Výsledky cvičení
69
Výsledky cvičení
1.
2.
3.
4.
5.
1. VYPOČET DETERMINANTU
a) 19, (b) 36
a) sudá, (b) lichá, (c) lichá, (d) lichá a) x = 8, y = 3, (b) x = 2, y = 7
x n(n—l)      , , n(n—l)      ,   ,    ,        , n(n+l)      ,    ,    ,        , n(3n—1) ...
a) (-I)t, (b) (-I)t, (C) (-I)t, (d) (-l)-S-1, (e) (-1)'
a) ano, (b) ne
6. +Gtl2a34a21a43? — a12a34a23a41
7. det A = -11, det 5 = 90, det C = -4, det D = -100, det£ = 5, detF = -2 + 2i
8. det A = -195, det 5 = 18, detC = -28, det D = 30, det E = 39, detF = 6, detG = -i, detiJ = -2, detJ = 301, det J = -153, detií = 1932, detL = -336, det M = -7497, det N = 10, det O = 60, det P = -21, det Q = 78, det R = 800
9. det A = -105, det 5 = -18
10. det A = [a + (n — l)x] (a — x)n_1, nejprve k prvnímu sloupci přičteme všechny ostatní, a pak od všech řádků odečteme první
det B = xn + (—l)n+1yn, uděláme rozvoj podle prvního sloupce
det C = ai<i2 ■ ■ ■ an(ao — ^ — ^ — • • • — k prvnímu řádku přičteme — ^- krát druhý řádek, — — krát třetí řádek, atd.
det D = a0xn + a\Xn~x + • • • + an, uděláme rozvoj podle prvního sloupce
det E = a0x1x2 ... xn + a1y1x2 ... xn + a2yiy2 ...xn + --- + anyxy2 ...yn, uděláme
rozvoj podle prvního řádku
11. det A = —{a2 + 03 + • • • + an), od prvního řádku odečteme všechny ostatní det B = a\, ke všem řádkům přičteme první
det C = (2n + 1)(—1) 2n(n_1)? nejprve od všech řádků odečteme poslední řádek, a pak
k prvnímu sloupci přičteme všechny ostatní sloupce
det D = 0, k prvnímu řádku přičteme všechny řádky
det E = (—l)n_1 n\, od všech řádků odečteme poslední řádek
det F = x\ (x2 — 012) (xs — a2s) ... (xn — an-i,n), začneme od posledního řádku a od každého řádku odečteme předchozí
n(n—1) o
det C? = (—1)   2   b\b2 ... bn, od všech sloupců odečteme poslední sloupec
70
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
det H = (—l)n(n_1) 2n, začneme od posledního sloupce a od všech sloupců odečteme předchozí
det I = &!... bn, od všech řádků odečteme první
12. det A = 2 det An_1? pro n > 2, uděláme rozvoj podle posledního sloupce
det B = 3 det An_x — 2 det — 2, pro n > 3, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak u druhé matice podle prvního sloupce
det C = 3 det An-\ — 2 det An — 2, pro n > 3, uděláme rozvoj podle posledního řádku, pak u druhé matice podle posledního sloupce
det D = 5 det An_\ — 6 det An_2, pro n > 3, uděláme rozvoj podle posledního řádku, pak u druhé matice podle posledního sloupce
det E = 7detAn_i — 10detAn_2, pro n > 3, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak u druhé matice podle prvního sloupce
det F = (x + l)detAn_i — x det An-2, pro n > 3, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak u druhé matice podle prvního sloupce
det G = (x2 — y2) det A2(n-i), pro n > 2, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak u první matice podle posledního sloupce a u druhé matice podle prvního sloupce det H = det An-\ — det An-2, pro n > 3, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak u druhé matice podle prvního sloupce
13. (a) 1, (b) f(l + 2k), f (2 + 6fc), f (4 + 6k)
14. det A
det B det C
— 144, po vytknutí ze druhého řádku matice dostáváme determinat V(—l, 1, 2, 2880, transponováním matice dostáváme determinant V(2,1, —2,3, —1)
IL
<í<j<n\ J
matici transponejeme a od každého sloupce, počínaje
druhým sloupcem, postupně odečteme vždy předchozí sloupec
15. det A = ao
16. Pn(x) = det
d\X + CL2X   + CL3X
(
X	-1	0 .	. 0	0	0
0	X	-1 .	. 0	0	0
0	0	X	. 0	0	0
0	0	0 .	X	-1	0
0	0	0 .	. 0	X	-1
a0	d\	a2 •		an-l	
2. BILINEARNI A KVADRATICKÉ FORMY
1. Af
	-1	1	0	\
1	1	0	1	
0	0	0	-1	
	0	1	0	/
h{A) = 4
Výsledky cvičení
71
2xľyľ - 2x2yi - 8xľy2 - Ax2y2
4- fs = + ^2Ž/2 + \x2y± + \x3yx + \xAy2
Ía = ~xiy2 + \xxy3 + a^ž/i + \x2y4 - x3y4 + rr4í/3 - ±x3y1 - \x4y2
5. (a) fs = 2xxyx + 2xxy2 - xxy3 + x2í/2 + 2x2yi - x3yx + x3y3
fA = 2xxy2 - xxy3 - 2x2yx + x3yx - x2y3 + x3y2
(b) fs = xxy2 + x2í/i + 2x2y3 + 2x3í/2 + "ix3yx + 3xií/3 /a = xxy2 - x2yx + 2x2í/3 - 2x3y2 + 3x3í/i - Zxxy3
6. /(rr, y) = 5x2y2 - 20x3y3, a = [(1, O, 0), (0,1,1), (O, -3, 2)]
7. např. standardní báze
8. (a) f(x, y) = xxy3 - 2x2y3 + x3yx - 2x3y2 (b) f(x, y) = xxyx + x2y2 - x2y3 - x3y2
9. např. F(x) = x\ — x\ + 36x3, (jednoznačně je určena pouze signatura), v bázi a : [(l,0,0f,(l,l,0f, (5,6,lH
10.   (a) např. F(x) = Ax\ + Ax2 + 20x23, v bázi a : [(1, 0, 0)T, (1, -2, 0)T, (-2, 6, 2)T]
(b) např. F{x) = x\ - \x\ - x\, v bázi a :   (1,1, 0)T, (-|, |, 0)T , (-1, -1,1)
11. (a) pozitivně definitní, s = (2,0,0)
(b) indefinitní, s = (1,1,1)
(c) negativně definitní, s = (0, 3, 0)
12. např. F{x) = x\ — \x\ — 3x3, není pozitivně definitní
(a)	s =	(1,1,	1)
(b)	s =	(2,1,	0)
(c)	s =	(1,2,	0)
(a)	s =	(2,2,	0)
(b)	s =	(2,2,	0)
(c)	s =	(1,1,	2)
15. F (x) = 2x\ — Zx\ — x2 — Axxx2 — 2x2x3
diagonální tvar např.: Fq(x) = 2x\ — 5x2 — \x2
5^3
72
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
16. (a) ani pozitivně ani negativně definitní pro libovolné a (b) negativně definitní pro a < — 1
17. elipsa, S = (-2, §)
18. (a) parabola
(b) dvě různoběžky
(c) hyperbola, S = (|, — |)
(d) elipsa, S = (—1, —1)
(e) parabola
(f) rovnoběžky
(g) elipsa, S = (7, 5)
(h) hyperbola, S = (1, — |)
(i) parabola (j) rovnoběžky
1 Q       T? ( ľ \ - 7' ^ _ 7' ^ —I— 7' ^ _ 7' ^ —I— 7' ^ _ y - 2
±u. ± yjjj — jui,l 2 3 6 7 Of| o*^1 — ,->>2 _        >2   i    >2   i   ,y.2 _       >2 _       >2
21. /(ai, B) = tr(aA ■ M ■ B) = atr(A ■ M ■ B), analogicky f (A, aB) = a f (A, B)
f(A1 + A2,B) = tr((A1+A2)-M-B) = tr(A1 ■ M ■ B + A2 ■ M ■ B) =tr(A1-M-B) + tr(A2- M ■ B) = f(A1,B) + f(A2,B), analogicky f(A,B1 + B2) = f(A,B1) + f(A,B2) Vektorový prostor má dimenzi 4, matice bilineární formy je proto matice řádu 4, jejíž prvky jsou dány vztahy     = f{e,n e,-), kde ei? e,- jsou bázové vektory, např.
fll2 = ír(J o)'0 s)'(o l)=tr(l o)'(o l)=tr(°o l)=0
Matice formy pak je:
/1	0	2	o\
0	1	0	2
3	0	4	0
\o	3	0	4/
3. SKALÁRNÍ SOUČIN
1. (a) ne, (b) ne, (c) ano
2. (a) ano, (b) ne, (c) ne, (d) ano, (e) ano
Výsledky cvičení
73
3. (a) ano, (b) ne
4. (a) ne, (b) ne, (c) ne, (d) ano
5. (a) (u, v) = 13-Ui^i + 5-^2^2 — 8u±V2 — 8-^2^1 (b) nelze, vektory u a v jsou lineárně závislé
6. vektory jsou lineárně nezávislé a jejich lineární obal je R4, a tedy např. a=[(l, 0, 0, 0)T, (0,1, 0, 0)T, (0, 0,1, 0)T, (0, 0, 0,1)T]
7. a = [(1, 0,4, -lf, (1, -4, 0,1)T, (-32, -7, 9,4f], báze W± je /3 = [(4, 9, 7, 32f]
8. «=[(l,l,-l,-lf,(3,-l,l,lf,(0,l,l,0h
9. (a) a = [(1, 2, 2, -lf, (2, 3, -3, 2f, (2, -1,-1, -2)r]
(b) «=[(l,0,l,0f,(0,l,0,-7f]
(c) a= [(1,2, 0,1, 2f, (1,0, 6,-1, 0)T]
(d) a = [(1, -1, 0,1,1)T, (3, -3,4, -1, -5)T, (3, -18, -31, -11, -10)T]
10.   (a) (1,0,-1,1)T, (-1,0,0,1)T
(b) (24,-2,2,9f, (0,l,l,0f
(c) (-7,0,l,0f, (0,-1, 0,7f
/ 1  0  -§    0 \
6    _3 2
11. pr
0 1  o -f
001 o \ o o  o   1 y
,»2 _ 1^      ,y>3 _ 3 ryl
3 ; g J
12.   (a) a= [(1,0,-1,1,0)T,(1,3,2,1,-3)T]
(b) a = [(-1, 5, 3, 0, 0)T, (0,1, 0,1, 0)T, (1, -8, 0, 0, 3)T] t"
13. a
n -i___L n
14. (a) -1, -| (b) -1 + 3
(c) žádné
15. P-L = [(4,2,7,0)r]
16. (a) W = [(l,l,l,lf,(-5,3,-3,5)T] (b) a = -17, 6= 13
17. (l,|,ff
18.   (a) LL = [(1,1,-1, -lf], Pz = (2, 2, -2, -2f
74
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(b) L-l = [(4,2,1,-1h,P^= (4,2,1,-l)r
19. (a) Pu = (-1,1,-2,3)T
(b) Pu = (0,0,0,0)T
(c) Pu = (0,3,0,3)T
(d) Pu = (1,-1,-1,5)T
20. Budeme počítat druhou mocninu velikosti vektoru u — v:
\\u — v\\2 = (u — v, u — v) = (u, u) — 2(u, v) + (v, v) = ||m||2 — 2(u, v) + IIvII2 .
Z Cauchy-Schwartzovy nerovnosti víme, že |(m,w)| < ||it|| \\v\\. Protože v naši rovnici {u, v) odčítáme, bude platit
\\u — v\\2 > IM|2 — 2 ||w|| ||^|| + ||^||2 a tedy ||it — v\\2 > (\\u\\ — ||-í;||)2, tj. | ||it|| — \\v\\ \ < \\u — v\\
21. Stačí zvolit vektorový prostor V = Rn se standardním skalárním součinem a vektory x = (xi,X2, • • •, x n) G Rn a í/ = (1,1,...,1) G Rn. Pro tyto dva vektory musí platit Cauchy-Schwartzova nerovnost
\{x,y}\ < \\x\\ \\y\\
z toho plyne   1 x\ + 1 X2 + • • • + 1 xn < \ x\ + x\ + ... x2n \pň,
X\ -\- X2 ~\~ ' ' ' ~\~ Xn I X-\ -\- Xn ~t~ ' ' ' ~t~ X2
a tedy - < • '
n y n
22. Zvolíme za vektorový prostor množinu všech spojitých funkcí na intervalu (a, b), značíme C[a,b], se skalárním součinem definovaným
pro   f,geC[a,b]    (f,g)= f(x)g(
J a
zvolíme dvě funkce / = f(x) a g = 1, pro které musí platit Cauchy-Schwartzova nerovnost
\(f,9)\< 11/11 NI
z toho plyne    J f(x)dx< y J f2(x)dx^jJ ldx a tedy     /  f(x)dx< \   /  f2(x) dx\Jb — a
f(x)dx<\-- / f2{x)dx
b — a L \ a — b
b
Výsledky cvičení
75
23. Vezmeme-li dva vektory (2,4), (x,y) G R2, platí pro ně Cauchyova-Schwarzova nerovnost
(2x + Ay)2 < (22 + A2) {x2 + y2). Odtud pak už pro 2x + Ay = 1 dostáváme požadovanou nerovnost.
24. Vezmeme-li dva vektory (^75 > ^75 >    ) ?       ^/3> v^) ^      dostaneme z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti
1    x   i   1    y   i   1 2N\2/'lililN\/'rE2i?/2i2;2
.^2^2 VěVěy   "V2    3    Qj \2     3 6
což je požadovaná nerovnost.
25. Vezmeme vektory ^-^=, -^=,..., ^f=), (^,        ..., ^/a^, ^/al) G Rn, pro které platí Cauchy-Schwarzova nerovnost
\ 2     / 2      2 2 \
0l      ^2"+^|=V^ + -- - + ^= V^j    <  í^ + — + ••• + — ) («1+02-'
a2 Va3 Vai      /       Va2    % ai
což je požadovaný výsledek.
26. Vezmeme vektory ;^j=, • • •, ~^r^j-> (v^i'        • • •' v^) ^       Pro které platí C auchy- S chwarzova nerovnost
/ll 1 \
n2 < (--1---1-----1--(dl + a2 H-----ha„).
27. F = F1+F2 + F3 + F4, potom
|F|2 = (F, F) = \F1\2 + \F2\2 + \F3\2 + \F4\2 + 2(F1,F2)+2(F1,F3)+2(F1,F4) + 2(F2, F3) + +2<F2, F4) + <F3, F4)
(a) |F|2 = 100(6 + 3^3)
(b) \F\2 = 100(4 + 2^2)
28. 25 = <(F1+F2+F3),(F1+F2+F3)> = \F1\2+\F2\2+\F3\2+2({F1,F2) + (F1,F3) + <F2,F3» = 4 + 9 + 16 + 2(6 + 8 + 12) cos a, pak a = arccos (—^) •
4. EUKLIDOVSKÁ ANALYTICKÁ GEOMETRIE - VZDÁLENOST A ÚHEL
1. (a) p(A, P) = 5, (b) p(A, P) = 6, (c) p(A, P) = 7, (d) p(A, P) = (^)i (e) p(R, B) = VŠ, (f) p(R, B) = 2VŠÔ, (g) p(R, B) = 5, (h) p(R, B) = Vlí
2. (a) p(p, q) = 7, (b) p(p, q) = 13, (c) p(p, q) = 5, (d) p(p, q) = 6, (e) p(p, q) = 10
76
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
3. (a) p(p,r) = 5, (b) p(p,r) = 5, (c) p(p,r) = 3
4. (a) p(t,<t) = 7, (b) p(t,<t) = 10, (c) p(r,a) = 5, (d) p(r,a) = 0, (e) p(r,a) = 7,
5. p(r, P) = 6
6. (a) a = f (b) a = f, (c) a = f, (d) a = f, (e) a = f, (f) a = |, (g) a = f, (h) a = f, (i)a = f, (j) a = f
7. (a) a = |, (b) cos a = -|
8. (a)a = f, (b) a = f, (c) a = f,
9. Q = (3, 2,1,2)
10. Q = (2,5,-3)
11. C = (1,0,1,0,1) + ŕ(19,11, -4, 5,1) + s(7,2,0,l,0)
12. C : 7x\ = 2x2 + %3 + %4 + 3^5 = 15, 4:r2 — 2^3 + x^ — x^ = —5
13. q= (2,l,-3) + ŕ(-8,-9,6)
14. 2 řešení: pi : 3x — 6y — 2z — 7 = 0, resp. p2 : 3:r — 6y — 2,2 + 35 = 0
15. pi : 2x - 2y - z - 22 = 0, resp. p2 : 2x - 2y - z + 8 = 0
16. nekonečně mnoho bodů ležících na přímce q : (6, —1,0) + t(2, 2, 0)
17. x — y + z — a
18. g1 = (2,-3,-3)T, g2 = (-2,5,9)T
19. Q1 = (15,0,-12)T, g2 = (15,2,-10)T
20. 15a: + 10y - lOz - 8 = 0
21. Lze odvodit
í A   AT\       I^IŽ/I ^-----KanŽ/n + ao|
5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE
1.   (a) A1 = -l, a1 = [(l,l,-l)T]
(b) A1 = 2, a1 = [(l,2,0)T,(0,0,l)T]
(c) Ai = 1, ax = [(1,1,1)T], A2 = 0, a2 = [(1, 2, 3)T]
Výsledky cvičení
77
(d
(e
(f (g (h
(i
(j
2. (a)
3. (a (b (c
4. (a (b
5. (a (b (c (d
(e
6. (a (b
X1 = 1, «i = [(2,1, 0)T, (1, O, -1)T], \2 = -l,a2 = [(3, 5, 6)T]
Ai = 1, «i = [(1, 2,1)T], A2 = 2 + 3í, a2 = [(3 - 3í, 5 - 3í, 4)t], A3 = 2 - 3í, a3 = [(3 + 3i,5 + 3i,4)T]
A1 = 2, ai = [(l,l,0,l)T,(0,0,l,l)T]
Ax = 1, «x = [(1,1,1)T], A2 = 2,a2 = [(1,1, Of, (1, O, -3)T]
Ai = 1, «i = [(1,1,2)T], A2 = 2 + 3«, «2 = [(-12 + 3«, -10-6«, 17)T], A3 = 2-3«, a3 = [(_12-3i,-10 +6i, 17)T]
Ai = 1, «i = [(1,1, 2)T], A2 = 2 + 3í, a2 = [(3 - 3í, 4, 5 - 3í)t], A3 = 2 - 3í, a3 = [(3 + 3í-,4,5 + 3í-)t]
Ax = 2, a! = [(1,1, O, 0)T, (1, 0,1, 0)T, (1, O, 0,1)T], A2 = -2, ax = [(1, -1,-1, -lf]
i?3, (b) a = [(1, O, Of, (O, O, lf], (c) a = [(1, O, Of]
Ai = 3, A2 = 2, A3 = 1, je diagonálni na Q, R, C Ai = 1, A2 = 2 + 3í, A3 = 2 — 3í, je diagonálni na C Ai = 0, A2 = 1, není diagonálni
Ai = 1, «i = [(-1, 0,1)T, (1,1, 0)T] A2 = 3, a2 = [(-1,1, 0)T]
Ax = 0, Q! = [(-2,1, 0, 0)T, (-3, 0, 0,1)T] A2 = 2, a2 = [(0, 0,1, 0)T, (1,-1,0,1)T]
Ai = —l,a± = [(1,1,1)T],algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1 A2 = 2, a2 = [(1, 0,1)T], algebraická násobnost je 2, geometrická násobnost je 1
Ai = 2, «1 = [(1,0, 2)T], algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1 A2 = 3, a2 = [(1,1,1)T], algebraická násobnost je 2, geometrická násobnost je 1
Ai = 0, «1 = [(1, 2, 3)T], algebraická násobnost je 2, geometrická násobnost je 1 A2 = 1, a2 = [(1,1,1)T], algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1
Ai = — 1, «1 = [(2, 0, 0,1)T, (0,1, 0, 0)T], algebraická násobnost je 4, geometrická násobnost je 2
Ai = 2, «! = [(2,0,0,1)T, (0,1,0, 0)T], algebraická násobnost je 4, geometrická násobnost je 2
vlastní čísla nezávisí na parametrech: Ai = 5, A2 = 2, A3 = — 2
vlastní vektory závisí na parametrech: «1 = [(1,1, |(a + b))T], a2 = [(0, 0,1)T],
«3 = [(i,|>!-I)T]
vlastní čísla závisí na parametrech: Ai = 5, A2 = 2 + a, A3 = —2
7. Matice A = ^ ^  ^ J je ortogonální, jestiže platí A-AT = E, z toho plyne a2+62
c2 + d2 = 1, ac + 6cř = 0. Matice A je pak tvaru
cos a   — sin a \       n       / cos a    sin a nebo
sm a    cos a   / \ sm a   — cos a
78
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
První matice reprezentuje otočení o úhel a, druhá složení překlopení podle osy x s otočením o úhel a.
A0
B0
Co
Dn
En
Gn
Hn
1 0 0
0 1 0
0 0-1
1 0 0
0 0 1 0-10
1 0 0
0 i
a
a
^(l,l,lf,^(l,0,-lf,^(l,-2,l)
Všy
0
2 2 y/3 1
a
^(1,1,0)T,(0,0,1)T,^(1,-1,0)3
^(l,l,l)r,^(2,-1,-1)^,^(1,-1,0)
Všy
V2K
1   o o
0 ±
o
2 2
Vš i
^(l,l,0f,^(l,-l,0f,(0,0,lf
/ 1 o
o 2^
4 4 .    n     ^/7+4V2 2V2-1 \ U 4 4
0 \
/ 1 o o  o \
0   10    0 a 0  0 10 \ 0  0  0  -1 /
/ 1 0     0    0 \ 0-100
0 0     0 1 \ o o -10/
1 o o o   \   f 1
0 i
[i(l,l,l,-l)r,i(l,l,-l,l)r,i(l,-l,l,l)
i(-i,i,i,iH
= [^(l,l,0,0f,^(0,0,l,-lf,
^(i,-i,o,of,^(o,o,i,iH
T
^(l,l,lf,^(2,-l,-lf,^(l,-l,0)
T
VŠ[
V2[
2 2
1 0 o 0 0-1
0 1 o
1 o o
a = [|(-1, 2, 2)r, 1(2, 2,-lf, i(-2,1, -2)r]
3^/5
0 ?
n 2
u    7 7
a
fe(l,l,l)r,^(l,-l,0)r,^(3,5,-8)
T
V3<
7^ 1
Výsledky cvičení
79
K0
La
í1
O
0
1
o
\
12(-2+7v/2)
O 1
12-\/42+28^2
V 12^42+28^2        12(-2+7^2) /
^(l,l,Of,^(l,-l,Of,(0,0,-l)5
a
9. A0
^(o,i,-ir,^(o,i,if,(i,o,o^
1   O O
O  O   -1   | a O   1 O
otočení o úhel | v rovině kolmé ke směru (0,1, — 1)T t  1  0 0
5,
^(l,l,0)r,^(-l,l,0)r,(0,0,l)
V2
0 0-1 0 1 o
otočení o úhel | v rovině kolmé ke směru (1,1, 0)T 10 0
T
C0
0 0
a= [(0,l,0)T,(l,0,0)r,(0,0,l)T]
otočení o úhel arccos | v rovině kolmé ke směru (0,1, 0)
T
10. A0
1
1 + iy/2 0 0       1 - ň/2
11.
12. |
	1 4	-i\/Š
		0 1
0	1	\
-1	0	
0	0	J
1		-1 ^2
-1		1 x/2
->/2		-y/2 0
0
ř^3
Bn
' 1	0	0
0	i	0
vo	0	
?'	o N	
0	—i	j
13.
14 i
j.<±. 2
80
• Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
/ -1  0  0  ...  0 \
0   1 o ... o
15. O   O  1   ... O
\ o o o ... oj
16. Označme matici zobrazení G, matici prvního skalárního součinu A a druhého B, přičemž
/lil G= I -1  1 0 \ 0   0 1
Má-li být zobrazení ortogonální, musí zachovávat skalární součin, musí tedy pro všechna u, v E R3 platit
(u, v) = ((f){u),(f){v))
uT ■ A ■ v = (G ■ u)T ■ B ■ (G ■ v) = uT ■ (GT ■ B ■ G) ■ v
Volme např. matici druhého skalárního součinu jednotkovou a po patřičném vynásobení dostáváme matici
'201 .4=1 0  2 1 1   1 2
(Ověřte ještě axiomy skalárního součinu.)
6. SYMETRICKÉ MATICE A METRICKÁ KLASIFIKACE KUŽELOSEČEK
1. A,
2. A,
B, =
Ci =
5 0 0 0
4 0 '
0 2
3 0
0 10
7 0 N
0 2 ,
E1
Q' =
a =
( 8 0 0 0 \
0 0 0 0
0 0 0 0
V o o o o y
T
-A. ViV [VE _^\T
T
2
T
/ 1 o o o \
0 10 0
0 0  3 0
V 0 0  0 3 )
Výsledky cvičení
D1
El
F!
G1
25	0	0
0	-3	0
0	0	-50
2 0	0 N	\
0 0	0	
0 0	o,	/
3 0	0 N	
0 3	0	
0 0	0 j	/
4 "5'
o,§)r,(o,i,o)T,(f,o,f)
a
1^2' V?
0)t'(ts'
(0,0,1;
T
#1
/ 4 0	0	o\	
0 2	0	0	
0 0	0	0	
\0 0	0	oj	
f -25	0	0	
0	25	0	
0	0	-25	
l 0	0	0	
a =
(0,0,1, of, (o,o,o,i)T(^,o,o)r,(^,
o \
o o
25 J
a
(-|,|,o, o)T,(|,|,o,o)T (0,0,-14)
3.   (a) hyperbola, střed S = (3, — 4)T, osy ei = (
1 2
>/5' VŠ
kanonická rovnice: tt — ^
y Jo
,e2
(b) parabola, střed S = (0, — 1)T, osy ei = (
10'
T
e2
2 1
>/5' VŠ
i= -5_ 10' ^/IÔ
T
kanonická rovnice: y
no
(c)
4. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
5. (a)
rovnoběžky, střed S = (^, |)r, osy e\ kanonická rovnice: x2 = 2
hyperbola, kanonická rovnice: x2
2
elipsa, kanonická rovnice:
(t2>7i) >e2
1 1
V2' V2
'Ml
16   1 9
'Ml 4
= 1 ,,2
1
hyperbola, kanonická rovnice: ^— |6 různoběžky, kanonická rovnice: x2 — 4y'2 = 0 prázdná množina, kanonická rovnice: x2 + 2y2 bod, kanonická rovnice: 2x2 + 3y2 = 0 parabola, kanonická rovnice: y2 — 2x = 0 rovnoběžky, kanonická rovnice: x2 = 1 prázdná množina, kanonická rovnice: y2
1
elipsa o poloosách délky a = 3, b
82
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
12
2
elipsa o poloosách délky a = 3, b = 2 hyperbola o poloosách délky a = 2, b hyperbola o poloosách délky a = 5, b
parabola s parametrem p = 3 parabola s parametrem p = 3 parabola s parametrem p = \/2 parabola s parametrem p ■
hyperbola, délky poloos: a = \/2, b = \/2, střed: S = (0, 0)T elipsa, délky poloos: a = 4, b = 2, střed: S = (0, 0)r
parabola, parametr: p = 1, vrchol: V
různoběžky, střed: S = (2, — 3)T
elipsa, délky poloos: a = 2, b = \/2, střed: S = (0, 0)T elipsa, délky poloos: a = 2, b = 1, střed: S = (0, 0)T hyperbola, délky poloos: a = 1, b = 1, střed: S = (0, 0)T
4 ' 4
5. a
^ 0
2\/5 4V5 \/5 15 '   15 ' 3
2 2\T ' 3 ' 3 /
9. a
(0,0,1)
,0
' (v/5'
7. JORDÁNŮV KANONICKY TVAR
1. J A
D
0
1
0
o
o o
J<
c
-2 0 0 0 1 0 0    0 1
/ 0 1 0 0 \
0 0 0 0
0 0 0 1
\ 0 0 0 0 )
2. ~Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordánův kanonický tvar, není dána jednoznačně. Báze uvedená v řešení tohoto příkladu je tedy pouze příkladem takové 2   1   0 \
báze.JA=\  0  2  0 a = [(1,4, 3)T, (1, 0, 0)T, (3, 0,1)T]
0  0  2 /
Výsledky cvičení
83
Jb =
Jc =
a
Jd =
( 1 1 O  O \ OlOO
0 0 11
\ O O O   1 j
f 2 1 O  O \
0 2 0 0
0 0 2 0
V O O O  1 J
[(i,-35-2r5(i,o,or,(i,o,ir]
«=[(1,1,1, lf, (-1,0, O, Of, (1,1, O, 0)r, (O, 0,-1, 0):
y = K"1' - !> -1» 0f> (2,1, O, 0)r, (1, O, O,-lf, (3, 6, 7, lf ]
3. J4 =
3   1 O 4=1030
0  0 3
4. J4 =
J.7 =
Jm =
1 1 o o 1 o
0 0-1
		/ 2 1	0	0 \
Jb		0 2	0	0
		0 0	2	1
		^ 0 0	0	2/
f 1	0	0	0	\
Jc =
o
-2 O
0
1
-2 y
O
-2 O O
O O
-2 O
O
0
1
\
o o
V o
(2 1 O 2 O O
V o o
/-l
o o o
1 o
-1 o o
o o
o o \ o o
2 1
o 2 y
1
1
-1
O O
Jt
/l
o o
v
o
-2
o o
o o
o o
-2 O
-1 o
o \
0
1
-2/
0
v o o o -2 y
o o o \
2 0 0 O  2 1
0 o 2 y
1 O  O \ 1 1 o
0  0 10
\ o o o i y
5. Nebereme-li v úvahu pořadí Jordánových buněk, je Jordánových kanonických tvarů celkem 7. (1 buňka - 5x5, 2 buňky - lxl a 4x4, nebo 2x2 a 3x3, 3 buňky - lxl, lxl a 3x3, nebo 1x1,2x2 a 2x2, 4 buňky - lxl, lxl, lxl, 2x2, 5 buněk)
J,
o
( i o O O \
0 110
0 0 11
V o o o i y
\
o
0
1
-i y
o
0
1
-1 /
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nebereme-li v úvahu pořadí Jordánových buněk, je Jordánových kanonických tvarů celkem 21.