Metoda nejmenších čtverců, projekce, G-S ortogonalizační
proces
1. Vyřešte metodou nejmenších čtverců:
x1 + x3 = 2
x1 + x3 = −1
x1 + x2 = 3
x1 + x2 = 7
[{(1/2 − t, 9/2 + t, t), t ∈ R}]
2. Metodou nejmenších čtverců určete kvadratickou aproximaci dat:
-2 -1 0 1 2
9/2 4/5 0 6/5 7/2
Dále vypočtěte reziduální vektor a jeho velikost.
[f(x) = x2
− 8
50
x, r = 1
50
(−9, 18, 0, −18, 9), ||r|| = 0.5692]
3. Určete projekci vektoru v = (1, −1, 2, 1) na prostor
W = Span (1, 2, 1, 0), (−1, 0, 1, 0), (1, −1, 1, 0) ,
dále vypočítejte vzdálenost v a W a odchylku v a W.
[Pv = (1, −1, 2, 0), v(v, W) = 1, (v, W) = 22◦
12 ]
4. Vypočítejte projekci vektoru (matice)
v =
1 0
2 3
na prostor
W = Span
1 2
0 0
,
0 3
0 1
.
Pv =
−4/7 11/14
0 9/14
5. Ve vektorovém prostoru Mat2×2(R) mějme podprostor W generovaný maticemi
U1 =
1 1
1 1
, U2 =
1 0
3 0
, U3 =
2 5
0 1
.
Pomocí Grammova–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi podprostoru W.
Poté určete souřadnice matice
U =
3 −2
5 6
∈ W
1
vzhledem k této vypočtené bázi.
V =
1 1
1 1
,
0 −1
2 −1
,
0 2
0 −2
, [U]V = (3, 1, −2)
2