Příklad 1. Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi
mm
Příklad 2. Najděte nějakou bázi podprostoru M = {f | /(l) = 0} prostoru polynomů stupně nejvýše dvě P2(x).
Příklad 3. Každý vektorový prostor U konečné dimenze n je izomorfní s IRn pomocí zobrazení /: U —► Mn daného předpisem f(u) = [u]a, kde a je libovolná báze prostoru U. Proto veškeré počítání lze převést na počítání v IRn a výsledek pak převést zpět do původního prostoru. Ukažte, že zobrazení /: P2OE) —► R3 dané předpisem f (a+bx+cx2) = (6) Je izomorfizmus
vektorových prostorů (je lineární a bijekce). Poznamenejme, že je to zobrazení, které přiřazuje polynomu jeho souřadnice ve standardní bázi ep^) = (l,x,x2).
Příklad 4. Jsou následující zobrazení lineární?
• /:	C -	->■ Mat(3,2,K	.) dané předpisem	f (a 4	- bi) = 1
• /:	c -	->■ Mat(3,2,K	.) dané předpisem	f (a 4	- bi) = 1
• /:	c -	->■ Mat(3,2,K	.) dané předpisem	f (a 4	- 6i) = 1
• /:	R -	-> ~Ps(x) dané předpisem / í í b		)) =	(a + b)
a 66 a+26 62 a a+1
a 66 a+26 ab a a+b
a 66 a+26 a a a+6
Příklad 5. Dokažte, že pro lineární zobrazení /: U —► V platí f{ou) = oy, kde o značí nulový vektor. Uvažte libovolný vektor u E U a počítejte /(-u — u).
Příklad 6. Najděte jádro a obraz následujících zobrazení. Poznamenejme, že jádro zobrazení /: U —► V obsahuje pouze nulový vektor práve tehdy, když je injektivní a je Im/ = V právě tehdy, když zobrazení / je surjektivní.
• /: P2OE) —► C dané předpisem f (a + bx + cx2) = a + b + i (26 + 3c)
• /: M2 ^M2 dané předpisem f ((ab)) = (a+b)
• kolmá projekce roviny IR2 na přímku y = 0
• /: Mat(2, 2, R)     M dané předpisem / ((ac bd)) = 2a + 36 + c
• /: Mat(2,2,M) —► IR3 dané předpisem f ((acbd)) = («+2c)
• /: Mat(2,2,IR)     P2(ar) dané předpisem f (("%)) = (a + b) + (a + 2c)x + dx2
Příklad 7. Uvažme lineární zobrazení / :!&—>• IR . Víme, že
(i)-'((D)
o//      \ 1 /        V \ o / /      V1/        \ \ 1 ' '      V ^ y        \ \ n / / \u
1. Nejprve spočítejte obrazy /(e^), kde    tvoří standardní (jinak řečeno kanonickou) bázi
e4 = (ei,e2,e3,e4) = ((|j)'(j])'(i)'(í))) * UžiJte toho' že / Je lineární, tj. že f(ax + by) = af(x) + bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z IR a volit vektory x, y z j        , (Q , Q , (j
2. Pak /(ej) pro i = 1,... ,4 postupně tvoří sloupce matice zobrazení (/)e Ě4-
3. Najděte předpis tohoto zobrazení. (Předpis získáme z právě vypočítané matice.)
4. Najděte matici zobrazení (f)ae4, jestliže je báze a = '(!))' ^u<^' muzete využít násobení matic, pak je (/)ae4 = (id)ae3 • (/)Ě3e4, nebo z definice i-ty sloupec je [/(e0]aai = l,...4.
5. Najděte jádro Ker/ a obraz Im/ (nejlépe pomocí báze jako podprostor IR4 a IR3).
Příklad 8. Najděte následující matice lineárního zobrazení /.
• Najděte (/)77, jestliže je /: IR2 -+ IR2, dané předpisem / ((ab)) = (a+b) a 7 = ((|), (io)).
• Najděte matice přechodu idĚMat(3 2 M)a, idaĚMat(3 2 M), id^ a ida/3, jestliže je
Q=((iO'(u)'Gé)'G8)'(88)'(n))a
^= ((s§)' (ss)' (žs) ' (äž)' (iž)' (iO) -
• Najděte (f)/3a, jestliže je /: C —► P2(x) dané předpisem /(a + bi) = b + (a +      + 36x
a a = (2 + i, 1 + 3i) a /? = (1 + x2, x + x2,1 + x).
Příklad 9. V P2OE) uvažujme bázi ep2(:E) = (l,x,x2) a bázi a = (1 + 2x + íc2, 1 + x + x2,—l — x + 3x2). Vypočtěte matici přechodu (id)ae od báze ep^) k bázi a a s její pomocí vypočtěte souřadnice polynomu 2 + 3x + 6x2 v bázi a.