MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová verze: 4. května 2008 1 Kombinatorika 1.1. Kolik podmnožin lze vytvořit z n-prvkové množiny? [2™] 1.2. Mám 6 jablek a 3 hrušky, chci udělat salát z pěti kusů ovoce, aby tam byla nejméně jedna hruška. Kolika způsoby to lze udělat? [120] 1.3. V podniku pracuje 18 mužů a 16 žen. Kolika způsoby lze vybrat 7 zaměstnanců tak, aby mezi nimi byli a) 4 muži a 3 ženy, b) 6 mužů a 1 žena, c) aspoň 4 ženy? [a) 1 713 600, b) 297 024, c) 2 309 008] 1.4. Kolika způsoby lze rozmístit 7 kuliček a 2 kostky do devíti přihrádek? [289 575] 1.5. Rozepište všechny možnosti rozdělení 3 předmětů do 3 přihrádek, uvažujte rozlišitelné i nerozlišli-telné předměty i přihrádky. 1.6. Kolik různých pěticiferných čísel s různými číslicemi je možno sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5? [120] 1.7. Na pískovišti si hrají 4 děti, dohromady mají 10 modrých, 15 červených a 8 zelených kuliček. Kolika způsoby si je mohou mezi sebou rozdělit tak, aby každé dítě mělo alespoň jednu kuličku od každé barvy? [1070160] 1.8. Kolik anagramů lze vytvořit z písmen slova ANAPURNA, resp. VEVERKA? [3 360, resp. 1 260] 1.9. Určete koeficient u členů x2y4z2, xy5z polynomu P(x) — (2x — 5y + z)s. [1 050 000, 0] 1.10. Kolik existuje surjektivních zobrazení množiny {1, 2, 3,4, 5} na množinu {a, b, c}? [150] 1.11. Kolika způsoby lze do tří různých obálek rozmístit pět stokorun a pět padesátikorun tak, aby žádná obálka nezůstala prázdná? [336] 1.12. Kolika způsoby můžeme do pěti důlků rozdělit po jedné kouli, máme-li k dispozici 4 bílé, 4 modré a 3 zelené koule? [230] 1.13. Určete počet různých vět, které vzniknou přesmyčkami ve větě "Ema má maso". [podle "pochopení" zadání: 288, 1 728, 30 240, 10 080] 1.14. Na kolik nejvýše a nejméně částí dělí rovinu n čtverců (obvodů)? [min: n + 1, max: 4n2 — 4n + 2] 1.15. Na kolik částí dělí rovinu n přímek v obecné poloze? [| (n2 + n + 2)] 1.16. Jaký je nejvyšší počet částí, na které je rozdělen (třírozměrný) prostor n rovinami? [6 i(n3 + 5n + 6)] 1 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 1.17. Určete součet a) 1 + 3 + 5 + • • • + (2n - 1), [n2], b) 2 + 22 + 23 + • • • + 2™. [2(2™ - 1)] 1.18. Odvoďte součet pro S2(n) = l2 + 22 + 32 H-----h n2. 1.19. Určete počet řešení rovnice x\ + x% + x$ + X4 — 9 v N, resp. v No- 1.20. Určete počet čtyřciferných čísel, která mají ciferný součet roven 4. rn(n+l)(2n+l)-, L 6 J [56, resp. 220] [20] 1.21. Při dominu si 4 hráči dělí 28 kostek mezi sebou rovným dílem. Kolika způsoby to může být provedeno? r_28! 1 l(ťí)tj 1.22. Kolika způsoby lze rozdělit do deseti očíslovaných přihrádek čtyři stejné modré koule a šest stejných bílých koulí, jestliže každá přihrádky musí být obsazena? [210] 1.23. Kolik (různých) úhlopříček má konvexní n-úhelník? r"("-3)n 1.24. Čtyři děti hrající si na pískovišti našly šest hliněných a čtyři skleněné kuličky. Kolika způsoby si je mohou rozdělit? Jak to dopadne v případě, kdy každé dítě chce mít aspoň jednu kuličku od obou druhů? [2940, 10] 2 Diferenční rovnice 2.1. Najděte řešení diferenční rovnice yn+2 — 2y„+n, které splňuje počáteční podmínky yi — 2,y2— 2. 2.2. Najděte řešení diferenční rovnice yn+2 — Vn+i + 2y„ +1, které splňuje počáteční podmínky yi — 2, 5on _ 5 {_'\\n _ li 6Z 6V 1) 2J y2=2. [yn = |2" -§(-!)" -11 2.3. Určete posloupnost, která vyhovuje diferenční rovnici yn+i — \yn + 1 s počáteční podmínkou = [j/n = 2(f)n-2] 2.4. Určete posloupnost, která vyhovuje diferenční rovnici 2y„+2 — —yn+i + Vn + 2 s počátečními podmínkami Vl = 2 a y2 = 3. [yn = 4(±)" + (-1)™ + 1] 2.5. Určete reálnou bázi prostoru řešení homogenní diferenční rovnice yn+i — yn+3 + Vn+i ~ Vn-[yi1]= 1, j,® = n, j,® = cos(^), = sin(2fl)] 2.6. Nalezněte řešení následující diferenční rovnice pxk+2 — Xk+i + (1 — řO^fc = 0. Proveďte diskuzi řešení vzhledem k parametru p. [p — ^ : Xk — c\ + C2n,p ^ ^ : Xk — ci + C2( —£) ] 2 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 2.7. Najděte řešení diferenční rovnice Xk+2 + Xk — 0. [xn — c\ cos(I|Ľ) + C2 sin(I|Ľ)] 2.8. Vyřešte diferenční rovnici: xn + x„_i — 2x„_2 — 2n. [xn — c\ + C2(—2)™ + pf + ^p] 2.9. Určete prostor řešení nehomogenní diferenční rovnice a také prostor řešení příslušné homogenní diferenční rovnice xn+2 — 4x„+i — 4xn + n. Dále napište explicitně jedinou posloupnost, která řeší nehomogenní rovnice a vyhovuje počátečním podmínkám x\ — 1, x% — 2. [H : {ci2™ + c2n2™}, N : {Cl2n + c2n2n +n + 2},PP: {-§2™ + \n2n + n + 2}] 2.10. Napište podmínky pro parametry a, b, c tak, aby prostor řešení homogenní diferenční rovnice 0-xn+2 + bxn+l + CXn — 0 byl prostorem periodických posloupností. [např. b2 < 4ac] 2.11. Najděte řešení následujících rovnic • xn-\-l — 2xn \_Xji — c2 ] • xn+l — 2xn + 1 [xn — c2n - 1] • %n+i — —3xn + 2n [xn — c(—3)™ + \n — |] • xn+1 = 4xn + 4n2 - 1 [xn = c4™ - f n2 - |n - ±1] • x 2Xm xl — 1 [3(2^ n+i = §x„ + 2,xi = 2 [4(f) -4] • xn+2 = -x„+i + 2xn [xn = ci • 1™ + c2 • (-2)™] • x„+2 = 4x„+i - 4xn, x0 — 3, xi — 2 [xn — 3 • 2™ - 2 • n ■ 2n] • ^n+2 - 2xn+1 — -2xn [xn = ci(l + i)n + c2(l - i)n, nebo x„ = ci(\/2)n cos(*f) + 02(^2)™ sin(*f)] • xn = 3x„_i - 2x„_2 + 2" ■ n, x0 = 1, xi = 2 [x„ = 4 - 3 ■ 2" + 2" ■ n(n - 1)] 3 Pravděpodobnost 3.1 Klasická pravděpodobnost 3.1. Hodíme n-krát po sobě kostkou. Jaká je pst, že alespoň jedenkrát padne šestka? [1 — (§)"] 3.2. Určete nejvyšší možný počet hodů n z předchozího příkladu tak, aby pst, že nepadne šestka, byla větší než pst, že šestka padne alespoň jednou. [3] 3.3. V urně je 10 koulí - 7 bílých a 3 černé. Vytáhneme jich 5, jaká je pst, že to budou právě 3 černé a 2 bílé? [1/12] 3.4. Dvacetkrát nezávisle na sobě házíme 3 mincemi. Určete pst, že alespoň v jednom hodu padnou 3 líce. [0.9308] 3.5. Z 50 výrobků, z nichž 20 je kazových, vybereme 10. Jaká je pst, že mezi vybranými výrobky bude 6 dobrých a 4 kazové? [0.2801] 3.6. Kolik pokusů s pstí p — 1 —\ musíme udělat, aby pst alespoň 1 úspěchu byla alespoň 1--\^ ? [3] 3 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 3.7. Sekretářka má rozeslat pět dopisů pěti různým adresátům. Dopisy vkládá do nadepsaných obálek náhodně. Jaká je pst, že alespoň jedna osoba dostane dopis určený pro ni? [0.6333] 3.8. Ze sáčku s pěti bílými a pěti modrými koulemi náhodně vytáhneme 3 koule (nevracíme). Jaká je pst, že dvě budou modré a jedna bílá? [0.4167] 3.9. Náhodně vybereme přirozené číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0, 1, 5 a zároveň bude dělitelné pěti? [161 /99 999 = 0.0016] 3.10. Z klobouku, ve kterém je 5 bílých a 6 černých koulí, náhodně vytahujeme koule. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená kouleje černá? [6/11] 3.11. Kolik lidí musí být minimálně ve skupině, aby byla pravděpodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, větší než 1 /2? [23] 3.12. Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7. [1/6] 3.13. Jevy A, B, C jsou nezávislé a mají stejnou pravděpodobnost 0.1. Určete P (A U B U C) [0.271] 3.14. V urně je šest koulí s čísly 1, 2,..., 6. Koule vybíráme náhodně a nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že v žádném tahu nebude číslo koule shodné s pořadím tahu? [0.3681] 3.2 Podmíněná pravděpodobnost 3.15. Jaká je pst, že při hodu dvěma kostkami padly dvě pětky, víme-li, že součet ok je dělitelný pěti? [1/7] 3.16. Urna obsahuje n koulí (bílé a černé) a víme, že byla naplněna takto: n-krát bylo hozeno kostkou, když padla 6, vložili jsme bílou kouli, jinak černou kouli. Z takto naplněné urny byly postupně vytaženy 2 koule, přičemž po prvním tahu byla koule vrácena zpět. Určete pst, že obě tažené koule jsou černé. Ej=o (I) ] 3.17. Jaká je pst, že při hodu dvěma kostkami padne součet 5, víme-li, že ani na jedné z nich nepadla trojka? Jsou jevy A: "ani na jedné 3" a B: "součet 5" nezávislé? [2/25, nejsou nez.] 3.18. Urna byla naplněna takto: čtyřikrát bylo hozeno mincí, když padl líc, byla vložena černá koule, když rub, tak bílá. Postupně z této (promíchané) urny vybereme dvě koule, přičemž po prvním tahu kouli do urny vrátíme. Jaká je pst, že obě tažené koule jsou bílé? [5/16] 3.19. Systém se skládá z r sériově zapojených článků, přičemž pro zvýšení spolehlivosti je i-tý článek složen z rii paralelně spojených bloků. Označme Aij j-tý blok v í-tém článku, víme, že bloky jsou stochasticky nezávislé a pst, že budou fungovat, je pij. Jaká je pst, že celý systém bude OK? [111=1 [l ~~ n-ii(i-Pý-)]] 3.20. Systém je tvořen dvěma nezávislými bloky A\ a A?, pst, že blok funguje je ů\, resp. ů^- Určete pst, že systém bude pracovat správně, jsou-li bloky zapojeny a) sériově, b) paralelně. [a) Ů! ■ 1?2, b) Ů! + ů2 - ■&! ■ 1?2] 4 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 3.21. V urnějsou čtyři lístky s označené čísly 000, 110, 101,011. Uvažujme náhodné jevy Ai (í — 1, 2, 3) - náhodně vytažený lístek má na í-tém místě 1. Jsou tyto jevy nezávislé? [po dvou jsou nezávislé, po třech nejsou nezávislé] 3.3 Geometrická pravděpodobnost 3.22. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pst, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. [0.51] 3.23. Dva kamarádi se domluvili, že se setkají na určitém místě. Přitom každý z nich přijde na místo nezávisle na druhém v náhodném okamžiku mezi 19. a 20. hodinou, počká 20 minut a jestliže se druhý během této doby nedostaví, odejde. Jaká je pst, že se setkají, resp. že přijdou současně? [5/9, resp. 0] 3.24. Ze čtverce s vrcholy [1,1], [—1,1], [—1,-1], [1,-1] náhodně vybereme bod M se souřadnicemi [£, f?]. Určete pst, že kvadratická rovnice x2 + ^x + rj — 0 má reálné kořeny. [13/24] 3.25. Proti (dostatečně velké) síti se čtvercovými oky - 8 x 8 cm je kolmo vržen míček o průměru 5 cm. Jaká je pst, že proletí bez doteku sítě? [9/64] 3.26. Dvě firmy dováží do obchodu zboží. Náklad'áčky přijíždí (náhodně) mezi pátou a osmou hodinou ranní. Odbavení náklad'áčku trvá 40 minut. Určete pravděpodobnost, že jeden bude muset čekat než bude odbaven druhý. [0.3951] 3.27. Střílíme na terč o průměru 60 cm. Jaká je pravděpodobnost, že zasáhneme středový kruh o průměru 5 cm? (Terč zasáhneme jistě.) [0.0069] 4 Geometrie v rovině 4.1. Určete průsečík přímek paq daných rovnicemi p : x — 1 — í, y — 2 + 2í, q : x — 2s, y — 1 — s. [[2,0]] 4.2. Spočítejte velikost úhlu, který svírají vektory u — (4, 3) a v — (3, 2). [cos tp — 5yjg] 4.3. Otočte bod [3,1] o úhel tt/2 v záporném smyslu (ve směru hodinových ručiček) kolem počátku. [[1,-3]] 4.4. Zrcadlete bod [3,1] podle osy procházející počátkem a bodem [1,1]. [[1, 3]] 4.5. Je dán trojúhelník A ABC: A = [1,1], B = [3, 2], C = [2, 3]. a) Určete, které strany trojúhelníku ABC, jsou viditelné z bodu P — [4,4]. [BC] b) Otočte trojúhelník o 60° v kladném smyslu kolem počátku. [A> — j"l--\/3 l+V^j Qi _ |^ 3 —2y/3 2+3v/3j (ji _ ^2-3^ 3+2_^Sj ] c) Zrcadlete trojúhelník ABC podle přímky p : x — y — 1. [A" — [2,0], B" = [3,2],C"= [4,1]] d) Spočítejte obsah tohoto trojúhelníku. [Sa — §] 5 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 4.6. Které strany čtyřúhelníku daného body [1,4], [2, —1], [3, 3] a [4,1] vidí pozorovatel stojící v bodě [7, 2]? [nevidí stranu [2, -1], [1,4]] 4.7. Zrcadlete úsečku danou body A — [1, 3], B — [—1,3] podle přímky y — —x. [A' — [—3, —1], B' — [—3,1]] 4.8. Určete vol A, kde trojúhelník je ohraničen přímkami p: [0,1] +r ■ (1,2), q: [2,3/2] + s- (1,-3/2), r: [1,-1/2] + z ■ (-2,-1/2). [vol A = 7] 4.9. Rovnostranný trojúhelník ležící celý v prvním kvadrantu je dán vrcholy [1,0] a [0,1]. Určete souřadnice třetího vrcholu. [ [±^; id^/1] ] 4.10. Z počátku [0, 0] (rovina M2 se standardní soustavou souřadnic) je vyslán laserový paprsek ve směru (3,1). Dopadne na zrcadlovou přímku p: [4, 3] + t ■ (—2,1), poté se odrazí (úhel odrazu je roven úhlu dopadu). V jakém bodě dopadne odražený paprsek na přímku q: [7, —10] + s ■ (— 1, 6)? [v žádném] 4.11. Spočítejte obsah trojúhelníku daného přímkami: p: [l,0]+í(2,l), q: [2, 8] + 3), r: [4,-1] + u(2, -4). [SA = 10] 4.12. Napište souřadnice vrcholů trojúhelníku, který vznikne otočením rovnostranného trojúhelníku s těžištěm v bodě [0, 0] a vrcholem v bodě C — [0,1] o 90° kolem bodu S — [1,0]. [A' = [3/2,-y/3/2 - 1], B' = [3/2, ^3/2 - 1], C = [0, -1]] 4.13. Co vznikne složením dvou středových souměrností podle různých středů? [posunutí o vektor v — 2(S2 — Si)] 5 Relace a zobrazení 5.1. Co lze říci o relaci "být potomkem", kterou uvažujeme na množině lidí? 5.2. Určete, zda jsou následující relace reflexivní, symetrické, antisymetrické, tranzitivní, úplné. • agb 4=> 5|a — b, a, b e Z, [R, S, T] • A— {-2, -1,0,1,2}, a, b e A, agb <=> a3 - a = b3 - b, [R, S, T] • agb 4^ (a — b V a = b + 1), a, 6 G Z, [iž, Aís] • a,kN,apí)Oo<í), [iž, Aís, T, t/] • a, b e N, agb a ■ b = 2k — l, k £ N, [S, T] • [x, y] e N x N, [x1,y1]g[x2,V2] (xi < x2) V (xi = x2 A yi < y2), [iž, Aís, T, t/] • kružnice fci v M2 je v relaci g s kružnici kí v M2, jestliže &i leží uvnitř k2, přičemž jsou povoleny společné body, [R, Ats, T] • A — přímky v rovině, pgq <=> p _L q, Vp, g G A, [S] • 2ľgy <=> \x — y \ — 3 nebo x — y, Vx, y G N, [ií, 5] • xgy 4=> |x| > |y|, Vx, y G Z. [ií, T, t/] 6 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 5.3. Určete, zda jsou následující relace na množině M ekvivalencemi. Pokud ano, popište příslušné třídy rozkladu. • M = N, NSD(x, y) > 1, • M — N, x ^ y nsn{x, y) > 1, l}, f ~ g & 3x e R : f (x) = g (x), 5.4. Zjistěte, zda zobrazení / je injektivní, surjektivní, popř. bijektivní: • f (x) — x2, x G Z, • /(x) — x2, x e N, • x G M — {0}, / : x p+ , ilg" — 3a-4 2a; ' [0,oo), • 2ľ G , x i—> [x] (celá část čísla x), 4x -5 12 ' , 2ľ 5.5. Jsou dána zobrazení /, f(x) — \x — \,g, g{x) — 2x + l. Určete následující zobrazení • (f°g)-Hx), [nemj [/, S, B] [I, S, B] m [není] [/, S, B] l4x 2] r2r _ 3-1 [gX + g] 5.6. Jsou dána zobrazení /, g: (gof)(x), (/off)-1^), /(x) = 3x — 4, g(x) = 2x + |. Určete následující zobrazení [6x + 1] [6x - f] r3a;+19-| L 18 J 5.7. Popište nějaké uspořádání přirozených čísel, které není dobré. 5.8. Uvažujme relaci a -< b <=> ab < ba. Ukažte, že jde o ostré uspořádání (tranzitivní, asymetrické) na N, které není úplné. Nalezněte minimální prvek, jestli existuje. [1] 6 Vektory a matice 6.1. Zjistěte, zda jsou dané vektory lineárně nezávislé . u=(l,2,l),i; = (2,3,l),u> = (l,3,2), • u = (1,2, 3), v = (0,1,1), w = (4, 3, -1), • Ul = (1,1,2,3), 1í2 = (0,1,3,1), lig = (2,1,3,1), 1í4 = (-1,1, 2,3). [LZ] [LNZ] [LZ] 6.2. Z vektorů vx = (1,0, 0,1), v2 = (1,1,1,1), v3 = (2,1, 2, 3), u4 = (1,0,1, 0), v5 = (2, 3,1, 2) vyberte nej větší možnou lineárně nezávislou podmnožinu vektorů. [např. v i, v 2, f 3, v 4] 6.3. Vyberte z následujících vektorů co nejvíce lineárně nezávislých u\ — (1, 2, — 3)T, «2 = (2, —1, 3)T, ií3 = (-3,4,-9)T,ií4 = (6,0,1)t,ií5 = (4,1,-2)T. [napr.ULU2.u4] 7 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 6.4. Jsou uvedené prvky lineárně nezávislé? • x2 + x + 3 = 0, x + 1 = 0, 2x2 + 3x + 1 = 0, x2 - 3 = 0 v (M2N,+, ■), 1 1 2 3 ,0 VI 3 • 1 + x, 1 - x, 2 + 2ľ-2ľ2V (M2N, +, •) v (Mat2x2(Z),+, •), [LZ] [LZ] [LNZ] 6.5. Určete konstantu k tak, aby polynomy kx2 + x + 2, —2x2 + fcx + 3 a x2 + 2x + k byly lineárně závislé v prostom (M2[x],+, •). [&i — —1, /c2,3 — 1±2y^T] 6.6. Ověřte, zda vektor m = (7, 2, — 2)T náleží do množiny M. M = Span((l, 0, -1)T, (2,1, 0)T, (0,1, 2)T, (1,1,1)T, (5, 2, -1)T) 6.7. Seskládejte matice tak, aby šly vynásobit, a vynásobte je [nenáleží] A = 1 2 1 13 0 1 -2 0 3^í i 1 2 4 \o 2/ [B • C ■ A] 6.8. Vypočtěte inverzní matice k maticím A B C 6.9. Rozhodněte, zda existují inverzní matice k následujícím maticím, jestliže ano, pak tyto inverze vypočtěte A B [ano, ne] 6.10. Určete hodnost matice A 6.11. Spočítejte determinant matice -1 B A '1 3 5 0 1 ,6 3 2 B /4 6 1 2 \ 2 0 3 1 0 13 2 \5 0 2 -1/ 4 6 5 7 C C [h(A) = 2,h(B) = 2,/i(C) = 2] /3 2 2 \3 1 8 2\ 10 6 2 7 1 4 2 7 1/ D 8 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 6.12. Vyřešte rovnice x — 1 —3 2-x 5 = 3, x +1 -2 2ízj x 3 = -7, 1-x -1 -4 -1 í-x 1 -1 -1 2-x = 0. [x = 1; x — — 1 ± VŠi — 2(cos ^ ± i sin ^); xi = — 1, X2 — 3, x% — 2] 6.13. Určete matici adjungovanou k matici B = [A* a 6 d -b —c a 6.14. Pomocí Gaussovy eliminační metody nalezněte řešení soustavy rovnic 2xi + X2 — X3 — X4 — —3 xi — X2 + x3 — X4 — —2 3xi + 3x3 — 5x4 — —8 —2xi — X2 + 4x3 ~~ 2x4 — 0 [x = (-1 + b,b, §6, §6), 6 e 6.15. Pomocí Cramerova pravidla vypočítejte řešení soustavy rovnic 2x + 3y - z = 4 3x — y + z — 1 2x — y — z — 2 1.2/ -2-1 10J 6.16. Řešte soustavy rovnic 0 -1 4 -2 4 -1 3 0 2 4 -1 4 6.17. Řešte soustavu rovnic (2 2 3 V2 1\ 2 -3 -6/ 6.18. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametrech cad, proveďte diskuzi řešení —c -c - 3 2 9 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 6.19. Nalezněte LU-rozklad matice A - [L 6.20. A ještě jeden LU-rozklad: 7 Vektorové prostory a lineární zobrazení 7.1. Ověřte axiomy vektorového prostoru u následujících množin (s uvedenými operacemi): • V — C, (a + bí) + (c + di) — a + c + (b + d)í, a ■ (a + bí) — a ■ a + (a ■ b)í, • V — Mat2x3, sčítání matic, násobení matic reálným číslem, • V = M+, x © y := ^, a 0 x := xa, Vx, y G V, Va G M, • V = {(x, y)}, (x, y) + (u, v) — (x + u,y + v), k ■ (x, y) = (2fcz, 2/sy), • V = {(1, z)}, (1, z) + (1, w) = (1, z + w), & • (1, z) = (1, kz), • V C. Mat2X2(K), matice typu ^ ^, sčítání matic, násobení matic reálným číslem, • V — C2[x] — {z0 + z\x + z2x2, z0, zi, z2 G C} nad C, • V — -| ^ , a, i, c G M j-, sčítání matic, násobení matic reálným číslem. 7.2. Rozhodněte, zda následující množiny s operací + tvoří vektorový prostor nad tělesem reálných čísel • čtvercové matice řádu n x n nad M, [ano, dím — n2] • symetrické matice řádu n x n nad M, [ano, dim — "<-"2+1->] • invertibilní matice řádu n x n nad M, [ne] • antisymetrické matice řádu n x n nad M. [ano, dim — Jestliže ano, určete jejich dimenzi a popište nějakou jejich bázi. 7.3. Rozhodněte, zda polynomy nad reálnými čísly stupně nejvýše k tvoří vektorový prostor. Jestliže ano, napište nějakou jeho bázi a určete jeho dimenzi. [ano, dím — k + 1] 7.4. Je to podprostor (vektorového) prostoru (M2, +, •)? a) přímka x — y, [ano] b) přímka y — x + 1, [ne] c) první kvadrant (včetně hraničních polopřímek). [ne] 7.5. Napište nějakou bázi vektorových prostorů V\ — M3, V2 — Mat2X2(K), V3 — V2 - polynomy stupně nejvýše 2. 10 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 7.6. Určete bázi a dimenzi vektorového prostoru komplexních čísel a) (C, +, R, •), b) (C, +, C, •) [a) B = {í,i}, dím = 2, b) B = {1}, (fen = 1] 7.7. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly - sčítání vektorů je sčítání komplexních čísel. Ukažte, že čísla 1+íal-í tvoří bázi tohoto prostoru a napište souřadnice čísla 5 — 2í v této bázi. [(3/2,7/2)] 7.8. Tvoří vektory (1,1,1)T, (1,2, 0)T a (1,3,1)T bázi M3? [ano] 7.9. Doplňte množinu M tak, aby byla bází prostoru V: . M = {(-1,1, 0, 0)T, (0, -1,1,0)T, (0,0, -1, l)r}, V = M4, [libovolný jeden z vektorů e±, e2, e^, 0 ŕ ,M={(l l)'(l o)'(2 3)}>^ = Mat2x2(R). [např. 0 0 7.10. Je to lineární zobrazení? • L{u) — a ■ u, [ano] • L(u) — a ■ u + 1, [ne] T , \ ícos w — siníp\ Iu\ LÍUi, Un) — \ . • V siny cosif J \U2 7.11. Ověřte, že zobrazení L je lineárním zobrazením, a napište matici, kterou je reprezentováno. 'u-i + 3u2 + 2w3N L(u) — I 5«i + u2 + 6m3 2u2 + u3 7.12. Určete jádro (Ker /) a obraz (Im /) zobrazení / daného maticí 1 2 3 2 0 0 7.13. Určete souřadnice vektoru (2, 3, — 1)T — We v bázi M= ((1,1,1)T,(1,2,0)T,(1,3,1)T). ano [w„ = (2,3,-l)T] /l -1 1\ 7.14. Najděte matici přechodu od báze e — (1, x, x2) kbázi u — (1, x + 1,1 — x2). [0 1 0 ] VO 0 -1/ 7.15. Najděte matici přechodu v M2 od báze u = ((1, 2)T, (-2, 3)T) k bázi v = ((3,1)T, (2,1)T). 11 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 7.16. Napište matici A reprezentující lineární zobrazení L: R2 —> M3, L (u) — 2u\Vi — {u\ +u2)v2, kde u = K, u2)T a Vl = (1,2, -1)T, v2 = (1,0,1)T, /l -P • ve standardních bázích M2 a M3, [ 4 0 | ] V-3 -1, /-4/3 -2/3> . vbázích a = ((l,l)r,(0,l)T)a£ = ((2,1,1)T,(1, 2,-1^,(0,0, \)T). [ 8/3 1/3 \ 0 0 7.17. Napište matici zobrazení /: M3 —> M2, f{x\,X2,x^) — (xi + 2x2 — 3x^,2xi) v bázích w = ((l,2,0)r,(-2,l,0)r,(3,l,-l)r),7;=((2,ir,(0,2r). ^= (-(% -2 í)] 7.18. Matice zobrazení /: M3 M3 v bázi a — ((1, 0,1)T, (0,1,1)T, (1,1, 0)T) je tvaru -1 0 -1N A^ =(01 1 -11 0 / -2 1 o^ Určete tvar matice zobrazení ve standardní bázi. [Ae e — 1—1 2 0 ,-1 1 0; 7.19. Je dána matice zobrazení Ae,e, určete matici tohoto zobrazení v bázi v. i í !)■ *=((i)-(M -1/4 2 -3/4N [Avj, = ( 5/4 0 7/4 3/4 -2 9/4 7.20. Napište matici zobrazení: • zrcadlení podle roviny procházející počátkem a kolmé na vektor (1,0,1), • otočení o úhel (3 kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem (0, —1,1). /-I 0 0^ 7.21. Určete, jaké lineární zobrazení zadává matice 2 12 V 2 0 1, 7.22. Najděte matice Q takové, že Hl Ť)- Jaké zobrazení matice Q2 reprezentuje? [Q2 — Rotso°, Qi — Rot^7 Q2 — i?oÍ2io°] 12 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 8 Vektorové prostory se skalárním součinem 8.1. Jsou následující vektorové podprostory prostoru M4 kolmé? U = Span((l, 2, 3, 0)T, (1, -1,0, 0)T), V = Span((2, 2, -2, 5)T). 8.2. Jsou matice následující matice ortogonální? \sma cosa^' \n 0 1/ \t q t [A: ano, B: ne, C: ano] 8.3. Určete čísla a, b tak, aby matice A byla ortogonální •4=' K b, 9 9 9/ [a = = §] 8.4. Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortonormální bázi prostoru V= ((1,1,1,1), (1,2,1,0), (1,1, 2,3), (0,1,0,0)). [B = {±(1,1,1,1), ^(0,1, 0, -1), ^-(-3,1,1,1), ^(0,1, -2,1)}] 8.5. Určete ortogonální bázi prostoru M3 pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu z báze M= ((l,2,l)r,(0,l,l)T,(2,-l,l)r). [v, = (1,2,1)T, v2 = (-1/2, 0, l/2)r, v3 = (4/3, -4/3,4/3)T] 8.6. Určete projekci vektoru u — (3,1) do prostoru W — ((1, 0)). lpw(u) — (3, 0)] 8.7. Určete projekci vektoru v — (1, — 1, 2,1)T na prostor W = Span((l, 2,1, 0)T, (-1, 0,1, 0)T, (1, -1,1, 0)T). [pw(i;) = (1,-1, 2, 0)T] 8.8. Určete kolmý průmět vektoru (0, 0, 7) do podprostoru generovaného vektory (1, 2,1), (—2,1,1). [p= (-1,5/3,1/3)] 8.9. Najděte nějakou ortonormální bázi vektorového podprostoru 7vR3 daného rovnicí 2x — 3y + z — 0. [např. ^ = ^-(1,0, -2),v2 = ^-(6, 5, 3)] 8.10. Určete cos p, kde p je odchylka dvou sousedních stěn pravidelného osmistěnu. [cos p — 1/3] 8.11. Určete odchylku rovin a a g. a: [l,0,2]+íi(l,-l,l) + í2(0,l,-2), g: [3, 3, 3] + -2, 0) + a2(0,1,1). [ip = tt/3] 13 MB 101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 8.12. Zjistěte, zda body [0,2,1], [-1,2,0], [-2,5,2] a [0,5,4] leží v jedné rovině. [ano] 8.13. Zjistěte, zda bod [2,1, 0] leží uvnitř konvexního obalu bodů [0, 2,1], [1, 0,1], [3, -2, -1] a [-1, 0,1]. [] 8.14. Je dán rovnoběžník [0,0,1], [2,1,1], [3,3,1], [1,2,1]. Určete bod X — \x\, x2, X3] na přímce p: [0, 0,1] + í(l, 1,1) tak, aby rovnoběžnostěn určený daným rovnoběžníkem a bodem X měl objem roven 1. [] 8.15. Je dána krychle (standardní označení) ABCDA'B'C'D'. Určete odchylku vektorů AB' a AD'. [