23
5. INVERZNÍ MATICE
Řekneme, že matice A ∈ Matn(K) má inverzní matici, jetliže existuje matice B ∈
Matn(K) taková, že
AB = BA = E.
Ke každé matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. Značíme ji A−1
. Matici, která má
matici inverzní, nazýváme regulární maticí.
Metoda výpočtu inverzní matice spočívá v použití EŘO. Nechť A je matice typu n×n.
Vytvoříme blokovou matici B tak, že zapíšeme A a jednotkovou matici E vedle sebe – A
nalevo, E napravo:
B =



a11 · · · a1n | 1 · · · 0
...
...
... |
...
...
...
an1 · · · ann | 0 · · · 1



Matici B upravujeme nejdříve na schodovitý tvar. Pokud je ve schodovitém tvaru v levém
bloku řádek ze samých nul, inverzní matice k A neexistuje. Pokud tento případ nenastane,
pokračujeme v řádkových úpravách tak, abychom v levém bloku dostali jednotkovou matici.
(Tento postup se nazývá zpětmá Gaussova eliminace.) V pravém bloku je potom A−1
.
Příklad: Najděte inverzní matici k matici A =


1 1 1
2 3 3
−1 −3 −2

.
Řešení: Vytvoříme blokovou matici tak, že A napíšeme nalevo, E napravo a upravujeme
pomocí EŘO na schodovitý tvar (přímou Gaussovou eliminací).


1 1 1 | 1 0 0
2 3 3 | 0 1 0
−1 −3 −2 | 0 0 1

 ∼


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | −2 1 0
0 −2 −1 | 1 0 1

 ∼


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | −2 1 0
0 0 1 | −3 2 1


Ze schodovitého tvaru vidíme, že A−1
existuje. Matici tedy dále upravujeme na redukovaný
schodovitý tvar (zpětnou Gaussovou eliminací).


1 1 0 | 4 −2 −1
0 1 0 | 1 −1 −1
0 0 1 | −3 2 1

 ∼


1 0 0 | 3 −1 0
0 1 0 | 1 −1 −1
0 0 1 | −3 2 1


Tedy A−1
=


3 −1 0
1 −1 −1
−3 2 1


Správnost výpočtu ověříme vynásobením A s A−1
.
24
Příklad: Najděte inverzní matici k matici C =
i −2
1 i
.
Řešení: Napíšeme blokovou matici nalevo s maticí C, napravo s jednotkovou maticí
a upravujeme na redukovaný schodovitý tvar:
i −2 | 1 0
1 i | 0 1
První řádek vynásobíme −i, od druhého řádku odečteme nový první řádek.
1 2i | −i 0
0 −i | i 1
K prvnímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku, druhý řádek vynásobíme i.
1 0 | i 2
0 1 | −1 i
Tedy C−1
=
i 2
−1 i
Cvičení:
1. Vypočtěte inverzní matice k daným maticím.
A =
8 5
11 7
, B =
1 3
1 4
, C =


1 2 3
0 1 2
0 0 1

, D =


1 −4 −3
1 −5 −3
−1 6 4

,
E =




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1



, F =




3 3 −4 −3
0 6 1 1
5 4 2 1
2 3 3 2



, G =




1 4 −2 3
2 9 3 −2
−1 −6 −11 4
0 −1 −6 0



.
2. Mějme matice A =
3 1
5 2
, B =
2 −3
4 4
, C =
6 4
−2 −1
.
(a) Najděte jejich inverze.
(b) Ukažte, že
i. (A−1
)−1
= A
ii. (BT
)−1
= (B−1
)T
iii. (AB)−1
= B−1
A−1
iv. (ABC)−1
= C−1
B−1
A−1
25
3. Najděte inverzní matice k daným maticím.
K =
α β
γ δ
, L =
cos α − sin α
sin α cos α
, M =








2 − n 1 · · · 1 1
1 2 − n
... 1 1
...
...
...
...
...
1 · · ·
... 2 − n 1
1 · · · · · · 1 2 − n








,
N =







1 1 0 · · · 0
0 1 1 · · · 0
...
...
...
...
...
0 · · · 0 1 1
0 · · · · · · 0 1







.
4. Najděte inverzní matice k následujícím maticím v C.
A =
1 + i 1 − i
2 i
, B =
2 i
1 0
, C =
1 1 − i
2 − 3i 4
, D =
1 i
−i 3
,
E =
−i 2
0 1
.