Příklad 1: Zjistěte, jestli je daná množina V s uvedenými operacemi ++ a * vektorový prostor. (Znamená to ověřit platnost všech osmi axiomů.) Poznamenejme, že všechny prostory uvažujeme nad R. a) }{ a xxayxyxxxV =⋅=++>∈= *,,0R b) polynomy stupně nejvýše 2, tj. }{ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 210 2 210 2 221100 2 210 2 210 210 2 210 * , ,,, xcaxcacaxaxaac xbaxbabaxbxbbxaxaa aaaxaxaaV ++=++ +++++=++++++ ∈++= R c) matice různých typů, např.           ∈           = Rfeba fc eb da V ,,...,, s obvyklým sčítání matic a násobení matice číslem d)           ∈           = Rfeba f ec dba V ,,...,, 00 0 s obvyklým sčítáním matic a násobením matice číslem, všimněte si, že tento prostor je podprostorem matic typu 3x3 z příkladu c) e) řešení homogenního systému lineárních rovnic (tj. s pravou stanou složenou ze samých nul) f) řešení nehomogenního systému lineárních rovnic g) V=R, x++y=x+y, a*x=a-1 x h) V=(0,∞), x++y=x·y, a*x=a·x i) V=C, (a+ib)++(c+id)=(a+b)+i(c+d), k*(a+ib)=ka+ikb Příklad 2: Je množina M podprostorem vektorového prostoru V? a) 3 ,,,, RR =           ∈+=           = Vcbacab c b a M b) 2 ,,,0,0 RR =       ∈>>      = Vyxzx y x M c) ),3,2(Mat,,...,, ,,,...,,,0 RR R =           ∈           =           ∈=+++++           = feba fc eb da V febafedcba fc eb da M d) { } ),2,2(Mat,0)det( R=== VAAM e) M=R, V=C f) { } ( )xVffM 2P,0)1( === g) { } ( )xVffM 2P,1)2( === Příklad 3: Je daná množina vektorů báze? Určete dimenzi lineárního obalu těchto vektorů. a) { }32 ,,,1 xxx v P2(x) a‘) { }32 ,,,1 xxx v P3(x) b) { }11 2332 +++ ,xx,,xxx v P2(x) c)                                                                       0 1 0 1 , 0 0 0 1 , 1 0 1 0 , 1 1 0 0 v R4 d)                         −       01 10 , 00 10 , 00 11 , 10 01 v Mat(2,2,R) e)                                                         −               0 1 1 0 , 0 0 1 0 , 0 0 1 1 , 0 1 0 1 v R4 f)                               10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 v Mat(2,2,R) g) { }111 33 ++++ ,xx,,xxx v P2(x) h)                                                                       0 0 1 1 , 0 0 0 1 , 1 0 1 0 , 1 0 1 1 v R4 i)                   −       −       41 13 , 21 62 , 02 11 , 11 31 v Mat(2,2,R) j)                                           −               −               4 1 1 3 , 2 1 6 2 , 0 2 1 1 , 1 1 3 1 v R4 k) { }i2,3i1 ++ v C l) množina kořenů polynomu 322 −− xx v C m) množina kořenů polynomu 542 +− xx v C Příklad 4: Vyberte z množiny vektorů M nějakou bázi lineárního obalu těchto vektorů. a)                         −       = 01 10 , 00 10 , 00 11 , 10 01 M b)                   −       −       = 41 13 , 21 62 , 02 11 , 11 31 M c) { }11,12, 233232 +++++= ,xx,xx,xxxxM d)                                                                                                   = , 0 1 0 1 , 0 0 0 1 , 1 0 0 1 , 1 0 1 0 , 0 1 2 0 , 1 1 0 0 M Příklad 5: Doplňte vektory do báze podprostoru V, abychom dostali bázi vektorového prostoru W. Jakou mají dimenzi V a W? a) ),2,2(Mat, 00 10 , 00 11 , 10 01 R=                   −       = WV b) { } ( )xWx,xxV 3 3 P,1,1 =−+= c) 4 , 0 0 1 0 , 0 0 1 1 , 0 1 0 1 R=                                           −               = WV d) ),2,3(Mat, 14 25 36 , 43 52 61 R=                               = WV e) { } C=+= WV ,i23 Příklad 6: Najděte nějakou bázi prostoru řešení následujících homogenních systémů lineárních rovnic. (Některé jsou již zadány maticí.) a) 0 0322 0 = =++ =++ z zyx zyx b)               1122 1221 2112 2211 c)               8844 6633 4422 2211 d)               1122 0221 2112 2211 Příklad 7: Najděte souřadnice vektoru u v bázi α a ve standardní bázi ε. a) u=1+x+x2 , α=(x2 +x3 ,x3 +x,1,x2 +1), ε=(1,x,x2 ,x3 ) b)                                 =                          −       =      − = 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 , 01 10 , 00 10 , 00 11 , 10 01 , 11 21 εαu c)                                                                       =                                                         −               =               − = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 , 0 1 1 0 , 0 0 1 0 , 0 0 1 1 , 1 0 0 1 , 1 1 2 1 εαu d) u=5+6i, α=(2+i,3+2i), ε=(1,i) Příklad 8: Mějme vektorový podprostor generovaný bazí α. Najděte vektor u, jehož souřadnice v bázi α jsou [ ]αu . a) [ ]               − =                          −       = 1 3 2 1 , 01 10 , 00 10 , 00 11 , 10 01 αα u b) [ ]               − =                                                         −               = 1 3 2 1 , 0 1 1 0 , 0 0 1 0 , 0 0 1 1 , 0 1 0 1 αα u c) [ ]       − =                    = 6 5 , 01 10 , 10 01 αα u d) ( ) [ ]           −=+++= 3 1 2 ,12332 αα ux,x,xxx e) ( ) [ ]      − =++= 3 1 ,i23,i2 αα u Příklad 9: Je následující zobrazení lineární? a) zrcadlení v rovině podle přímky y=3x+1 b) otočení v rovině o úhel 60° kolem počátku c) zrcadlení v rovině podle přímky y=3x d) otočení v rovině o úhel 60° kolem bodu       1 2 e) ( ) R→xf 2P: dané předpisem ( ) cbacxbxaf ++=++ 2 f) ( ) R→xf 2P: dané předpisem ( ) cbacxbxaf ⋅⋅=++ 2 g) ( ) R→xf 2P: dané předpisem ( ) bcxbxaf =++ 2 h) ( ) RR →,2,2Mat:f dané předpisem ( ) )det(AAf = i) ( ) RR →,2,2Mat:f dané předpisem cba dc ba f ++=              32 j) ( ) 3 ,2,2Mat: RR →f dané předpisem           + + =              d ca ba dc ba f 2 k) ( ) ( )xf 2P,2,2Mat: →R dané předpisem ( ) 2 2 dxxcaba dc ba f ++++=              l) ( ) ( )xf 2P,2,2Mat: →R dané předpisem ( ) 2 dxxaca dc ba f ++=              m) 2 : RC →f dané předpisem       =+ b a baf )i( . Ukažte, že je to izomorfizmus.