Příklad 1. Najděte řádkový prostor, sloupcový prostor (ImA) a jádro matice A. • A = 112 0 1 2 1111 4 2 2 2 2 110 11 rozhodněte v závislosti na parametru a G IR, A a 1 2 1 1 2 a 1 0 0 0 a Příklad 2. Jsou na sebe kolmé (ortogonální) následující dvojice vektrových podprostorů? (Vždy uvažte příslušný skalární součin ze skript.) U = Span 1 1 2 i i 4 / ) 1 1 i / V i , V = Span i o o -i . f/= Span((H), (j!)), V-= Span((0^1),(r06)> . f/ = Span((i2),(||)),\/ = Span((ä_01),(-02ä)) Příklad 3. Najděte velikost následujících vektorů. • (1120 1) Příklad 4. Je následující množina vektorů ortogonální? Je ortonormální? Příklad 5. Je následující matice ortogonální? 110 5 2 0-2-1 4 0 1-2 1-10 5 Příklad 6. Najděte ortogonální doplněk podprostoru U prostoru V. = Span( [\),(l)),V = E* i / V i 2 1 ( 0 1 \ T/ _ Q^QT1 / / 2 1 í 0 | íl U = Span \ (4))(o)/5^/ = Span 4 / ) 1 0 I ' 1 1 1/ \ 1 / / \ \ 1 / \ 1 / \ 0 ř/ = ( i ) V Jaká je vzdálenost a jaká je odchylka vektoru u od podprostoru H7? Příklad 8. Najděte matici kolmé projekce z IR4 na parametricky zadanou přímku p: X4 \ ). (Jedná se o lineární zobrazení? Jak jsou definovány jednotlivé sloupce matice zobrazení, jestliže hledáme matici zobrazení / z IR4 do IR4 ve standardních bazích.) Příklad 9. Gram-Schmidtovým ortogonalizačním procesem převeďte bázi a na ortogonální bázi f3. Poté bázi f3 převeďte na bázi 7, která bude ortonormální. a a i MM h\ \\ \\ \ n \\ i\ i Příklad 10. Najděte ortogonální a ortonormální bázi podprostoru z příkladu 7 a pomocí nich postupně (tj. počítejte 2x) najděte kolmou projekci vektoru z příkladu 7. Příklad 11. Metodou nej menších čtverců řešte systém lineárních rovnic. (Všiměte si, že v prvním příkladu obdržíte řešení daného systému, zatímco v druhém příkladu najdete nějakou aproximaci, neboť ten řešení nemá.) X\ + 3x2 = 4 xi + 3x2 = 4 2xi + 6x2 = 8 2xi + x2 = 3 x\ + 3^2 = 4 xi + 3x2 = —4 2xi + 6x2 = 8 2x\ + ^2 = 3