První 4 příklady jsou z úloh pana Panáka.
Příklad 1. Marek, Petr a Zuzka si házejí míčem. Každý z chlapců hodí balón s pravděpodobností 1/3 druhému a s pravděpodobností 2/3 Zuzce. Zuzka rozděluje balóny se stejnou pravděpodobností oběma chlapcům. Popište pohyb balónu jako Markovův proces. S jakou pravděpodobností se po dlouhé době bude míč nacházet u Zuzky?
Příklad 2. Uvažujme následující populaci nezmarů, kteří se dožívají tří měsíců. Každý nezmar splodí mezi prvním a druhým měsícem života tři nezmárky, stejně tak mezi druhým a třetím měsícem života. Nezmaří stáří do jednoho měsíce neplodí. Třetina nezmarů po dovršení druhého měsíce života umírá, po dovršení třetího měsíce umírají všichni.
Napište Leslieho matici modelu růstu této populace a zjistěte, na jakém poměru mezi jednotlivými věkovými skupinami se populace ustálí. Na jaké hodnotě se ustálí přírůstek populace?
Příklad 3. Uvažujme následující situaci: Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s pravděpodobností 1/2 jej zapomene tam, odkud odchází. Ráno odchází do práce. V práci chodí na oběd do restaurace a zpět. Po skončení práce odchází domů. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den vzít (pokud nezapomene).
• Uvažte tuto situaci jako Markovův proces a napište jeho matici. (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den.)
• Určete vlastní čísla této matice a vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu 1.
• Určete pravděpodobnost, že se profesorův deštník nachází ráno v restauraci.
Příklad 4. Uvažujme následující model bujení byrokracie: počítejme, že každý úředník má místo na 30 let. V prvních a posledních deseti letech v úřade úředník nevytváří nová místa. Naopak v druhých deseti letech úředník vytvoří v průměru 2 nová úřednická místa. Žádné úřednické místo nezaniká. Popište, jak bude růst úřednický aparát (poroste asymptoticky jako jistá geometrická řada). Na jakém poměru se ustálí poměr počtu nových, středně starých a starých úředníků?
Příklad 5. Předpokládejme, že máme model daný následujícím předpisem:
1.
mk+1 = 2mk + nk;  nk+1 = mk + 2nk
2.
mk+1 = mk - nk;  nk+1 = -mk + nk
3.
5        3 3 5
mk+1 = ômfc + ňnk>    nk+l = ômk + ônk
Jaký stav bude za 5 let, jestliže počáteční stav je m0 = 100 a n0 = 150. Kolik je — nikl Stabilizuje se tento model na nějaké hodnotě?
Příklad 6. V republice žije 10 milionů obyvatel. Republika je rozdělena na tři části C, M a S. Předpokládejme, že se obyvatelé mezi těmito částmi stěhují takto:
1. 10% z C se stěhuje na M a 20% se stěhuje do S; 10% z M se stěhuje do C a 10% do S; 20% ze S se stěhuje do Č a 10% na M
2. 10% z C se stěhuje na M a 10% se stěhuje do S; 50% z M se stěhuje do C a nikdo do S; 50% ze S se stěhuje do C a nikdo na M
3. 10% z C se stěhuje na M a 10% se stěhuje do S; z M ani ze S se nikdo nikam nestěhuje
Rozhodněte, jak se budou chovat počty obyvatel v jednotlivých částech republiky v dlouhodobém průběhu.