16
4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Příklad: Řešte systém rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
2x1 + 3x2 − x4 = 1
3x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0
x1 − x2 + 4x3 − x4 = 2
Řešení: Rozšířená matice soustavy je


2 3 0 −1 | 1
3 2 4 −2 | 0
1 −1 4 −1 | 2


Pomocí EŘO (elementárních řádkových operací) upravujeme na schodovitý tvar. Poslední
řádek matice dáme na první místo, potom jeho (−2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu
řádku, který posuneme na druhé místo, a jeho (−3)-násobek přičteme k původnímu
druhému řádku, který posuneme na třetí místo. Tak dostaneme matici


1 −1 4 −1 | 2
0 5 −8 1 | −3
0 5 −8 1 | −6


Přičtením (−1)-násobku druhého řádku k třetímu dostaneme matici


1 −1 4 −1 | 2
0 5 −8 1 | −3
0 0 0 0 | −3


Už z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici nemá řešení, jelikož
obsahuje rovnici 0 = −3. Tedy ani původní soustava (přestože obsahuje více neznámých
než rovnic) nemá řešení.
Příklad: Uvažujme soustavu
4x1 + 3x2 + 6x3 = 1
3x1 + 5x2 + 4x3 = 10
x1 − 2x2 + 2x3 = −9
tří rovnic o třech neznámých nad polem R.
17
Řešení: Rozšířená matice soustavy je


4 3 6 | 1
3 5 4 | 10
1 −2 2 | −9

 .
Pomocí EŘO upravujeme na redukovaný schodovitý tvar. Třetí řádek dáme na první místo.
Jeho (−1)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který dáme na druhé místo, a
jeho (−3)-násobek přičteme k původnímu druhému rádku, který nýní dáme na třetí místo.


1 −2 2 | −9
0 11 −2 | 37
0 11 −2 | 37

 .
(−2)-násobek druhého řádku přičteme k (11)-násobku prvního řádku a jeho (−1)-násobek
přičteme ke třetímu řádku. Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru.


11 0 18 | −25
0 11 −2 | 37
0 0 0 | 0

 .
Matice odpovídá soustavě rovnic
11x1 + 18x3 = −25
11x2 − 2x3 = 37,
která je ekvivalentní s původní soustavou. Proměnnou x3 si zvolíme za parametr t ∈ R. Z
první rovnice určíme x1:
11x1 + 18t = −25 ⇒ 11x1 = −25 − 18t ⇒ x1 =
−25 − 18t
11
.
Z druhé rovnice určíme x2:
11x2 − 2t = 37 ⇒ 11x2 = 37 + 2t ⇒ x2 =
37 + 2t
11
.
Vidíme, že původní soustava (přestože počet rovnic je stejný jako počet neznámých) má
nekočně mnoho řešení.
Příklad: Uvažujme soustavu
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 4x3 = 0
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0
3x3 + 4x4 = 0
18
čtyř rovnic o čtyřech neznámých nad polem Z5.
Řešení: Protože se jedná o homogenní soustamu, stačí upravovat její (nerozšířenou)
matici 



1 1 2 3
2 0 4 0
1 2 1 3
0 0 3 4



 .
(−2)-násobek, tj. 3-násobek prvního řádku přičteme k druhému řádku a jeho (−1)-násobek,
tj. 4-násobek přičteme k třetímu řádku. Dostaneme matici




1 1 2 3
0 3 0 4
0 1 4 0
0 0 3 4



 .
(−1)-násobek, tj. 4-násobek třetího řádku přičteme k prvnímu řádku a jeho (−3)-násobek,
tj. 2-násobek přičteme k druhému řádku. Konečně výměnou druhého a třetího řádku dostaneme
matici 



1 0 3 3
0 1 4 0
0 0 3 4
0 0 3 4



 .
Třetí řádek odečteme od prvního a od čtvrtého řádku. Dále jej vynásobíme skalárem 3−1
=
2. Potom jeho (−4)-násobek, tj. přímo tento nový třetí řádek přičteme k druhému řádku.
Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru.




1 0 0 4
0 1 0 3
0 0 1 3
0 0 0 0




Proměnnou x4 si zvolíme za parametr. Všechna řešení soustavy pak mají tvar x1 = t, x2 =
2t, x3 = 2t, x4 = t, kde t ∈ Z5. Vidíme, že původní soustava (přestože počet rovnic je
stejný jako počet neznámych) má více než jedno řešení; není jich však nekonečně mnoho,
ale pouze 5. Právě tolik je totiž možných voleb parametru t, tj. prvků pole Z5.
Příklad: Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z:
x + cy − cz = −3
x + (c − 1)y − (c + 3)z = −5
x + (c + 1)y + 2z = d − 1
19
Najděte všechny hodnoty parametrů c, d, pro které má soustava
(a) jediné řešení,
(b) nekonečně mnoho řešení,
(c) žádné řešení.
V případech (a), (b) najděte tato řešení v závislosti na parametrech c, d.
Řešení: Matici soustavy


1 c −c | −3
1 c − 1 −c − 3 | −5
1 c + 1 2 | d − 1


převedeme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar. První řádek opíšeme, k (−1)násobku
druhého řádku přičteme první řádek, ke třetímu řádku pričteme (−1)-násobek
prvního řádku. 

1 c −c | −3
0 1 3 | 2
0 1 2 + c | d + 2


Nyní první a druhý řádek opíšeme a ke třetímu řádku přičteme (−1)-násobek druhého
řádku. Získáme matici 

1 c −c | −3
0 1 3 | 2
0 0 c − 1 | d

 ,
ze které určíme, že
(a) soustava má jediné řešení pro c = 1, a to:
x =
4cd − c − 2c2
+ 3
c − 1
, y =
2c − 2 − 3d
c − 1
, z =
d
c − 1
;
(b) pro c = 1, d = 0 doplníme hodnoty parametrů do upravené matice soustavy, z níž již
lehce určíme, že soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou tvaru
x = −5 + 4p, y = 2 − 3p, z = p,
kde p ∈ R je parametr;
(c) pro c = 1, d = 0 soustava obsahuje rovnici 0 = d, v tomto případě tedy nemá řešení.
Cvičení:
1. Řešte soustavu rovnic v R a Z5 užitím Gaussovy eliminace.
x1 + x2 − 3x3 = −1
2x1 − x2 − 3x4 = 5
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 − 3x3 = 1
20
2. Řešte soustavu rovnic v R, Z5 a Z7 užitím Gaussovy eliminace.
2x1 − x2 + x3 − x4 = 1
2x1 − x2 − 3x4 = 2
3x1 − x3 + x4 = −3
2x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = −6
3. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
2x1 − 3x2 + 17x3 − 29x4 − 36x5 = 22
2x1 − 3x2 + 18x3 − 27x4 + 33x5 = 21
12x1 − 18x2 + 102x3 − 174x4 − 216x5 = 132
2x1 − 3x2 + 21x3 − 24x4 − 30x5 = 20
2x1 − 3x2 + 24x3 − 21x4 − 27x5 = 19
Soustavu řešte také jako homogenní.
4. Řešte soustavu rovnic v C užitím Gaussovy eliminace.
(a)
x + 2iy = 5 + 4i
(3 − i)y + (6 − 2i)z = 10
2x − z = 5 + 3i
x + y + z = 5 + 2i
(b)
(1 + i)x + 3iy = −i
(1 + 2i)x + (1 − i)y = 6 + i
(c)
(1 + i)x + (1 − i)y = 6 + 4i
ix + (1 + 2i)y = −3 + 5i
5. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
21
6. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
2x1 + 2x2 − x3 + x5 = 0
−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 − 2x3 − x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
7. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
3x1 − 2x2 = −1
4x1 + 5x2 = 3
7x1 + 3x2 = 2
8. Řešte následující systém rovnic, kde a, b, c jsou konstanty.
x1 + x2 + x3 = a
2x1 + 2x3 = b
3x2 + 3x3 = c
9. Řešte následující systém rovnic.
2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 9
x1 − 2x3 + 7x4 = 11
3x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 8
2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 = 10
10. Řešte následující systém rovnic.
7x1 + 3x2 − 2x3 = 1
−x1 + 6x2 − 3x3 = 2
−10x1 + 15x2 − 11x3 = 4
Soustavu řešte také jako homogenní.
11. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v R
(i) právě jedno řešení,
(ii) více než jedno řešení,
(iii) žádné řešení.
(a)
ax + y − 2z = 1
x − y + z = 0
(1 + a)y − z = b
22
(b)
x − ay − 2z = b
x + (1 − a)y = b − 3
x + (1 − a)y + az = 2b − 1
12. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v Z5
(i) právě jedno řešení,
(ii) více než jedno řešení,
(iii) žádné řešení.
2x + 3y = 1
3x + 4y + az = 2
3x + 4az = b
13. V Z5 řešte soustavu rovnic
x + y = 1
2x + 3z = 0
4x + y + 2z = 1
Napište výčtem všechny prvky množiny řešení.
14. V Z5 řešte následující systém rovnic v závislosti na parametrech a a b.
ax + y = b
ay + z = 2b
x + az = 4
15. Určete parametry a, b, c tak, aby následující systém měl právě jedno řešení.
ax + by = c
cx + az = b
bz + cy = a
16. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametrech a, b.
ax + by + z = 1
x + aby + z = b
x + by + az = 1