směrnice neexistují, určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují),
proto
a = lim
x→±∞
x − arctg x
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
1 − 1
1+x2
1
= 1,
b = lim
x→±∞
(x − arctg x − x) = − lim
x→±∞
arctg x = ±
π
2
.
Funkce f(x) má tedy dvě asymptoty se směrnicí. Pro x → −∞ je dána rovnicí
y = x + π
2
a pro x → +∞ máme y = x − π
2
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 30. Graf funkce f(x) z Příkladu 279.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
314 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(280) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = arccos
2x
1 + x2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, proto
D(f) = R.
ii) Funkce f(x) je spojitá v celém definičním oboru.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = arccos
−2x
1 + x2
= π − arccos
2x
1 + x2
,
(zde jsme využili vztah arccos(−x) = π−arccos x) není zadaná funkce lichá ani sudá
(to zjistíme již z grafu elementární funkce arccos x). Je zřejmé, že funkce nemůže být
periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒
2x
1 + x2
= 1 ⇐⇒ (x − 1)2
= 0 ⇐⇒ x = 1.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 1) (1, ∞)
sgn f + +
f kladná kladná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 x2
− 1
|x2 − 1| · (x2 + 1)
, D(f ) = R \ {±1}.
vi) Vzhledem k definičnímu oboru f (x) nemáme žádné stacionární body, určíme intervaly
monotonie, tj.
x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)
sgn f + − +
f
Funkce f(x) má lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum x = 1 s hodnotami
f (−1) = π a f (1) = 0. V těchto bodech není první derivace definována, proto zde
má graf funkce f(x) hrot.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
−4x x2
− 1
|x2 − 1| · (x2 + 1)2
, D(f ) = R \ {±1}.
viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 4x x2
− 1 = 0 ⇐⇒ x = 0,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 315
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞)
sgn f + − + −
f ∪ ∩ ∪ ∩
Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ±1 a x = 0. Určíme potřebné funkční
hodnoty a směrnice tečen, tj. f(−1) = π, limx→−1− f (x) = 1, limx→−1+ f (x) = −1,
f(0) = π
2
, f (0) = −2, f(1) = 0, limx→1− f (x) = −1, limx→1+ f (x) = 1.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme i asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
arccos 2x
1+x2
x

π
2
∞
 = 0,
b = lim
x→±∞
arccos
2x
1 + x2
=
π
2
.
Funkce f(x) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = π
2
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 31. Graf funkce f(x) z Příkladu 280.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
316 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(281) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
3
2x2 − x3.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Je zřejmé, že funkce f(x) je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
3
2x2 + x3 = −
3
−2x2 − x3
není zadaná funkce ani sudá ani lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ x2
(2 − x) = 0 ⇐⇒ x1 = 0, x2 = 2.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞)
sgn f + + −
f kladná kladná záporná
Ze změny znamének je vidět, že v bodě x = 0 je pouze bod dotyku osy x nikoli její
průsečík.
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
4x − 3x2
3 3
(2x2 − x3)2
, D(f ) = R \ {0, 2}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ x(4 − 3x) = 0 ⇐⇒ x1 = 0, x2 =
4
3
,
x (−∞, 0) 0, 4
3
4
3
, 2 (2, ∞)
sgn f − + − −
f
Funkce f(x) má lokální minimum pro x = 0 a lokální minimum pro x = 4
3
s hodnotami
f (0) = 0 a f 4
3
= 2
3
3
√
4. Navíc, v bodě x = 0 není první derivace definována, bude
mít graf funkce v tomto bodě hrot.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) = −
8
9(2 − x) 3
(2x2 − x3)2
, D(f ) = R \ {0, 2}.
viii) Druhá derivace nemá nulový bod, určíme tedy intervaly konvexnosti a konkávnosti,
tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 317
x (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞)
sgn f − − +
f ∩ ∩ ∪
V bodě x = 2 má funkce f(x) inflexní body. Z předchozího již víme, že f(2) =
0. V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, ovšem f (2) neexistuje. Z výpočtu
limx→2 f (x) = −∞ plyne, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou y.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
3
√
2x2 − x3
x
= lim
x→±∞
3 2x2 − x3
x3
= lim
x→±∞
3
2
x
− 1
1
= −1,
b = lim
x→±∞
3
2x2 − x3 + x
−∞ + ∞
 =
= lim
x→±∞
x
3 2
x
− 1 + x =
= lim
x→±∞

 1
1
x 3
√2
x
−1
+
1
1
x

 = lim
x→±∞
1 + 1
1
3
√2
x −1
1
x 3
√2
x
−1
0
0

l’H.p.
=
l’H.p.
= lim
x→±∞
2
3(2
x
−1)
4
3 x2
− 1
x2
(2
x
−1)
1
3
+ 2
3x3
(2
x
−1)
4
3
= lim
x→±∞
2x
−4 + 3x
=
2
3
Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = −x + 2
3
.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 32. Graf funkce f(x) z Příkladu 281.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
318 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(282) Vyšetřete průběh funkce
f(x) = 2(x + 1) − 3
3
(x + 1)2
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
D(f) = R.
ii) Zadaná funkce je spojitá v R.
iii) Poněvadž platí
f(−x) = 2(−x + 1) − 3 3
(−x + 1)2
není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 3
3
(x + 1)2
= 0 ⇐⇒ 8(x + 1)3
= 27(x + 1)2
⇐⇒ x1 = −1, x2 =
19
8
.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x (−∞, −1) −1, 19
8
19
8
, ∞
sgn f − − +
f záporná záporná kladná
Je tedy vidět, že v bodě x = −1 je pouze bod dotyku grafu funkce f(x) a osy x.
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) = 2 −
2
3
√
x + 1
, D(f ) = R \ {−1}.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2 −
2
3
√
x + 1
= 0 ⇐⇒ x + 1 = 1 ⇐⇒ x = 0.
x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞)
sgn f + − +
f
Funkce f(x) má lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum pro x = 0 s hodnotami
f(−1) = 0 a f(0) − 1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
2
3 3
(x + 1)4
, D(f ) = R \ {−1}.
viii) Je vidět, že kritické body neexistují. Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 319
x (−∞, −1) (−1, ∞)
sgn f + +
f ∪ ∪
Funkce f(x) tedy nemá inflexní bod.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme nyní asymptoty se
směrnicí (pokud existují), proto
a = lim
x→±∞
2(x + 1) − 3 3
(x + 1)2
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→±∞
2 − 2
3√
x+1
1
= 2,
b = lim
x→±∞
2(x + 1) − 3
3
(x + 1)2
− 2x = lim
x→±∞
2 − 3
3
(x + 1)2
= −∞.
Tedy funkce f(x) nemá ani asymptoty se směrnicí.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
Obrázek 33. Graf funkce f(x) z Příkladu 282.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
320 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(283) Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
cos x
cos(2x)
.
Řešení:
Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.
i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že
cos 2x = 0 ⇐⇒ 2x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z ⇐⇒ x =
π
4
+
kπ
2
, k ∈ Z.
Proto máme
D(f) = R \
k∈Z
π
4
+
kπ
2
.
ii) Spočítáme limitní chování v bodech nespojitosti (budeme uvažovat pouze interval
−π, π , viz bod iii)), tj.
lim
x→− 3π
4
−
cos x
cos(2x)
= −∞, lim
x→− 3π
4
+
cos x
cos(2x)
= +∞,
lim
x→− π
4
−
cos x
cos(2x)
= −∞, lim
x→− π
4
+
cos x
cos(2x)
= +∞,
lim
x→ π
4
−
cos x
cos(2x)
= +∞, lim
x→ π
4
+
cos x
cos(2x)
= −∞,
lim
x→ 3π
4
−
cos x
cos(2x)
= +∞, lim
x→ 3π
4
+
cos x
cos(2x)
= −∞.
iii) Poněvadž platí
f(−x) =
cos(−x)
cos(−2x)
=
cos x
cos(2x)
= f(x),
je zadaná funkce sudá. Funkce cos x je periodická s periodou 2π a funkce cos(2x)
je periodická s periodou π. Proto zadaná funkce f(x) je periodická s periodou 2π.
Při vyšetřování funkce se tudíž omezíme na libovolný interval délky 2π, my zvolíme
interval −π, π
iv) Určíme průsečíky s osou x, tj.
f(x) = 0 ⇐⇒ cos x = 0 ⇐⇒ x1 = −
π
2
, x2 =
π
2
.
Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto
x −π, −3π
4
−3π
4
, −π
2
−π
2
, −π
4
−π
4
, π
4
π
4
, π
2
π
2
, 3π
4
3π
4
, π
sgn f − + − + − + −
f záporná kladná záporná kladná záporná kladná záporná
v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f (x) =
2 cos2
x + 1 sin x
cos(2x)
, D(f ) = R \
k∈Z
π
4
+
kπ
2
.
vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f (x) = 0 ⇐⇒ 2 cos2
x + 1 sin x = 0
⇐⇒ sin x = 0 ⇐⇒ x1 = −π, x2 = 0, x3 = π
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 5. Průběh funkce 321
x (..., −π) −π, −3π
4
−3π
4
, −π
2
−π
2
, −π
4
−π
4
, 0 0, π
4
π
4
, π
2
π
2
, 3π
4
3π
4
, π (π, ...)
sgn f − + − − − + + + − +
f
Funkce f(x) má tedy v intervalu −π, π lokální minima pro x = ±π a lokální
maximum pro x = 0 s hodnotami f (−π) = −1, f (0) = 1, f (π) = −1.
vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f (x) =
11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x cos x
cos3 2x
, D(f ) = R \
k∈Z
π
4
+
kπ
2
.
viii) Vypočítáme kritické body a
f (x) = 0 ⇐⇒ 11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x cos x = 0
⇐⇒ cos x = 0 ⇐⇒ x1 = −
π
2
, x2 =
π
2
.
Rovnice 11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x = 0 nemá řešení, protože při použití substituce
y = cos2
x, dostaneme rovnici 11 − 4y2
− 4y = 0 s řešením y1 = −1
2
−
√
3 <
0 a y2 = −1
2
+
√
3 > 1, tedy řešení původní rovnice neexistuje (stejný výsledek
dostaneme bez počítání s využitím faktu −1 ≤ cos x ≤ 1, potom totiž dostaneme
11 − 4 cos4
x − 4 cos2
x ≥ 3). Nyní určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
x (..., −π) −π, −3π
4
−3π
4
, −π
2
−π
2
, −π
4
−π
4
, π
4
π
4
, π
2
π
2
, 3π
4
3π
4
, π (π, ...)
sgn f − − + − + − + − −
f ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩
Funkce f(x) má proto v intervalu −π, π dva inflexní body pro x = ±π
2
. V inflexních
bodech dopočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f −π
2
= 0, f −π
2
= −1,
f π
2
= 0, f π
2
= 1.
ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má čtyři asymptoty bez směrnice o rovnicích x = −3π
4
,
x = −π
4
, x = π
4
a x = 3π
4
. Vzhledem k periodičnosti funkce f(x) nemají asymptoty se
směrnicí smysl.
x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
322 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Obrázek 34. Graf funkce f(x) z Příkladu 283.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 323
I. 6. Aplikace diferenciálního poˇctu ve slovních
úlohách
Definice 23. Buď funkce f(x) definovaná na množině M. Existuje-li největší (nejmenší) hodnota
funkce f(x), nazýváme ji absolutním maximem (absolutním minimem) funkce f(x) na M. Absolutní
minima a maxima souhrnně nazýváme absolutními extrémy.
Jestliže tedy x0 ∈ M a platí f(x) ≤ f(x0) pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f(x) má na
M absolutní maximum v bodě x0. Podobně pro absolutní minimum.
Poznámka 24. Funkce nabývá absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů nebo v
krajních bodech intervalu (případně žádného globálního extrému nenabývá).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
324 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(284) Obdélník má obvod o, určete jeho strany a, b tak, aby jeho obsah byl maximální.
Řešení:
Ze zadání plyne, že platí
o = 2(a + b) ⇒ a =
o − 2b
2
.
Obsah obdélníku je roven S = a · b, což můžeme pomocí předchozího vztahu vyjádřit jako
funkci proměnné b, tj.
S(b) =
o − 2b
2
· b =
o
2
· b − b2
,
pro niž hledáme maximum. Proto musí platit
S (b) =
o
2
− 2b = 0 ⇒ b =
o
4
.
Ověříme, že nalezený bod je skutečně maximem, tj.
b 0, o
4
o
4
, o
2
sgn S + −
S
Dopočítáme druhý rozměr obdélníku. Proto a = o−2b
2
= o
4
. Což znamená, že obdélník
s maximálním obsahem při pevně zadaném obvodu je právě čtverec.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 325
(285) Určete takové nenulové reálné číslo x, že jeho rozdíl s převrácenou hodnotou druhé
mocniny tohoto čísla je maximální.
Řešení:
Ze zadání plyne, že hledáme maximum funkce
f(x) = x −
1
x2
.
Proto musí platit
f (x) = 1 +
2
x3
= 0 ⇒ x = −
3
√
2.
Z následujícího obrázku plyne, že nalezený bod je skutečně maximum, tj.
x −∞, − 3
√
2 − 3
√
2, ∞
sgn f + −
f
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
326 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(286) Určete rozměry otevřeného zahradního bazénu se čtvercovým dnem daného objemu 32 m3
tak, aby se na vyzdění jeho dna a stěn spotřebovalo minimum materiálu.
Řešení:
Mějme takovýto bazén
Potom ze zadaného objemu můžeme vyjádřit výšku bazénu, tj.
V = a2
· v ⇒ v =
V
a2
.
Funkce určující obsah dna a stěn je
S = a2
+ 4 · v · a ⇒ S(a) = a2
+
4V
a
,
kterou chceme minimalizovat. To znamená, že
S (a) = 2a −
4V
a2
= 0 ⇒ a =
3
√
2V
V=32
⇒ a = 4, v = 2.
Získali jsem skutečně hledané minimu, neboť
a (0, 4) (4, ∞)
sgn S − +
S
Rozměry optimálního bazénu tedy jsou 4 × 4 × 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 327
(287) Muž v loďce je vzdálen 12 km od pobřeží (majícího tvar přímky). Chce se dostat co
nejrychleji do místa na pobřeží, které je od něj vzdáleno 20 km. Rozhodněte, kde se má
vylodit, víte-li, že dokáže veslovat rychlostí 6 km/h a po břehu se pohybovat rychlostí
10 km/h.
Řešení:
Situaci ze zadání lze znázornit takto
Přičemž bod A jeho výchozí pozice a bod C je místo vylodění, které může být v kterémkoli
bodě na pláži, tj. v rozmezí bodů D až B včetně. Platí tedy
|AC|2
= 122
+ x2
⇒ |AC| = 144 + x2.
Hledaný čas je součtem doby jízdy na lodi a dobou, kterou muž půjde po pláži, tj. (čas =
dráha
rychlost
)
t = t1 + t2 =
|AC|
6
+
|CB|
10
⇒ t(x) =
√
144 + x2
6
+
16 − x
10
.
Standardním postupem najdeme stacionární bod(y), tj.
t (x) =
2x
2 · 6 ·
√
144 + x2
−
1
10
= 0 ⇒
x
6
√
144 + x2
=
1
10
⇒
⇒ 10x = 6 144 + x2 ⇒ 100x2
= 36(144 + x2
) ⇒
⇒ 64x2
= 5184 ⇒ x = ±9
je zřejmé, že platí x ∈ 0, 16 , proto máme jediný stacionární bod x = −9 (hodnota
x = −9 by odpovídala zrcadlové situaci na levé straně a dostali jsme ji díky použití
neekvivalentní úpravy při řešení předchozí rovnice). Ověříme, zda jsme obdrželi skutečně
extrém
x 0, 9) (9, 16
sgn t − +
t
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
328 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Poněvadž hodnota x může nabývat i mezní hodnoty intervalu, našli jsme lokální(!) minimum.
Musíme porovnat funkční hodnoty v lokálním minimu a v krajních bodech, tj.
t(9) =
16
5
, t(0) =
18
5
, t(16) =
10
3
.
Neboť platí t(9) < t(16) < t(0), nalezli jsme globální minimum pro x = 9. Proto se muž
musí vylodit ve vzdálenosti 7 km od cílového místa.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 329
(288) Do rotačního kužele o poloměru podstavy r a výšce h vepište válec (s poloměrem R
a výškou H), který má:
i) největší objem;
ii) největší obsah pláště.
Řešení:
i) Situaci znázorníme na obrázku
ze kterého plyne, že
tg α =
h
r
=
H
r − R
=
h − H
R
⇒
h
r
=
H
r − R
=
h − H
R
⇒
⇒
R
h − H
=
r
h
⇒ R =
r(h − H)
h
.
Protože objem válce je dán vztahem V = πR2
H, získáme funkci proměnné H ve tvaru
V(H) = π
r2
(h − H)2
h2
H.
Nyní určíme stacionární body, tj.
V (H) =
πr2
h2
2(h − H) · (−1)H + (h − H)2
=
=
πr2
h2
(h − H) [−2H + h − H] =
πr2
h2
(h − H) [−3H + h] = 0,
což dává dva stacionární body H = h (tato hodnota ovšem dává válec s maximální
možnou výškou a nulovým poloměrem, tedy není potřeba tento stacionární bod uvažovat)
a H = h
3
, který je skutečně hledaným maximem, neboť platí
H 0, h
3
h
3
, h
sgn V + −
V
Našli jsme tedy válec o rozměrech H = h
3
a R =
r(h− h
3 )
h
= 2r
3
o maximálním objemu
V = 4πr2h
27
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
330 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
ii) Obsah pláště válce je dán vztahem Q = 2πRH, což s využitím předchozích výpočtů
znamená
Q(H) = 2π
r(h − H)
h
H.
Deriovováním
Q (H) =
2πr
h
(h − 2H) = 0
najdeme stacionární bod, kterým je hodnota H = h
2
(jedná se skutečně o maximum).
Hledaný válec má rozměry H = h
2
a R = r
2
a maximálním obsahu pláště Q = πrh
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 331
(289) („Problém líného kosa“) Na plotě, jehož výška je 1 m, sedí kos. Ve vzdálenosti 15 m od
plotu roste strom, který má větev ve výšce 3 m. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustě
rozsety žížaly. V jaké vzdálenosti od plotu má kos sezobnout žížalu, aby proletěl trasu
plot → žížala → strom po přímkách a po nejkratší dráze?
Řešení:
Situaci znázorníme na obrázku (vzdálenost x je místo sezobnutí žížaly)
z něhož je patrné, že vzdálenost, kterou kos musí uletět, je dána funkcí
f(x) = x2 + 1 + (15 − x)2 + 9.
Ve stacionárním bodě jistě platí
f (x) =
x
√
x2 + 1
+
2x − 30
2 (15 − x)2 + 9
= 0,
a proto
cos α =
x
√
x2 + 1
=
15 − x
(15 − x)2 + 9
= cos β.
To ovšem znamená, že α = β. Nyní již z podobnosti trojúhelníků dostaneme
x
1
=
15 − x
3
⇒ 3x = 15 − x ⇒ x = 3, 75.
Nalezený bod je skutečně minimum, neboť platí
x (0; 3, 75) (3, 75; 15)
sgn f − +
f
Proto aby kos sezobnul žížalu a přitom urazil nejkratší dráhu, musí ji sezobnout 3,75m
od plotu.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
332 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(290) Do rovnostranného trojúhelníku o straně a vepište rovnoramenný trojúhelník maximálního
obsahu tak, aby vrchol proti jeho základně ležel ve středu strany rovnostranného
trojúhelníku.
Řešení:
Znázorníme si oba trojúhelníky na obrázku
Je známo, že v rovnostranném trojúhelníku platí v =
√
3
2
a, z čehož plyne |CF| = v − w =√
3
2
a − w. Proto můžeme v trojúhelníku CDF spočítat
tg 30 =
z
2
√
3
2
a − w
⇒
z
2
=
a
2
−
√
3
3
w.
Proto můžeme obsah hledaného trojúhelníku vyjádřit pomocí w ve tvaru
S(w) =
zw
2
=
aw
2
−
√
3
3
w2
.
Nyní najdeme stacionární bod
S (w) =
a
2
−
2
√
3
3
w = 0 ⇒ w =
3a
4
√
3
=
√
3a
4
.
Nalezli jsme skutečně maximum, viz
w 0,
√
3a
4
√
3a
4
, v
sgn S + −
S
Dopočítáme druhý rozměr trojúhelníku
z = 2
a
2
−
3
12
a =
a
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 333
Ještě musíme ověřit, že nalezený trojúhelník je rovnoramenný, to ovšem plyne z výpočtu
tg α =
w
z
2
=
2w
z
=
√
3 ⇒ α = 60◦
.
Tedy, hledaný trojúhelník má výšku
√
3a
4
a délku strany a
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
334 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(291) Váš přítel, pozemní inženýr, se na Vás obrátil s prosbou o pomoc. Dostal za úkol vyprojektovat
uprostřed pozemku tvaru čtverce o straně 1,5 km 8 sousedících parcel určených
ke stavbě luxusních vil. Parcely musí být obdélníkové, ve dvou řadách po čtyřech a výměra
každé z nich musí činit 180 arů (tj. celkem 960 arů). Kolem každé parcely musí Váš
přítel nechat postavit cesty. Přitom dlouhá spojovací cesta mezi řadami po čtyřech bude
na obě strany vyvedena mimo pozemek a napojena na silniční síť oblasti. Tyto napojovací
cesty budou financovány plně z fondu EU, takže jejich cenu není potřeba uvažovat. Jaké
rozměry parcel poradíte, aby se za stavbu cest co nejvíce ušetřilo?
Řešení:
Problém, který musíme vyřešit je znázorněn na Obrázku 35.
Obrázek 35. Parcely a cesty.
Je zřejmé, že délka cesty (a tím i její cena) bude minimální, bude-li minimální délka cest
po stranách jednotlivých parcel. Tím se nám problém zjednodušil na následující.
Obrázek 36. Parcely bez cest.
Na Obrázku 36 jsou znázorněny jednotlivé parcely a je přitom zanedbána šířka cesty. To
můžeme provést, neboť plochy cesty vyznačené červeně na Obrázku 37 je nutné vybudovat
vždy, ať už je poměr stran parcel jakýkoli, resp. jde o napojovací cesty financované z EU.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 335
Obrázek 37. Neměnné části cest.
Budeme tedy vycházet z Obrázku 36. Celková plocha parcel je dle zadání 960 arů, tedy
S = 4a · 2b = 8ab = 960.
Naším cílem je minimalizovat délku cest z Obrázku 36, tj.
O = 12a + 10b → min.
Ze vztahu pro obsah plochy snadno dostaneme, že
b =
120
a
,
což dosadíme do vztahu pro délku cest („obvod“ parcel). Tím získáme funkci jedné proměnné
a můžeme formulovat extremální úlohu
O(a) = 12a +
1200
a
→ min.
Mějme přitom na paměti, že pozemek, na kterém pracujeme, má tvar čtverce o straně
1, 5 km, tj. 1500 m a poznamenejme, že jednotky, které používáme jsou ary (1 ar = 100m2
),
tedy všechny výpočty délek provádíme v desítkách metrů. Odtud
2b < 150, 4a < 150,
2
120
a
< 150, a <
75
2
.
150a > 240,
a >
8
5
.
Hledáme tedy globální minimum na intervalu 8
5
, 75
2
. Funkci O zderivujeme a najdeme
její stacionární body.
O (a) = 12 −
1200
x2
= 0,
12a2
= 1200,
a = ±10.
Protože −10 ∈ 8
5
, 75
2
, tento bod nás nezajímá. Porovnejme funkční hodnoty v krajních
bodech intervalu a hodnotu ve stacionárním bodě.
O 8
5
= 3846
5
= 769, 2,
O 75
2
= 482,
O(10) = 240.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
336 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Hledaným minimem je tedy náš stacionární bod. Nyní snadno dopočítáme rozměr b.
b =
120
a
=
120
10
= 12.
Za daných podmínek jsou tedy nejlepší volbou parcely o rozměrech 100 × 120m, přičemž
větší rozměr je vertikální.
Poznámka 25. Cílem Příkladu 291 bylo naznačit způsob, jakým je možné reálné zadání
zjednodušit za účelem zpřehlednění výpočtů. Poznamenejme, že jakékoli zjednodušování
by vždy mělo být řádně zdůvodněno a samozřejmě nesmí nijak ovlivnit výsledek.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 337
(292) V továrně na výrobu kalkulaček zjistili, že pokud vyjádří výnos a náklady jako funkci
proměnné x reprezentující počet kalkulaček (v tisících) vyrobených za hodinu, obdrží
funkce:
r(x) = 9x pro výnos,
c(x) = x3
− 6x2
+ 15x pro náklady.
Určete při jakém objemu výroby bude mít továrna největší zisky.
Řešení:
Nejprve naformulujme problém. Protože
zisk = výnos − náklady,
obdržíme pro zisk funkci
p(x) = r(x) − c(x) = −x3
+ 6x2
− 6x
a hledáme její maximum.
p (x) = −3x2
+ 12x − 6 = 0 ⇔ x = 2 ±
√
2.
Zjistěme nyní, pro která x daná funkce roste a pro která klesá. Vzhledem k tomu, že
nelze vyrobit záporný počet kalkulaček, zajímá nás její chování jen na intervalu [0, ∞).
(Samozřejmě není reálná ani výroba a prodej nekonečného počtu kalkulaček, ale horní
omezující podmínka pro nás není dostupná. Výsledek musíme vhodně interpretovat a případně
omezující podmínku najít, nebo požadovat od zadavatele problému.)
x (0, 2 −
√
2) (2 −
√
2, 2 +
√
2) (2 +
√
2, ∞)
sgn f − + −
f
Největšího zisku tedy továrna dosáhne při výrobě 2 +
√
2 tisíc kalkulaček za hodinu (tj.
cca 3 414 kalkulaček za hodinu).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
338 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(293) Popište dráhu světelného paprsku z bodu A v prostředí s rychlostí šíření světla c1 do
bodu B s rychlostí šíření světla c2. Hranici mezi prostředími uvažujte rovnou.
Řešení:
Nejprve zadaný problém důkladně graficky znázorníme. Přitom využijeme faktu, že příroda
se chová vždy efektivně, takže světelný paprsek využije trasu, která je nejméně časově
náročná. Dráhou tedy bude lomená čára. Na Obrázku 38 je znázorněna modře.
Obrázek 38. Dráha světelného paprsku.
Z Obrázku 38 je zřejmé, že popis dráhy provedeme pomocí úhlu dopadu θ1 a úhlu lomu
θ2. Přitom jsme jako bod P označili bod, ve kterém světelný paprsek prochází z prvního
do druhého prostředí. Přitom souřadnice důležitých bodů jsou:
A = [0, a], P = [0, x], B = [−b, d].
Dokážeme-li tedy popsat vztah úhlů θ1 a θ2, budeme schopni např. ze znalosti polohy
zdroje světla a úhlu dopadu dopočítat bod B, nebo ze znalosti poloh bodů A a B dopočítat
vzdálenost x a tedy polohu bodu P apod. Zdůrazněme, že osa x se kryje s hranicí daných
prostředí. Jedním z nejzákladnějších fyzikálních vztahů je vzorec
v = s · t ⇒ t =
s
v
,
kde s značí dráhu, v rychlost a t čas. Označme čas, který potřebuje světlo pro cestu
z bodu A do bodu P jako t1 a čas, který potřebuje světlo pro cestu z bodu P do bodu B
jako t2. Z Obrázku 38 je zřejmé, že platí
t1 =
|AP|
c1
=
√
a2 + x2
c1
,
t2 =
|PB|
c2
=
b2 + (d − x)2
c1
.
Celkový čas je samozřejmě roven součtu t1 + t2 a je závislý na pozici bodu P, tj. na
velikosti x. Naformulujme extremální problém:
t(x) =
√
a2 + x2
c1
+
b2 + (d − x)2
c1
→ min, x ∈ 0, d .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 339
Najděme nyní vztah popisující stacionární bod funkce t a dokažme, že jde o globální
minimum. Nejprve ji zderivujeme podle proměnné x.
t (x) =
x
c1
√
a2 + x2
−
d − x
c2 b2 + (d − x)2
.
Všimněme si, že (opět viz Obrázek 38)
sin θ1 =
x
√
a2 + x2
, sin θ2 =
d − x
b2 + (d − x)2
.
Celkem jsme dostali, že pro hledaný stacionární bod platí
t (x) =
sin θ1
c1
−
sin θ2
c2
= 0.
Tedy
sin θ1
c1
=
sin θ2
c2
. (1)
Tento vztah je ve fyzice znám jako Snellův zákon (Willebrord Snellius rozený Willebrord
Snel van Royen, 1580 – 1626, Leiden, Nizozemsko; prvním objevitelem tohoto zákona je
Abu Sa’d al-’Ala’ ibn Sahl, cca 940 – 1000, Bagdád).
Abychom byli zcela korektní, musíme ovšem ještě dokázat, že popsaný stacionární bod
existuje a že jde skutečně o globální minimum. Dosadíme-li do původního vztahu pro
derivaci funkce t body 0 a d, zjistíme, že
t (0) =
0
c1
√
a2 + 02
−
d − 0
c2 b2 + (d − 0)2
= −
d
c2
√
b2 + d2
< 0,
t (d) =
d
c1
√
a2 + d2
−
d − d
c2 b2 + (d − d)2
=
d
c1
√
a2 + d2
> 0.
Protože je t (x) funkce spojitá na intervalu 0, d a ukázali jsme, že má v krajních bodech
tohoto intervalu opačná znaménka, existuje (dle první Bolzanovy věty) takové x0 ∈ 0, d ,
že t (x0) = 0. Tedy stacionární bod existuje. Spočtěme nyní druhou derivaci funkce t
a pokusme se určit, zda je na intervalu 0, d konvexní, nebo konkávní.
t (x) =
a2
c1(a2 + x2)
3
2
+
b2
c2 [b2 + (d − x)2]
3
2
> 0, ∀x ∈ 0, d ,
takže funkce t je na intervalu 0, d konvexní. Odtud plyne, že stacionární bod popsaný
vztahem (1) je jediným lokálním minimem funkce t. Vzhledem k tomu, že druhá t je na
0, d kladná, je na celém 0, d funkce t rostoucí. Navíc již víme, že t(0) < 0 a t(d) > 0.
Funkce t tedy z bodu x = 0 klesá do bodu x = x0 a z něj pak roste do bodu x = d.
Bod x = x0 je tedy opravdu globálním minimem funkce t a dráha světelného paprsku je
popsána vztahem (1) správně.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
340 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(294) Chceme přestěhovat žebřík chodbou širokou p metrů, která se pravoúhlou zatáčkou mění
na chodbu širokou q metrů. Jaký nejdelší žebřík lze touto zatáčkou pronést ve vodorovné
poloze? (Jeho šířku zanedbejte.)
Řešení:
Nejprve zadaný problém důkladně graficky znázorníme. Žebřík je na obrázku 39 znázorněn
modře. Pronášíme ho ve vodorovné poloze, ale samozřejmě tak aby jeho stupy
směřovaly dolů, tím bude šířka pronášeného objektu redukována na několik centimetrů.
Ze zadání máme tuto šířku pro jednoduchost zanedbat. Poznamenejme, že je skutečně
efektivní nejprve vyřešit takto zjednodušený případ obecně a úpravy provádět až se znalostí
jeho výsledku buď obecně, nebo už pro konkrétní případ.
Obrázek 39. Dráha světelného paprsku.
Nejprve zdůrazněme souřadnice významných bodů:
A = [a, 0] bod dotyku na vnější zdi vodorovné chodby,
B = [0, l2 − a2] bod dotyku na vnější zdi svislé chodby,
R = [p, q] roh chodby o který se může žebřík zaseknout.
Pro účely výpočtu je tedy užitečné představovat si, že žebřík neseme tak, že jeho konce
drhnou po vnějších zdech zatáčky. Naším úkolem je určit takovou délku žebříku l, aby se
žebřík rohu R jen dotkl, ale nezasekl se.
Nejprve určíme rovnici přímky, na které leží žebřík. Její parametrický popis je (pomocí
bodů A a B):
x = a + at,
y = 0 − l2 − a2t, t ∈ R.
Vyloučením parametru t získáme obecnou rovnici
x
a
+
y
√
l2 − a2
− 1 = 0,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 341
přičemž dotyk nastane pro [x, y] = [p, q]. Tj.
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 = 0.
Je zřejmé, že platí
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 > 0 žebřík projde bez dotyku,
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 < 0 žebřík se zasekne.
Označme levou stranu předchozích vztahů jako funkci f proměnné a. Žebřík projde zatáčkou
jestliže bude tato funkce nezáporná, přitom proměnnou a má smysl uvažovat pouze
v intervalu (0, l). Tím jsme připraveni formulovat extremální úlohu:
f(a) =
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 → min, a ∈ (0, l).
Najděme stacionární body funkce f.
f (a) = −
p
a2
+
aq
(l2 − a2)
3
2
= 0,
a3
q − p(l2
− a2
)
3
2 = 0,
a2
q
2
3 = p
2
3 (l2
− a2
),
a = ±
p
1
3
l
(p
2
3 + q
2
3 )
1
2
.
Protože jde o délku, zajímá nás pouze kladný výsledek (záporná hodnota navíc nenáleží
do intervalu (0, l)). Označme nalezený stacionární bod
a0 =
p
1
3
l
(p
2
3 + q
2
3 )
1
2
.
Nyní určeme pomocí druhé derivace zakřivení funkce f na intervalu (0, l).
f (a) =
2p
a3
+
q(l2
− a2
)
3
2 + 3aq2
(l2
− a2
)
1
2
(l2 − a2)3
> 0, ∀a ∈ (0, l).
Funkce f je tedy konvexní na celém intervalu (0, l), a bod a0 je tedy bodem minima.
Nyní zbývá jen určit maximální možnou délku žebříku. Dosaďme bod a0 do funkce f.
f(a0) =
(p
2
3 + q
2
3 )
3
2
l
− 1.
K dotyku dojde, tedy žebřík bude nejdelší možný, jestliže f(a0) = 0. Odtud
l = (p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
Za podmínek a hodnot ze zadání je největší možná délka žebříku, který projde zatáčkou,
(p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
342 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova vˇeta
Věta 26. Funkce f má v bodě x0 diferenciál (je diferencovatelná v x0) právě tehdy, když existuje
vlastní derivace f (x0). Přitom platí
df(x0)(h) = f (x0) · h, píšeme též df(x) = f (x) dx.
Pro dostatečně malé h platí:
f(x0 + h)
.
= f(x0) + f (x0)h, též f(x) ≈ f(x0) + f (x0)(x − x0) pro x → x0.
Věta 27 (Taylorova věta). Nechť má funkce f v okolí bodu x0 vlastní derivace až do řádu n + 1
pro nějaké n ∈ N ∪ {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec
f(x) = f(x0) +
f (x0)
1!
(x − x0)+
f (x0)
2!
(x − x0)2
+ · · · +
f(n)
(x0)
n!
(x − x0)n
+ Rn(x),
kde Rn(x) =
f(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)n+1
,
přičemž ξ je vhodné číslo ležící mezi x0 a x. Chyba Rn(x) se nazývá zbytek
Zbytek uvedený v Taylorově větě je v tzv. Lagrangeově tvaru, což není jediná možnost jeho
vyjádření.
Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom.
Pokud v Taylorově větě položíme x0 = 0, získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv. Maclaurinův
polynom.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343
(295) Určete df(x0)(h) pro f(x) =
√
x2 + 1 a x0 = 1.
Řešení:
Nejdříve musíme vyčíslit derivaci funkce f(x) v bodě x0, tj.
f (x) =
x
√
x2 + 1
x0=1 1
√
2
,
proto dle definice platí
df(1)(h) =
√
2
2
h.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
344 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(296) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete
√
382.
Řešení:
Nejdříve musíme zvolit vhodnou funkci f(x), jejímž vyčíslením obdržíme
√
382. Zvolíme
f(x) =
√
x (druhou možnou volbou by mohla být např. funkce g(x) = x
√
382). Nyní musíme
zvolit vhodný bod x0. Tento bod musí být zvolen tak, abychom byli bez problémů schopni
vyčíslit funkci f(x) v tomto bodě. Navíc, tento bod by měl být nejbližší možný k zadané
hodnotě, abychom se dopustili co nejmenší chyby. Proto zvolíme x0 = 400 a h = −18
(aby platilo 382 = x0 + h). Potom vyčíslíme funkci a její derivaci v bodě x0, tj.
f(x) =
√
x
x0=400
20, f (x) =
1
2
√
x
x0=400 1
40
.
Nyní pomocí diferenciálu funkce obdržíme
f(382) = f(400 − 18) =
√
382 ≈ 20 −
18
40
= 19, 55.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 345
(297) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete 5
√
36.
Řešení:
Zvolíme f(x) = 5
√
x, x0 = 32 a h = 4. Potom
f(x) = 5
√
x
x0=32
2, f (x) =
1
5
5
√
x4
x0=32 1
80
.
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
f(36) = f(32 + 4) =
5
√
36 ≈ 2 +
4
80
= 2, 05.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
346 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(298) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete arctg 1, 1.
Řešení:
Zvolíme f(x) = arctg x, x0 = 1 a h = 0, 1. Potom
f(x) = arctg x
x0=1 π
4
, f (x) =
1
1 + x2
x0=1 1
2
.
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
f(1, 1) = f(1 + 0, 1) = arctg 1, 1 ≈
π
4
+
0, 1
2
=
π
4
+ 0, 05.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 347
(299) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete ln 1, 3.
Řešení:
Zvolíme f(x) = ln x, x0 = 1 a h = 0, 3. Potom
f(x) = ln x
x0=1
0, f (x) =
1
x
x0=1
1.
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
f(1, 3) = f(1 + 0, 3) = ln 1, 3 ≈ 0 + 1 · 0, 3 = 0, 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
348 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(300) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete sin(−0, 22).
Řešení:
Zvolíme f(x) = sin x, x0 = 0 a h = −0, 22. Potom
f(x) = sin x
x0=0
0, f (x) = cos x
x0=0
1.
Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme
f(−0, 22) = f(0 − 0, 22) = sin (−0, 22) ≈ 0 + 1 · (−0, 22) = −0, 22.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 349
(301) Napište Taylorův polynom pro n = 4, x0 = 1 a f(x) = x ln x.
Řešení:
Než sestavíme Taylorův polynom, musíme vyčíslit funkci a všechny potřebné (tj. až do
čtvrtého řádu) derivace v bodě x0, tj.
f(x) = x ln x
x0=1
0,
f (x) = ln x + 1
x0=1
1,
f (x) =
1
x
x0=1
1,
f (x) = −
1
x2
x0=1
−1,
f(4)
(x) =
2
x3
x0=1
2.
Proto nyní dle definice platí
x ln x = 0 + 1 · (x − 1) +
1
2!
(x − 1)2
−
1
3!
(x − 1)3
+
2
4!
(x − 1)2
=
= x − 1 +
1
2
(x − 1)2
−
1
6
(x − 1)3
+
1
12
(x − 1)4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
350 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(302) Napište Taylorův vzorec pro n = 2, x0 = 1 a f(x) = arctg x.
Řešení:
Nejdříve vyčíslíme funkci a první dvě derivace v bodě x0 a také spočítáme (ale nevyčíslíme)
třetí derivaci, tj.
f(x) = arctg x
x0=1 π
4
,
f (x) =
1
1 + x2
x0=1 1
2
,
f (x) =
−2x
(1 + x2)2
x0=1
−
1
2
,
f (x) =
2 3x2
− 1
(1 + x2)3
.
Proto nyní platí
arctg x =
π
4
+
1
2
(x − 1) −
1
4
(x − 1)2
+
6ξ2
− 2
6(ξ2 + 1)3
(x − 1)3
, kde ξ leží mezi x a 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 351
(303) Určete maximální chybu v aproximaci z Příkladu 302, kde x ∈ (0, 9; 1, 1).
Řešení:
Chyba je určena výrazem
R2(x) =
6ξ2
− 2
6(ξ2 + 1)3
(x − 1)3
, 0, 9 < ξ < 1, 1.
Musíme tedy vhodně omezit výraz |R2(x)| a tak určit maximální chybu aproximace. Nejdříve
se zaměříme na čitatele, tj.
6ξ2
− 2
|a + b| ≤ |a| + |b|
 ≤ 6 |ξ|2
+ 2 < 6 · 1, 12
+ 2 = 9, 26.
Jmenovatele omezíme takto
6(ξ2
+ 1)3
= 6 ξ2
+ 1
2
≥ 10, 86, neboť jistě platí ξ2
+ 1 > 0, 92
+ 1 = 1, 81.
Proto nyní můžeme psát
|R2(x)| =
6ξ2
− 2
6(ξ2 + 1)3
|(x − 1)|3
≤
9, 26
10, 86
|(x − 1)|3
≤ 0, 8526 · 0, 13
= 0, 00085
.
= 0, 0009.
Maximální chyba aproximace Taylorovým polynomem druhého stupně je 0, 0009.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
352 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(304) Vyjádřete funkci sin xπ
4
pomocí mocnin x − 2.
Řešení:
Takovéto vyjádření je možné pomocí Taylorova polynomu. Ze zadání plyne, že x0 = 2 a že
musíme polynom sestavit v obecné podobě, neboť nebyl zadán stupeň aproximace. Proto
f(x) = sin
xπ
4
x0=2
1,
f (x) =
π
4
cos
xπ
4
x0=2
0,
f (x) = −
π
4
2
sin
xπ
4
x0=2
−
π
4
2
,
f (x) = −
π
4
3
cos
xπ
4
x0=2
0,
f(4)
(x) =
π
4
4
sin
xπ
4
x0=2 π
4
4
.
Z tvaru jednotlivých derivací můžeme pro k ∈ N ∪ {0} odvodit
f(2k)
(x) = (−1)k π
4
2k
sin
xπ
4
x0=2
(−1)n π
4
2k
,
f(2k+1)
(x) = (−1)k π
4
2k+1
cos
xπ
4
x0=2
0.
Proto hledaný Taylorův polynom je tvaru
sin
xπ
4
= 1 −
π
4
2 (x − 2)2
2!
+
π
4
4 (x − 2)4
4!
+ · · · + (−1)n π
4
2n (x − 2)2n
(2n)!
+ · · ·
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 353
(305) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = ex
.
Řešení:
Musíme vyčíslit funkci a všechny derivace v bodě x0, tj.
f(x) = ex x0=0
1,
f (x) = ex x0=0
1.
Navíc, je zřejmé že platí f(x) = f (x) = f (x) = · · · = f(n)
(x) a f(x0) = f (x0) = f (x0) =
· · · = f(n)
(x0) = 1. Proto můžeme sestavit Taylorův polynom ve tvaru
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · +
xn
n!
+
eξ
(n + 1)!
xn+1
,
kde ξ leží mezi 0 a x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
354 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(306) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = sin x.
Řešení:
Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě x0, tj.
f(x) = sin x
x0=0
0,
f (x) = cos x
x0=0
1,
f (x) = − sin x
x0=0
0,
f (x) = − cos x
x0=0
−1,
f(4)
(x) = sin x
x0=0
0.
Navíc, je zřejmé, že pro k ∈ N ∪ {0} platí
f(2k)
= (−1)k
sin x
x0=0
0,
f(2k+1)
= (−1)k
cos x
x0=0
1.
Proto můžeme napsat
sin x = x −
x3
3!
+
x5
5!
+ · · · + (−1)n−1 x2n−1
(2n − 1)!
+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)!
cos ξ,
kde ξ leží mezi 0 a x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 355
(307) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = cos x.
Řešení:
Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě x0, tj.
f(x) = cos x
x0=0
1,
f (x) = − sin x
x0=0
0,
f (x) = − cos x
x0=0
−1,
f (x) = sin x
x0=0
0,
f(4)
(x) = cos x
x0=0
1.
Navíc, je zřejmé, že pro k ∈ N ∪ {0} platí
f(2k)
= (−1)k
cos x
x0=0
1,
f(2k+1)
= (−1)k
sin x
x0=0
0.
Proto můžeme napsat
cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!
+ (−1)n x2n+2
(2n + 2)!
cos ξ,
kde ξ leží mezi 0 a x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
356 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(308) Užitím Maclaurinova polynomu vypočtěte přibližnou hodnotu čísla e s chybou menší než
0, 001.
Řešení:
Z Příkladu 305 víme, že platí
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · +
xn
n!
+
eξ
(n + 1)!
xn+1
,
což pro x = 1 dává
e = 1 + x +
1
2!
+
1
3!
+ · · · +
1
n!
+
eξ
(n + 1)!
,
kde ξ ∈ (0, 1). K tomu, abychom dosáhli chyby menší než 0, 001, musíme vyřešit nerovnici
eξ
(n + 1)!
< 0, 0001
protože ξ ∈ (0, 1)
 ⇒
3
(n + 1)!
< 0, 0001 ⇒
⇒ 3000 < (n + 1)! ⇒ n > 5.
Proto musíme použít Taylorův polynom alespoň šestého stupně, tj.
e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
= 2, 718055556.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 357
(309) Pro jaké hodnoty x platí přibližný vztah cos x = 1 − x2
2
s přesností 0, 0001?
Řešení:
Z Příkladu 307 pro n = 2 víme, že platí
cos x = 1 −
x2
2!
+ R2(x),
kde R2(x) = x4 cos ξ
4!
a ξ leží mezi 0 a x. Z omezenosti funkce cos x plyne, že
x4
cos ξ
24
≤
|cos ξ| x4
24
≤
x4
24
.
Musíme proto vyřešit nerovnici
x4
24
≤ 0, 0001 ⇒ x4
≤ 0, 0001.
Řešením tedy je x ∈ − 4
√
0, 0024, 4
√
0, 0024
.
= −0, 222, 0, 222 , tj. |x| ≤ 0, 222 = 12◦
30 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
358 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(310) Pomocí Taylorova polynomu pro n = 3 určete přibližně 3
√
30.
Řešení:
Uvažujme funkci f(x) = 3
√
x a položme x0 = 27. Vypočteme funkční hodnotu a všechny
potřebné derivace v bodě x0, tj.
f(x) = 3
√
x
x0=27
3,
f (x) =
1
3
3
√
x2
x0=27 1
27
,
f (x) = −
2
9
3
√
x5
x0=27
−
2
2187
,
f (x) =
10
27
3
√
x8
x0=27 10
177147
.
Nyní můžeme vypočítat přibližnou hodnotu
3
√
30 = 3 +
1
27
· 3 +
− 8
2187
2
· 32
+
10
177147
6
· 33 .
= 3, 10725.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 359
(311) Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu cos 1◦
(výsledek
uveďte na 6 desetinných míst).
Řešení:
Z Příkladu 307 víme, že platí
cos x = 1 −
x2
2
,
proto obdržíme
cos 1◦
= cos
π
180
= 1 −
π2
1802
2
.
= 0, 999847.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
360 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(312) Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu sin 2◦
(výsledek
uveďte na 6 desetinných míst).
Řešení:
Z Příkladu 306 víme, že platí
sin x = x −
x3
6
,
proto obdržíme
sin 2◦
= sin
2π
180
=
π
90
−
π3
903
6
.
= 0, 034899.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 361
(313) Vypočtěte číslo log 11 s přesností 10−5
.
Řešení:
Zvolíme f(x) = log x a x0 = 10. Nyní vyčíslíme funkci a její derivace v bodě x0, tj.
f(x) = log x
x0=10
1,
f (x) =
1
x ln 10
x0=10 1
10 ln 10
,
f (x) = −
1
x2 ln 10
x0=10
−
1
102 ln 10
,
f (x) =
2
x3 ln 10
x0=10 2
103 ln 10
,
f(4)
(x) = −
6
x4 ln 10
x0=10
−
6
104 ln 10
.
Obecně můžeme psát
f(n)
(x) = (−1)n−1 (n − 1)!
xn ln 10
x0=10
(−1)n−1 (n − 1)!
10n ln 10
.
Tedy Taylorův vzorec je tavru
log x = 1 +
1
10 ln 10
(x − 10) −
1
102 ln 10
2!
(x − 10)2
+
2
103 ln 10
3!
(x − 10)3
+
+ · · · + (−1)n−1 (n − 1)!
n!10n ln 10
(x − 10)n
+ Rn(x),
kde
Rn(x) = (−1)n n!
(n + 1)!ξn ln 10
(x − 10)n+1
a ξ leží mezi x a 10. Abychom dosáhli požadované přesnosti, musíme vyřešit nerovnici
|Rn(11)| =
1
(n + 1)ξn+1 ln 10
< 10−5
⇒
1
n + 1
1
ξn+1
< 10−5
ln 10
 1
n+1
< 1
 ⇒
⇒
1
ξn+1
< 10−5
ln 10
ξ ∈ (10, 11)
 ⇒
⇒
1
10n+1
< 10−5
ln 10 ⇒
⇒ 10−n−1
< 10−5
ln 10 ⇒
⇒ (−n − 1) ln 10 < ln 10−5
ln 10 < 5 ⇒
⇒ −n − 1 <
ln 10−5
ln 10
ln 10
< −5 ⇒
⇒ −n < −4 ⇒ n > 4,
musíme tedy použít Taylorův polynom alespoň pátého stupně, tj.
log 11 = 1 +
1
10 ln 10
−
1
2 · 102 ln 10
+
2!
3! · 103 ln 10
−
−
3!
4! · 104 ln 10
+
4!
5! · 105 ln 10
= 1, 041392752.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
II. Integrální poˇcet funkcí
jedné promˇenné
II. 1. Základní integraˇcní metody
Definice 28. Nechť funkce f(x) je definována na intervalu I. Funkce F(x) se nazývá primitivní
k funkci f(x) na I, jestliže platí F (x) = f(x) pro každé x ∈ I.
Množina všech primitivních funkcí k funkci f(x) na I se nazývá neurčitý integrál z funkce f(x)
a značí se f(x) dx, tj.
f(x) dx := {F(x) : F(x) je primitivní funkce k f(x) na I} .
Základní vzorce pro integrování (k ∈ R):
(f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx,
k · f(x) dx = k · f(x) dx.
Integrování elementárních funkcí (a, b, k, C, α, β ∈ R, a > 0, b = 0 jsou dané konstanty a C je
integrační konstanta):
k dx = kx + C, xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C,
1
x
dx = ln |x| + C, ex
dx = ex
+C,
ax
dx =
ax
ln a
+ C, sin x dx = − cos x + C,
cos x dx = sin x + C,
1
x2 + 1
dx = arctg x + C,
1
√
1 − x2
dx = arcsin x + C,
1
cos2 x
dx = tg x + C,
1
sin2
x
dx = − cotg x + C,
f (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C.
f(x) dx = F(x) + C ⇒ f(αx + β) dx =
1
α
F(αx + β) + C.
Věta 29 (Integrování per-partes). Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na intervalu I. Pak
platí
u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − u (x) · v(x) dx,
pokud alespoň jeden z uvedených integrálů existuje.
363
364 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
u(x) v (x)
P(x) · ekx
P(x) ekx
P(x) · akx
P(x) akx
P(x) · sin(kx) P(x) sin(kx)
P(x) · cos(kx) P(x) cos(kx)
u(x) v (x)
P(x) · lnn
x lnn
x P(x)
P(x) · logn
b x logn
b x P(x)
P(x) · arcsin(kx) arcsin(kx) P(x)
P(x) · arccos(kx) arccos(kx) P(x)
P(x) · arctg(kx) arctg(kx) P(x)
P(x) · arccotg(kx) arccotg(kx) P(x)
Tabulka 1. Jak volit funkce při integrování per-partes (P(x) je polynom, k ∈ R).
Věta 30 (Substituční metoda). Nechť funkce f(u) má na otevřeném intervalu J primitivní funkci
F(u), funkce ϕ(x) má derivaci na otevřeném intervalu I a pro libovolné x ∈ I je ϕ(x) ∈ J. Pak
má složená funkce f[ϕ(x)]ϕ (x) na intervalu I primitivní funkci a platí
f[ϕ(x)]ϕ (x) dx
ϕ(x) = u
φ (x) dx = du
= f(u) du = F(u) + C = F[ϕ(x)] + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 365
(314) Vypočtěte
x dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
x dx =
x2
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
366 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(315) Vypočtěte
1
x2
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
1
x2
dx = x−2
dx =
x−1
−1
+ C = −
1
x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 367
(316) Vypočtěte
√
x dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
√
x dx = x1/2
dx =
x3/2
3/2
+ C =
2
3
√
x3 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
368 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(317) Vypočtěte
1
3
√
x
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
1
3
√
x
dx = x−1/3
dx =
x2/3
2/3
+ C =
3
2
3
√
x2 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 369
(318) Vypočtěte
e−x
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
e−x
dx = − e−x
+C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
370 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(319) Vypočtěte
1
x2 + 3
dx.
Řešení:
S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců a obdržíme
1
x2 + 3
dx =
1
3
1
x2
3
+ 1
dx =
1
3
1
x√
3
2
+ 1
dx =
1
√
3
arctg
x
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 371
(320) Vypočtěte
1
√
4 − x2
dx.
Řešení:
S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců a obdržíme
1
√
4 − x2
dx =
1
2 1 − x2
4
dx =
1
2
1
1 − x
2
2
dx = arcsin
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
372 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(321) Vypočtěte
3x2
+ 1
x3 + x + 2
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
3x2
+ 1
x3 + x + 2
dx = ln x3
+ x + 2 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 373
(322) Vypočtěte
2
cos2 x
− 3 sin 5x + 2 cos
x
2
+ 3x
−
7
2x
+
4
3 − x
−
2
3x + 2
+ 2 e
2x
3 dx.
Řešení:
Aplikací základních vzorců získáme
2
cos2 x
− 3 sin 5x + 2 cos
x
2
+ 3x
−
7
2x
+
4
3 − x
−
2
3x + 2
+ 2 e
2x
3 dx =
= 2 tg x +
3
5
cos 5x + 4 sin
x
2
+
3x
ln 3
+
7
2x ln 2
− 4 ln |3 − x| −
2
3
ln |3x + 2| + 3 e
2x
3 +C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
374 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(323) Vypočtěte
tg2
(au) du, a = 0.
Řešení:
Postupným upravováním obdržíme
tg2
(au) du =
sin2
(au)
cos2 (au)
du =
1 − cos2
(au)
cos2 (au)
du =
1
cos2 (au)
du − 1 du =
=
1
a
tg (au) − u + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 375
(324) Vypočtěte
tg (bs) ds, b = 0.
Řešení:
Ze základních vzorců získáme
tg (bs) ds =
sin (bs)
cos (bs)
ds = −
1
b
ln |cos (bs)| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
376 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(325) Vypočtěte
x
cos2 x
dx.
Řešení:
S využitím metody per-partes dostaneme
x
cos2 x
dx

u = x u = 1
v = tg x v = 1
cos2 x

= x tg x − tg x dx =
= x tg x −
sin x
cos x
dx = x tg x + ln |cos x| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 377
(326) Vypočtěte
x ln x dx.
Řešení:
Metodou per-partes získáme
x ln x dx

u = ln x u = 1
x
v = x2
2
v = x

=
x2
2
ln x −
x
2
dx =
x2
2
ln x −
x2
4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
378 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(327) Vypočtěte
(2x − 1) ln x dx.
Řešení:
Metodou per-partes získáme
(2x − 1) ln x dx

u = ln x u = 1
x
v = x2
− x v = 2x − 1

=
= (x2
− x) ln x −
1
x
(x2
− x) dx = (x2
− x) ln x − (x − 1) dx =
= (x2
− x) ln x −
x2
2
+ x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 379
(328) Vypočtěte
(x2
+ 1) e−x
dx.
Řešení:
S opakovaným využitím metody per-partes dostaneme
(x2
+ 1) e−x
dx

u = x2
+ 1 u = 2x
v = − e−x
v = e−x

=
= −(x2
+ 1) e−x
+ 2x e−x
dx

u = 2x u = x
v = − e−x
v = e−x

=
= −(x2
+ 1) e−x
−2x e−x
+ 2 e−x
dx =
= −(x2
+ 1) e−x
−2x e−x
+ − 2 e−x
+C = − e−x
(x2
+ 2x + 3) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
380 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(329) Vypočtěte
x2
e−3x
dx.
Řešení:
Metodou per-partes získáme
x2
e−3x
dx

u = x2
u = 2x
v = −1
3
e−3x
v = e−3x

=
= −
1
3
x2
e−3x
+
2
3
x e−3x
dx

u = x u = 1
v = −1
3
e−3x
v = e−3x

=
= −
1
3
x2
e−3x
−
2
9
x e−3x
+
2
9
e−3x
dx = −
1
3
e−3x
x2
+
2
3
x +
2
9
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 381
(330) Vypočtěte
ex
sin x dx.
Řešení:
Po dvojnásobném použití metody per-partes dostaneme
ex
sin x dx

u = ex
u = ex
v = − cos x v = sin x

=
= − ex
cos x + ex
cos x dx

u = ex
u = ex
v = sin x v = cos x

=
= − ex
cos x + ex
sin x − ex
sin x dx,
což znamená, že jsme ve výsledku obdrželi stejný integrál jako v zadání pouze s opačným
znaménkem tj.
ex
sin x dx =
1
2
ex
(sin x − cos x) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
382 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(331) Vypočtěte
cos2
x dx.
Řešení:
S využitím metody per-partes obdržíme
cos2
x dx

u = cos x u = − sin x
v = sin x v = cos x

=
= cos x · sin x + sin2
x dx = cos x · sin x + 1 − cos2
x dx =
= cos x · sin x + 1 − cos2
x dx = cos x · sin x + x − cos2
x dx,
tzn., že
cos2
x dx =
1
2
(sin x · cos x + x) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 383
(332) Vypočtěte
arctg x dx.
Řešení:
Metodou per-partes obdržíme
arctg x dx

u = arctg x u = 1
1+x2
v = x v = 1

=
= x arctg x −
x
1 + x2
dx = x arctg x +
1
2
ln x2
+ 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
384 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(333) Vypočtěte
ln x dx.
Řešení:
Metodou per-partes obdržíme
ln x dx

u = ln x u = 1
x
v = x v = 1

= x ln x − 1 dx = x ln x − x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 385
(334) Vypočtěte
ln x
x
dx.
Řešení:
Tento příklad je možné řešit jak substitucí, tak i per-partes.
Per-partes:
I =
ln x
x
dx =

u = 1
x
u = ln x
v = ln x v = 1
x

=
= ln2
x −
ln x
x
dx = ln2
x − I
⇒ I = ln2
x − I ⇒ 2I = ln2
x ⇒ I =
ln2
x
2
+ C.
Substitucí:
ln x
x
dx =

t = ln x
dt = 1
x
dx

= tdt =
t2
2
+ C =
ln2
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
386 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(335) Vypočtěte
cos x
1 + sin2
x
dx.
Řešení:
S pomocí substituční metody získáme
cos x
1 + sin2
x
dx

t = sin x
dt = cos dx

=
dt
√
1 + t2

u = t +
√
1 + t2
du = 1 + 2t
2
√
1+t2
dt =
√
1+t2+t√
1+t2
dt
du
t+
√
1+t2
= dt√
1+t2

=
=
du
u
= ln |u| + C = ln t + 1 + t2 + C = ln sin x + 1 + sin2
x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 387
(336) Vypočtěte
(1 + ln x)4
x
dx.
Řešení:
Substituční metodou dostaneme
(1 + ln x)4
x
dx

t = ln x
dt = 1
x
dx

= (1 + t)4
dt =
(1 + t)5
5
+ C =
(1 + ln x)5
5
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
388 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(337) Vypočtěte
sin x · cos5
x dx.
Řešení:
Substituční metodou obdržíme
sin x · cos5
x dx

u = cos x
du = − sin x dx

= − u5
du = −
u6
6
+ C = −
cos6
x
6
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 389
(338) Vypočtěte
x e−x2
dx.
Řešení:
Substituční metodou získáme
x e−x2
dx

t = −x2
dt = −2x dx

= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
+C = −
1
2
e−x2
+C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
390 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(339) Vypočtěte
(4 − 7x)10
dx.
Řešení:
Substituční metodou obdržíme
(4 − 7x)10
dx

t = 4 − 7x
dt = −7 dx

= −
1
7
t10
dt = −
1
7
t11
11
+ C = −
1
77
(4 − 7x)11
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 391
(340) Vypočtěte
√
2x − 5 dx.
Řešení:
Použitím substituční metody získáme
√
2x − 5 dx

t = 2x − 5
dt = 2 dx

=
1
2
√
t dt =
1
2
t3/2
3
2
+ C =
1
3
(2x − 5)3 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
392 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(341) Vypočtěte
cos x
(2 + sin x)2
dx.
Řešení:
Substituční metodou obdržíme
cos x
(2 + sin x)2
dx =

t = 2 + sin x
dt = cos x dx

=
dt
t2
= −
1
t
+ C = −
1
2 + sin x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 393
(342) Vypočtěte
x3
e−x2
dx.
Řešení:
Kombinace substituce a metody per-partes dává
x3
e−x2
dx

t = −x2
dt = −2x dx

= −
1
2
(−t) et
dt =
=
1
2
t et
dt

u = t u = 1
v = et
v = et

=
1
2
t et
−
1
2
et
dt =
=
1
2
t et
−
1
2
et
+C = −
1
2
e−x2
(x2
+ 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
394 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(343) Vypočtěte
e
√
x
dx.
Řešení:
Kombinace substituce a metody per-partes dává
e
√
x
dx

t =
√
x
t2
= x
2t dt = dx

= 2 t et
dt

u = t u = 1
v = et
v = et

=
= 2t et
−2 et
dt = 2t et
−2 et
+C = 2 e
√
x
(
√
x − 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 395
(344) Vypočtěte
x arcsin x2
dx.
Řešení:
Kombinace substituce a metody per-partes dává
x arcsin x2
dx

t = x2
dt = 2x dx

=
1
2
arcsin t dt

u = arcsin t u = 1√
1−t2
v = t v = 1

=
=
1
2
t arcsin t −
1
2
t
√
1 − t2
dt

w = 1 − t2
dw = −2t dt

=
1
2
t arcsin t +
1
4
dw
√
w
=
=
1
2
t arcsin t +
1
4
w1/2
1
2
+ C =
1
2
x2
arcsin x2
+
1
2
1 − x4 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
396 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(345) Vypočtěte pomocí per-partes i substituční metodou
1 − x2 dx.
Řešení:
Tento příklad lze řešit dvěma způsoby. Metodou per-partes obdržíme
1 − x2 dx

u =
√
1 − x2 u = −2x
2
√
1−x2
v = x v = 1

=
= x 1 − x2 +
x2
√
1 − x2
dx = x 1 − x2 −
1 − x2
+ 1
√
1 − x2
dx =
= x 1 − x2 −
1 − x2
√
1 − x2
−
1
√
1 − x2
dx =
= x 1 − x2 − 1 − x2 dx +
1
√
1 − x2
dx =
= x 1 − x2 + arcsin x − 1 − x2 dx,
tj.
1 − x2 dx =
1
2
x 1 − x2 + arcsin x + C.
Vhodnou substitucí dostaneme tentýž výsledek, tj.
1 − x2 dx

x = sin t
dx = cos t dt

= 1 − sin2
t cos t dt =
= cos2
dt
Př. (331)
=
1
2
sin t cos t +
t
2
+ C =
1
2
sin t 1 − sin2
t +
arcsin x
2
+ C =
=
1
2
x 1 − x2 +
1
2
arcsin x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 397
(346) Vypočtěte
max{1, x2
} dx.
Řešení:
Pro |x| ≤ 1 platí
max{1, x2
} dx = 1 dx = x + C.
Je-li |x| > 1, platí
max{1, x2
} dx = x2
dx =
x3
3
+ C.
Výsledkem bude spojitá funkce daná následujícím vztahem
max{1, x2
} dx =



x3
3
− 2
3
+ C pro x < −1,
x + C pro |x| ≤ 1,
x3
3
+ 2
3
+ C pro x > 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
398 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
II. 2. Integrace racionální lomené funkce
•
A
x − x0
dx

t = x − x0
dt = dx

=
A
t
dt = A ln |t| + C = A ln |x − x0| + C;
•
A
(x − x0)n
dx

t = x − x0
dt = dx

=
A
tn
dt =
A · t−n+1
−n + 1
+ C =
=
A
(1 − n)(x − x0)n−1
+ C, kde n ≥ 2;
•
Ax + B
x2 + px + q
dx =
A
2
2x + p
x2 + px + q
dx

t = x2
+ px + q
dt = (2x + p)dx

+
+ B −
Ap
2
1
x2 + px + q
dx =
=
A
2
dt
t
+ B −
Ap
2
1
(x − x0)2 + a2
dx = ln |t| +
+ B −
Ap
2
1
a2
dx
x−x0
a
2
+ 1

u = x−x0
a
du = 1
a
dx

=
= ln x2
+ px + q + B −
Ap
2
1
a2
adu
u2 + 1
= ln x2
+ px + q +
+ B −
Ap
2
1
a2
· a · arctg u + C =
= ln x2
+ px + q +
2B − Ap
2a
· arctg
x − x0
a
+ C;
•
Ax + B
(x2 + px + q)n
dx =
A
2
2x + p
(x2 + px + q)n
dx

t = x2
+ px + q
dt = (2x + p) dx

+
+ B −
Ap
2
dx
(x2 + px + q)n
=
=
A
2
dt
tn
+ B −
Ap
2
dx
[(x − x0)2 + a2]n
=
=
A
2
·
1
(1 − n)(x2 + px + q)n−1
+ B −
Ap
2
Kn(x0, a), kde n ≥ 2,
přičemž Kn(x0, a): = dx
[(x−x0)2+a2]n . K dokončení výpočtu posledního integrálu je třeba využít
následující rekurentní formule
Kn+1(x0, a) =
1
a2
2n − 1
2n
Kn(x0, a) +
1
2n
x − x0
[(x − x0)2 + a2]n
,
K1(x0, a) =
1
a
arctg
x − x0
a
,
což ve speciálním případě (x0 = 0 a a = 1) dává
Kn+1(0, 1) =
2n − 1
2n
Kn(0, 1) +
1
2n
x
(x2 + 1)n
,
K1(0, 1) = arctg x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 399
(347) Vypočtěte
x3
+ 1
x(x − 1)3
dx.
Řešení:
x3
+ 1
x(x − 1)3
dx = −
dx
x
+ 2
dx
x − 1
+
dx
(x − 1)2
2
dx
(x − 1)3
=
= − ln |x| + 2 ln |x − 1| −
1
(x − 1)2
−
1
x − 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
400 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(348) Vypočtěte
x3
+ x
(x2 − 1)(x2 − 2)
dx.
Řešení:
x3
+ x
(x2 − 1)(x2 − 2)
dx = −
dx
x − 1
−
dx
x + 1
+
3
2
x −
√
2
dx +
3
2
x +
√
2
dx =
= − ln |x − 1| − ln |x + 1| +
3
2
ln x −
√
2 +
3
2
ln x +
√
2 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 401
(349) Vypočtěte
x6
+ 2x − 1
x5 − x2
dx.
Řešení:
x6
+ 2x − 1
x5 − x2
dx = x dx − 2
dx
x
+
2
3
dx
x − 1
+
2
3
2x + 1
x2 + x + 1
+
dx
x2
=
=
x2
2
− 2 ln |x| +
2
3
ln |x − 1| +
2
3
ln x2
+ x + 1 −
1
x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
402 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(350) Vypočtěte
3x + 7
x2 − 4x + 15
dx.
Řešení:
3x + 7
x2 − 4x + 15
dx =
3
2
2x − 4
x2 − 4x + 15
dx + 13
dx
x2 − 4x + 15
=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 + 13
dx
(x − 2)2 + 11
=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
11
dx
x−2√
11
2
+ 1

t = x−2√
11
dt = 1√
11
dx

=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
√
11
11
dt
t2 + 1
=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
√
11
11
arctg t + C =
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
√
11
arctg
x − 2
√
11
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 403
(351) Vypočtěte
x3
+ 2x + x − 1
x2 − x + 1
dx.
Řešení:
x3
+ 2x + x − 1
x2 − x + 1
dx = (x + 3) dx +
3x − 4
x2 − x + 1
dx =
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
5
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
=
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
10
3
dx
2x−1√
3
2
+ 1

t = 2x−1√
3
dt = 2√
3
dx

=
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
5
√
3
3
dt
t2 + 1
=
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
5
√
3
3
arctg t + C =
=
x2
2
+ 3x +
3
2
ln x2
− x + 1 −
5
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
404 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(352) Vypočtěte
x
x4 − x3 − x + 1
dx.
Řešení:
x
x4 − x3 − x + 1
dx =
1
3
dx
(x − 1)2
−
1
3
dx
x2 + x + 1

t = x − 1
dt = dx

=
=
1
3
dt
t2
−
1
3
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
=
= −
1
3(x + 1)
−
1
3
2
√
3
arctg
x + 1
2
√
3
2
+ C =
= −
1
3(x + 1)
−
2
√
3
9
arctg
2x + 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 405
(353) Vypočtěte
x
(x2 + 2x + 2)(x2 + 2x − 3)
dx.
Řešení:
x
(x2 + 2x + 2)(x2 + 2x − 3)
dx =
1
20
dx
x − 1
+
3
20
dx
x + 3
−
1
5
x
x2 + 2x + 2
dx =
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
5
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 2
dx −
dx
x2 + 2x + 2
=
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
10
ln x2
+ 2x + 2 +
1
5
dx
(x + 1)2 + 1

t = x + 1
dt = dx

=
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
10
ln x2
+ 2x + 2 +
1
5
dt
t2 + 1
=
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
10
ln x2
+ 2x + 2 +
1
5
arctg(x + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
406 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(354) Vypočtěte
dx
x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1
.
Řešení:
dx
x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1
=
1
3
dx
x − 1
−
1
6
2x + 1
x2 + x + 1
−
1
2
dx
x2 − x + 1
=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
1
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
2
3
dx
2x−1√
3
2
+ 1

t = 2x−1√
3
dt = 2√
3
dx

=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
√
3
3
dx
t2 + 1
=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
√
3
3
arctg t =
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 407
(355) Vypočtěte
x2
+ 3x + 2
x2 + x + 2
dx.
Řešení:
x2
+ 3x + 2
x2 + x + 2
dx = 1 dx +
2x
x2 + x + 2
dx =
= x +
2x + 1
x2 + x + 2
dx −
dx
x2 + x + 2
=
= x + ln x2
+ x + 2 −
dx
x + 1
2
2
+ 7
4
=
= x + ln x2
+ x + 2 −
4
7
dx
2x+1√
7
2
+ 1

t = 2x+1√
7
dx = 2√
7
dx

=
= x + ln x2
+ x + 2 −
2
√
7
7
dx
t2 + 1
=
= x + ln x2
+ x + 2 −
2
√
7
7
arctg t + C =
= x + ln x2
+ x + 2 −
2
√
7
arctg
2x + 1
√
7
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
408 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(356) Vypočtěte
dx
(x2 − 6x + 8)(x2 + 2x + 2)
.
Řešení:
dx
(x2 − 6x + 8)(x2 + 2x + 2)
=
1
52
dx
x − 4
−
1
20
dx
x − 2
+
1
130
4x + 11
x2 + 2x + 2
dx =
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
1
130
2
2x + 2
x2 + 2x + 2
dx + 7
dx
x2 + 2x + 2
=
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
dx
(x + 1)2 + 1

t = x + 1
dt = dx

=
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
dt
t2 + 1
=
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
arctg t =
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
arctg(x + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 409
(357) Vypočtěte
x8
x8 − 1
dx.
Řešení:
x8
x8 − 1
dx = 1 dx +
1
8
dx
x − 1
−
1
8
dx
x + 1
−
1
4
dx
x2 + 1
+
+
1
8
√
2x − 2
x2 −
√
2x + 1
dx −
1
8
√
2x + 2
x2 +
√
2x + 1
dx =
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
1
8
√
2
2
2x −
√
2
x2 −
√
2x + 1
dx −
dx
x2 −
√
2x + 1
−
−
1
8
√
2
2
2x +
√
2
x2 +
√
2x + 1
dx +
dx
x2 +
√
2x + 1
=
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
1
8
dx
x −
√
2
2
2
+ 1
2
−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
1
8
dx
x +
√
2
2
2
+ 1
2
=
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
1
4
dx
√
2x − 1
2
+ 1

t =
√
2x − 1
dt =
√
2 dx

−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
1
4
dx
√
2x + 1
2
+ 1

w =
√
2x + 1
dw =
√
2 dx

=
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
√
2
8
dt
t2 + 1
−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
√
2
8
dw
w2 + 1
=
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
410 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg t−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg w + C =
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg
√
2x − 1 −
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg
√
2x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 411
(358) Vypočtěte
x − 4
5x2 + 6x + 3
dx.
Řešení:
x − 4
5x2 + 6x + 3
dx =
1
10
10x + 6
5x2 + 6x + 3
dx −
23
5
dx
5x2 + 6x + 3
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
25
dx
x2 + 6
5
x + 3
5
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
25
dx
x + 3
5
2
+ 6
25
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
6
dx
5x+3√
6
2
+ 1

t = 5x+3√
6
dt = 5√
6
dx

=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
√
6
30
dx
t2 + 1
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
√
6
30
arctg t + C =
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
√
6
30
arctg
5x + 3
√
6
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
412 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(359) Vypočtěte
2x + 1
(x2 + 4x + 13)2
dx.
Řešení:
2x + 1
(x2 + 4x + 13)2
dx =
2x + 4
(x2 + 4x + 13)2
dx − 3
dx
(x2 + 4x + 13)2

t = x2
+ 4x + 13
dt = (12x + 4) dx

=
=
dt
t2
− 3
dx
(x + 2)2
+ 9
2
=
= −
1
x2 + 4x + 13
− 3
dx
92 x+2
3
2
+ 1
2

w = x+2
3
dw = 1
3
dx

=
= −
1
x2 + 4x + 13
− 3
3
81
dw
(w2 + 1)2
=
= −
1
x2 + 4x + 13
−
1
9
1
2
arctg w +
1
2
w
w2 + 1
+ C =
= −
1
x2 + 4x + 13
−
1
18
arctg
x + 2
3
−
1
18
x+2
3
x+2
3
2
+ 1
+ C =
= −
1
18
arctg
x + 2
3
−
1
6
x + 8
x2 + 4x + 13
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 413
(360) Vypočtěte
2x4
+ 2x2
− 5x + 1
x (x2 − x + 1)2
dx.
Řešení:
2x4
+ 2x2
− 5x + 1
x (x2 − x + 1)2
dx =
dx
x
+
x + 3
x2 − x + 1
dx +
x − 6
(x2 − x + 1)2
dx =
= ln |x| +
1
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx +
7
2
dx
x2 − x + 1
+
+
1
2
2x − 1
(x2 − x + 1)2
dx −
11
2
dx
(x2 − x + 1)2
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
+
+
1
2
2x − 1
(x2 − x + 1)2
dx

t = x2
− x + 1
dt = (2x − 1)dx

−
11
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
2
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
14
3
dx
2x−1√
3
2
+ 1

w = 2x−1√
3
dw = 2√
3
dx

+
+
1
2
dt
t2
−
22
3
1
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
+
1
2
x − 1
2
x − 1
2
2
+ 3
4
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
dw
w2 + 1
+
−
1
2t
−
44
9
dx
2x−1√
3
2
+ 1
−
11
3
x − 1
2
x2 − x + 1
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg w+
−
1
2(x2 − x + 1)
−
44
9
dx
2x−1√
3
2
+ 1

u = 2x−1√
3
du = 2√
3
dx

−
11
3
x − 1
2
x2 − x + 1
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+
−
1
2(x2 − x + 1)
−
22
√
3
9
du
u2 + 1
−
11
3
x − 1
2
x2 − x + 1
=
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
414 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+
−
22
√
3
9
arctg u −
1
3
11x − 4
x2 − x + 1
+ C =
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+
−
22
√
3
9
arctg
2x − 1
√
3
−
1
3
11x − 4
x2 − x + 1
+ C =
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx −
√
3
9
arctg
2x − 1
√
3
−
1
3
11x − 4
x2 − x + 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 415
(361) Vypočtěte
5x2
− 12
(x2 − 6x + 13)2
dx.
Řešení:
5x2
− 12
(x2 − 6x + 13)2
dx = 5
dx
x2 − 6x + 13
+
30x − 77
(x2 − 6x + 13)2
dx =
= 5
dx
(x − 3)2 + 4
+ 15
2x − 6
(x2 − 6x + 13)2
dx + 13
dx
(x2 − 6x + 13)2
=
=
5
4
dx
x−3
2
2
+ 1

t = x−3
2
dt = 1
2
dx

+ 15
2x − 6
(x2 − 6x + 13)2
dx

w = x2
− 6x + 13
dw = (2x − 6) dx

+
+ 13
dx
(x − 3)2
+ 4
2
=
=
5
2
dx
t2 + 1
+ 15
dw
w2
+
13
4
1
4
arctg
x − 3
2
+
1
2
x − 3
x2 − 6x + 13
=
=
5
2
arctg t −
15
w
+
13
16
arctg
x − 3
2
+
13
8
x − 3
x2 − 6x + 13
+ C =
=
5
2
arctg
x − 3
2
−
15
x2 − 6x + 13
+
13
16
arctg
x − 3
2
+
13
8
x − 3
x2 − 6x + 13
+ C =
=
53
16
arctg
x − 3
2
+
13x − 159
8(x2 − 6x + 13)
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
416 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(362) Vypočtěte
5 ln x
x(ln3
x + ln2
x − 2)
dx.
Řešení:
5 ln x
x(ln3
x + ln2
x − 2)
dx =

t = ln x
dt = 1
x
dx

=
5t
t3 + t2 − 2
dt =
=
1
t − 1
+
−t + 2
t2 + 2t + 2
dt =
1
t − 1
−
1
2
·
2t + 2
t2 + 2t + 2
+
3
t2 + 2t + 2
dt =
= ln |t − 1| −
1
2
ln(t2
+ 2t + 2) + 3
1
(t + 1)2 + 1
dt

s = t + 1
ds = dt

=
= ln |t − 1| −
1
2
ln(t2
+ 2t + 2) + 3
1
s2 + 1
ds =
= ln |t − 1| −
1
2
ln(t2
+ 2t + 2) + 3 arctg(t + 1) + C =
= ln | ln x − 1| −
1
2
ln(ln2
x + 2 ln x + 2) + 3 arctg(ln x + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 417
II. 3. Speciální integraˇcní metody
• Integrály typu
f x,
r1
√
x,
r2
√
x, . . . ,
rk
√
x dx,
tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k ∈ N a r1 ≥ 2, . . . , rk ≥ 2
jsou přirozená čísla, řešíme substitucí tn
= x, kde n je nejmenší společný násobek čísel
r1, . . . , rk. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální
lomené funkce.
• Integrály typu
f x,
r
√
ax + b dx,
r ∈ N, r ≥ 2, a, b ∈ R, řešíme substitucí tr
= ax + b. Pomocí této substituce převedeme
původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
• Integrály typu
f x, r ax + b
cx + d
dx,
kde r ∈ N, r ≥ 2, a, b, c, d ∈ R a ad − bc = 0, řešíme substitucí tr
= ax+b
cx+d
. Pomocí této
substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
• Integrály typu
f x, ax2 + bx + c dx,
kde b2
−4ac = 0, tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný kořen, řešíme pomocí
tzv. Eulerovy substituce. Existuje několik variant těchto substitucí, zde uvedeme některé
z nich:
i) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2, obdržíme
ax2 + bx + c =
√
a · (x − x1)2
x − x2
x − x1
=
√
a · |x − x1|
x − x2
x − x1
,
což s použitím substituce t2
= x−x2
x−x1
převedeme na integrál z racionální lomené funkce;
ii) jestliže a < 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2, obdržíme
ax2 + bx + c =
√
−a · (x − x1)2
x2 − x
x − x1
=
√
−a · (x − x1)
x2 − x
x − x1
,
což s použitím substituce t2
= x2−x
x−x1
převedeme na integrál z racionální lomené funkce;
iii) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2 nebo jestliže
kvadratický polynom nemá reálné kořeny, můžeme použít substituci
ax2 + bx + c = ±
√
a · x ± t,
přičemž volba konkrétních znamének je zcela libovolná, čímž obdržíme integrál z racionální
lomené funkce;
iv) jestliže c ≥ 0, můžeme zavést substituci
ax2 + bx + c = ±x · t ±
√
c,
s jejíž pomocí převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce.
• Integrály typu
xm
(a + bxn
)p
dx, m, n, p ∈ Q,
tedy tzv. binomický integrál, řešíme jednou z následujících substitucí
i) jestliže p ∈ Z, volíme substituci x = ts
, kde s je společný jmenovatel m a n;
ii) jestliže m+1
n
∈ Z, volíme substituci a + bxn
= ts
, kde s je jmenovatel p;
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
418 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
iii) jestliže m+1
n
+ p ∈ Z, volíme substituci ax−n
+ b = ts
, kde s je jmenovatel p.
• Integrály typu
sinn
x · cosm
x dx,
kde m, n ∈ Z řešíme pomocí substituce
i) t = sin x, jestliže m je liché a n sudé nebo nula;
ii) t = cos x, jestliže n je liché a m sudé nebo nula;
iii) t = cos x nebo t = sin x, jestliže m a n jsou lichá čísla;
iv) jestliže m i n jsou sudá čísla, případně některé z nich nula, upravíme výraz pomocí
vzorce sin2
x = 1−cos 2x
2
nebo cos2
x = 1+cos 2x
2
a pokračujeme dále dle získaného
výsledku krokem i)–iv).
• Integrály typu
R (sin x, cos x) dx,
řešíme pomocí substituce
i) jestliže R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), volíme substituci t = sin x;
ii) jestliže R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), volíme substituci t = cos x;
iii) jestliže R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), volíme substituci t = tg x;
iv) jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv. univerzální
substituci:
t = tg
x
2
⇒ x = 2 arctg x a dx =
2
1 + t2
dt.
Potom z obrázku
t
1 x
2 √
1 + t2
získáme identity
sin
x
2
=
t
√
1 + t2
a cos
x
2
=
1
√
1 + t2
⇒ sin x =
2t
1 + t2
a cos x =
1 − t2
1 + t2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 419
(363) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x2
+
√
x + 1
x +
√
x
dx.
Řešení:
x2
+
√
x + 1
x +
√
x
dx

t2
= x
2t dt = dx

=
t4
+ t + 1
t2 + t
2t dt = 2
t4
+ t + 1
t + 1
dt =
= 2 t3
− t2
+ t +
1
t + 1
dt = 2
t4
4
−
t3
3
+
t2
2
+ ln |t + 1| + C =
=
x2
2
−
2
√
x3
3
+ x + 2 ln
√
x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
420 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(364) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1 +
√
x − 3
√
x
x +
6
√
x5
dx.
Řešení:
1 +
√
x − 3
√
x
x +
6
√
x5
dx

t6
= x
6t5
dt = dx

=
1 + t3
− t2
t6 + t5
6t5
dt = 6
1 − t2
+ t3
t + 1
dt =
= 6 t2
− 2t + 2 −
1
t + 1
dt = 6
t3
3
− t2
+ 2t − ln |t + 1| + C =
= 2
√
x − 6 3
√
x + 12 6
√
x − 6 ln 6
√
x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 421
(365) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
√
x + 1 + 1
√
x + 1 − 1
dx.
Řešení:
√
x + 1 + 1
√
x + 1 − 1
dx

t2
= x + 1
2t dt = dx

=
t + 1
t − 1
2t dt = 2
t(t + 1)
t − 1
dt =
= 2 t + 2 +
2
t − 1
dt = 2
t2
2
+ 2t + 2 ln |t − 1| + C =
= x + 1 + 4
√
x + 1 + 4 ln
√
x + 1 − 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
422 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(366) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
x
x + 1
x − 1
dx.
Řešení:
1
x
x + 1
x − 1
dx

t2
= x+1
x−1
x = 1+t2
t2−1
dx = − 4t
(t2−1)2 dt

=
t2
− 1
t2 + 1
t
−4t
(t2 − 1)2
, dt =
=
−4t2
(t2 + 1)(t2 − 1)
dt = −
1
t − 1
+
1
t + 1
−
2
t2 + 1
dt =
= − ln |t − 1| + ln |t + 1| − 2 arctg t + C =
= − ln
x + 1
x − 1
− 1 + ln
x + 1
x − 1
+ 1 − 2 arctg
x + 1
x − 1
+ C =
= 2 ln(
√
x + 1 −
√
x − 1) − 2 arctg
x + 1
x − 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 423
(367) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
x(
√
x +
5
√
x3)
.
Řešení:
dx
x(
√
x +
5
√
x3)

t10
= x
10t9
dt = dx

=
10t9
t10(t5 + t4)
dt = 10
dt
t6 + t5
=
= 10
1
t
−
1
t2
+
1
t3
−
1
t4
+
1
t5
−
1
t + 1
dt =
= 10 ln |t| +
1
t
−
1
2t2
+
1
3t3
−
1
4t4
− ln |t + 1| + C =
= ln
x
( 10
√
x + 1)10
+
10
10
√
x
−
5
5
√
x
+
10
3
10
√
x3
−
5
2
5
√
x2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
424 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(368) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x + 1
3
√
3x + 1
dx.
Řešení:
x + 1
3
√
3x + 1
dx

t3
= 3x + 1
x = t3−1
3
3 dx = 3t2
dt

=
t3−1
3
+ 1
t
t2
dt =
t3
− 1 + 3
3
t dt =
=
1
3
t4
+ 2t dt =
1
3
t5
5
+ t2
+ C =
t2
3
t3
5
+ 1 + C =
=
3
(x + 1)2
3
3x + 1
5
+ 1 + C = 3
(3x + 1)2 ·
x + 2
5
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 425
(369) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1 −
√
x + 1
1 + 3
√
x + 1
dx.
Řešení:
1 −
√
x + 1
1 + 3
√
x + 1
dx

t6
= x + 1
6t5
dt = dx

=
1 − t3
1 + t2
6t5
dt =
= 6 −t6
+ t4
+ t3
− t2
− t + 1 +
t − 1
1 + t2
dt =
= −
6t7
7
+
6t5
5
+
6t4
4
−
6t3
3
−
6t2
2
+ 6t + 6
1
2
2t
1 + t2
−
1
1 + t2
dt =
= −
6t7
7
+
6t5
5
+
3t4
2
− 2t3
− 3t2
+ 6t + 3 ln 1 + t2
− 6 arctg t + C =
= −
6
7
6
(x + 1)7 +
6
5
6
(x + 1)5 +
3
2
3
(x + 1)2 − 2
√
x + 1 − 3
3
√
x + 1+
+ 6
6
√
x + 1 + 3 ln 1 +
3
√
x + 1 − 6 arctg
6
√
x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
426 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(370) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
x2
1 + x
x
dx.
Řešení:
1
x2
1 + x
x
dx

t2
= 1+x
x
x = 1
t2−1
dx = − 2t
(t2−1)2 dt

= (t2
− 1)2
t
−2t
(t2 − 1)2
dt =
= − 2t2
dt = −
2t3
3
+ C = −
2
3
1 + x
x
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 427
(371) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
3
(x + 2)2 − 3 3
√
x + 2 − 4
.
Řešení:
dx
3
(x + 2)2 − 3 3
√
x + 2 − 4

t3
= x + 2
3t2
dt = dx

=
3t2
t2 − 3t − 4
dt =
= 3 −
3
5(t + 1)
+
48
5(t − 4)
dt = 3t −
3
5
ln |t + 1| +
48
5
ln |t − 4| + C =
= 3
3
√
x + 2 −
3
5
ln
3
√
x + 2 + 1 +
48
5
ln
3
√
x + 2 − 4 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
428 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(372) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1 −
√
x
1 +
√
x
dx.
Řešení:
1 −
√
x
1 +
√
x
dx =
1 −
√
x
1 +
√
x
·
1 +
√
x
1 +
√
x
dx =
√
1 − x
1 +
√
x
dx

t2
= x
2t dt = dx

=
=
√
1 − t2
1 + t
2t dt = 2
(1 + t)
√
1 − t2 −
√
1 − t2
1 + t
dt =
= 2 1 − t2 −
√
1 − t2
1 + t
dt
Př. (345)
=
= t 1 − t2 + arcsin t − 2
√
1 − t2
1 + t
dt

t = sin u
arcsin t = u
1√
1−t2
dt = du

=
= t 1 − t2 + arcsin t − 2
1 − sin2
u
1 + sin u
du =
= t 1 − t2 + arcsin t − 2 (1 − sin u) du =
= t 1 − t2 + arcsin t − 2u − 2 cos u + C =
= t 1 − t2 + arcsin t − 2u − 2 1 − sin2
u + C =
=
√
x
√
1 − x + arcsin
√
x − 2 arcsin
√
x − 2
√
1 − x + C =
=
√
x − 2
√
1 − x − arcsin
√
x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 429
(373) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
√
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx.
Řešení:
√
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx

t2
= x + 1
t2
− 2 = x − 1
2t dt = dx

= 2
t −
√
t2 − 2
t +
√
t2 − 2
t dt =
= 2
t −
√
t2 − 2
t +
√
t2 − 2
t
√
t2 − 2
t −
√
t2 − 2
t −
√
t2 − 2
√
t2 − 2
dt =
= 2
t −
√
t2 − 2 t
√
t2 − 2
2
t −
√
t2 − 2
√
t2 − 2
dt

u =
√
t2 − t
−u2+2
2u
= t
du = t−
√
t2−2√
t2−2

=
= −u −
u2
+ 2
2u
u −
u2
+ 2
2u
du =
=
u2
+ 2
2
u2
− 2
2u
du =
1
4
u3
−
1
u
du =
=
1
4
u4
4
− ln |u| + C =
1
16
t2 − 2 − t
4
− ln t2 − 2 − t + C =
=
1
16
√
x − 1 −
√
x + 1
4
− ln
√
x − 1 −
√
x + 1 + C =
=
1
16
(x − 1)2
− 4 (x − 1)3/2
(x + 1)1/2
+ 6 (x − 1) (x + 1) −
− 4 (x − 1)1/2
(x + 1)3/2
+ (x + 1)2
− ln
√
x − 1 −
√
x + 1 + C =
=
1
16
x2
− 2x + 1 − 4 (x − 1)3/2
(x + 1)1/2
+ 6 x2
− 1 −
− 4 (x − 1)1/2
(x + 1)3/2
+ x2
+ 2x + 1 − ln
√
x − 1 −
√
x + 1 + C =
=
1
2
x2
−
1
2
x x2 − 1 − ln
√
x − 1 −
√
x + 1 −
1
4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
430 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(374) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
1 +
√
−x2 + x + 2
.
Řešení:
dx
1 +
√
−x2 + x + 2
polynom −x2
+ x + 2 má reálné kořeny 2, −1
 =
=
dx
1 + (x + 1) 2−x
x+1

t2
= 2−x
x+1
x = 2−t2
t2+1
x + 1 = 3
t2+1
dx = −6t
(t2+1)2 dt

=
−6t
(t2+1)2
1 + 3
t2+1
t
dt =
=
−6t
(t2 + 1)2
t2
+ 1
t2 + 3t + 1
dt = −6
t
(t2 + 1)(t2 + 3t + 1)
dt =
= −
4
5
√
5
2t + 3 +
√
5
−
2
t2 + 1
−
4
5
√
5
−2t − 3 +
√
5
dt =
= −
4
√
5
5
1
2
ln 2t + 3 +
√
5 − 2 arctg t −
4
√
5
5
−
1
2
ln −2t − 3 +
√
5 + C =
= −
2
√
5
5
ln 2
2 − x
x + 1
+ 3 +
√
5 +
2
√
5
5
ln −2
2 − x
x + 1
− 3 +
√
5 − 2 arctg
2 − x
x + 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 431
(375) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
(x − 1)
√
x2 + x + 1
.
Řešení:
dx
(x − 1)
√
x2 + x + 1

polynom x2
+ x + 1 nemá reálné kořeny
√
x2 + x + 1 = x + t
x = 1−t2
2t−1
x − 1 = −t2+2t−2
2t−1
x + t = t2−t+1
2t−1
dx = −2(t2−t+1)
(2t−1)2 dt

=
=
−2(t2−t+1)
(2t−1)2
−t2+2t−2
2t−1
t2−t+1
2t−1
dt =
2
t2 + 2t − 2
dt = −
1
3
√
3
t + 1 +
√
3
−
1
3
√
3
−t − 1 +
√
3
dt =
= −
√
3
3
ln t + 1 +
√
3 +
√
3
3
ln −t − 1 +
√
3 =
= −
√
3
3
ln
√
x2 + x + 1 − x + 1 +
√
3
x −
√
x2 + x + 1 − 1 +
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
432 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(376) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
x +
√
x2 − x + 1
.
Řešení:
dx
x +
√
x2 − x + 1

polynom x2
− x + 1 nemá reálné kořeny
√
x2 − x + 1 = t − x
x = t2−1
2t−1
dx = 2(t2−t+1)
(2t−1)2 dt

=
=
2(t2−t+1)
(2t−1)2
t2−1
2t−1
+ t − t2−1
2t−1
dt = 2
t2
− t + 1
t(2t − 1)2
dt =
=
2
t
−
3
2t − 1
+
3
(2t − 1)2
dt

u = 2t − 1
du = 2dt

= 2 ln |t| + −
3
2u
+
3
2u2
du =
= 2 ln |t| −
3
2
ln |u| −
3
2u
= 2 ln |t| −
3
2
ln |2t − 1| −
3
2(2t − 1)
+ C =
= 2 ln x + x2 − x + 1 −
3
2
ln 2x + 2 x2 − x + 1 − 1 −
1
4x + 2
√
x2 − x + 1 − 2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 433
(377) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
(x + 4)
√
x2 + 3x − 4
.
Řešení:
dx
(x + 4)
√
x2 + 3x − 4
polynom x2
+ 3x − 4 má reálné kořeny 1, −4
 =
=
dx
(x + 4) |x + 4| x−1
x+4

t2
= x−1
x+4
x = 4t2+1
1−t2
x + 4 = 5
1−t2
dx = 10t
(1−t2)2 dt

=
10t
(1−t2)2
5
1−t2
5
1−t2 t
dt =
2
5
1 − t2
1 − t2
dt =
=
2
5
· sgn 1 − t2
1 dt =
2
5
· sgn 1 − t2
t + C =
2
5
· sgn (x + 4)
x − 1
x + 4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
434 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(378) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x dx
√
x2 + 3x + 2
.
Řešení:
x dx
√
x2 + 3x + 2
polynom x2
+ 3x + 2 má reálné kořeny −1, −2
 =
=
x dx
|x + 2| x+1
x+2

t2
= x+1
x+2
x = 2t2−1
1−t2
x + 2 = 1
1−t2
dx = 2t
(1−t2)2 dt

=
2t2−1
1−t2
2t
(1−t2)2
1
1−t2 t
dt =
=
2t(2t2
− 1)
(1 − t2)3
1 − t2
t
dt = sgn 1 − t2 4t2
− 2
(1 − t2)2
dt =
= sgn 1 − t2 1
2(t − 1)2
+
1
2(t + 1)2
−
3
2(t + 1)
+
3
2(t − 1)
dt =
= sgn 1 − t2
−
1
2(t − 1)
−
1
2(t + 1)
−
3
2
ln |t + 1| +
3
2
ln |t − 1| + C =
= sgn 1 − t2
−
1
2
2t
t2 − 1
−
3
2
ln
t + 1
t − 1
+ C =
= − sgn 1 − t2 t
t2 − 1
− 3 sgn 1 − t2
ln
|t + 1|
|t − 1|
+ C =
= sgn (x + 2)
x + 1
x + 2
1
x + 2
− 3 sgn 1 − t2
ln
(t + 1)2
|t2 − 1|
+ C =
= sgn (x + 2)
x + 1
x + 2
1
x + 2
− 3 sgn 1 − t2
ln
|t + 1|
|t2 − 1|
+ C =
= x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln
x+1
x+2
+ 1
− 1
x+2
+ C =
= x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln
|x + 1| + |x + 2|
|x + 2|
|x + 2| + C =
= x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln |x + 1| + |x + 2| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 435
(379) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
x +
√
x2 + x − 1
.
Řešení:
dx
x +
√
x2 + x − 1

polynom x2
+ x − 1 má reálné kořeny −1
2
±
√
5
2√
x2 + x − 1 = x + t
x = t2+1
1−2t
x + t = −(t2−t−1)
1−2t
dx = −2(t2−t−1)
(1−2t)2 dt

=
=
(t2
− t − 1)
(t2 + 1 − t2 + t + 1)(1 − 2t)
dt = 1 −
2
t + 2
−
1
2 t − 1
2
dt =
= t − 2 ln |t + 2| −
1
2
ln t −
1
2
+ C =
= x2 + x − 1 − x − 2 ln x2 + x − 1 − x + 2 −
1
2
ln x2 + x − 1 − x −
1
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
436 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(380) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
√
−4x2 + 16x − 15
.
Řešení:
dx
√
−4x2 + 16x − 15
=
dx
2 −x2 + 4x − 15
4
polynom x2
+ x − 1 má reálné kořeny 5
2
a 3
2
 =
=
dx
2 5
2
− x x − 3
2
=
dx
2 x − 3
2
5
2
−x
x− 3
2

t2
=
5
2
−x
x− 3
2
x = 5+3t2
2t2+2
x − 3
2
= 1
t2+1
dx = −2t
(t2+1)2 dt

=
−2t
(t2+1)2
2 1
t2+1
t
dt =
= −
1
t2 + 1
dt = − arctg t + C = − arctg
5 − 2x
2x − 3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 437
(381) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
3
√
x(7 + 5x4
)2
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
3
√
x(7 + 5x4
)2
dx
p = 2 ∈ Z ⇒ x = t3
, dx = 3t2
dt
 =
= t(7 + 5t12
)2
3t2
dt = 3 t3
(49 + 70t12
+ 25t24
)dt
= 3 49t3
+ 70t15
+ 25t27
dt =
3t4
56
(686 + 245t12
+ 50t24
) + C
=
3
56
x 3
√
x(686 + 245x4
+ 50x8
) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
438 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(382) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
(2 + 5x)3
4
√
x3
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
(2 + 5x)3
4
√
x3
dx = x−3
4 (2 + 5x)3
dx
p = 3 ∈ Z ⇒ x = t4
, dx = 4t3
dt
 =
= t−3
(2 + 5t4
)3
4t3
dt = 4 (2 + 5t4
)3
dt =
= 4 8 + 60t4
+ 150t8
+ 125t12
)dt = 4 8t + 12t5
+
50
3
t9
+
125
13
t13
+ C =
=
4
39
4
√
x(312 + 468x + 650x2
+ 375x3
) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 439
(383) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x 2 − 3
√
xdx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
x 2 − 3
√
xdx

p = 1
2
∈ Z, m+1
n
= 4 ∈ Z
⇒ 2 − 3
√
x = t2
,
√
x = 2−t2
3
,
−3 1
2
√
x
dx = 2tdt, x− 1
2 dx = −4
3
tdt

=
=
2 − t2
3
3
2 − 3
2 − t2
3
−
4
3
t dt = −
4
34
(2 − t2
)3
t2
dt =
= −
4
34
8t2
− 12t4
+ 6t6
− t8
dt = −
4
34
t3 8
3
−
12
5
t2
+
6
7
t4
−
1
9
t6
+ C =
= −
4
81
(2 − 3
√
x)
3
2
8
3
−
12
5
(2 − 3
√
x) +
6
7
(2 − 3
√
x)2
−
1
9
(2 − 3
√
x)3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
440 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(384) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
3
1 + 4
√
x
√
x
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
3
1 + 4
√
x
√
x
dx = x− 1
2 (1 + x
1
4 )
1
2 dx

p = 1
3
∈ Z, m+1
n
= 2 ∈ Z
⇒ 1 + x
1
4 = t3
, x = (t3
− 1)4
,
dx = 4(t3
− 1)3
3t2
dt

=
= (t3
− 1)−2
t12t2
(t3
− 1)3
dt = 12 t3
(t3
− 1)dt = 12 t6
− t3
dt =
= 12
t7
7
−
t4
4
+ C = 12(1 + x
1
4 )
4
3
1 + x
1
4
7
−
1
4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 441
(385) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
√
x
7
√
x3
27
− 3
2
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
√
x
7
√
x3
27
− 3
2
dx = x
1
2 −3 + 1
27
x
3
2
2
7
dx

p = 2
7
∈ Z, m+1
n
= 1 ∈ Z
⇒ −3 + 1
27
x
3
2 = t7
, x = 9(t7
+ 3)
2
3 ,
dx = 42(t7
+ 3)−1
3 t6
dt

=
= 3(t7
+ 3)
1
3 t2
42(t7
+ 3)− 1
3 t6
dt =
= 126 t8
dt = 14t9
+ C = 14 1
27
x
3
2 − 3
9
7
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
442 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(386) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
4
√
1 + x4
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
1
4
√
1 + x4
dx = (1 + x4
)− 1
4 dx

p = −1
4
∈ Z, m+1
n
= 1
4
∈ Z, m+1
n
+ p = 1
4
− 1
4
= 0 ∈ Z
⇒ 1x−4
+ 1 = t4
, x = (t4
− 1)− 1
4 ,
1 + x4
= t4
x4
= t4
(t4
− 1)−1
,
dx = −1
4
(t4
− 1)
5
4 4t3
dt

=
= t−1
(t4
− 1)
1
4 −
1
4
(t4
− 1)− 5
4 4t3
dt = −
t2
t4 − 1
dt =
= −
t2
(t − 1)(t + 1)(t2 + 1)
dt = −
1
4
t − 1
−
1
4
t + 1
+
1
2
t2 + 1
dt =
= −
1
4
(ln |t − 1| − ln |t + 1| + 2 arctg t) + C =
= −
1
4
ln(
4
x−4 + 1 − 1) − ln(
4
x−4 + 1 + 1) + 2 arctg(
4
x−4 + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 443
(387) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené
funkce.
2x2 + xdx.
Řešení:
2x2 + xdx = x(1 + 2x)dx

p = 1
2
∈ Z, m+1
n
= 3
2
∈ Z, m+1
n
+ p = 2 ∈ Z
⇒ 1x−1
+ 2 = t2
, x = (t2
− 2)−1
,
1 + 2x = t2
x = t2
(t2
− 2)−1
,
dx = −2t(t2
− 2)−2
dt

=
= (t2
− 2)
1
2 t(t2
− 2)
1
2 (−2t)(t2
− 2)−2
dt = −2
t2
(t2 − 2)3
dt.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
444 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(388) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené
funkce.
x
3
8 − 7x3dx.
Řešení:
x
3
8 − 7x3dx

p = 1
3
∈ Z, m+1
n
= 2
3
∈ Z, m+1
n
+ p = 1 ∈ Z
⇒ 8x−3
− 7 = t3
, x = 2(t3
+ 7)− 1
3 ,
8 − 7x3
= t3
x3
= t3
8(t3
+ 7)−1
,
dx = −2t2
(t3
+ 7)− 4
3 dt

=
= 2(t3
+ 7)−1
3 t2(t3
+ 7)− 1
3 (−2)t2
(t3
+ 7)− 4
3 dt = −8
t3
(t3 + 7)2
dt.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 445
(389) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
cos5
x · sin2
x dx.
Řešení:
cos5
x · sin2
x dx = 1 − sin2
x
2
cos x · sin2
x dx

t = sin x
dt = cos x dx

=
= 1 − t2 2
t2
dt = t2
− 2t4
+ t6
dt =
t3
3
− 2
t5
5
+
t7
7
+ C =
=
sin3
x
3
−
2 sin5
x
5
+
sin7
x
7
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
446 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(390) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
cos5
x · sin4
x dx.
Řešení:
cos5
x · sin4
x dx = 1 − sin2
x
2
cos x · sin4
x dx

t = sin x
dt = cos x dx

=
= 1 − t2 2
t4
dt = t4
− 2t6
+ t8
dt =
t5
5
− 2
t7
7
+
t9
9
+ C =
=
sin5
x
5
−
2 sin7
x
7
+
sin9
x
9
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 447
(391) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
sin x
.
Řešení:
dx
sin x
=
sin x
sin2
x
dx

t = cos x
dt = − sin xdx

= −
dt
1 − t2
=
dt
t2 − 1
=
=
1
2
t − 1
−
1
2
t + 1
dt =
1
2
ln |t − 1| −
1
2
ln |t + 1| + C =
=
1
2
ln |cos x − 1| −
1
2
ln |cos x + 1| + C =
1
2
ln
cos x − 1
cos x + 1
+ C
=
1
2
ln
2 sin2 x
2
2 cos2 x
2
+ C =
1
2
ln tg2 x
2
+ C = ln tg x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
448 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(392) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin3
x
1 + 4 cos2 x + 3 sin2
x
dx.
Řešení:
sin3
x
1 + 4 cos2 x + 3 sin2
x
dx

t = cos x
dt = − sin xdx

=
t2
− 1
1 + 4t2 + 3 − 3t2
dt =
=
t2
+ 4 − 5
t2 + 4
dt = 1 − 5
1
t2 + 4
dt = t −
5
2
arctg
t
2
+ C =
= cos x −
5
2
arctg
cos x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 449
(393) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
1 + sin2
x
.
Řešení:
dx
1 + sin2
x

t = tg x
sin x = t√
1+t2
dx = 1
1+t2 dt

=
1
1+t2
1 + t2
1+t2
dt =
1
1 + 2t2
dt =
1
2
1
t2 + 1
2
dt =
=
1
2
√
2 arctg
t
1√
2
+ C =
√
2
2
arctg
√
2 tg x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
450 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(394) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin4
x
cos4 x
dx.
Řešení:
sin4
x
cos4 x
dx

t = tg x
dx = 1
1+t2 dt

=
t4
(1+t2)2
1
(1+t2)2
1
1 + t2
dt =
t4
1 + t2
dt =
= t2
− 1 +
1
t2 + 1
dt =
t3
3
− t + arctg t + C =
=
tg3
x
3
− tg x + arctg (tg x) + C =
tg3
x
3
− tg x + x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 451
(395) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
5
4 + sin x
dx.
Řešení:
5
4 + sin x
dx

t = tg x
sin x = 2t
1+t2
dx = 2
1+t2 dt

=
5
4 + 2t
1+t2
2
1 + t2
dt =
10
4 + 4t2 + 2t
dt =
=
5
2
dt
t2 + t
2
+ 1
=
5
2
dt
t + 1
4
2
+ 15
16
=
5
2
4
√
15
arctg
t + 1
4
√
15
4
+ C =
=
10
√
15
arctg
4t + 1
√
15
+ C =
2
√
15
3
arctg
4 tg x
2
+ 1
√
15
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
452 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(396) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
2 − cos x
.
Řešení:
dx
2 − cos x

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt
cos x = 1−t2
1+t2

=
2
1+t2
2 − 1−t2
1+t2
dt =
2
3t2 + 1
dt =
2
3
dt
t2 + 1
3
=
=
2
3
1
1√
3
arctg
t
1√
3
+ C =
2
√
3
3
arctg
√
3 tg
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 453
(397) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin x
1 + cos x
dx.
Řešení:
sin x
1 + cos x
dx

t = cos x
dt = − sin xdx

= −
dt
1 + t
= − ln |1 + t| + C = − ln |1 + cos x| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
454 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(398) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
cos3
x
2 − sin x
dx.
Řešení:
cos3
x
2 − sin x
dx

t = sin x
dt = cos x dx

=
1 − t2
2 − t
dt = 2 + t +
3
t − 2
dt =
= 2t +
t2
2
+ 3 ln |t − 2| + C = 2 sin x +
sin2
x
2
+ 3 ln |sin x − 2| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 455
(399) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin x
sin x − cos x
dx.
Řešení:
sin x
sin x − cos x
dx =
tg x
tg x − 1
dx

t = tg x
dx = 1
1+t2 dt

=
t
t − 1
1
1 + t2
dt =
=
t
(t − 1)(t2 + 1)
dt =
1
2
t − 1
+
1
2
1 − t
t2 + 1
dt =
=
1
2
ln |t − 1| +
1
2
−
1
2
2t
t2 + 1
dt + dtt2
+ 1 =
=
1
2
ln |t − 1| −
1
4
t2
+ 1 +
1
2
arctg t + C =
=
1
2
ln |tg x − 1| −
1
4
ln tg2
x + 1 +
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
456 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(400) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
2 − sin x
2 + cos x
dx.
Řešení:
2 − sin x
2 + cos x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt
cos x = 1−t2
1+t2
sin x = 2t
1+t2

=
2 − 2t
1+t2
2 + 1−t2
1+t2
2
1 + t2
dt =
=
2 + 2t2
− 2t
2 + 2t + 1 − t2
2
1 + t2
dt =
= 4
t2
− t + 1
(1 + t2)(t2 + 3)
dt = 2
2 + t
t2 + 3
dt − 2
t
1 + t2
dt =
=
2t
t2 + 3
dt + 4
dt
t2 + 3
− 2
t
1 + t2
dt =
=
2t
t2 + 3
dt +
4
3
dt
t√
3
2
+ 1
− 2
t
1 + t2
dt =
= ln t2
+ 3 +
4
√
3
arctg
t
√
3
− ln 1 + t2
+ C =
= ln tg2 x
2
+ 3 − ln tg2 x
2
+ 1 +
4
√
3
arctg
tg x
2
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 457
(401) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
sin x
dx.
Řešení:
Tento příklad je jedním z mála příkladů, které lze řešit jiným způsobem než univerzální
substitucí t = tg x
2
, ale právě využití této substituce je nejvýhodnější. (Porovnejte s Příkladem
391.)
1
sin x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
=
1 + t2
2t
2
1 + t2
dt =
1
t
dt = ln |t| + C = ln | tg x
2
| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
458 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(402) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
1 + sin 2x
dx.
Řešení:
Tento příklad je možné řešit substitucí t = 2x a následně substitucí z = tg t
2
. Výhodnější
je ale následující způsob.
1
1 + sin 2x
dx =
1
1 + 2 sin x cos x
dx

t = tg x
dx = 1
1+t2 dt

=
=
1
1 + 2 t√
1+t2
1√
1+t2
1
1 + t2
dt =
1
(1 + t)2
dt = −
1
t + 1
+ C = −
1
tg x + 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 459
(403) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
2 + sin x
dx.
Řešení:
1
2 + sin x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
=
1
2 + 2t
1+t2
2
1 + t2
dt =
1
t2 + t + 1
dt =
1
(t + 1
2
)2 + 3
4
dt =
=

t + 1
2
=
√
3
2
y
dt =
√
3
2
dy

=
1
3
4
(y2 + 1)
√
3
2
dy =
2
√
3
2
arctg y + C =
=
2
√
3
2
arctg
2t + 1
√
3
+ C =
2
√
3
2
arctg
2 tg x
2
+ 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
460 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(404) Pomocí vhodné substituce převeďte daný integrál na integrál racionální lomené funkce.
sin2
x
sin x + 2 cos x
dx.
Řešení:
sin2
x
sin x + 2 cos x
dx =
sin x
1 + 2 cotg x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
=
2t
1+t2
1 + 21−t2
2t
2
1 + t2
dt =
4t2
(1 + t2)2(1 + t − t2)
dt =
=
4t2
(1 + t2)2(t − 1+
√
5
2
)(t − 1−
√
5
2
)
dt.
Poznámka 31. Po rozkladu na parciální zlomky, integraci racionálních lomených funkcí
a vrácení substituce vyjde
· · · =
8
√
5
25
arctgh
√
5
5
(2 tg x
2
− 1) −
2
5
·
2 tg x
2
− 1
tg2 x
2
+ 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 461
II. 4. Urˇcitý a nevlastní integrál
Určitý integrál
Věta 32 (Newtonova–Leibnizova formule). Nechť f(x) je integrovatelná funkce na intervalu a, b
a nechť F(x) je její primitivní funkce. Pak platí, že
b
a
f(x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a).
Základní vzorce pro integrování (k ∈ R):
b
a
(f(x) ± g(x)) dx =
b
a
f(x) dx ±
b
a
g(x) dx,
b
a
k · f(x) dx = k ·
b
a
f(x) dx,
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx.
Věta 33 (Metoda per-partes pro určitý integrál). Nechť funkce u(x) a v(x) mají na intervalu
a, b , derivace u (x) a v (x), které jsou na tomto intervalu integrovatelné. Pak platí
b
a
u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)]b
a −
b
a
u (x)v(x) dx.
Věta 34 (Substituční metoda pro určitý integrál). Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu
a, b . Nechť funkce ϕ(x) má derivaci ϕ (x) na intervalu α, β , která je na tomto intervalu
integrovatelná. Dále nechť platí a ≤ ϕ(x) ≤ b pro x ∈ α, β (tzn., že funkce ϕ(x) zobrazuje
interval α, β do intervalu a, b ). Potom platí (přesněji „z existence integrálu nalevo plyne
existence integrálu napravo a jejich rovnost“)
β
α
f [ϕ(x)] ϕ (x) dx =
ϕ(β)
ϕ(α)
f(t) dt.
Nevlastní integrál
Definice 35. Určitý integrál
b
a
f(x)dx se nazývá nevlastní pokud alespoň jedno z čísel a, b je
rovno ±∞, nebo je funkce f(x) neomezená na uzavřeném intervalu a, b (tedy alespoň v jednom
bodě intervalu a, b má funkce f(x) singulární bod – nemusí jít nutně vždy o krajní bod a nebo
b, ale singulární bod může ležet i uvnitř intervalu a, b ).
Definice 36. Nechť existuje limc→+∞ F(c) = I, I ∈ R. Pak řekneme, že nevlastní integrál
+∞
a
f(x) dx konverguje a jeho hodnota je I. Tedy
+∞
a
f(x) dx = lim
c→+∞
c
a
f(x) dx = lim
c→+∞
F(c),
kde F(c) :=
c
a
f(x) dx. V opačném případě, tj. když limc→+∞ F(c) je nevlastní nebo neexistuje,
řekneme, že nevlastní integrál
+∞
a
f(x) dx diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
462 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(405) Vypočtěte
2
1
x2
dx.
Řešení:
2
1
x2
dx =
x3
3
2
1
=
8
3
−
1
3
=
7
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 463
(406) Vypočtěte
1
0
x (x2
− 1)3
dx.
Řešení:
1
0
x (x2
− 1)3
dx

t = x2
− 1
dt = 2x dx
0 −1
1 0

=
1
2
0
−1
t3
dt =
1
2
t4
4
0
−1
=
1
2
0 −
1
4
= −
1
8
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
464 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(407) Vypočtěte
π
3
π
6
tg2
xdx.
Řešení:
π
3
π
6
tg2
xdx =
π
3
π
6
sin2
x
cos2 x
dx

t = tg x
dt = 1
cos2 x
dx
sin x = t√
1+t2
π
3
√
3
π
6
√
3
3

=
=
√
3
√
3
3
t2
1+t2 dt =
√
3
√
3
3
1dt −
√
3
√
3
3
1
1+t2 dt =
= [t − arctg t]
√
3√
3
3
=
2
3
√
3 −
π
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 465
(408) Vypočtěte
1
0
ex
e2x +3
+
1
cos2 x
dx.
Řešení:
Využijeme aditivity integrálu a pro přehlednost zadaný integrál rozdělíme na dvě části.
I1 =
1
0
ex
e2x +3
dx

t = ex
dt = ex
dx
1 e
0 1

=
=
e
1
1
t2 + 3
dt =
1
3
e
1
1
t√
3
2
+ 1
dt

s = t√
3
ds = 1√
3
dt
e e√
3
1 1√
3

=
=
√
3
3
e√
3
1√
3
1
s2 + 1
ds =
√
3
3
[arctg s]
e√
3
1√
3
=
=
√
3
3
arctg
e
√
3
3
−
π
6
,
I2 =
1
0
1
cos2 x
dx = [tg x]1
0 = tg 1.
Celkem tedy
1
0
ex
e2x +3
+
1
cos2 x
dx = I1 + I2 =
√
3
3
arctg
e
√
3
3
−
π
6
+ tg 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
466 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(409) Vypočtěte
b
a
sgn x dx, a, b ∈ R, a < 0, b > 0.
Řešení:
b
a
sgn xdx =
0
a
(−1)dx +
b
0
1dx = [−x]0
a + [x]b
0 = a + b.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 467
(410) Vypočtěte
1
−1
ln |x|dx.
Řešení:
1
−1
ln |x|dx =
0
−1
ln(−x)dx +
1
0
ln xdx = 2
1
0
ln xdx

u = 1 u = x
v = ln x v = 1
x

= 2 [x ln x]1
0 −
1
0
1dx = 2 [x ln x]1
0 − [x]1
0 =
= 2 1 ln 1 − lim
a→0
(a ln a) − 1 + 0 = −2 − lim
a→0
(a ln a)
0 · ∞
 =
= −2 − lim
a→0
ln a
1
a
∞
∞

l’H.p.
= −2 − lim
a→0
(−a) = −2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
468 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(411) Vypočtěte
∞
0
1
(x − 3)5
dx.
Řešení:
∞
0
1
(x − 3)5
dx

t = x − 3
dt = dx
∞ ∞
0 −3

=
=
∞
−3
1
t5
dt = −
1
4
[t−4
]∞
−3 =
= −
1
4
lim
a→∞
a−4
− (−3)−4
= −
1
4
0 −
1
34
=
1
324
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 469
(412) Vypočtěte
∞
0
1
√
x + 2
dx.
Řešení:
∞
0
1
√
x + 2
dx

t = x + 2
dt = dx
∞ ∞
0 2

=
=
∞
2
1
√
t
dt = 2[
√
t]∞
2 =
= 2 lim
a→∞
√
a −
√
2 = 2(∞ −
√
2) = ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
470 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(413) Vypočtěte
∞
1
e−
√
x
√
x
dx.
Řešení:
∞
1
e−
√
x
√
x
dx

t =
√
x
dt = 1
2
√
x
dx
∞ ∞
1 1

=
= 2
∞
1
e−t
dt = 2[− e−t
]∞
1 =
= −2 lim
t→∞
e−t
−e−1
=
2
e
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 471
(414) Vypočtěte
∞
0
dx
x2 + 1
.
Řešení:
∞
0
dx
x2 + 1
= [arctg x]∞
0 = lim
x→∞
arctg x − arctg 0 =
π
2
− 0 =
π
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
472 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(415) Vypočtěte
∞
1
dx
x
.
Řešení:
∞
1
dx
x
= [ln x]∞
1 = lim
x→∞
ln x − ln 1 = ∞ ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 473
(416) Vypočtěte
∞
0
sin x dx.
Řešení:
∞
0
sin x dx = [− cos x]∞
0 = − lim
x→∞
cos x + cos 0 limita neexistuje ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
474 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(417) Vypočtěte
0
−∞
ex
dx.
Řešení:
0
−∞
ex
dx = [ex
]0
−∞ = 1 − lim
x→−∞
ex
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 475
(418) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
∞
1
xα
dx.
Řešení:
Buď α = −1, potom
∞
1
1
x
dx = [ln x]∞
1 = ∞.
Nyní uvažujme α = −1, potom
∞
1
xα
dx =
xα+1
α + 1
∞
1
=
1
α + 1
lim
x→∞
xα+1
− 1 .
Pro α > −1, tj. α + 1 > 0, platí limx→∞ xα+1
= ∞. Dále, pro α < −1, tj. α + 1 < 0, platí
limx→∞ xα+1
= 0. Což znamená
∞
1
xα
dx =
diverguje, α ≥ −1,
− 1
α+1
, α < −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
476 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(419) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
1
0
xα
dx.
Řešení:
Rozdělme problém na tři případy.
(i) α ≥ 0
V tomto případě není integrál nevlastní a můžeme snadno spočítat, že
1
0
xα
dx =
1
α + 1
.
(ii) α = −1
Počítejme
1
0
x−1
dx = [ln x]1
0 = ln 1 − lim
x→0+
ln x = 0 − (−∞) = ∞.
(iii) α < 0, α = −1
Počítejme
1
0
xα
dx =
xα+1
α + 1
1
0
=
=
1
α + 1
−
1
α + 1
lim
x→0+
xα+1
=
1
α+1
, α > −1,
∞, α < −1.
Celkem tedy
1
0
xα
dx =
1
α+1
, α > −1,
∞, α ≤ −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 477
(420) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
∞
0
eαx
dx.
Řešení:
Buď α = 0, potom
∞
1
1 dx = [x]∞
0 = ∞.
Nyní uvažujme α = 0, potom
∞
0
eαx
dx =
1
α
eαx
∞
0
=
1
α
lim
x→∞
eαx
−1 .
Pro α > 0 platí limx→∞ eαx
= ∞. Dále, pro α < 0 platí limx→∞ eαx
= 0. Což znamená
∞
0
eαx
dx =
diverguje, α ≥ 0,
− 1
α
, α < 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
478 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(421) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
∞
e
(ln x)α
x
dx.
Řešení:
∞
e
(ln x)α
x
dx

t = ln x
dt = 1
x
dx
∞ ∞
e 1

=
∞
1
tα Př. (418)
=
diverguje, α ≥ −1,
− 1
1+α
, α < 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 479
(422) Vypočtěte
∞
1
dx
x4 + x2
.
Řešení:
∞
1
dx
x4 + x2
=
∞
1
dx
x2 (x2 + 1)
=
∞
1
1
x2
−
1
1 + x2
dx =
= −
1
x
∞
1
− [arctg x]∞
1 = 0 + 1 −
π
2
−
π
4
= 1 −
π
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
480 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(423) Vypočtěte
∞
0
x2
e−x
dx.
Řešení:
∞
0
x2
e−x
dx

u = x2
u = 2x
v = − e−x
v = e−x

=
= −x2
e−x ∞
0
+ 2
∞
0
x e−x
dx

u = x u = 1
v = − e−x
v = e−x

=
= − lim
x→∞
x2
ex
− 2 [x e−x
]
∞
0 + 2
∞
0
e−x
dx =
= 0 − 2 lim
x→∞
x
ex
− 2 [e−x
]
∞
0 = 2 lim
x→∞
e−x
−1 = 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 481
(424) Vypočtěte
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx.
Řešení:
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx

arctg x = t
1
1+x2 dx = dt
∞ π
2
1 π
4

=
π
2
π
4
t dt =
t2
2
π
2
π
4
=
π2
8
−
π2
32
=
3π2
32
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
482 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(425) Vypočtěte
∞
−∞
dx
ex + e−x
.
Řešení:
∞
−∞
dx
ex + e−x
=
∞
−∞
ex
e2x +1
dx

t = ex
dt = ex
dx
∞ ∞
−∞ 0

=
∞
0
dt
t2 + 1
= [arctg t]∞
0 =
π
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 483
(426) Vypočtěte
2
0
dx
x
.
Řešení:
2
0
dx
x
= [ln x]2
0 = ln 2 − lim
x→0
ln x = ∞ ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
484 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(427) Vypočtěte
1
0
x
√
1 − x2
dx.
Řešení:
1
0
x
√
1 − x2
dx

1 − x2
= t
−2x dx = dt
1 0
0 1

=
0
1
−1
2
√
t
dt = −
1
2
0
1
t−1/2
dt = −
1
2
t1/2
1
2
0
1
= −
√
t
0
1
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 485
(428) Vypočtěte
∞
−∞
x2
x6 + 1
dx.
Řešení:
∞
−∞
x2
x6 + 1
dx

t = x3
dt = 3x2
dx
∞ ∞
−∞ −∞

=
1
3
∞
−∞
dt
t2 + 1
dt =
1
3
[arctg t]∞
−∞ =
1
3
π
2
− −
π
2
=
π
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
486 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(429) Vypočtěte
1
−1
dx
√
1 − x2
.
Řešení:
1
−1
dx
√
1 − x2
= [arcsin x]1
−1 =
π
2
− −
π
2
= π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 487
(430) Vypočtěte
2
0
x2
− x + 1
x − 1
dx.
Řešení:
2
0
x2
− x + 1
x − 1
dx =
2
0
x +
1
x − 1
dx =
1
0
x +
1
x − 1
dx +
2
1
x +
1
x − 1
dx =
=
x2
2
+ ln |x − 1|
1
0
+
x2
2
+ ln |x − 1|
2
1
=
= lim
x→1−
x2
2
+ ln |x − 1| + 0 +
4
2
+ 0 − lim
x→1+
x2
2
+ ln |x − 1| =
=
1
2
+ (−∞) + 2 −
1
2
− (−∞) ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
488 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(431) Vypočtěte
1
−1
dx
x2
.
Řešení:
1
−1
dx
x2
=
0
−1
dx
x2
+
1
0
dx
x2
= −
1
x
0
−1
+ −
1
x
1
0
=
= − lim
x→0−
1
x
− 1 − 1 + lim
x→0+
1
x
= ∞ + ∞ − 2 ⇒ integrál diverguje.
Rozdělení na dva integrály je nutné, neboť jinak
1
−1
dx
x2
= −
1
x
1
−1
= −1 − 1 = −2,
což je záporný výsledek pro integrál z kladné funkce, což je spor.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 489
(432) Vypočtěte
2
1
dx
x ln x
.
Řešení:
2
1
dx
x ln x

t = ln x
dt = 1
x
dx
1 0
2 ln 2

=
ln 2
0
dt
t
= [ln t]ln 2
0 =
= ln (ln 2) − lim
t→0
ln t = ln (ln 2) + ∞ ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
490 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(433) Vypočtěte
0
−1
e
1
x
x3
dx.
Řešení:
0
−1
e
1
x
x3
dx

t = 1
x
dt = − 1
x2 dt
0 −∞
−1 −1

= −
−∞
−1
t et
dt

u = t u = 1
v = et
v = et

= − t et −∞
−1
+
−∞
−1
et
dt =
= − t et −∞
−1
+ et −∞
−1
= − lim
t→−∞
t
e−t
−
1
e
+ lim
t→−∞
et
−
1
e
= −
2
e
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 491
(434) Vypočtěte
b
a
dx
√
x2 − a2
.
Řešení:
b
a
dx
√
x2 − a2

t = x +
√
x2 − a2
dt = 1 +
√
x2−a2+x√
x2−a2
dx
a a
b b +
√
b2 − a2

=
b+
√
b2−a2
a
1
t
dt =
= ln |t|
b+
√
b2−a2
a
= ln b + b2 − a2 − ln a = ln
b +
√
b2 − a2
a
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
492 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(435) Vypočtěte
∞
0
x2n+1
e−x2
dx, n ∈ N.
Řešení:
∞
0
x2n+1
e−x2
dx

t = x2
dt = 2x dx
0 0
∞ ∞

=
1
2
∞
0
tn
e−t
dt

u = tn
u = ntn−1
v = − e−t
v = et

=
=
1
2
−tn
e−t ∞
0
+ n
∞
0
tn−1
e−t
dt =
=
n
2
∞
0
tn−1
e−t
dt

u = tn−1
u = (n − 1)tn−2
v = − e−t
v = et

=
=
n
2
−tn−1
e−t ∞
0
+ (n − 1)
∞
0
tn−2
e−t
dt = · · · =
=
n(n − 1) · · · 2
2
∞
0
t e−t
dt

u = t u = 1
v = − e−t
v = et

=
=
n!
2
−t e−t ∞
0
+
∞
0
e−t
dt =
n!
2
− e−t ∞
0
=
n!
2
(−0 + 1) =
n!
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 493
II. 5. Aplikace integrálního poˇctu
Geometrické aplikace
• Určitý integrál
S =
b
a
|f(x)| dx
lze geometricky interpretovat jako obsah plochy podgrafu funkce f(x) v intervalu a, b .
• Obsah obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou o parametrických souřadnicích x = ϕ(t)
a y = ψ(t) pro t ∈ α, β
S = −
β
α
ψ(t) ϕ (t) dt =
β
α
ϕ(t) ψ (t) dt =
1
2
β
α
[ϕ(t) ψ (t) − ψ(t) ϕ (t)] dt.
Křivka je orientována kladně, tzn., že plocha leží nalevo od křivky.
• Obsah plochy vymezené grafy funkcí f(x) a g(x) v intervalu a, b vypočteme pomocí
určitého integrálu
S =
b
a
|f(x) − g(x)| dx.
• Délka grafu funkce f(x) pro x ∈ a, b
l =
b
a
1 + [f (x)]2 dx.
• Délka křivky zadané parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ α, β
l =
β
α
[ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x), x ∈ a, b kolem osy x
V = π
b
a
f2
(x) dx.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x), x ∈ a, b kolem osy y
V = 2π
b
a
xf(x) dx.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky
x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ α, β kolem osy x
V = π
β
α
ψ2
(t) · |ϕ (t)| dt.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky
x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ α, β kolem osy y
V = 2π
β
α
t · |ψ(t) ϕ(t) ϕ (t)| dt.
• Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x), x ∈ a, b
kolem osy x
Q = 2π
b
a
f(x) 1 + [f (x)]2 dx.
• Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou
parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ α, β kolem osy x
Q = 2π
β
α
ψ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
494 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
Fyzikální aplikace
Funkce s(t) udává délkovou hustotu v bodě [ϕ(t), ψ(t)] pro křivku zadanou parametricky
x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ α, β . Potom M vyjadřuje hmotnost křivky a
Sy
M
,
Sx
M
jsou souřadnice jejího těžiště, kde Sx a Sy jsou tzv. statické momenty křivky vzhledem k ose x,
resp. y. Pak platí
M =
β
α
s(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt,
Sx =
β
α
s(t)ψ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt,
Sy =
β
α
s(t)ϕ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt.
Nechť nyní funkce s(x) udává délkovou hustotu v bodě [x, f(x)] pro křivku grafem funkce f(x),
x ∈ a, b . Potom platí
M =
b
a
s(x) 1 + [f (x)]2 dx,
Sx =
b
a
s(x)f(x) 1 + [f (x)]2 dx,
Sy =
b
a
xs(x) 1 + [f (x)]2 dx.
Funkce S(t) udává hustotu obrazce vymezeného křivkou zadanou parametricky x = ϕ(t)
a y = ψ(t), t ∈ α, β . Potom M vyjadřuje jeho hmotnost a
Sy
M
,
Sx
M
jsou souřadnice jeho těžiště. Pak platí
M =
β
α
S(t)ψ(t)ϕ (t) dt,
Sx =
1
2
β
α
S(t)ψ2
(t)ϕ (t) dt,
Sy =
β
α
S(t)ψ(t)ϕ(t)ϕ (t) dt.
Nechť nyní funkce S(t) udává hustotu obrazce vymezeného křivkou určenou grafem funkce
f(x), x ∈ a, b , a osou x. Potom M vyjadřuje jeho hmotnost a
Sy
M
,
Sx
M
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 495
jsou souřadnice jeho těžiště. Pak platí
M =
b
a
S(x)f(x) dx,
Sx =
1
2
b
a
S(x)f2
(x) dx,
Sy =
b
a
xS(x)f(x) dx.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
496 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(436) Určete obsah plochy vymezené grafy funkcí f(x) = x2
+ x − 3 a g(x) = −x2
− 2x + 2.
Řešení:
Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj. vyřešit rovnici f(x) = g(x), tzn. že
2x2
+ 3x − 5 = 0 ⇒ x1 = −
5
2
a x2 = 1.
.
Navíc, v intervalu −5
2
, 1 platí g(x) > f(x), proto hledaný obsah vypočteme s pomocí
následujícího integrálu
S =
1
− 5
2
(−x2
− 2x + 2) − (x2
+ x − 3) dx =
1
− 5
2
−2x2
− 3x + 5 dx =
= −
2x3
3
−
3x2
2
+ 5x
1
− 5
2
= −
2
3
−
3
2
+ 5 −
250
54
−
75
8
−
25
2
=
343
24
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 497
(437) Určete obsah plochy ohraničené křivkami x2
+ y2
= 2 a y = x2
.
Řešení:
Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj.
y + y2
= 2 ⇒ y1 = −2 a y2 = 1.
.
Vzhledem k podmínce y = x2
je pro nás zajímavá pouze hodnota y2. Potom x1 = −1
a x2 = 1. Navíc, na intervalu −1, 1 platí
√
2 − x2 > x2
, proto hledaný obsah dostaneme
pomocí integrálu
S =
0
1 2 − x2 − x2
dx = 2
x
2
2 − x2 + arcsin
x
√
2
−
x3
3
1
0
=
= 2
1
2
+ arcsin
1
√
2
−
1
3
− 0 =
1
3
+
π
4
.
Při výpočtu jsme využili následující integrál
2 − x2 dx

x√
2
= sin t
dx√
2
= cos t dt

= 2 − 2 sin2
t
√
2 cos t dt =
=
√
2 1 − sin2
t
√
2 cos t dt = 2 cos2
t dt
cos 2t = 2 cos2
t − 1
 =
= 2
1
2
cos 2t +
1
2
dt = (cos 2t + 1) dt =
1
2
sin 2t + t + C =
= sin t cos t + arcsin
x
√
2
+ C =
x
√
2
1 −
x2
2
+ arcsin
x
√
2
+ C =
=
x
2
2 − x2 + arcsin
x
√
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
498 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(438) Určete obsah oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ 0, 2π .
Řešení:
.
Dosazením do vzorce pro obsah plochy mezi parametricky zadanými křivkami obdržíme
S =
2π
0
(1 − cos t) (1 − cos t) dt =
2π
0
1 − 2 cos t + cos2
t dt
cos2
t = 1
2
+ 1
2
cos 2t
 =
=
2π
0
3
2
− 2 cos t +
1
2
cos 2t dt =
3
2
t − 2 sin t +
1
4
sin 2t
2π
0
= 3π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 499
(439) Určete, v jakém poměru dělí křivka P : y2
= 2x plochu kruhu K : x2
+ y2
= 8.
Řešení:
Zadání je znázorněno na následujícím obrázku.
.
Z obrázku je zřejmé, že ve stejném poměru, jako dělí parabola kuh, dělí horní větev paraboly
y =
√
2x horní půlkruh y =
√
8 − x2. Pro výpočet budeme potřebovat souřadnice
průsečíku horní větve paraboly a horního půlkruhu. Poznamenejme, že nás zajímá pouze
průsečík v I. kvadrantu, což nám umožní volnější úpravy.
y = y,
√
2x = 8 − x2,
2x = 8 − x2
,
x2
+ 2x − 8 = 0,
x = 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
500 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
Průsečík má tedy souřadnice [2, 2]. Nyní spočítáme obsah červeně vyznačené plochy.
S =
2
0
√
2xdx +
√
8
2
8 − x2dx =
2
√
2
3
x
3
2
2
0
+
√
8
2
8 − x2dx =
=
8
3
+
√
8
2
8 − x2dx

x =
√
8 sin t
dx =
√
8 cos tdt√
8 π
2
=
2 π
4

=
8
3
+
π
2
π
4
8 − 8 sin2
t
√
8 cos tdt =
=
8
3
+
π
2
π
4
8 cos2
tdt =
8
3
+ 8
π
2
π
4
1 + cos 2t
2
dt =
=
8
3
+ 4
π
2
π
4
1 + cos 2tdt =
8
3
+ 4 t +
sin 2t
2
π
2
π
4
=
=
8
3
+ 4
π
2
+ 0 −
π
4
−
1
2
=
2
3
+ π.
Z rovnice kruhu vidíme, že jde o kruh o poloměru
√
8. Protože červená plocha má obsah
2
3
+ π, zbytek horního půlkruhu má obsah 4π − 2
3
+ π = 3π − 2
3
. Hledaný poměr je tedy
3π −
2
3
: π +
2
3
,
neboli
(9π − 2) : (3π + 2).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 501
(440) Odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a a b.
Řešení:
Obecná rovnice zadané elipsy je tvaru
E :
x2
a2
+
x2
b2
= 1.
Tato rovnice zadává implicitně funkci horní a dolní půlelipsy. Příklad vyřešíme tak, že si
z rovnice elipsy explicitně vyjádříme funkci horní půlelipsy a pomocí ní pak spočítáme
obsah čtvrtiny elipsy, která se nachází v I. kvadrantu.
.
Horní půlelipsa je dána funkcí
f : y = b 1 −
x2
a2
.
Interval, na kterém tato funkce zadává čtvrtelipsu v I. kvadrantu je x ∈ [0, a]. Můžeme
tedy počítat
S
4
=
a
0
b 1 −
x2
a2
dx = b
a
0
1 −
x2
a2
dx

x
a
= sin t
dx = a cos tdt
a π
2
0 0

=
= ab
π
2
0
1 − sin2t cos tdt = ab
π
2
0
cos2
tdt =
ab
2
π
2
0
1 + cos 2tdt =
=
ab
2
t +
sin 2t
2
π
2
0
=
abπ
4
.
Vzorec pro obsah elipsy s poloosami a a b je tedy
S = πab.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
502 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(441) Určete délku grafu funkce f(x) = ln x pro x ∈
√
3,
√
15 .
Řešení:
Dosazením do vzorce dostaneme
l =
√
15
√
3
1 +
1
x2
dx =
√
15
√
3
1 + x2
x2
dx =
√
15
√
3
√
1 + x2
x
dx

t2
= x2
+ 1
2t dt = 2x dx√
3 2√
15 4

=
=
4
2
√
t2
t2 − 1
t dt =
4
2
t2
t2 − 1
dt =
4
2
t2
− 1 + 1
t2 − 1
dt =
4
2
1 +
1
t2 − 1
dt =
=
4
2
1 +
1
2
t − 1
−
1
2
t + 1
dt = t +
1
2
ln |t − 1| −
1
2
ln |t + 1|
4
2
=
= 4 +
1
2
ln 3 −
1
2
ln 5 − 2 −
1
2
ln 1 +
1
2
ln 3 = 2 + ln 3 −
1
2
ln 5.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 503
(442) Určete délku oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ 0, 2π .
Řešení:
Aplikací odpovídajícího vzorce obdržíme
l =
2π
0
(sin t)2
+ (1 − cos t)2
dt =
2π
0
√
2 − 2 cos t dt
1 − cos t = 2 sin2 t
2
 =
= 2
2π
0
sin
t
2
dt = −4 cos
t
2
2π
0
= 8.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
504 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(443) Určete délku oblouku řetězovky f(x) = a cosh x
a
, I = [−1, 1].
Řešení:
Připomeňme, že platí
sinh x =
ex
− e−x
2
, cosh2
x − sinh2
x = 1.
l =
1
−1
1 + sinh2 x
a
dx =
1
−1
cosh2 x
a
dx
cosh je všude kladný
 =
=
1
−1
cosh x
a
dx = a sinh x
a
1
−1
= a sinh 1
a
− sinh −1
a
=
= a(e
1
a − e− 1
a ).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 505
(444) Vypočtěte délku oblouku křivky f(x) = ln ex +1
ex −1
pro x ∈ 1, 2 .
Řešení:
Nejdříve vypočteme a upravíme výrazy potřebné pro výpočet integrálu, tj.
f (x) =
−2 ex
(ex +1) (ex −1)
⇒ 1 + [f (x)]2
=
e4x +2 e2x +1
(ex +1)2
(ex −1)2
=
1 + e2x
e2x −1
.
Proto můžeme spočítat
l =
1
2
1 + e2x
e2x −1
dt =
1
2
1
e2x −1
+
e2x
e2x −1
dx = −x +
1
2
ln e2x
−1 +
1
2
ln e2x
−1
2
1
=
= −2 + ln e4
−1 + 1 − ln e2
−1 = −1 + ln
e2
−1 e2
+1
e2 −1
= ln e2
+1 − 1 = ln
e2
+1
e
,
přičemž jsem využili následující dva integrály
dx
e2x −1

t = 2x
dt = 2 dx

=
1
2
dt
et −1
=
1
2
et
e2t − et
dt

et
= u
et
dt = du

=
=
1
2
du
u2 − u
=
1
2
−
1
u
+
1
1 + u
du = −
1
2
ln |u| +
1
2
ln |u − 1| + C =
= −
1
2
t +
1
2
ln et
−1 + C = −x +
1
2
ln e2x
−1 + C;
e2x
e2x −1
dx

t = e2x
dt = 2 e2x
dx

=
1
2
dt
t − 1
=
1
2
ln |t − 1| + C =
1
2
ln e2x
−1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
506 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(445) Určete objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 1 + 1
2
sin 3x,
x ∈ π
3
, 13π
6
, kolem osy x.
Řešení:
V = π
13π
6
π
3
1 +
1
2
sin 3x
2
dx =
= π
13π
6
π
3
1 + sin 3x +
1
4
sin2
3x dx
sin2
3x = 1
2
(1 − cos 6x)
 =
= π
13π
6
π
3
1 + sin 3x +
1
8
(1 − cos 6x) dx =
= π x −
1
3
cos 3x +
1
8
x −
1
48
sin 6x
13π
6
π
3
=
33π2
16
−
π
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 507
(446) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 1
1+x2 , x ∈ −1, 1 ,
kolem osy x.
Řešení:
.
Poněvadž funkce f(x) je sudá, můžeme spočítat poloviční objem na intervalu 0, 1 . Proto
V = 2π
1
0
1
1 + x2
2
dx = 2π
1
2
arctg x +
1
2
x
1 + x2
1
0
= 2π
π
8
+
1
4
=
π
4
(π + 2),
neboť
1
1 + x2
2
dx
str. 398
= K2(0, 1) =
1
2
K1(0, 1) +
1
2
x
1 + x2
=
1
2
arctg x +
1
2
x
1 + x2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
508 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(447) Určete objem tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykloidy x = t − sin t, y =
1 − cos t, t ∈ 0, 2π , kolem osy x.
Řešení:
V = π
2π
0
(1 − cos t)2
(1 − cos t) dt = π
2π
0
(1 − cos t)3
dt =
= π
2π
0
1 − 3 cos t + 3 cos2
t − cos3
t
3
dt =
= π t − 3 sin t +
3
2
t +
3
4
sin 2t − sin t +
sin3
t
3
2π
0
= π (2π + 3π) = 5π2
,
neboť platí
cos2
t dt =
1 + cos 2t
2
dt =
t
2
+
sin 2t
4
+ C;
cos3
t dt = 1 − sin2
t dt

u = sin t
du = cos t dt

= 1 − u2
du =
= u −
u3
3
+ C = sin t −
sin3
t
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 509
(448) Najděte vzorec pro výpočet objemu komolého kužele s poloměrem podstav r1, r2 a výškou
v. Jaký je objem „nekomolého“ kužele?
Řešení:
Komolý kužel lze vytvořit tak, že necháme rotovat lichoběžník s vrcholy
[0, 0], [v, 0], [v, r2], [0, r1]
kolem osy x.
.
K výpočtu ovšem potřebujeme funkční předpis přímky dané body [0, r1] a [v, r2]. Ten
najdeme ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Dosazením bodu [0, r1] do rovnice přímky
ihned dostaneme, že q = r1. Pomocí této znalosti a dosazením bodu [v, r2] do rovnice
přímky dostaneme směrnici k = r2−r1
v
. Úsečka, jejíž rotací vznikne plášť studovaného
komolého kužele je tedy dána předpisem
y =
r2 − r1
v
x + r1, x ∈ 0, v .
Nyní použijeme známý vzorec
V = π
v
0
r2 − r1
v
x + r1
2
dt.
Umocním závorky a jednoduchou integrací polynomu obdržíme výsledek
V =
1
3
πv(r2
1 + r1r2 + r2
2).
Obyčejný kužel je speciální případ kužele komolého s nulovým poloměrem jedné podstavy.
Tedy položíme-li např. r1 = 0, r2 = r, získáme vzorec pro objem „obyčejného“ kužele ve
tvaru
VK =
1
3
πr2
v.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
510 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(449) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 2 |sin x|, x ∈
0, 2π , kolem osy x.
Řešení:
.
Oba oblouky cykloidy jsou stejné, můžeme se omezit pouze na interval 0, π , proto
Q = 2 · 2π
2π
0
2 sin x 1 + 4 cos2 x dx

2 cos x = t
−2 sin x dx = dt
0 2
π −2

=
= −4π 2−2
1 + t2 dt = 8
2
0
1 + t2 dt = 8π
1
2
ln t + 1 + t2 +
t
2
1 + t2
2
0
=
= 8
1
2
ln 2 +
√
5 +
√
5 = 4π ln(2 +
√
5) + 8π
√
5.
Při výpočtu jsme využili následující výpočet primitivní funkce
1 + t2 dt

t = sinh u
dt = cosh u du

= cosh2
u du
cosh 2u = 2 cosh2
u − 1
 =
=
1
2
cosh 2u + 1
2
du =
1
2
sinh 2u
2
+ u + C =
=
sinh u cosh u
2
+
u
2
+ C
cosh2
u − sinh2
= 1 ⇒ cosh u = sinh2
u + 1
 =
=
t
√
t2 + 1
2
+
arcsinh u
2
+ C.
Navíc, přímým výpočtem ověříme, že
arcsinh u =
1
2
ln t + t2 + 1 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 511
Z definice platí sinh x = ex − e−x
2
. Položme sinh x = v, potom
ln y + y2 + 1 = ln
ex
− e−x
2
+
e2x −2 + e−2x
4
+ 1 =
= ln
ex
− e−x
2
+
e2x + e−2x +2
4
=
= ln
ex
− e−x
2
+
(ex + e−x)2
4
=
= ln
ex
− e−x
2
+
ex
+ e−x
2
= ln |ex
| = x = arcsinh y.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
512 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(450) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 4+x, x ∈ −4, 2 ,
kolem osy x.
Řešení:
Q = 2π
2
−4
(4 + x)
√
1 + 1 dx = 2
√
2π
2
−4
(4 + x) dx =
= 2
√
2π 4x +
x2
2
2
−4
= 2
√
2π 8 +
4
2
16 −
16
2
= 36
√
2π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 513
(451) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací kardioidy (srdcovky) x = 2 cos t−cos 2t,
y = 2 sin t − sin 2t, t ∈ 0, π , kolem osy x.
Řešení:
Q = 2π
π
0
(2 sin t − sin 2t) (−2 sin t + 2 sin 2t)2
+ (2 cos t − 2 cos 2t)2
dt =
= 2π
π
0
(2 sin t − sin 2t)
√
8
√
− sin t sin 2t − cos t cos 2t dt

sin 2t = 2 sin t cos t
cos 2t = cos2
t − sin2
t

=
= 2π
π
0
(2 sin t − sin 2t)
√
8
√
1 − cos t dt = 2
√
8π
π
0
2 sin t (1 − cos t)3/2
dt =
= 4
√
8π
π
0
sin t (1 − cos t)3/2
dt

u = 1 − cos t
du = sin t dt
0 0
π 2

= 4
√
8π
2
0
2u3/2
du =
= 4
√
8π
u5/2
5
2
2
0
= 4
√
8π
25/2
5
2
= 4
√
8π
2
5
4
√
2 =
128
5
π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
514 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(452) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykoidy x = t − sin t,
y = 1 − cos t, t ∈ 0, 2π , kolem osy x.
Řešení:
Q = 2π
2π
0
(1 − cos t) (1 − cos t)2 + sin2
t dt =
= 2π
2π
0
(1 − cos t)
√
2
√
1 − cos t dt = 2
√
2π
2π
0
(1 − cos t)3/2
dt
1 − cos t = sin2 t
2
 =
= 2
√
2π
2π
0
2
√
2 sin3 t
2
dt = 8π
2π
0
1 − cos2 t
2
sin
t
2
dt

cos t
2
= u
1
2
sin t
2
dt = du
0 1
2π −1

=
= −8π2
−1
1
1 − u2
du = 16π u −
u3
3
1
−1
= 16π 1 −
1
3
+ 1 −
1
3
=
64
3
π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 515
(453) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní půlkružnice x2
+ y2
= r2
, y ≥ 0.
Řešení:
Podle příslušných vzorců obdržíme
M = σ
π
0
(−r sin t)2
+ (r cos t)2
dt = σr
π
0
dt = πσr,
Sx = σ
π
0
r sin t (−r sin t)2
+ (r cos t)2
dt = σr2
π
0
sin t dt = σr2
[− cos t]π
0 = 2σr2
,
Sy = σ
π
0
r cos t (−r sin t)2
+ (r cos t)2
dt = σr2
π
0
cos t dt = σr2
[sin t]π
0 = 0.
Proto souřadnice těžiště jsou
T =
0
πσr
,
2σr2
πσr
= 0,
2r
π
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
516 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(454) Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště křivky x = a cos3
t, y = a sin3
t, a > 0, x, y ≥ 0,
kde délková hustota v bodě s(x) v bodě [x(t), y(t)] je přímo úměrná x-ové souřadnici bodu.
Řešení:
Podle příslušných vzorců obdržíme
M =
π
2
0
ka cos3
t 3a cos2 t (− sin t)2
+ 3a sin2
t cos t
2
dt =
=
π
2
0
ka cos3
t 9a2 cos4 t sin2
t + 9a2 sin4
t cos2 t dt =
=
π
2
0
ka cos3
t cos2 t sin2
t cos2 t + sin2
t dt =
= 3ka2
π
2
0
cos4
t sin t dt

cos t = u
− sin t dt = du
π
2
0
0 1

= −3ka2
0
1
u4
du =
= −3ka2 u5
5
0
1
= −3ka2
0 −
1
5
=
3ka2
5
,
Sx =
π
2
0
3ka3
cos4
t sin4
t dt = 3ka3
−
1
128
sin 4t +
3
128
t +
1
1024
sin 8t
π
2
0
=
= 3ka3 3
128
π
2
= 3ka3 3π
256
,
kde jsme využili následující primitivní funkce
cos2
t dt =
t
2
+
sin 2t
4
+ C,
cos2
2t dt

2t = u
3 dt = du

1
2
cos2
u du =
1
2
u
2
+
sin 2u
4
+ C =
t
2
+
sin 4t
8
+ C,
sin4
t cos4
t dt
cos 2t = 2 cos2
t − 1
 =
1
16
(1 − cos 2t)2
(1 cos 2t)2
dt =
=
1
16
1 − 2 cos2
2t + cos4
2t dt

2t = u
3 dt = du

=
1
16
t − t −
sin 4t
4
+
1
2
cos4
u du =
= −
1
64
sin 4t +
1
32
1
4
(1 + cos 2u)2
du = −
1
64
sin 4t +
1
128
1 + 2 cos 2u + cos2
2u du =
= −
1
64
sin 4t +
1
128
u +
1
64
1
2
sin 2u +
1
128
u
2
+
sin 4u
8
+ C =
=
3
128
t −
1
128
sin 4t +
1
1028
sin 8t + C.
Dále platí
Sy =
π
2
0
3ka3
cos7
t sin t dt

u = cos t
du = − sin t dt
0 1
π
2
0

= −3ka3
0
1
u7
du = −3ka3 u8
8
0
1
=
3ka3
8
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 517
Proto těžiště má souřadnice
T =
3ka3
8
5
3ka2
, 3ka3 3π
256
5
3ka2
=
5a
8
,
15πa
256
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
518 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(455) Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy O = [0, 0], A = [0, 1] a B = [2, 0].
Řešení:
.
M = σ
2
0
1 −
x
2
dx = σ x −
x2
4
= σ (2 − 1) = σ,
Sx =
1
2
σ
2
0
1 −
x
2
2
dx =
1
2
σ
2
0
1 − x +
x2
4
dx =
=
1
2
σ x −
x2
2
+
x3
12
2
0
=
1
2
σ 2 − 2 +
8
12
=
σ
3
,
Sy = σ
2
0
x 1 −
x
2
dx = σ
2
0
x −
x2
2
dx = σ
x2
2
−
x3
6
2
0
= σ 2 −
8
6
=
2
3
σ.
Souřadnice těžiště tedy jsou
T =
2
3
,
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 519
(456) Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště rovinné homogenní plochy omezené křivkou
y = 2 sin 3x, x = 0, x = π
3
a osou x.
Řešení:
M = σ
π
3
0
2 sin 3x dx =
2
3
σ [− cos 3x]
π
3
0 =
4
3
σ,
Sx =
1
2
σ
π
3
0
4 sin2
3x dx = 2σ
x
2
−
sin 6x
12
=
σπ
3
,
Sy = σ
π
3
0
x2 sin 3x dx =
2
9
σ [sin 3x − 3x cos 3x]
π
3
0 =
2σπ
9
,
kde jsem využili
sin2
3x dx

t = 3x
dt = 3 dx

=
1
3
sin2
t dt =
1
3
1
2
−
1
2
cos 2t dt =
=
t
6
−
sin 2t
12
+ C =
x
2
−
sin 6x
12
+ C,
x sin 3x dx

u = x u = 1
v = −1
3
cos 3x v = sin 3x

= −
1
3
x cos 3x +
1
3
cos 3x dx =
= −
1
3
x cos 3x +
1
9
sin 3x + C =
1
9
(sin 3x − 3x cos 3x) + C.
Proto těžiště souřadnice jsou dány
T =
2σπ
9
3
4σ
,
σπ
3
3
4σ
=
π
6
,
π
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
520 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(457) Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného křivkou danou předpisem
y = 6x − x2
a osou x.
Řešení:
M = σ
6
0
6x − x2
dx = σ 3x2
−
x3
3
6
0
= σ (108 − 2 · 36) = 36σ,
Sx =
1
2
σ
6
0
6x − x2 2
dx =
1
2
σ
6
0
36x2
− 12x3
+ x4
dx =
1
2
σ
36x3
3
−
12x4
4
+
x5
5
6
0
=
648
5
σ,
Sy = σ
6
0
x 6x − x2
dx = σ
6
0
6x2
− x3
dx = σ
6x3
3
−
x4
4
6
0
= 108σ.
Těžiště má tedy souřadnice
T = 3,
18
5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 521
(458) Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného cykloidou x = 3(t − sin t),
y = 3(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π a osou x.
Řešení:
M = σ
2π
0
3 (1 − cos t) 3 (1 − cos t) dt = 9σ
2π
0
(1 − cos t)2
dt
Př. (438)
= 9σ4π = 27σπ,
Sx =
1
2
σ
2π
0
9 (1 − cos t)2
3 (1 − cos t) dt =
27
2
σ
2π
0
(1 − cos t)3
dt =
=
27
2
σ
2π
0
1 − 3 cos t + 3 cos2
t − cos3
t dt
Př. (447)
=
Př. (447)
=
27
2
σ t − 3 sin t +
3
2
(cos t · sin t + t) − sin t −
sin3
t
3
2π
0
=
27
2
σ (5π) =
135
2
πσ,
Sy = σ
2π
0
3(t − sin t)3 (1 − cos t) 3 (1 − cos t) dt =
= 27σ
2π
0
1 − 2 cos t + cos2
t (t − sin t) dt =
= 27σ
2π
0
t − sin t − 2t cos t + 2 cos t sin t + t cos2
t − cos2
t sin t dt =
= 27σ
t2
2
+ cos t − 2t sin t − 2 cos t − cos2
t +
t
2
(cos t · sin t + t) −
−
t
2
−
cos2
t
2
+
t2
2
−
cos3
t
3
2π
0
= 27σ 2π2
+ 2π2
+
1
4
− π2
−
1
4
= 27σ3π2
,
k čemuž jsme v posledním integrálu využili
t cos2
t dt

u = t u = 1
v
Př. (447)
= 1
2
(cos t · sin t + t) v = cos2
t

=
=
1
2
(cos t · sin t + t) −
1
2
(cos t · sin t + t) dt =
=
1
2
(cos t · sin t + t) −
1
2
−
cos2
t
2
−
t2
2
+ C,
t cos t dt

u = t u = 1
v = sin t v = cos t

= t sin t − sin t dt = t sin t + cos t + C,
cos t sin t dt

u = cos t
du = − sin t dt

= − u du = −
u2
2
+ C = −
cos2
t
2
+ C,
cos2
t sin t dt

u = cos t
du = − sin tdt

= − u2
du = −
u3
3
+ C = −
cos3
t
3
.
Proto souřadnice těžiště jsou dány
T = T =
27σ3π2
27σπ
,
135πσ
2 · 27σπ
= 3π,
5
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
522 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
Seznam použité literatury
[1] Z. Došlá, J. Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarykova univerzita, Brno,
2004.
[2] B. P. Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, 1. vydání, Fragment, 2003.
[3] Š. Hošková, J. Kuben, P. Račková, Integrální počet funkcí jedné proměnné, Vysoká škola
báňská — Technická univerzita Ostrava, Ostrava, 2006.
[4] Z. Hrnčiřík, Aplikace diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné ve slovních úlohách, Diplomová
práce, Masarykova univerzita, Brno, 2008.
[5] V. Jarník, Diferenciální počet I, Academia, Praha, 1984.
[6] V. Jarník, Integrální počet I, Academia, Praha, 1984.
[7] V. Novák, Integrální počet v R, Masarykova univerzita, Brno, 2001.
[8] J. Kuben, P. Šarmanová, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Vysoká škola báňská —
Technická univerzita Ostrava, Ostrava, 2006.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2