Řešení čtvrté písemky
Skupina A, B
Příklad č. 1:
Skupina B má pouze přejmenované parametry.
Nejprve najdu bázi W:




































































































































































1
1
0
1
1
,
1
0
1
0
1
,
0
0
1
1
1
Span,,
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
,, RR tsrtsrtsr
ts
t
sr
tr
tsr
W
Hledám všechny vektory kolmé na tyto tři z báze. Mějme tedy vektor
















e
d
c
b
a
, který je kolmý na dané tři
vektory, tedy skalární součiny jsou rovny 0:
edba
e
d
c
b
a
eca
e
d
c
b
a
cba
e
d
c
b
a








































































































1
1
0
1
1
,0
1
0
1
0
1
,0
0
0
1
1
1
,0
Řeším proto systém tří lineárních rovnic o pěti neznámých maticově:









 
























11100
10010
00111
~
11120
10010
00111
~
11011
10101
00111
Tedy je satbstcsdte  ,,,, . Ortogonální doplněk tvoří všechny tyto vektory:









































































1
0
1
1
0
,
0
1
1
0
1
Span, Rts
t
s
st
t
s
W .
Příklad č. 2:
Skupina B se počítá úplně stejně jen má v poslední složce vektoru 1 místo 2, což nikde během výpočtu
nic nezmění.
Hledáme projekci, tj. vektor






























0
2
1
0
0
0
1
2
baPv (v tomto tvaru lze napsat, protože projekce leží
v prostoru W, a tedy je nějakou lineární kombinací jeho báze). Platí Pv














1
1
1
1
je kolmý na oba vektory
z báze W. Proto dostáváme skalární součiny rovny 0:
bababa 

















































































































































 53
0
0
1
2
,
0
2
1
0
0
0
1
2
,
0
0
1
2
0
0
1
2
,
1
1
1
1
0
0
1
2
,
0
2
1
0
0
0
1
2
1
1
1
1
0
bababa 53
0
2
1
0
,
0
2
1
0
0
2
1
0
,
0
0
1
2
0
2
1
0
,
1
1
1
1
0
2
1
0
,
0
2
1
0
0
0
1
2
1
1
1
1
0 


















































































































































Tím jsme obdrželi 2 rovnice o dvou neznámých, jejichž řešením je
2
1
 ba . Tedy výsledkem je
kolmá projekce













































0
1
1
1
0
2
1
0
2
1
0
0
1
2
2
1
Pv .
Příklad č. 3:
Nejprve pomocí charakteristického polynomu najdeme vlastní čísla zadané matice:
   41496
211
121
112
0
223




 



Tedy dostáváme vlastní čísla 12,1  a 43  . Najdeme ke každému z nich vlastní prostory, tedy
řešení homogenní soustavy











0
0
0
EA i . Pro 12,1  máme
,
000
000
111
~
1211
1121
1112























ze které odečteme řešení tusutsu  321 ,, . Tedy
máme  





















1
0
1
,
0
1
1
Span1Eigen . Pro 43  máme ,
000
110
211
~
4211
1421
1142

























ze které odečteme řešení tututu  321 ,, . Tedy máme  











1
1
1
Span4Eigen .
Algebraická násobnost čísla 1 je rovna 2 a je rovna geometrické násobnosti. Algebraická násobnost
čísla 4 je rovna 1 a je rovna geometrické násobnosti. Protože se pro všechna vlastní čísla rovnají
algebraické násobnosti geometrickým, existuje diagonalizace zmiňovaná v zadání. Vše už máme
spočítáno, abychom mohli napsat diagonalizaci D i matici P:









 












110
101
111
,
400
010
001
PD .