1
ÚVOD
Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry. Ta je určena především pro posluchače
prvního semestru oboru odborná informatika.
Látka je rozložena do deseti kapitol, které jsou uspořádány v souladu se skripty [5]
doc. RNDr. P. Zlatoše, CSc. a s přednáškami a cvičeními RNDr. M. Čadka, CSc. a Mgr. M. Sekaniny,
Ph.D. Jejím základem jsou cvičení ve skriptech [4] prof. J. Slováka, DrSc., která
však podstatně rozšiřuje.
V každé kapitole připomínám nejdůležitější věty a definice potřebných pojmů, z nichž
některé jsou ve stručnosti popsány v seznamu použitého značení. Dále jsou zde obsaženy
řešené příklady, které čtenáři poskytují návody na řešení daných problémů, a úlohy k procvičení
a důkladnému pochopení látky. Příklady i cvičení jsou řazeny postupně od jednodušších
po složitější a s některými typy se student setká také v zápočtových a zkouškových
testech. Výsledky cvičení je pak možné zkontrolovat v závěru sbírky.
Sbírka dává studentům možnost ověřit si své znalosti samostatným řešením úloh. Takových
sbírek sice existuje celá řada (např. [1] nebo [3]), avšak ty jsou buď obtížně dostupné
nebo nepokrývají vše, co se v současné době přednáší v prvním semestru lineární algebry
na Masarykově univerzitě.
2
SEZNAM POUŽITÉHO ZNAČENÍ
Uvedené značení je používáno v celé sbírce a ve většině případů koresponduje se značením
v [5].
a, b, c běžné skaláry - prvky pole K
α, β, γ báze vektorových prostorů
C množina všech komplexních čísel
dim V dimenze vektorového prostoru V
Dir V zaměření vektorového prostoru V
E jednotková matice
EŘO elemetrární řádkové operace
εn standardní báze v Rn
(f)β,α matice lineárního zobrazení f v bazích α, β
(idV)β,α matice přechodu od báze α k bázi β
Im f obraz zobrazení f
K obecné pole skalárů
Kn
množina všech uspořádaných n-tic prvků z K
Kn[x] množina všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n
Ker f jádro zobrazení f
[M] lineární obal množiny M
Matm,n(K) množina všech matic typu m × n nad polem K
Matn(K) Matn,n(K)
N množina všech přirozených čísel
R množina všech reálných čísel
R+
množina všech kladných reálných čísel
si(A) i-tý sloupec matice A
Tr (A) stopa matice A
U, V, W vektorové prostory
u, v, w vektory
x, y, z neznámé, vektory
(x)α souřadnice vektoru x v bázi α
Z množina všech celých čísel
Zn množina zbytkových tříd modulo n
3
1. OPAKOVÁNÍ, POČÍTÁNÍ S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY
Komplexní čísla jsou čísla tvaru z = a + ib, kde a ∈ R se nazývá reálná část komplexního
čísla z, b ∈ R se nazývá imaginární část komplexního čísla z a pro i (tzv. imaginární
jednotku) platí i2
= −1. Tento tvar komplexního čísla se nazývá algebraický tvar komplexního
čísla z.
Pro komplexní čísla u = a+ib, v = c+id definujeme operace sčítání, odčítání a násobení
takto:
u ± v = (a ± c) + i(b ± d)
u · v = (ac − bd) + i(ad + bc)
Číslo z = a − ib se nazývá komplexně sdružené k číslu z = a + ib, číslo −z = −a − ib
je opačné komplexní číslo k číslu z = a + ib.
Reálné číslo |z| =
√
a2 + b2 se nazývá absolutní hodnota komplexního čísla z = a + ib.
Platí |z|2
= z · z. Komplexní číslo, pro které platí |z| = 1, se nazývá komplexní jednotka.
Číslo z−1
s vlastností z · z−1
= 1 se nazývá převrácené číslo komplexního čísla z. Platí
z−1
= z
|z|2 .
Podíl komplexních čísel u = a + ib a v = c + id = 0 je definován jako součin u · v−1
.
Komplexní čísla znázorňujeme v kartézské soustavě souřadnic xy (tzv. rovina komplexních
čísel nebo také Gaussova rovina).
Komplexní číslo z = a + ib, z = 0 můžeme rovněž zapsat v goniometrickém tvaru
z = r(cos α + i sin α), kde r ∈ 0, 2π) je rovno |z|, cos α = a
|z|
, sin α = b
|z|
. Číslo α ∈ R se
nazývá argument komplexního čísla z.
Sčítání komplexních čísel odpovídá sčítání vektorů v rovině.
Násobení komplexního čísla z reálným skalárem k odpovídá stejnolehlosti v rovině
s koeficientem k se středem v počátku; F(z) = kz.
Násobení komplexního čísla z komplexní jednotkou (cos α + i sin α) odpovídá otočení
v rovině o úhel α okolo počátku; F(z) = z(cos α + i sin α).
Násobení komplexního čísla z pevným komplexním číslem r(cos α + i sin α) odpovídá
složení stejnolehlosti a otočení; F(z) = zr(cos α + i sin α).
Číslo z ∈ C se nazývá n-tá odmocnina čísla a + ib ∈ C právě tehdy, když je kořenem
rovnice zn
= a + ib.
K řešení rovnice zn
= a + ib použijeme goniometrický tvar komplexního čísla. Píšeme
zn
= a + ib = R(cos α + i sin α),
kde R, α jsou známé. Číslo z hledáme ve tvaru
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
4
Z rovnosti
zn
= rn
(cos ϕ + i sin ϕ)n
= rn
(cos nϕ + i sin nϕ) = R(cos α + i sin α)
vyplývá rn
= R, tedy r = n
√
R a nϕ = α + 2kπ, tedy ϕ = α
n
+ 2k
n
π, k = 0, 1, ..., n − 1.
Existuje n řešení rovnice.
Příklad: Řešte rovnici z3
= 8i.
Řešení: Komplexní číslo 8i převedeme na goniometrický tvar:
|8i| = 8, cos α = 0, sin α = 1, α = π
2
⇒ 8i = 8(cos π
2
+ i sin π
2
).
Tedy
z3
= r3
(cos 3ϕ + i sin 3ϕ) = 8(cos
π
2
+ i sin
π
2
)
z čehož dostáváme
r3
= 8 ⇒ r = 2
3ϕ =
π
2
+ 2kπ ⇒ ϕ =
π
6
+
2k
3
π
Nyní za k dosadíme čísla 0, 1, 2, určíme jednotlivé úhly a vypočteme všechna řešení
rovnice:
k = 0 : ϕ0 = π
6
= 30◦
⇒ z1 = 2(cos 30◦
+ i sin 30◦
) =
√
3 + i
k = 1 : ϕ1 = π
6
+ 2
3
π = 5
6
π = 150◦
⇒ z1 = 2(cos 150◦
+ i sin 150◦
) = −
√
3 + i
k = 2 : ϕ2 = π
6
+ 4
3
π = 9
6
π = 270◦
⇒ z2 = 2(cos 270◦
+ i sin 270◦
= −2i
Cvičení:
1. Jsou dána komplexní čísla a = −6 + 2i, b = 3 + 5i. Vyjádřete v algebraickém tvaru
čísla
(a) (a − b)3
(b) ab
(c) a
b
2. Upravte a vyjádřete v algebraickém tvaru čísla:
(a) (3i − 7)(8 + i)
(b) −i + 2i(3 − 4i)
(c) 3−2i
1−i
(d) 1+i
3−4i
(e) (1+2i)(2+i)(3−2i)
(1−i)2
(f) 1+i
1−i
2
− 1−i
1+i
3
5
3. Určete všechna reálná čísla x, y, pro která platí
(a) (1 + i)x + (13 + 7i)y = 0,
(b) 4(2 + i)x + (1 − 4i)y = (3 + i)x − 4(2i − 1)y − 7 + 9i.
4. Řešte následující rovnice:
(a) (1 + i)z = 2i
(b) (8 − 3i)z = 1 + i
√
2
(c) (5 − i)z = 3i
7+6i
5. Napište v goniometrickém tvaru komplexní čísla
(a) −1 + i
√
3
(b) −
√
2(1 − i)
(c) 3 − i
√
3
6. Řešte následující rovnice:
(a) x3
= 8
(b) x4
+ 2 = 0
(c) x3
+ 1 = 0
(d) x5
− 1 = 0
(e) 7x3
+ 24 = 0
6
2. POLE A VEKTOROVÉ PROSTORY
Polem rozumíme množinu K se dvěma význačnými prvky – nulou a jedničkou a dvěma
binárními operacemi na K – sčítáním a násobením takovými, že platí následujících deset
axiomů:
(1) (∀a, b ∈ K)(a + b = b + a)
(2) (∀a, b, c ∈ K)(a + (b + c) = (a + b) + c)
(3) (∀a ∈ K)(a + 0 = a)
(4) (∀a ∈ K)(∃b ∈ K)(a + b = 0)
(5) (∀a, b ∈ K)(a · b = b · a)
(6) (∀a, b, c ∈ K)(a · (b · c) = (a · b) · c)
(7) (∀a ∈ K)(1 · a = a)
(8) (∀a ∈ K \ {0})(∃b ∈ K)(a · b = 1)
(9) (∀a, b, c ∈ K)(a · (b + c) = a · b + a · c)
(10) 0 = 1
2.1 ZBYTKOVÉ TŘÍDY
Pro každé n ∈ N značí
Zn = {k ∈ N, k < n} = {0, 1, ..., n − 1}
množinu zbytkových tříd modulo n se dvěma bimárními operacemi – sčítáním a násobením
takovými, že ∀a, b ∈ Zn platí
(1) a + b = zbytek po dělení (a + b) : n,
(2) a · b = zbytek po dělení (a · b) : n.
Příklad: Najděte opačné a inverzní prvky k prvkům množiny Z5.
Řešení: Opačným prvkem k a je podle axiomu (4) takové b, pro které platí a + b = 0.
Jak snadno zjistíme z tabulky pro sčítání v Z5, opačným prvkem k 1 je 4, ke 2 je to prvek
3, k 0 je to opět 0.
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Tabulka 1: Tabulka pro sčítání v Z5.
Inverzním prvkem k a je podle axiomu (8) takové b, pro které platí a · b = 1. V tabulce
pro násobení v Z5 vidíme, že inverzním prvkem k 1 je opět 1, ke 2 je to prvek 3, ke 4 opět
4. K 0 inverzní prvek neexistuje.
7
· 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Tabulka 2: Tabulka pro násobení v Z5.
Příklad: Řešte v Z5 rovnici 3x + 4 = 3.
První řešení: Rovnici upravíme přičtením opačného prvku ke 4 k oběma stranám rovnice.
Tedy
3x + 4 + 1 = 3 + 1 ⇒ 3x = 4.
Dále celou rovnici vynásobíme inverzním prvkem ke 3, čímž dostaneme
2 · 3x = 2 · 4 ⇒ 1 · x = 3.
Druhé řešení: Rovnici opět upravíme na tvar 3x = 4. V multiplikativní tabulce pro
násobení v Z5 najdeme prvek, který dá v součinu s 3 výsledek 4. Tímto prvkem je 3, což
je přímo řešením rovnice.
Poznámka: V Zn pro n prvočíslo má rovnice ax + b = c pro a = 0 právě jedno řešení.
V Zn pro n složené mohou nastat případy, kdy má rovnice více řešení, právě jedno řešení
nebo nemá řešení žádné.
Cvičení:
1. V Zp řešte rovnici 2x + 1 = 2 pro p = 3, 5, 7.
2. V Zp řešte rovnici 7x + 9 = 8 pro p = 11, 13.
3. V Zp řešte rovnici 4x + 3 = 0 pro p = 5, 7, 11.
4. V Z8 najděte všechna řešení rovnic
(a) 4x + 6 = 5
(b) 4x + 6 = 2
5. V Z9 najděte všechna řešení rovnic
(a) 5x + 7 = 4
(b) 8x + 4 = 7
6. V Z6 najděte rovnice, které
(a) mají více řešení,
(b) mají právě jedno řešení,
(c) nemají žádné řešení.
8
7. V Z7 nejděte všechna řešení rovnic
(a) x3
= 1
(b) x3
= 6
8. V Z11 najděte všechna řešení rovnic
(a) x2
+ x = 9
(b) x2
+ 2x = 8
9. Najděte všechna řešení rovnice x3
+ 2x = 2
(a) v Z5
(b) v Z6
(c) v Z7
2.2 VEKTOROVÉ PROSTORY
Nechť K je pole. Vektorovým prostorem nad polem K nazýváme množinu V s význačným
prvkem 0 a dvěma binárními operacemi – sčítáním + : V × V → V a násobením
· : K × V → V takovými, že platí:
(1) (∀u, v ∈ V)(u + v = v + u)
(2) (∀u, v, w ∈ V)(u + (v + w) = (u + v) + w)
(3) (∀u ∈ V)(0 + u = u + 0 = u)
(4) (∀u ∈ V)(∃v ∈ V)(u + v = 0)
(5) (∀k, l ∈ K)(∀u ∈ V)(k · (l · u) = (kl) · u)
(6) (∀u ∈ V)(1 · u = u)
(7) (∀k ∈ K)(∀u, v ∈ V)(k · (u + v) = k · u + k · v)
(8) (∀k, l ∈ K)(∀u ∈ V)((k + l) · u = k · u + l · u)
Nejčastějším případem vektorového prostoru nad polem K je pro libovolné n ∈ N
množina
Kn
= {(x1, ..., xn); x1, ..., xn ∈ K}
všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi
x + y = (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn),
cx = c(x1, ..., xn) = (cx1, ..., cxn),
kde x = (x1, ..., xn) ∈ Kn
, y = (y1, ..., yn) ∈ Kn
a c ∈ K. Roli nuly v Kn
hraje uspořádaná
n-tice 0 = (0, ..., 0), opačným prvkem k x = (x1, ..., xn) ∈ Kn
je prvek −x = −(x1, ..., xn) =
(−x1, ..., −xn).
Příklad: Zjistěte, zda množina R+
= {x ∈ R, x > 0} s operacemi x ⊕ y = x · y,
a x = xa
pro x , y ∈ R+
, a ∈ R tvoří vektorový prostor nad polem R.
9
Řešení: Abychom zjistili, zda je daná množina vektorovým prostorem, musíme ověřit
všech osm axiomů vektorového prostoru:
(1) x ⊕ y = y ⊕ x
Důkaz: x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x
(2) (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)
Důkaz: (x ⊕ y) ⊕ z = (x · y) · z = x · (y · z) = x ⊕ (y ⊕ z)
(3) Neutrální prvek pro ⊕ je 1.
Důkaz: x ⊕ 1 = x · 1 = x
(4) Inverzní prvek pro ⊕ k prvku x je 1
x
.
Důkaz: x ⊕ 1
x
= x · 1
x
= 1
(5) (a · b) x = a (b x)
Důkaz: (a · b) x = xa·b
= (xb
)a
= a (b x)
(6) 1 x = x
Důkaz: 1 x = x1
= x
(7) a (x ⊕ y) = (a x) ⊕ (a y)
Důkaz: a (x ⊕ y) = (x · y)a
= xa
· ya
= (a x) ⊕ (a y)
(8) (a + b) x = (a x) ⊕ (b x)
Důkaz: (a + b) x = x(a+b)
= xa
· xb
= (a x) ⊕ (b x)
Daná množina splňuje všech osm axiomů, tvoří tedy vektorový prostor.
Cvičení:
1. Zjistětě, zda jsou následující množiny vektorové prostory nad R. Pokud ne, určete,
které axiomy vektorového prostoru nejsou splněny.
(a) V = {(x, y, z)} s operacemi (x, y, z) + (x , y , z ) = (x + x , y + y , z + z ),
k(x, y, z) = (kx, y, z)
(b) V = {(x, y)} s operacemi (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ),
k(x, y) = (2kx, 2ky)
(c) V = {(x, y), x ≥ 0} se standardními operacemi sčítání vektorů, tj. (x, y) +
(x , y ) = (x + x , y + y ), a násobení vektoru skalárem, tj. k(x, y) = (kx, ky).
(d) V = {(x, y)} s operacemi (x, y) + (x , y ) = (x + x + 1, y + y + 1),
k(x, y) = (kx, ky)
(e) Množina všech n-tic reálných čísel tvaru (x, x, . . . , x) se standardními operacemi
sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem.
(f) V = {(1, x)} s operacemi (1, x) + (1, x ) = (1, x + x ),
k(1, x) = (1, kx)
10
(g) Množina všech matic typu 2 × 2 s reálnými koeficienty se standardními operacemi
sčítání matic a násobení matic skalárem.
(h) Množina všech matic typu 2 × 2 tvaru
a 1
1 b
se standardními operacemi
sčítání matic a násobení matic skalárem.
(i) Množina všech matic typu 2 × 2 tvaru
a 0
0 b
se standardními operacemi
sčítání matic a násobení matic skalárem.
2. Uvažte, zda může vektorový prostor obsahovat dva různé nulové prvky (vektory).
Pokud ano, splňují oba axiom (4)? Zdůvodněte.
3. Uvažte, zda mohou k vektoru u ve vektorovém prostoru existovat dva různé opačné
vektory (−u)1, (−u)2. Pokud ano, splňují oba axiom (5)? Zdůvodněte.
4. Nechť V = C a K = R. Ukažte, že C je vektorový prostor nad R.
5. Ukažte, že množina polynomů stupmě nejvýše 2 s reálnými koeficienty R2[x] =
{a2x2
+ a1x + a0, a2, a1, a0 ∈ R} tvoří vektorový prostor.
6. Nechť V = C2[x] je množina polynomů stupně nejvýše 2 s komplexními koeficienty.
Ukažte, že V tvoří vektorový prostor nad C i nad R.
11
3. MATICE, OPERACE S MATICEMI
Definujme nejprve základní operace s maticemi.
Sčítání matic: Nechť A = (aij) a B = (bij) jsou matice typu m × n. Pak A + B =
(aij) + (bij) je matice typu m × n pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
Násobení matic skalárem: Nechť A = (aij) je matice typu m × n, a ∈ R je skalár. Pak
a · A = (a · aij) je matice typu m × n pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
Násobení matic: Nechť A = (aij) je matice typu m × n, B = (bjk) je matice typu
n × p. Pak AB = C = (cik) je matice typu m × p a cik = n
j=1 aijbjk pro i = 1, ..., m, j =
1, ..., n, k = 1, ..., p.
Transponování matic: Nechť A = (aij) je matice typu m × n. Pak AT
= (aji) je matice
typu n × m pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
Stopa matice, ozn. Tr(A), je součet prvků matice na hlavní diagomále. Tr(A) je definována
pouze pro čtvercové matice.
Příklad: Mějme matice
A =


2 1
0 3
1 0

, B =
2 0 1 4
3 1 −1 −1
, C =


3
2
−1

, D =
1 −1
2 1
, E = 1 0 −2 ,
F =
1 0
0 −7
.
Vypočtěte matice 2D − 5F, A + 3C, CT
, AT
, 2C + 4ET
, AB, EC, CE, F2
− 3D. Dále
vypočtěte stopy matic A, ..., F.
Řešení:
2D − 5F = 2
1 −1
2 1
− 5
1 0
0 −7
=
2 −2
4 2
−
5 0
0 −35
=
−3 −2
4 37
Součet A + 3C není definován.
CT
= 3 2 −1 AT
=
2 0 1
1 3 0
2C + 4ET
= 2


3
2
−1

 + 4


1
0
−2

 =


6
4
−2

 +


4
0
−8

 =


10
4
−10


AB =


2 1
0 3
1 0

 2 0 1 4
3 1 −1 −1
=
=


2 · 2 + 1 · 3 2 · 0 + 1 · 1 2 · 1 + 1 · −1 2 · 4 + 1 · −1
0 · 2 + 3 · 3 0 · 0 + 3 · 1 0 · 1 + 3 · (−1) 0 · 4 + 3 · (−1)
1 · 2 + 0 · 3 1 · 0 + 0 · 1 1 · 1 + 0 · (−1) 1 · 4 + 0 · (−1)

 =


7 1 1 7
9 3 −3 −3
2 0 1 4


12
EC = 1 0 −2


3
2
−1

 = 1 · 3 + 0 · 2 + (−2)(−1) = (5)
CE =


3
2
−1

 1 0 −2 =


3 · 1 3 · 0 3 · (−2)
2 · 1 2 · 0 2 · (−2)
(−1) · 1 (−1) · 0 (−1) · (−2)

 =


3 0 −6
2 0 −4
−1 0 2


F2
− 3D =
1 0
0 −7
1 0
0 −7
− 3
1 −1
2 1
=
1 0
0 49
−
3 −3
6 3
=
−2 3
−6 46
Tr(D) = 2, Tr(F) = −6, pro ostatní matice není stopa definována.
Cvičení:
1. Uvažme matice nad Z
A =


1 0
2 1
−1 2

, B = −1 0 2 , C =
1 0 0 −1
0 2 0 5
, D =
1 1
1 2
, E =




1
−3
0
7



,
F =


1 2 0
−2 0 −3
0 3 5

, G =


1 0 0
0 1 −4
1 0 1

, H =
1 0
1 −7
, I = 1 0 −2 4 .
(α) Které matice můžeme násobit s A zleva a zprava?
(β) Spočtěte (pokud je definováno):
(a) EI
(b) IE
(c) D3
+ 4DH − H2
(d) G2
− 3F
(e) A − F
(f) A − GFA
(g) BACE − BFBT
2. Uvažme matice
A =


3 0
−1 2
1 1

, B =
4 −1
0 2
, C =
1 4 2
3 1 5
, D =


1 5 2
−1 0 1
3 2 4

, E =


6 1 3
−1 1 2
4 1 3

.
Spočtěte (je-li definováno):
(a) (4B)C + 2B
(b) 2AT
+ C
(c) DT
− ET
(d) (D − E)T
13
(e) DT
ET
− (ED)T
(f) (AB)C
(g) A(BC)
(h) Tr(D)
(i) Tr(D − 3E)
(j) 4Tr(7B)
(k) Tr(A)
(l) Tr(DDT
)
(m) CT
AT
+ 2ET
3. Mějme A a B blokové matice:
A =


A11 | A12
−− | −−
A21 | A22

 B =


B11 | B12
−− | −−
B21 | B22


Jejich součin lze vyjádřit: AB =


A11B11 + A12B21 | A11B12 + A12B22
− − − − − − −− | − − − − − − −−
A21B11 + A22B21 | A21B12 + A22B22


za předpokladu, že bloky matic A a B mají vhodné rozměry. Tato metoda se nazývá
blokové násobení.
Vynásobte následující matice blokově a výsledek ověřte obyčejným maticovým náso-
bením:
(a) A =




−1 2 | 1 5
0 −3 | 4 2
−− −− | −− −−
1 5 | 6 1



 B =






2 1 | 4
−3 5 | 2
−− −− | −−
7 −1 | 5
0 3 | −3






(b) A =




−1 2 1 | 5
0 −3 4 | 2
−− −− −− | −−
1 5 6 | 1



 B =






2 1 | 4
−3 5 | 2
−− −− | −−
7 −1 | 5
0 3 | −3






(c) A =
3 −1 0 | −3
2 1 4 | 5
B =






2 −4 1
3 0 2
1 −3 5
−− −− −−
2 1 4






14
4. Ukažte, že má-li A nulový řádek a B je matice taková, že AB je definován, pak AB
obsahuje také nulový řádek.
Taktéž ukažte, že má-li B nulový sloupec a AB je definován, pak i AB má nulový
sloupec.
5. Nechť E = (eij) je matice typu n × n splňující
eij =
1 pro i = j
0 pro i = j
Ukažte, že AE = EA = A pro libovolnou matici A typu n × n.
E se nazývá jednotková matice.
6. Najdětě matici A = (aij) typu 4 × 4 splňující následující podmínky:
(a) aij = i + j
(b) aij = ij−1
(c) aij =
1 pro |i − j| > 1
−1 pro |i − j| ≤ 1
7. Maticí A tvaru n × n takovou, že
(a) A22 = a, Aii = 1 pro všechna i = 2 a Aij = 0 pro i = j,
(b) A13 = A22 = A31 = Aii = 1 pro i ≥ 4 a Aij = 0 pro všechny ostatní dvojice ij,
(c) A13 = a, Aii = 1 pro všechna i a Aij = 0 pro všechny ostatní dvojice ij
vynásobte obecnou matici B = (Bij) tvaru n × m zleva a obecnou matici C = (Cij)
tvaru m × n zprava. Jak se výsledky násobení liší od matice B, resp. C?
8. Najděte matici A typu 2 × 2 takovou, že zobrazení
x
y
→ A
x
y
, R2
→ R2
, je
stejnolehlost se středem v
0
0
a koeficientem 3.
9. Najděte matici A typu 2 × 2 tak, aby A
x
y
=
3x − 2y
−x + y
.
10. Kolik existuje matic A typu 3 × 3 takových, že platí:
(a) A


x
y
z

 =


x + y
x − y
0


(b) A


x
y
z

 =


xy
0
0


15
11. Matice B se nazývá odmocninou matice A, jestliže platí BB = A.
(a) Najděte odmocninu matice A =
2 2
2 2
.
(b) Kolik existuje různých odmocnin matice A =
5 0
0 9
.
(c) Mají všechny matice typu 2 × 2 odmocninu? Vysvětlete.
12. Nechť O je nulová matice typu 2 × 2.
(a) Existují matice A typu 2 × 2 takové, že A = O a AA = O? Dokažte.
(b) Existují matice A typu 2 × 2 takové, že A = O a AA = A? Dokažte.
13. Ukažte, že násobení sloupcového vektoru v R2
maticí A =
cos α − sin α
sin α cos α
reprezentuje
otočení v rovině o úhel α. Spočtěte A2
, A3
(obecně Ak
).
14. Nechť A =
1 1
1 2
. Dokažte, že An
=
a2n−1 a2n
a2n a2n+1
, kde {an} je Fibonacciho
posloupnost a a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2.
15. Orientovaný graf G je tvořen množinou vrcholů V = {1, 2, ..., n} a množinou hran
H = {(i, j) : i, j ∈ V }.
Matice grafu G je definována takto: aij = 1 právě, když (i, j) ∈ H, aij = 0 právě,
když (i, j) ∈ H.
Cesta délky k je tvořena posloupností čísel i1, i2, ..., ik, ik+1 takových, že (i1, i2), (i2, i3),
..., (ik, ik+1) ∈ H.
Určete, jaký je vztah mezi A2
, A3
, ..., Ak
a cestami délky 2, 3, ..., k.
16
4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Příklad: Řešte systém rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
2x1 + 3x2 − x4 = 1
3x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0
x1 − x2 + 4x3 − x4 = 2
Řešení: Rozšířená matice soustavy je


2 3 0 −1 | 1
3 2 4 −2 | 0
1 −1 4 −1 | 2


Pomocí EŘO (elementárních řádkových operací) upravujeme na schodovitý tvar. Poslední
řádek matice dáme na první místo, potom jeho (−2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu
řádku, který posuneme na druhé místo, a jeho (−3)-násobek přičteme k původnímu
druhému řádku, který posuneme na třetí místo. Tak dostaneme matici


1 −1 4 −1 | 2
0 5 −8 1 | −3
0 5 −8 1 | −6


Přičtením (−1)-násobku druhého řádku k třetímu dostaneme matici


1 −1 4 −1 | 2
0 5 −8 1 | −3
0 0 0 0 | −3


Už z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici nemá řešení, jelikož
obsahuje rovnici 0 = −3. Tedy ani původní soustava (přestože obsahuje více neznámých
než rovnic) nemá řešení.
Příklad: Uvažujme soustavu
4x1 + 3x2 + 6x3 = 1
3x1 + 5x2 + 4x3 = 10
x1 − 2x2 + 2x3 = −9
tří rovnic o třech neznámých nad polem R.
17
Řešení: Rozšířená matice soustavy je


4 3 6 | 1
3 5 4 | 10
1 −2 2 | −9

 .
Pomocí EŘO upravujeme na redukovaný schodovitý tvar. Třetí řádek dáme na první místo.
Jeho (−1)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který dáme na druhé místo, a
jeho (−3)-násobek přičteme k původnímu druhému rádku, který nýní dáme na třetí místo.


1 −2 2 | −9
0 11 −2 | 37
0 11 −2 | 37

 .
(−2)-násobek druhého řádku přičteme k (11)-násobku prvního řádku a jeho (−1)-násobek
přičteme ke třetímu řádku. Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru.


11 0 18 | −25
0 11 −2 | 37
0 0 0 | 0

 .
Matice odpovídá soustavě rovnic
11x1 + 18x3 = −25
11x2 − 2x3 = 37,
která je ekvivalentní s původní soustavou. Proměnnou x3 si zvolíme za parametr t ∈ R. Z
první rovnice určíme x1:
11x1 + 18t = −25 ⇒ 11x1 = −25 − 18t ⇒ x1 =
−25 − 18t
11
.
Z druhé rovnice určíme x2:
11x2 − 2t = 37 ⇒ 11x2 = 37 + 2t ⇒ x2 =
37 + 2t
11
.
Vidíme, že původní soustava (přestože počet rovnic je stejný jako počet neznámých) má
nekočně mnoho řešení.
Příklad: Uvažujme soustavu
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 4x3 = 0
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0
3x3 + 4x4 = 0
18
čtyř rovnic o čtyřech neznámých nad polem Z5.
Řešení: Protože se jedná o homogenní soustamu, stačí upravovat její (nerozšířenou)
matici 



1 1 2 3
2 0 4 0
1 2 1 3
0 0 3 4



 .
(−2)-násobek, tj. 3-násobek prvního řádku přičteme k druhému řádku a jeho (−1)-násobek,
tj. 4-násobek přičteme k třetímu řádku. Dostaneme matici




1 1 2 3
0 3 0 4
0 1 4 0
0 0 3 4



 .
(−1)-násobek, tj. 4-násobek třetího řádku přičteme k prvnímu řádku a jeho (−3)-násobek,
tj. 2-násobek přičteme k druhému řádku. Konečně výměnou druhého a třetího řádku dostaneme
matici 



1 0 3 3
0 1 4 0
0 0 3 4
0 0 3 4



 .
Třetí řádek odečteme od prvního a od čtvrtého řádku. Dále jej vynásobíme skalárem 3−1
=
2. Potom jeho (−4)-násobek, tj. přímo tento nový třetí řádek přičteme k druhému řádku.
Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru.




1 0 0 4
0 1 0 3
0 0 1 3
0 0 0 0




Proměnnou x4 si zvolíme za parametr. Všechna řešení soustavy pak mají tvar x1 = t, x2 =
2t, x3 = 2t, x4 = t, kde t ∈ Z5. Vidíme, že původní soustava (přestože počet rovnic je
stejný jako počet neznámych) má více než jedno řešení; není jich však nekonečně mnoho,
ale pouze 5. Právě tolik je totiž možných voleb parametru t, tj. prvků pole Z5.
Příklad: Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z:
x + cy − cz = −3
x + (c − 1)y − (c + 3)z = −5
x + (c + 1)y + 2z = d − 1
19
Najděte všechny hodnoty parametrů c, d, pro které má soustava
(a) jediné řešení,
(b) nekonečně mnoho řešení,
(c) žádné řešení.
V případech (a), (b) najděte tato řešení v závislosti na parametrech c, d.
Řešení: Matici soustavy


1 c −c | −3
1 c − 1 −c − 3 | −5
1 c + 1 2 | d − 1


převedeme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar. První řádek opíšeme, k (−1)násobku
druhého řádku přičteme první řádek, ke třetímu řádku pričteme (−1)-násobek
prvního řádku. 

1 c −c | −3
0 1 3 | 2
0 1 2 + c | d + 2


Nyní první a druhý řádek opíšeme a ke třetímu řádku přičteme (−1)-násobek druhého
řádku. Získáme matici 

1 c −c | −3
0 1 3 | 2
0 0 c − 1 | d

 ,
ze které určíme, že
(a) soustava má jediné řešení pro c = 1, a to:
x =
4cd − c − 2c2
+ 3
c − 1
, y =
2c − 2 − 3d
c − 1
, z =
d
c − 1
;
(b) pro c = 1, d = 0 doplníme hodnoty parametrů do upravené matice soustavy, z níž již
lehce určíme, že soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou tvaru
x = −5 + 4p, y = 2 − 3p, z = p,
kde p ∈ R je parametr;
(c) pro c = 1, d = 0 soustava obsahuje rovnici 0 = d, v tomto případě tedy nemá řešení.
Cvičení:
1. Řešte soustavu rovnic v R a Z5 užitím Gaussovy eliminace.
x1 + x2 − 3x3 = −1
2x1 − x2 − 3x4 = 5
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 − 3x3 = 1
20
2. Řešte soustavu rovnic v R, Z5 a Z7 užitím Gaussovy eliminace.
2x1 − x2 + x3 − x4 = 1
2x1 − x2 − 3x4 = 2
3x1 − x3 + x4 = −3
2x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = −6
3. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
2x1 − 3x2 + 17x3 − 29x4 − 36x5 = 22
2x1 − 3x2 + 18x3 − 27x4 + 33x5 = 21
12x1 − 18x2 + 102x3 − 174x4 − 216x5 = 132
2x1 − 3x2 + 21x3 − 24x4 − 30x5 = 20
2x1 − 3x2 + 24x3 − 21x4 − 27x5 = 19
Soustavu řešte také jako homogenní.
4. Řešte soustavu rovnic v C užitím Gaussovy eliminace.
(a)
x + 2iy = 5 + 4i
(3 − i)y + (6 − 2i)z = 10
2x − z = 5 + 3i
x + y + z = 5 + 2i
(b)
(1 + i)x + 3iy = −i
(1 + 2i)x + (1 − i)y = 6 + i
(c)
(1 + i)x + (1 − i)y = 6 + 4i
ix + (1 + 2i)y = −3 + 5i
5. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
21
6. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
2x1 + 2x2 − x3 + x5 = 0
−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 − 2x3 − x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
7. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace.
3x1 − 2x2 = −1
4x1 + 5x2 = 3
7x1 + 3x2 = 2
8. Řešte následující systém rovnic, kde a, b, c jsou konstanty.
x1 + x2 + x3 = a
2x1 + 2x3 = b
3x2 + 3x3 = c
9. Řešte následující systém rovnic.
2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 9
x1 − 2x3 + 7x4 = 11
3x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 8
2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 = 10
10. Řešte následující systém rovnic.
7x1 + 3x2 − 2x3 = 1
−x1 + 6x2 − 3x3 = 2
−10x1 + 15x2 − 11x3 = 4
Soustavu řešte také jako homogenní.
11. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v R
(i) právě jedno řešení,
(ii) více než jedno řešení,
(iii) žádné řešení.
(a)
ax + y − 2z = 1
x − y + z = 0
(1 + a)y − z = b
22
(b)
x − ay − 2z = b
x + (1 − a)y = b − 3
x + (1 − a)y + az = 2b − 1
12. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v Z5
(i) právě jedno řešení,
(ii) více než jedno řešení,
(iii) žádné řešení.
2x + 3y = 1
3x + 4y + az = 2
3x + 4az = b
13. V Z5 řešte soustavu rovnic
x + y = 1
2x + 3z = 0
4x + y + 2z = 1
Napište výčtem všechny prvky množiny řešení.
14. V Z5 řešte následující systém rovnic v závislosti na parametrech a a b.
ax + y = b
ay + z = 2b
x + az = 4
15. Určete parametry a, b, c tak, aby následující systém měl právě jedno řešení.
ax + by = c
cx + az = b
bz + cy = a
16. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametrech a, b.
ax + by + z = 1
x + aby + z = b
x + by + az = 1
23
5. INVERZNÍ MATICE
Řekneme, že matice A ∈ Matn(K) má inverzní matici, jetliže existuje matice B ∈
Matn(K) taková, že
AB = BA = E.
Ke každé matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. Značíme ji A−1
. Matici, která má
matici inverzní, nazýváme regulární maticí.
Metoda výpočtu inverzní matice spočívá v použití EŘO. Nechť A je matice typu n×n.
Vytvoříme blokovou matici B tak, že zapíšeme A a jednotkovou matici E vedle sebe – A
nalevo, E napravo:
B =



a11 · · · a1n | 1 · · · 0
...
...
... |
...
...
...
an1 · · · ann | 0 · · · 1



Matici B upravujeme nejdříve na schodovitý tvar. Pokud je ve schodovitém tvaru v levém
bloku řádek ze samých nul, inverzní matice k A neexistuje. Pokud tento případ nenastane,
pokračujeme v řádkových úpravách tak, abychom v levém bloku dostali jednotkovou matici.
(Tento postup se nazývá zpětmá Gaussova eliminace.) V pravém bloku je potom A−1
.
Příklad: Najděte inverzní matici k matici A =


1 1 1
2 3 3
−1 −3 −2

.
Řešení: Vytvoříme blokovou matici tak, že A napíšeme nalevo, E napravo a upravujeme
pomocí EŘO na schodovitý tvar (přímou Gaussovou eliminací).


1 1 1 | 1 0 0
2 3 3 | 0 1 0
−1 −3 −2 | 0 0 1

 ∼


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | −2 1 0
0 −2 −1 | 1 0 1

 ∼


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | −2 1 0
0 0 1 | −3 2 1


Ze schodovitého tvaru vidíme, že A−1
existuje. Matici tedy dále upravujeme na redukovaný
schodovitý tvar (zpětnou Gaussovou eliminací).


1 1 0 | 4 −2 −1
0 1 0 | 1 −1 −1
0 0 1 | −3 2 1

 ∼


1 0 0 | 3 −1 0
0 1 0 | 1 −1 −1
0 0 1 | −3 2 1


Tedy A−1
=


3 −1 0
1 −1 −1
−3 2 1


Správnost výpočtu ověříme vynásobením A s A−1
.
24
Příklad: Najděte inverzní matici k matici C =
i −2
1 i
.
Řešení: Napíšeme blokovou matici nalevo s maticí C, napravo s jednotkovou maticí
a upravujeme na redukovaný schodovitý tvar:
i −2 | 1 0
1 i | 0 1
První řádek vynásobíme −i, od druhého řádku odečteme nový první řádek.
1 2i | −i 0
0 −i | i 1
K prvnímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku, druhý řádek vynásobíme i.
1 0 | i 2
0 1 | −1 i
Tedy C−1
=
i 2
−1 i
Cvičení:
1. Vypočtěte inverzní matice k daným maticím.
A =
8 5
11 7
, B =
1 3
1 4
, C =


1 2 3
0 1 2
0 0 1

, D =


1 −4 −3
1 −5 −3
−1 6 4

,
E =




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1



, F =




3 3 −4 −3
0 6 1 1
5 4 2 1
2 3 3 2



, G =




1 4 −2 3
2 9 3 −2
−1 −6 −11 4
0 −1 −6 0



.
2. Mějme matice A =
3 1
5 2
, B =
2 −3
4 4
, C =
6 4
−2 −1
.
(a) Najděte jejich inverze.
(b) Ukažte, že
i. (A−1
)−1
= A
ii. (BT
)−1
= (B−1
)T
iii. (AB)−1
= B−1
A−1
iv. (ABC)−1
= C−1
B−1
A−1
25
3. Najděte inverzní matice k daným maticím.
K =
α β
γ δ
, L =
cos α − sin α
sin α cos α
, M =








2 − n 1 · · · 1 1
1 2 − n
... 1 1
...
...
...
...
...
1 · · ·
... 2 − n 1
1 · · · · · · 1 2 − n








,
N =







1 1 0 · · · 0
0 1 1 · · · 0
...
...
...
...
...
0 · · · 0 1 1
0 · · · · · · 0 1







.
4. Najděte inverzní matice k následujícím maticím v C.
A =
1 + i 1 − i
2 i
, B =
2 i
1 0
, C =
1 1 − i
2 − 3i 4
, D =
1 i
−i 3
,
E =
−i 2
0 1
.
26
6. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A
NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY
6.1 VEKTOROVÉ PODPROSTORY
Množima S ⊆ V se nazývá lineární podprostor vektorového prostoru V, jestliže S = ∅
a pro všechny skaláry a ∈ K a vektory x, y ∈ S platí
(1) x + y ∈ S
(2) ax ∈ S
Tzn. neprázdná množina S ⊆ V je lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená
vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem.
Příklad: Určete, zda množina M = {(x, y) ∈ R; x ≥ 0, y ≥ 0} tvoří vektorový podprostor
v R2
.
Řešení: Pokud M tvoří vektorový podprostor, musí splňovat výše uvedené podmínky.
Ověříme nejprve uzavřenost množiny M vzhledem k operaci sčítání vektorů. Jestliže vektor
x = (x1, x2) ≥ 0 (zápis (x1, x2) ≥ 0 znamená x1 ≥ 0 a x2 ≥ 0) a vektor y = (y1, y2) ≥ 0,
pak i jejich součet x + y = (x1 + y1, x2 + y2) ≥ 0.
Nyní ověříme uzavřenost množiny M vzhledem k operaci násobení skalárem. Nechť
a ∈ R. Pak a(x, y) = (ax, ay). Pro a ≥ 0 je podmínka splněna, ale pro a záporné je
(ax, ay) < 0. Tedy M netvoří vektorový podprostor.
Cvičení:
1. Zjistěte, zda daná množina tvoří vektorový podprostor v R2
.
(a) M = {(x, y) ∈ R2
; x · y ≥ 0}
(b) M = {(x, y) ∈ R2
; x = y + 1}
2. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v R3
.
(a) N = {(a, 1, 1) ∈ R3
}
(b) N = {(a, b, c) ∈ R3
; b = a + c}
3. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v Matn(K).
(a) M = {
a b
c d
∈ Mat2(K); a + b + c + d = 0}
(b) M = {A ∈ Matn(K); Tr(A) = 0}
4. Určete, které z následujících množin jsou vektorové podprostory v R3[x].
(a) P = {a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
; a0 = 0, a1, a2, a3 ∈ R}
(b) P = {a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
; a0, a1, a2, a3 ∈ Z}
27
6.2 LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY
Nechť u1, ..., un ∈ V, a1, ..., an ∈ K. Vektor u = a1u1 + ... + anun se nazývá lineární
kombinací vektorů u1, ..., un s koeficienty a1, ..., an.
Řekneme, že vektory u1, ..., un jsou
– lineárně nezávislé, jestliže pro libovolné koeficienty a1, ..., an ∈ K platí
a1u1 + ... + anun = 0 ⇒ a1 = a2 = ... = an = 0,
– lineárně závislé, jestliže nejsou lineárně nezávislé. Tzn. existuje-li jejich lineární kombinace
s alespoň jedním nenulovým koeficientem rovnající se nulovému vektoru.
Nechť M = {u1, ..., uk} = ∅ je konečná podmnožina V. Množina {a1u1 + ... + akuk;
a1, ..., ak ∈ K} všech konečných lineárních kombinací vektorů u1, ..., uk se nazývá lineární
obal množiny M, ozn. [M]. Jestliže M = ∅, potom [∅] = {0}.
Příklad: Zjistěte, zda jsou vektory v1 = (1, −1, 0, 2)T
, v2 = (2, 2, −1, 3)T
, v3 = (0, 1, 1, 0)T
,
v4 = (3, 2, 0, 5)T
lineárně závislé v R4
nad R. Určete jejich lineární obal.
Řešení: Vektory v1, v2, v3, v4 jsou lineárně nezávislé, právě když rovnice v neznámých
a1, a2, a3, a4
a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
má právě jedno řešení, a to a1 = a2 = a3 = a4 = 0. Porovnáním souřadnic můžeme tuto
rovnici psát jako soustavu rovnic
a1 + 2a2 + 3a4 = 0
−a1 + 2a2 + a3 + 2a4 = 0
−a2 + a3 = 0
2a1 + 3a2 + 5a4 = 0
Nyní napíšeme matici soustavy a soustavu řešíme Gaussovou eliminací.




1 2 0 3
−1 2 1 2
0 −1 1 0
2 3 0 5



 ∼




1 2 0 3
0 4 1 5
0 −1 1 0
0 −1 0 −1



 ∼




1 2 0 3
0 4 1 5
0 0 5 5
0 0 1 1



 ∼




1 2 0 3
0 4 1 5
0 0 1 1
0 0 0 0




Soustava má více řešení, tzn. že vektory jsou lineárně závislé. Vedoucí prvky řádků výsledné
matice jsou v prvním, druhém a třetím sloupci, tedy tyto tři vektory (sloupce) jsou lineárně
nezávislé. Protože výsledná a původní matice jsou řádkově ekvivalentní, pořadí vektorů ve
výsledné matici odpovídá pořadí vektorů v matici původní. Hledané lineárně nezávislé
vektory jsou tedy první, druhý a třetí sloupec původní matice, tzn. vektory v1, v2, v3.
28
Nyní se ptáme, zda je vektor v4 lineární kombinací vektorů v1, v2, v3, neboli zda v4 patří
do lineárního obalu tvořeného vektory v1, v2, v3. Pokud ano, existují koeficienty c1, c2, c3
splňující rovnici
c1v1 + c2v2 + c3v3 = v4.
Matici této soustavy opět převedeme na schodovitý tvar.




1 2 0 | 3
−1 2 1 | 2
0 −1 1 | 0
2 3 0 | 5



 ∼ · · · ∼




1 2 0 | 3
0 4 1 | 5
0 0 1 | 1
0 0 0 | 0




Soustava má řešení, tj. vektor v4 je lineární kombinací vektorů v1, v2, v3, tedy v4 ∈ [v1, v2, v3].
Všimněte si, že poslední řádkové úpravy jsou stejné jako úpravy, při nichž jsme zjišťovali,
zda jsou v1, v2, v3, v4 lineárně závislé.
Příklad: Zjistěte, zda jsou polynomy 1 + x, 1 − x, 2 + x − x2
lineárně závislé v R2[x].
Řešení: Pokud jsou dané polynomy lineárně nezávislé, musí být rovnice a1(1+x)+a2(1−
x) + a3(2 + x − x2
) = 0 splněna pouze pro koeficienty a1 = a2 = a3 = 0. Předpokládejme
tedy jejich nezávislost. Pak platí
a1(1 + x) + a2(1 − x) + a3(2 + x − x2
) = 0
Roznásobením závorek dostaneme rovnici
a1 + a1x + a2 − a2x + 2a3 + a3x − a3x2
= 0
a následným sečtením koeficientů u stejných mocnin x získáme rovnici
(a1 + a2 + 2a3) + (a1 − a2 + a3)x + (−a3)x2
= 0
Z poslední rovnice plyne, že koeficienty u mocnin x0
= 1, x1
= x, x2
musí být rovny nule:
a1 + a2 + 2a3 = 0
a1 − a2 + a3 = 0
−a3 = 0
Řešíme danou soustavu


1 1 2 | 0
1 −1 1 | 0
0 0 −1 | 0

 ∼


1 1 2 | 0
0 2 1 | 0
0 0 1 | 0


Soustava má jediné řešení. Tedy polynomy 1 + x, 1 − x, 2 + x − x2
jsou lineárně nezávislé.
29
Příklad: Nechť v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V.
Potom v1 − v2, v2 − v3, v2 + v3 jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte.
Řešení: Nechť
a1(v1 − v2) + a2(v2 − v3) + a3(v2 + v3) = 0
Úpravou dostáváme
a1v1 − a1v2 + a2v2 − a2v3 + a3v3 + a3v2 = 0
a dále
a1v1 + (−a1 + a2 + a3)v2 + (−a2 + a3)v3 = 0
Z nezávislosti vektorů v1, v2, v3 plyne
a1 = 0
−a1 + a2 + a3 = 0
−a2 + a3 = 0
Řešíme danou soustavu


1 0 0 | 0
−1 1 1 | 0
0 −1 1 | 0

 ∼


1 0 0 | 0
0 1 1 | 0
0 0 1 | 0


Řešením soustavy dostáváme a1 = a2 = a3 = 0. Tedy vektory v1 − v2, v2 − v3, v2 + v3 jsou
lineárně nezávislé.
Cvičení:
1. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující vektory v Rn
. Určete
jejich lineární obal.
(a) u1 = (1, 0, 2), u2 = (2, 0, 1), u3 = (1, 2, 0)
(b) u1 = (−3, 0, 4), u2 = (3, 2, 5), u3 = (6, −1, 1)
(c) u1 = (1, −
√
2, −1), u2 = (1 −
√
2, 2, 1 +
√
2), u3 = (
√
2, −2 −
√
2, −2 −
√
2)
(d) u1 = (−1, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 1, −1), u3 = (−1, 1, 1, −1), u4 = (1, 1, 1, 1)
(e) u1 = (3, 8, 7, −3), u2 = (1, 5, 3, −1), u3 = (2, −1, 2, 6), u4 = (1, 4, 0, 3)
(f) u1 = (1, 0, −2, 3), u2 = (−1, 3, 0, 0), u3 = (2, 0, 1, 1), u4 = (1, 6, −1, 4)
2. Z následujících vektorů vyberte maximální podmnožinu lineárně nezávislých vektorů
(a) v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 5, 4), v3 = (3, 6, 1), v4 = (1, −1, 0), v5 = (1, 1, 5)
(b) v1 = (1, 0, 2, 4), v2 = (2, 3, −1, 0), v3 = (3, 3, 1, 4), v4 = (1, 1, 1, 1), v5 = (2, 2, 0, 3),
v6 = (1, 0, 0, 0)
30
3. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující polynomy v Rn[x].
(a) 1 − x, x − x2
, x2
− x3
, x3
− 1
(b) 1 + x, x + x2
, x2
+ x3
, x3
+ 1
(c) 2 − x + 4x2
, 3 + 6x + 2x2
, 2 + 10x − 4x2
(d) 1 + 3x + 3x2
, x + 4x2
, 5 + 6x + 3x2
, 7 + 2x − x2
4. Zjistěte, zda vektor x = (7, 2, −2) patří do lineárního obalu množiny vektorů
(a) {(1, 0, −1), (2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (5, 2, −1)}
(b) {(2, 1, −1), (−2, 1, −1), (1, 0, 0), (4, 7, −7)}
5. Je dána množina M = {1 + 2x − x2
, 2 − x + x2
, 5 + x2
} polynomů v R2[x]. Zjistěte,
zda polynom
(a) −6 − 2x
(b) 1 + x + x2
patří do lineárního obalu množiny M.
6. Nechť u, v, w, z jsou lineárně nezávislé vektory vektorového prostoru V. Zjistěte, zda
jsou lineárně závislé nebo nezávislé vektory
(a) u + v, u − v, u + v + w
(b) u − v, v − w, w − u
(c) u + v + w, v + w + z, w + z + u, z + u + v
31
7. BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU, SOUŘADNICE,
SOUČTY A PRŮNIKY PODPROSTORŮ
Vektorový prostor V je konečněrozměrný, jestliže v něm existuje konečná podmnožina
{u1, ..., un} taková, že každý vektor u ∈ V je lineární kombinací vektorů u1, ..., un. Báze
konečnědimenzionálního prostoru V je množina {u1, ..., un} taková, že
(1) každý vektor u ∈ V je lineární kombinací {u1, ..., un},
(2) vektory u1, ..., un jsou lineárně nezávislé.
Tyto dvě vlastnosti jsou ekvivalentní s tím, že každý vektor u ∈ V lze psát ve tvaru
u =
n
i=1
xiui (1)
právě jedním způsobem.
Je-li V konečněrozměrný, mají všechny jeho báze stejný počet prvků. Dimenze konečněrozměrného
vektorového prostoru V je číslo dim V udávající počet prvků nějaké jeho
báze.
Nechť α = {u1, ..., un} je báze prostoru V a u ∈ V. Potom u lze jednoznačně vyjádřit
ve tvaru (1).
Sloupcový vektor
(u)α =





x1
x2
...
xn





nazýváme sloupcem souřadnic a skaláry x1, ..., xn souřadnicemi vektoru u v uspořádané
bázi α.
Označme ei ∈ Kn
vektor skládající se ze samých nul, kromě i-té složky, která je 1.
Potom ε = (e1, ..., en) je báze vektorového prostoru Kn
. Nazýváme ji standardní nebo také
kanonickou bazí tohoto prostoru.
Pro libovolný vektor x = (x1, ..., xn)T
∈ Kn
platí
x = x1e1 + · · · + xnen,
proto (x)ε = x, tj. každý vektor x ∈ V splývá se svými vlastními souřadnicemi ve standardní
bázi.
Nechť S, T jsou podprostory vektorového prostoru V. Množina
S + T = {x + y; x ∈ S, y ∈ T}
je opět podprostor vektorového prostoru V, nazývá se součet podprostorů S a T. Jestliže
S ∩ T = ∅, součet S + T se nazývá přímý.
32
Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor. Potom platí
dim S + dim T = dim(S + T) + dim(S ∩ T)
Příklad: Najděte nějakou bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M ve vektorovém
prostoru V.
(a) V = R4
, M = {(1, 2, 3, 4), (−2, −3, −4, −5), (3, 4, 5, 6), (−4, −5, −6, −7), (5, 6, 7, 8)},
(b) V = R3[x], M = {1 + x + x3
, 1 − x, 2x − x2
, 2 − x2
, 2x + x2
+ x3
}.
Řešení: (a) Souřadnice vektorů množiny M ve standardní bázi R4
zapíšeme do sloupců
matice, kterou upravíme řádkovými úpravami na schodovitý tvar, z něhož určíme lineárně
nezávislé vektory.




1 −2 3 −4 5
2 −3 4 −5 6
3 −4 5 −6 7
4 −5 6 −7 8



 ∼




1 −2 3 −4 5
0 1 −2 3 −4
0 2 −4 6 −8
0 3 −6 9 −12



 ∼




1 −2 3 −4 5
0 1 −2 3 −4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0




Třetí, čtvrtý a pátý vektor jsou lineární kombinací prvních dvou vektorů, které jsou lineárně
nezávislé a tvoří tedy bázi množiny M. Tzn. αM = {(1, 2, 3, 4), (−2, −3, −4, −5)}, dim[M] =
2.
(b) Souřadnice polynomů množiny M ve standardní bázi prostoru R3[x], tj. v bázi
(1, x, x2
, x3
), zapíšeme do sloupců matice a provádíme řádkové úpravy.




1 1 0 2 0
1 −1 2 0 2
0 0 −1 −1 1
1 0 0 0 2



 ∼ · · · ∼




1 1 0 2 0
0 −1 1 −1 1
0 0 −1 −1 1
0 0 0 0 0




V tomto případě jsou lineárně nezávislé první tři vektory, tedy αM = {{1 + x + x3
, 1 −
x, 2x − x2
}, dim[M] = 3.
Příklad: Doplňte množinu M = {(−1, 1, 0, 0), (0, −1, 1, 0), (0, 0, −1, 1)} na bázi R4
.
Řešení: Jsou-li vektory množiny M lineárně nezávislé, lze ji doplnit na bázi celého
R4
a to výběrem z nějaké generující množiny v R4
. K daným vektorům tedy doplníme
další vektory (nejlépe vektory tvořící standardní bázi R4
) a pomocí Gaussovy eliminace
vybereme bázi R4
:




−1 0 0 | 1 0 0 0
1 −1 0 | 0 1 0 0
0 1 −1 | 0 0 1 0
0 0 1 | 0 0 0 1



 ∼




−1 0 0 | 1 0 0 0
0 −1 0 | 1 1 0 0
0 0 −1 | 1 1 1 0
0 0 0 | 1 1 1 1




33
Vidíme, že vektory množiny M jsou lineárně nezávislé a že doplněním kteréhokoliv z přidaných
vektorů k M získáme bázi R4
.
Příklad: Najděte souřadnice vektoru v v bázi α vektorového prostoru V:
(a) V = R3
, v = (1, 2, 3), α = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)),
(b) V = Mat2(R), v =
1 2
3 4
, α =
1 0
0 0
,
1 1
0 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
.
Řešení: Vektor v vyjádříme jako lineární kombinaci prvků báze α. Výpočet souřadnic
pak převedeme na řešení systému lineárních rovnic, který má vždy jediné řešení, neboť α
je báze V.
(a) Nechť
(1, 2, 3) = a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(0, 1, 1)
Potom
(1, 2, 3) = (a + b, a + c, b + c)
Porovnáním získáme systém
a + b = 1
a + c = 2
b + c = 3
Rozšířenou matici systému upravíme na redukovaný schodovitý tvar:


1 1 0 | 1
1 0 1 | 2
0 1 1 | 3

 ∼ · · · ∼


1 0 0 | 0
0 1 0 | 1
0 0 1 | 2


Řešením systému je a = 0, b = 1, c = 2, tedy
(v)α = (0, 1, 2)T
(b) Postupujeme analogicky jako v (a):
1 2
3 4
= a
1 0
0 0
+ b
1 1
0 0
+ c
1 1
1 0
+ d
1 1
1 1
Úpravou dostáváme systém
a + b + c + d = 1
b + c + d = 2
c + d = 3
d = 4
34
jehož řešením je a = −1, b = −1, c = −1, d = 4. Potom
(v)α = (−1, −1, −1, 4)T
Příklad: Nechť P1 = [M1], P2 = [M2] v R4
, kde
M1 = {u1 = (4, 0, −2, 6), u2 = (2, 1, −2, 3), u3 = (3, 1, −2, 4)}
M2 = {v1 = (1, −1, 0, 2), v2 = (2, 2, −1, 3), v3 = (0, 1, 1, 0)}
Najděte P1 + P2, P1 ∩ P2, jejich báze a dimenze.
Řešení: Protože P1 + P2 = {x + y; x ∈ P1, y ∈ P2}, platí P1 + P2 = [M1 ∪ M2]. Pomocí
EŘO určíme bázi [M1 ∪ M2]:




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
−2 −2 −2 0 −1 1
6 3 4 2 3 0



 ∼




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
0 −2 −1 1 0 2
0 −3 −2 2 0 3



 ∼
∼




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
0 0 1 −1 4 4
0 0 1 −1 6 6



 ∼




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
0 0 1 −1 4 4
0 0 0 0 2 2




Vidíme, že vektory u1, u2, u3, v2 jsou lineárně nezávislé, tedy P1 + P2 = [u1, u2, u3, v2] =
R4
, dim(P1 + P2) = 4.
Nyní nechť x ∈ P1 ∩ P2. Potom platí:
x = a1u1 + a2u2 + a3u3 ∈ P1
x = b1v1 + b2v2 + b3v3 ∈ P2
Tedy
a1u1 + a2u2 + a3u3 = b1v1 + b2v2 + b3v3 ⇒
⇒ a1u1 + a2u2 + a3u3 − b1v1 − b2v2 − b3v3 = 0
Soustavu přepíšeme do matice soustavy, pomocí EŘO upravíme na schodovitý tvat a určíme
koeficienty a1, ..., b3:




4 2 3 −1 −2 0
0 1 1 1 −2 −1
−2 −2 −2 0 1 −1
6 3 4 −2 −3 0



 ∼ · · · ∼




4 2 3 −1 −2 0
0 1 1 1 −2 −1
0 0 1 1 −4 −4
0 0 0 0 −2 −2




Tedy a1 = r, a2 = −p, a3 = −r, b1 = r, b2 = −p, b3 = p, kde p, r ∈ R jsou parametry. Podle
předchozího to znamená:
35
P1 ∩ P2 = {x = ru1 − pu2 − ru3; p, r ∈ R} = {x = r(u1 − u3) − pu2; p, r ∈ R} =
{x = r(1, −1, 0, 2) + p(−2, −1, 2, −3); p, r ∈ R} = [(1, −1, 0, 2), (−2, −1, 2, −3)]
Tentýž výsledek dostaneme s použitím vektorů v1, v2, v3 :
P1 ∩ P2 = {x = rv1 − pv2 + pv3; p, r ∈ R} = {x = rv1 + p(v3 − v2); p, r ∈ R} =
{x = r(1, −1, 0, 2) + p(−2, −1, 2, −3); p, r ∈ R} = [(1, −1, 0, 2), (−2, −1, 2, −3)]
dim(P1 ∩ P2) = 2
Cvičení:
1. Doplňte množinu M na bázi vektorového prostoru V:
(a) M = {(1, −2, 0, 0), (2, 1, 1, 3), (0, 1, 0, 1)}, V = R4
(b) M = {1 − x, 1 + x + x2
, x2
− x3
}, V = R3[x]
(c) M =
1 1
1 1
,
1 2
1 0
,
1 1
2 0
, V = Mat2R
2. Který z vektorů u1, u2, u3, u4 doplňuje množinu α na bázi prostoru R4
?
(a) α = ((1, −2, 1, −1), (1, 0, −1, −1), (1, 1, −2, 0)),
u1 = (−1, 2, −1, 1), u2 = (3, −1, −2, −1), u3 = (2, 1, 0, −2), u4 = (2, 1, −3, −2)
(b) α = ((1, 3, 0, −1), (1, 0, 0, −1), (0, 2, 1, 0)),
u1 = (−1, 1, −1, 1), u2 = (3, −1, 0, −3), u3 = (2, 1, 0, −2), u4 = (1, −2, 0, −1)
3. Najděte bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M:
(a) M = {(1, 2, 3), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}
(b) M = {2x − 1, x3
+ x + 1, x2
+ x, 2x2
+ 1, x3
+ 3x2
+ 2x + 2}
(c) M =
1 1
1 1
,
1 −1
−1 1
,
1 2
2 1
,
2 0
0 2
,
0 1
1 1
4. Najděte nějakou bázi vektorového prostoru M = {(x1, ..., xn) ∈ Rn
; x1+· · ·+xn = 0},
doplňte ji na bázi celého Rn
a určete dim M.
5. Určete dimenzi podprostoru P vektorového prostoru Rn[x]:
(a) P = {f ∈ Rn[x]; f(0) = 0}
(b) P = {f ∈ Rn[x]; f(0) = f(1) = 0}
6. Nechť
P1 = {f ∈ R5[x]; f(x) = f(−x)}
P2 = {f ∈ R5[x]; f(x) = −f(−x)}
P3 = {f ∈ R5[x]; f(1) = f(2) = 0}
jsou podprostory v R5[x].
(a) najděte jejich báze,
36
(b) určete P1 ∩ P3,
(c) určete P2 + P3,
(d) ukažte, že součet P1 + P2 je přímý.
7. Uvažujme vektorový prostor Mat2(R) reálných matic typu 2 × 2 a jeho podmnožimu
P všech matic A = (aij) takových, že a11 + a22 = 0.
(a) Dokažte, že P je vektorový podprostor.
(b) Napište nějakou bázi podprostoru P.
(c) Doplňte tuto bázi na bázi prostoru Mat2(R) a v této bázi napište souřadnice
jednotkové matice.
8. Nechť vektory v1, v2, v3 tvoří bázi vektorového prostoru V. Ukažte, že vektory u1 =
v1, u2 = v1 + v2, u3 = v1 + v2 + v3 také tvoří bázi V.
9. Najděte souřadnice vektoru v v bázi α vektorového prostoru V.
(a) v = (2, 1, 1), α = ((2, 7, 3), (3, 9, 4), (1, 5, 3)), V = R3
(b) v = (2, 1, 1), α = ((1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)), V = R3
(c) v = (0, 0, 2, 7), α = ((4, 2, −1, −6), (3, 1, 1, −2), (1, 2, 1, 1), (2, 3, 1, 0)), V = R4
(d) v = (1, 1, 1, 1), α = ((0, 0, 0, −5), (1, 2, 3, 1), (1, 0, −1, 0), (0, 1, 1, 0)), V = R4
(e) v = 4 − 4x − 2x3
, α = (1 − x2
, 1 + x, 1 − x), V = R2[x]
(f) v = x3
+ x2
+ x + 1, α = (1 + x3
, x + x3
, x2
+ x3
, x3
), V = R3[x]
(g) v =
6 2
1 3
, α =
1 0
1 0
,
0 1
0 0
,
1 1
0 0
,
1 0
0 1
, V = Mat2(R).
(h) v =
1 0 −1
2 1 4
, α =
1 0 0
0 0 0
,
1 1 0
0 0 0
,
1 1 1
0 0 0
,
0 0 0
−1 0 0
,
0 0 0
−1 −1 0
,
0 0 0
−1 −1 −1
, V = Mat2,3(R).
10. Souřadnice vektoru u v bázi α = (u1, u2, u3, u4) jsou (a1, a2, a3, a4)T
. Jaké jsou jeho
souřadnice v bázi β = (u1 + u4, u2 + u3, u3, u4)? Zdůvodněte.
11. Nechť P1 = [M1], P2 = [M2] ve vektorovém prostoru R3
, resp. R4
. Najděte nějakou
bázi a určete dimenzi podprostorů P1 + P2, P1 ∩ P2.
(a) M1 = {(1, 2, −1), (−1, 0, 2), (2, −1, 0), (1, 1, 1)}
M2 = {(0, 2, 1), (1, 4, 0)}
(b) M1 = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (−1, 0, 1)}
M2 = {(2, 0, 3), (3, 1, 5), (1, 3, 3)}
(c) M1 = {(1, −1, 0, 1), (1, 2, 0, 3), (3, 0, 0, 5)}
M2 = {(0, −1, 1, 4), (0, 2, 3, 2), (0, 0, 1, 2)}
37
(d) M1 = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, −1, −1), (1, −1, 1, −1)}
M2 = {(1, −1, −1, 1), (1, −1, 0, 0), (3, −1, 1, 1)}
12. Ve vektorovém prostoru R4
najděte průnik podprostorů V1 a V2, kde V1 = [(1, 1, 1, 1),
(1, 0, 1, 0)], V2 = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0)].
Spočtěte průnik součtu V1+V2 s podprostorem generovaným vektorem v = (1, −2, 3, −4).
13. V prostoru polynomů R6[x] uvažte podprostory V1 = [x2
+ 2x3
, −x3
+ x6
], V2 =
[2 + x2
, −1 + x6
, x2
+ x3
+ 2x4
], V3 = [x2
+ x6
, 1 + 3x3
+ x5
, x3
]. Spočtěte jejich součet
a průnik.
14. Nechť V je reálný vektorový prostor, v1, ..., vn ∈ V . Označme
S = {(c1, ..., cn) ∈ Rn
; c1v1 + · · · + cnvn = 0}.
Dokažte následující tvrzení:
(a) S je lineární podprostor vektorového prostoru Rn
.
(b) Vektory v1, ..., vn jsou lineárně nezávislé, právě když dim S = 0.
38
8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ
Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tímtéž polem K. Zobrazení f : U → V se
nazývá lineární, jestliže f zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, tj.
(1) ∀x, y ∈ U : f(x + y) = f(x) + f(y)
(2) ∀a ∈ K, ∀x ∈ U : f(a · x) = a · f(x)
Jestliže U=V, lineární zobrazení f : U → U se nazývá endomorfismus vektorového
prostoru U.
Nechť U, V jsou vektorové prostory, {u1, ..., un} je báze U a v1, ..., vn jsou vektory ve V.
Potom existuje jediné lineární zobrazení f : U → V takové, že f(ui) = vi, i = 1, 2, ..., n.
Zobrazení f je dané předpisem
f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
Nechť f : U → V je lineární zobrazení. Podmnožina
Kerf = {x ∈ U; f(x) = 0}
vektorového prostoru U se nazývá jádro, podmnožina
Imf = {y ∈ V; y = f(x), x ∈ U}
se nazývá obraz lineárního zobrazení f.
Množina Kerf je podprostor vektorového prostoru U, množina Imf je podprostor vektorového
prostoru V.
Lineární zobrazení f : U → V je isomorfismus právě tehdy, když Kerf = {0}, Imf = V.
Příklad: Zjistěte, zda je zobrazení f : R3
→ R2
lineární. Jestliže je, najděte Kerf, Imf.
(a) f(x) = (1 + x1, x2),
(b) f(x) = (x1 + x2, x1 − x3),
(c) f(x) = (1, 2),
(d) f(x) = (x1
2
, −2x2).
Řešení: V případech (a) a (c) není obrazem nulového vektoru nulový vektor, zobrazení
f tedy není lineární. Ukážeme, že f není lineární ani v případě (d). Nechť a = −1, x =
(1, 0, 0). Potom
f(ax) = f(−1, 0, 0) = (1, 0) = (−1, 0) = (−1)f(1, 0, 0) = af(x)
a první z podmínek lineárního zobrazení není splněna.
Zobrazení f je v případě (b) lineární, protože pro libovolné x, y ∈ R3
a pro libovolné
a, b ∈ R platí:
f(ax + by) = f(ax1 + by1, ax2 + by2, ax3 + by3) =
= (ax1 + by1 + ax2 + by2, ax1 + by1 − (ax3 + by3)) =
= (ax1 + ax2, ax1 − ax3) + (by1 + by2, by1 − by3) =
= af(x) + bf(y)
39
Určíme Kerf: Nechť f(x) = 0. Potom x1 + x2 = 0, x1 − x3 = 0, úpravou dostáváme
x2 = −x1, x3 = x1. Zvolíme-li x1 = t, pak
Kerf = {(t, −t, t); t ∈ R}
Určíme Imf: Obrazy vektorů standardní báze ε3 ve zobrazení f jsou vektory (1, 1), (1, 0), (0, −1).
Podprostor Imf je lineárním obalem těchto vektorů, tj.
Imf = [(1, 1), (1, 0), (0, −1)] = [(1, 0), (0, 1)] = R2
.
Příklad: Ukažte, že násobení maticí A ∈ Matm,n(K) je lineární zobrazení.
Řešení: Nechť f(x) = Ax. Aby f bylo lineární, musí splňovat oba axiomy uvedené na
začátku této kapitoly. Protože
(1) ∀x, y ∈ Kn
: f(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f(x) + f(y),
(2) ∀a ∈ K, ∀x ∈ Kn
: f(ax) = A(ax) = aAx = af(x),
oba axiomy jsou splněny a tedy zobrazení f je lineární. Znamená to, že pro libovolnou matici
A ∈ Matm,n(K) je přiřazením x → Ax definováno lineární zobrazení mezi vektorovými
prostory Kn
→ Km
.
Příklad: Je dáno lineární zobrazení f : R4
→ R4
, f(x) = (x1 + x2 + x3 + x4, −x1 −
x2 −x3 −x4, x1 −x2 +x3 −x4, −2x1 +2x2 −2x3 +2x4). Určete Kerf, Imf a najděte nějakou
bázi Kerf a Imf.
První řešení: Lineární zobrazení f zapíšeme jako násobení maticí:
f(x) = Ax =




1 1 1 1
−1 −1 −1 −1
1 −1 1 −1
−2 2 −2 2








x1
x2
x3
x4




Určíme jádro: Protože Kerf = {u ∈ R4
: f(u) = Au = 0}, řešíme vlastně homogenní
soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých:




1 1 1 1
−1 −1 −1 −1
1 −1 1 −1
−2 2 −2 2



 ∼




1 1 1 1
0 2 0 2
0 0 0 0
0 0 0 0




Ze schodovitého tvaru dostáváme: x1 = s, x2 = t, x3 = −s, x4 = −t, s, t ∈ R. Tedy
Kerf = {s(1, 0, −1, 0) + t(0, 1, 0, −1), s, t ∈ R}, αKerf = {(1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1)}.
Nyní určíme obraz: Protože Im f = {f(u) : u ∈ R4
}, tvoří Im f obrazy vektorů
standardní báze, přesněji jejich lineárně nezávislá podmnožina. Tzn. Imf = {f(a1e1 +
a2e2 + a3e3 + a4e4), ai ∈ R} = {a1f(e1) + a2f(e2) + a3f(e3) + a4f(e4), ai ∈ R} =
40
[f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)] = [s1(A), s2(A), s3(A), s4(A)], kde si(A) značí i-tý sloupec matice
A. Tedy bázi obrazu tvoří lineárně nezávislé sloupce matice A.
Imf = {a1f(e1) + a2f(e2), a1, a2 ∈ R} = {a1(1, −1, 1, −2) + a2(1, −1, −1, 2), a1, a2 ∈
R}, αImf = {(1, −1, 1, −2), (1, −1, −1, 2)}
Druhé řešení: Při řešení využijeme EŘO. Vytvoříme blokovou matici typu 4 × 8 tak, že
do levého bloku zapíšeme souřadnice vektorů standardní báze ε4 v R4
, do pravého bloku
zapíšeme souřadnice jejich obrazů ve zobrazení f. Protože f je lineární zobrazení, tato
vlastnost zůstane zachována i po vykonání libovolné EŘO.
Jestliže matici upravíme pomocí EŘO tak, aby byl pravý blok ve schodovitém tvaru,
pak nenulové řádky pravého bloku budou souřadnice vektorů nějaké báze podprostoru
Imf ⊂ R4
, řádky levého bloku, které odpovídají nulovým řádkům pravého bloku, budou
souřadnice vektorů nějaké báze podprostoru Kerf ⊂ R4
.
Tedy




1 0 0 0 | 1 −1 1 −2
0 1 0 0 | 1 −1 −1 2
0 0 1 0 | 1 −1 1 −2
0 0 0 1 | 1 −1 −1 2



 ∼




1 0 0 0 | 1 −1 1 −2
−1 1 0 0 | 0 0 −2 4
−1 0 1 0 | 0 0 0 0
0 −1 0 1 | 0 0 0 0




a z upravené matice dostáváme:
αKerf = {(−1, 0, 1, 0), (0, −1, 0, 1)}
αImf = {(1, −1, 1, −2), (0, 0, −2, 4)}
Kerf = {a(−1, 0, 1, 0) + b(0, −1, 0, 1); a, b ∈ R}
Imf = {a(1, −1, 1, −2) + b(0, 0, −2, 4); a, b ∈ R}
Příklad: Najděte předpis nějakého lineárního zobrazení f : R3
→ R3
tak, aby Kerf =



1
0
0

 ,


1
1
1



 , Im f =




1
0
1



.
Řešení: Doplníme bázi αKerf =





1
0
0

 ,


1
1
1





vektorem


0
1
0

 na bázi β prostoru R3
.
Definujme f-obrazy vektorů báze β tak, aby byly splněny podmínky úlohy:
f


1
0
0

 =


0
0
0

 , f


1
1
1

 =


0
0
0

 , f


0
1
0

 =


1
0
1


Tímto je zobrazení f jednoznačně určeno. Zobrazení f zapíšeme pomocí násobení maticí,
tj. ve tvaru f(x) = Ax. Protože
Ax = f(x1, x2, x3) = x1f


1
0
0

 + x2f


0
1
0

 + x3f


0
0
1

 ,
41
potřebujeme pro nalezení matice A ještě určit f


0
0
1

. Platí:
f


0
0
1

 = f




1
1
1

 −


1
0
0

 −


0
1
0



 = f


1
1
1

 − f


1
0
0

 − f


0
1
0

 =


−1
0
−1


Proto
A =


0 1 −1
0 0 0
0 1 −1


Vzhledem k tomu, že 

0 1 −1
0 0 0
0 1 −1




x1
x2
x3

 =


x2 − x3
0
x2 − x3


platí
f(x) = (x2 − x3, 0, x2 − x3)
Cvičení:
1. Nechť V je vektorový prostor, v ∈ V je pevně zvolený vektor. Zjistěte, zda zobrazení
f : V → V je lineární, jestliže
(a) f(x) = x + v,
(b) f(x) = v.
2. Zjistěte, zda je zobrazení f : Rn
→ Rn
lineární. Pokud ano, najděte Kerf, Imf
a zapište jej pomocí násobení maticí. Zjistěte, zda je f isomorfismus.
(a) f(x, y) = (x, y2
)
(b) f(x, y) = (2x + 3y, x − y)
(c) f(x, y) = (x, 1 − y)
(d) f(x, y, z) = ((x + y)2
, x − y, x + y + z)
(e) f(x, y, z) = (x − 2y + z, 2x − y + z, 3y − z)
3. Zjistěte, zda je zobrazení A : Rm[x] → Rn[x] lineární. Pokud ano, určete Kerf, Imf.
(a) m = n = 2, (Af)(x) = f(−x),
(b) m = n = 2, (Af)(x) = xf (x),
(c) m = 4, n = 2, (Af)(x) = f (x) − 2f (x),
42
(d) m = 4, n = 2, (Af)(x) = f (x) + x2
.
4. Následující zobrazení napište pomocí násobení maticí, tj. ve tvaru f(x) = Ax.
(a) identické zobrazení id : R3
→ R3
,
(b) kolmá projekce do osy generované vektorem (1, 0, 0) v prostoru R3
,
(c) kolmá projekce do roviny generované vektory (0, 1, 0), (0, 0, 1) v prostoru R3
,
(d) násobení pevně zvoleným skalárem a ∈ R v prostoru R3
,
(e) překlopení podle roviny xz v prostoru R3
; najděte obraz vektoru (2, −5, 3)
v zobrazení f,
(f) otočení o úhel −60◦
v prostoru R3
; najděte obraz vektoru (3, −4) v zobrazení f,
(g) otočení o úhel 30◦
kolem osy x; najděte obraz vektoru (−2, 1, 2) v zobrazení f.
5. Nechť násobení vektoru x maticí A reprezentuje otočení v rovině xy o úhel ψ. Jaký
bude výsledek násobení vektoru x maticí AT
?
6. Zjistěte, zda je lineární zobrazení f : R3
→ R3
, f(x) = (x1 + x2, x2 + x3, x1 + x3)
isomorfismus. Pokud ano, najděte předpis pro inverzní isomorfismus.
7. Určete dimenzi obrazu a jádra zobrazení, které je definováno jako násobení maticí
A =
1 1
4 4
v Mat2(R)
(a) zprava,
(b) zleva.
8. Nechť f : Mat2(R) → Mat2(R) je lineární zobrazení definované předpisem
f(X) =
1 1
0 0
X + X
0 0
1 1
Zjistěte dim Kerf a dim Imf.
9. Nechť α = (v1, v2), kde v1 = (−2, 1), v2 = (1, 3), je báze R2
a f : R2
→ R3
je
lineární zobrazení takové, že f(v1) = (−1, 2, 0), f(v2) = (0, −3, 5). Najděte předpis
pro f(x1, x2) a určete f(2, −3).
10. Lineární zobrazení f : R3
→ R3
zobrazuje vektor ui na vektor vi, i = 1, 2, 3. Najděte
matici tohoto zobrazení ve standardních bázích a určete jeho předpis, jestliže
u1 = (−2, 3, −5), u2 = (0, 1, 3), u3 = (2, 0, 0),
v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1, 1, −1), v3 = (−2, 1, 2).
11. Lineární zobrazení f : Mat2(R) → R zobrazuje matici Ai na číslo ci, i = 1, 2, 3, 4.
Určete Kerf, Imf a najděte předpis zobrazení f, jestliže
A1 =
1 1
0 0
, A2 =
1 −1
0 0
, A3 =
1 1
1 0
, A4 =
1 1
0 1
,
c1 = 1, c2 = 0, c3 = 3, c4 = 0.
43
12. Jsou dány vektory u = (1, 2, −3), v = (2, 1, −2), w = (1, −4, 5) z R3
. Zjistěte, zda
existuje lineární zobrazení f : R3
→ R2
takové, že
(a) f(u) = (1, 2), f(v) = (2, 3), f(w) = (1, 3),
(b) f(u) = (−2, 1), f(v) = (1, 1), f(w) = (8, −1).
13. Určete jádro a obraz lineárního zobrazení f : R4
→ R4
, f(x1, x2, x3, x4) = (x1 +
2x2 + 3x3 + 4x4, 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4, x1 − 2x2 + 3x3 − x4, x1 + x2 + x3 + x4). Najděte
nějakou bázi Kerf a Imf.
14. Určete předpis lineárního zobrazení f : R3
→ R4
, pro které platí
f(1, 0, 1) = (1, 0, 1, 0), f(1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0), f(0, 1, 1) = (0, 1, 0, 1).
15. Najděte dimenzi a bázi obrazu průniku podprostorů V1 a V2 ⊂ R4
při zobrazení
f : R4
→ R5
. Přitom f(x, y, z, w) = (x + 2y + 3z + w, 2x − 3y − z − 12w, −x +
y + 5w, −y − z − 2w, 2x − 3y − z − 12w), V1 = [(2, −1, −1, 1), (−2, 3, 1, −1)], V2 =
[(0, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 1)]. Dále zjistěte dimenzi vzoru podprostoru W ⊂ R5
generovaného
vektorem (1, 1, 1, 1, 1).
16. Nechť β = (v1, v2), kde v1 = (1, 3), v2 = (−1, 4), je báze R2
a A =
1 3
−2 5
je
matice lineárního zobrazení f : R2
→ R2
v bázi β.
(a) Najděte (f(v1))β, (f(v2))β,
(b) najděte f(v1), f(v2),
(c) určete předpis pro f(x1, x2),
(d) vypočtěte f(1, 1).
44
9. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ, MATICE PŘECHODU
Nechť f : U → V je lineární zobrazení, α = (u1, ..., un), β = (v1, ..., vk) jsou uspořádané
báze vektorových prostorů U, V. Nechť
f(uj) =
k
i=1
aijvi (2)
j = 1, ..., n. Matice
A =





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
ak1 ak2 · · · akn





se nazývá matice lineárního zobrazení f : U → V v bázích α, β a značí se (f)β,α. Všimněte
si, že j-tý sloupec matice (f)β,α je (f(uj))β, tj. sloupec souřadnic vektoru f(uj) v bázi β.
Definiční vztah (2) můžeme přepsat ekvivalentně takto:
(f(u1), f(u2), ..., f(un)) = (v1, v2, ..., vk)(f)β,α (3)
Jestliže x ∈ U, potom
(f(x))β = (f)β,α(x)α
tj. souřadnice vektoru f(x) v bázi β dostáváme vynásobením matice (f)β,α zprava sloupcem
souřadnic vektoru x v bázi α.
Nechť α = (u1, ..., un), β = (v1, ..., vn) jsou dvě báze vektorového prostoru V nad polem
K. Potom existuje matice A = (aij) taková, že
uj =
n
i=1
aijvi (4)
kde j = 1, ..., n. Matice A se nazýva matice přechodu od báze α k bázi β, nebo také matice
záměny báze α bazí β. Protože A je matice identického zobrazení id : V → V v bazích
α, β, značí se (idV)β,α. Definiční rovnost (4) můžeme přepsat takto:
(u1, ..., un) = (v1, ..., vn)(idV)β,α (5)
Tento vztah hraje důležitou roli při výpočtu matice přechodu.
Matice (idV)β,α, (idV)α,β jsou navzájem inverzní, tj. platí
(idV)β,α(idV)α,β = (idV)α,β(idV)β,α = E
Souřadnice libovolného vektoru x ∈ V v bazích α, β jsou dány vztahy
(x)β = (idV)β,α(x)α, (x)α = (idV)α,β(x)β
45
Nechť f : V1 → V2 je lineární zobrazení, α1, β1 jsou dvě báze V1, α2, β2 jsou dvě báze
V2. Potom mezi maticemi (f)α2,α1 a (f)β2,β1 je vztah
(f)β2,β1 = (idV2 )β2,α2 (f)α2,α1 (idV1 )α1,β1
(f)α2,α1 = (idV2 )α2,β2 (f)β2,β1 (idV1 )β1,α1
Pokud V1 = V2 = V, dostáváme
(f)β,β = (idV)β,α(f)α,α((idV)β,α)−1
(f)α,α = (idV)α,β(f)β,β((idV)α,β)−1
Nechť f : U → V, g : V → W jsou lineární zobrazení, α, β, γ jsou postupně báze
prostorů U, V, W. Potom složení zobrazení f a g je opět lineární zobrazení a platí
(g ◦ f)γ,α = (g)γ,β(f)β,α
.
Příklad: Určete matici lineárního zobrazení f : R3
→ R2
, f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 −
3x3, 2x1) v bázích α, β, jestliže
(a) α = ε3, β = ε2,
(b) α = ((1, 2, 0), (−2, 10), (3, 1, −1)), β = ((2, 1), (0, 2)).
Najděte obraz vektoru x v lineárním zobrazení f, jestliže (x)α = (0, −4, 1)T
.
Řešení: (a) Určíme obrazy vektorů báze α ve zobrazení f:
f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (2, 0), f(0, 0, 1) = (−3, 0)
Vzhledem k tomu, že β = ε2, platí
(f)β,α =
1 2 −3
2 0 0
Protože α = ε3, přímo z předpisu f dostáváme f(x) = (−11, 0).
(b) Postupujeme analogicky jako v (a).
f(1, 2, 0) = (5, 2), f(−2, 1, 0) = (0, −4), f(3, 1, −1) = (8, 6)
Nyní vyjádříme vypočítané vektory jako lineární kombinaci prvků báze β:
(5, 2) = a(2, 1) + b(0, 2) = (2a, a + 2b)
46
Řešením systému
2a = 5
a + 2b = 2
dostáváme a = 5
2
, b = −1
4
. Analogicky
(0, −4) = 0(2, 1) − 2(0, 2)
(8, 6) = 4(2, 1) + 1(0, 2)
Zapsáním koeficientů lineárních kombinací do matice dostáváme
(f)β,α =
5
2
0 4
−1
4
−2 1
Potom
(f(x))β =
5
2
0 4
−1
4
−2 1


0
−4
1

 =
4
9
což znamená, že f(x) = 4(2, 1) + 9(0, 2) = (8, 22).
Příklad: V R3
jsou dány báze α = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)), β = ((−1, 1, 0), (1, 1, 0),
(0, 0, 1)). Určete matici (idR3)β,α, tj. matici přechodu od báze α k bázi β, a matici (idR3 )α,β,
tj. matici přechodu od báze β k bázi α. Pomocí těchto matic vypočtěte (x)β, (y)α, jestliže
(x)α = (−1, 3, 0)T
, (y)β = (2, 4, 7)T
.
Řešení: Nejprve určíme (idR3 )β,α. Vyjádříme vektory báze α jako lineární kombinaci
vektorů báze β.
(1, 0, 0) = a(−1, 1, 0) + b(1, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (−a + b, a + b, c)
Porovnámím dostáváme
−a + b = 0, a + b = 0, c = 0
Řešením systému je a = −1
2
, b = 1
2
, c = 0. Analogicky se vypočte, že
(1, 1, 0) = 0(−1, 1, 0) + 0(1, 1, 0) + 0(0, 0, 1)
(1, 1, 1) = 0(−1, 1, 0) + 1(1, 1, 0) + 1(0, 0, 1)
Zapsáním koeficientů lineárních kombinací do matice dostáváme
(idR3 )β,α =


−1
2
0 0
1
2
1 1
0 0 1


K výpočtu můžeme rovněž použít vztah (5) a vyřešit soustavu
A = B(idR3 )β,α
47
kde sloupce matic A a B jsou tvořeny vektory bazí α a β. Po úpravě dostáváme
(idR3 )β,α = B−1
A
Matici (idR3)α,β určíme jako inverzní matici k (idR3 )β,α.


−1
2
0 0 | 1 0 0
1
2
1 1 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1

 ∼


−1
2
0 0 | 1 0 0
0 1 1 | 1 1 0
0 0 1 | 0 0 1

 ∼


1 0 0 | −2 0 0
0 1 0 | 1 1 −1
0 0 1 | 0 0 1


a proto
(idR3)α,β =


−2 0 0
1 1 −1
0 0 1


Dále
(x)β =


−1
2
0 0
1
2
1 1
0 0 1




−1
3
0

 =


1
2
5
2
0


(y)α =


−2 0 0
1 1 −1
0 0 1




2
4
7

 =


−4
−1
7


tedy (x)β = (1
2
, 5
2
, 0)T
, (y)α = (−4, −1, 7)T
.
Příklad: Nechť báze α, β prostoru R3
jsou stejné jako v předchozím příkladě.
(a) Nechť f : R3
→ R3
je endomorfismus, jehož matice v bázi α je
(f)α,α =


1 0 1
1 1 0
0 1 1


Určete jeho matici v bázi β. Určete obrazy vektorů x, y, z v endomorfismu f, jestiže
x = (1, 2, 3), (y)α = (1, 2, 3), (z)β = (1, 2, 3).
(b) Určete matici endomorfismu f ve standardní bázi prostoru R3
a najděte jeho předpis.
Řešení: (a) Protože (f)β,β = (idR3 )β,α(f)α,α(idR3 )α,β,
(f)β,β =


−1
2
0 0
1
2
1 1
0 0 1




1 0 1
1 1 0
0 1 1




−2 0 0
1 1 −1
0 0 1

 =


1 0 −1
2
−1 2 −1
2
1 1 0


Abychom mohli určit f(x), potřebujeme najít souřadnice vektoru x v bázi α (nebo β).
Nechť
(1, 2, 3) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (a + b + c, b + c, c)
48
Porovnáním dostáváme a = −1, b = −1, c = 3. Potom
(f(x))α =


1 0 1
1 1 0
0 1 1




−1
−1
3

 =


2
−2
2


tedy
f(x) = 2(1, 0, 0) − 2(1, 1, 0) + 2(1, 1, 1) = (2, 0, 2)
Analogicky
(f(y))α =


1 0 1
1 1 0
0 1 1




1
2
3

 =


4
3
5


(f(z))β =


1 0 −1
2
−1 2 −1
2
1 1 0




1
2
3

 =


−1
2
3
2
3


f(y) = 4(1, 0, 0) + 3(1, 1, 0) + 5(1, 1, 1) = (12, 8, 5)
f(z) = −
1
2
(−1, 1, 0) +
3
2
(1, 1, 0) + 3(0, 0, 1) = (2, 1, 3)
(b) Určíme matice přechodu (idR3)ε3,α, (idR3)α,ε3 . Přímo dostáváme
(idR3 )ε3,α =


1 1 1
0 1 1
0 0 1


Matici (idR3 )α,ε3 = ((idR3)ε3,α)−1
určíme pomocí EŘO:


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | 0 1 0
0 0 1 | 0 0 1

 ∼


1 1 0 | 1 0 −1
0 1 0 | 0 1 −1
0 0 1 | 0 0 1

 ∼


1 0 0 | 1 −1 0
0 1 0 | 0 1 −1
0 0 1 | 0 0 1


tj.
(idR3)α,ε3 =


1 −1 0
0 1 −1
0 0 1


Nyní vypočteme (f)ε3,ε3 = (idR3)ε3,α(f)α,α(idR3)α,ε3 .
(f)ε3,ε3 =


1 1 1
0 1 1
0 0 1




1 0 1
1 1 0
0 1 1




1 −1 0
0 1 −1
0 0 1

 =


2 0 0
1 1 −1
0 1 0


Protože 

2 0 0
1 1 −1
0 1 0




x1
x2
x3

 =


2x1
x1 + x2 − x3
x2


49
platí
f(x) = (2x1, x1 + x2 − x3, x2)
Příklad: Nechť α = ((1, 0, −1, 2, 3), (−2, 1, 4, −3, 1)), β = ((0, 1, 2, 1, 7), (−1, 2, 5, 0, 11))
jsou dvě báze podprostoru P vektorového prostoru R5
. Určete matici přechodu
(a) od báze α k bázi β,
(b) od báze β k bázi α.
Řešení: Označme α = (u1, u2), β = (v1, v2).
(a) Vyjádříme vektory u1, u2 jako lineární kombinaci vektorů v1, v2:
(1, 0, −1, 2, 3) = a(0, 1, 2, 1, 7) + b(−1, 2, 5, 0, 11) = (−b, a + 2b, 2a + 5b, a, 7a + 11b)
(−2, 1, 4, −3, 1) = c(0, 1, 2, 1, 7) + d(−1, 2, 5, 0, 11) = (−d, c + 2d, 2c + 5d, c, 7c + 11d)
Porovnáním dostáváme a = 2, b = −1, c = −3, d = 2, tj.
(idP )β,α =
2 −3
−1 2
(b) Matici (idP )α,β určíme jako inverzní matici k (idP )β,α:
(idP )α,β =
2 −3
−1 2
−1
=
2 3
1 2
Příklad: V R3
je dána báze α = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)). Zkonstruujte bázi β tak,
aby matice
M =


1 1 2
1 0 0
1 2 1


byla maticí přechodu
(a) od báze β k bázi α,
(b) od báze α k bázi β.
Řešení: Označme A a B matice, jejichž sloupce tvoří vektory bazí α a β.
(a) Nechť M je maticí přechodu od báze β k bázi α. Pak podle (5) platí B = AM, tedy
B =


1 1 0
1 0 1
0 1 1




1 1 2
1 0 0
1 2 1

 =


2 1 2
2 3 3
2 2 1


Takže β = ((2, 2, 2), (1, 3, 2), (2, 3, 1)).
50
(b) Nechť nyní je M maticí přechodu od báze α k bázi β. Pak podle (5) platí BM = A,
tj. B = AM−1
. M−1
určíme pomocí EŘO a
B =
1
3


1 1 0
1 0 1
0 1 1




0 1 0
−1 −1 2
2 −1 −1

 =
1
3


−1 2 2
2 2 −1
1 −2 1


Tedy β = (1
3
(−1, 2, 1), 1
3
(2, 2, −2), 1
3
(2, −1, 1)).
Cvičení:
1. Matice lineárního zobrazení f : R3
→ R3
v bázi α = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)) je
(f)α,α =


−1 0 −1
0 −1 1
−1 1 0


Najděte předpis zobrazení f. Zjistěte, zda je f isomorfismus.
2. Nechť f : R1[x] → R1[x] je lineární zobrazení definované předpisem f(a + bx) =
a + b(x + 1) a γ = (6 + 3x, 10 + 2x), δ = (2, 3 + 2x) jsou báze prostoru R1[x]. Najděte
matici zobrazení f
(a) v bázi γ,
(b) v bázi δ.
3. Určete matici endomorfismu A : R3[x] → R3[x], A(f) = 3f + 4f + f, v bázi
(a) α = (1, x, x2
, x3
),
(b) β = (1 + x, 1 − x, x2
+ x3
, x2
− x3
).
Zjistěte, zda je A isomorfismus.
4. Vektor x ∈ R3
má v bázi α = (u1, u2, u3) souřadnice (x)α = (1, −3, 2)T
. Určete jeho
souřadnice v bázi β = (v1, v2, v3), jestliže víme, že
(a) u1 = 3v1 + 2v2 + v3, u2 = v2 − 2v3, u3 = v1 − v3,
(b) v1 = u1 + u2 + u3, v2 = u2 + u3, v3 = u3.
5. Lineární zobrazení A : R3[x] → R3[x] je ve standardní bázi ε prostoru R3[x] dáno
maticí
(A)ε,ε =




1 1 1 1
−1 −1 −1 −1
1 −1 1 −1
−1 1 −1 1




Najděte všechny polynomy f ∈ R3[x] s vlastností A(f) = 1 − x.
6. Určete matici lineárního zobrazení f : Mat2(R) → Mat2(R), f(X) = AX v bázi β,
jestliže β =
1 0
0 0
,
1 1
0 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
, A =
1 2
1 0
.
51
7. Najděte matici lineárního zobrazení ϕ : R3
→ R4
daného pomocí nějaké matice A
typu 4×3 předpisem ϕ((x, y, z)T
) = A(x, y, z)T
vzhledem k bázi γ = ((0, 0, 1), (0, 1, 0),
(4, 5, 3)) v R3
a δ = ((2, 0, 2, 5), (1, 0, 0, 0), (2, −4, −6, 7), (0, 1, 0, 0)) v R4
.
8. Uvažujme zobrazení f : R2[x] → R2[x], f(ax2
+bx+c) = (a−b)x2
+(a−c)x+(b−c).
(a) Dokažte, že f je lineární zobrazení.
(b) Najděte všechny polynomy, které leží v jeho jádře.
(c) Napište matici zobrazení f ve standardní bázi ε = (1, x, x2
).
9. Najděte předpis lineárního zobrazení f : R2
→ R3
, které má v bazích α = ((1, −1),
(1, 1)), β = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) vektorových prostorů R2
a R3
matici
(f)β,α =


1 0
−1 2
3 −1


10. Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány báze α = (1, x, x2
, x3
), β = (1+x, 1−x, x2
+
x3
, x2
− x3
). Najděte matici přechodu
(a) od báze α k bázi β,
(b) od báze β k bázi α.
11. Nechť α a β jsou báze v R3
. Najděte matici přechodu od báze α k bázi β. Pomocí
této matice určete souřadnice vektoru w = (−5, 8, −5) v bázi β, jestliže
(a) α = ((−3, 0, −3), (−3, 2, −1), (1, 6, −1)), β = ((−6, −6, 0), (−2, −6, 4), (−2, −3, 7)),
(b) α = ((2, 1, 1), (2, −1, 1), (1, 2, 1)), β = ((3, 1, −5), (1, 1, −3), (−1, 0, 2)).
12. Nechť f : R2
→ R3
je lineární zobrazení v bazích α = ((1, 3), (−2, 4)) a β =
((1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)) definované předpisem
f
x1
x2
=


x1 + 2x2
−x1
0


Najděte matici přechodu od báze α k bázi β.
13. Najděte lineární zobrazení f : R3
→ R2
, které má v bazích α, β matici
(f)β,α =
1 0 2
−1 1 0
jestliže
(a) α, β jsou standardní báze prostorů R3
a R2
,
(b) α = ((1, 1, 0), (1, −2, 0), (0, 0, 1), β = ((2, −1), (0, 1)).
14. Matice lineárního zobrazení f : R3
→ R2
v bazích α = ((1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)), β =
((−1, 2), (1, 1)) je
(f)β,α =
1 2 3
4 5 6
Určete obrazy vektorů x = (1, −2, 3), y = (−1, 0, 4) v endomorfismu f.
52
15. Ve standardních bazích na R3
a R5
je dáno zobrazení f maticí A a zobrazení g maticí
B.
A =






1 2 −1
1 0 1
3 2 0
−1 1 0
−2 0 1






, B =


−2 1 0 1 2
1 3 0 7 1
1 0 0 0 1


Odkud kam tato zobrazení jdou? Najděte matice jejich kompozic. Zjistěte, zda jde
o isomorfismy.
53
10. AFINNÍ GEOMETRIE
Afinní podprostor prostoru Kn
je množina M = P + [u1, ..., uk], kde P ∈ Kn
, ui ∈ Kn
.
Každý prvek x ∈ M můžeme jednoznačne napsat ve tvaru
x = P +
k
i=1
tiui
kde t1, ...tk ∈ K jsou parametry. Toto vyjádření se nazývá parametrické vyjádření nebo
parametrická rovnice podprostoru M.
Afinní podprostor lze popsat soustavou lineárních rovnic
Ax = b
kde A ∈ Matm,n(K), b ∈ Km
. Množina řešení této soustavy {x; Ax = b} je buď ∅ nebo
afinní podprostor. Toto vyjáření se nazývá obecná rovnice afinního podprostoru.
Zaměřením afinního podprostoru M ⊆ K nazýváme vektorový podprostor
Dir M = [u1, ..., uk]
Dimenzí afinního podprostoru M ⊆ Kn
, ozn. dim M, nazýváme dimenzi jeho zaměření,
tedy
dim M = dim Dir M
Nechť S, T jsou dva podprostory afinního prostoru V. Řekneme, že podprostory S a T
jsou rovnoběžné, jestliže buďto Dir S ⊆ Dir T nebo Dir T ⊆ Dir S (rovnoběžné podprostory
tedy mohou i splývat). Dále řekneme, že tyto proprostory jsou různoběžné, mají-li
alespoň jeden společný bod a přitom nejsou rovnoběžné. Konečně řekneme, že tyto podprostory
jsou mimoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod.
Příklad: Určete parametrické rovnice podprostoru M zadaného rovnicemi
M : x1 + x2 − x3 + x4 = 9
x1 − x2 + x3 − x4 = −3
Řešení: Soustavu přepíšeme do matice, kterou nejprve pomocí EŘO upravíme na schodovitý
tvar:
1 −1 −1 1 | 9
1 −1 1 −1 | −3
∼
1 0 0 0 | 3
0 1 −1 1 | 6
54
Z upravené matice získáme parametrický popis následujícím způsobem: Vedoucí členy
řádků se nacházejí v prvním a druhém sloupci, proto si neznámé x3 a x4 zvolíme za parametry
a neznámé x1 a x2 pomocí nich vyjádříme. Zvolíme-li x4 = t, x3 = s, potom
x2 = 6 − s + t, x1 = 3. Parametrická rovnice pak má tvar
M : x1 = 3
x2 = 6 − s + t
x3 = s
x4 = t
Příklad: Najděte obecné rovnice afinního podprostoru M vektorového prostoru R4
,
kde M : (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 2, 2) + t1(1, −1, 0, 0) + t2(1, 2, 0, −1).
Řešení: Parametrické rovnice x = P + αt přepíšeme do tvaru Ex = αt + P, kde
P = (1, 0, 2, 2) je bod a α = ((1, −1, 0, 0), (1, 2, 0, −1)) vektory, které tvoří afinní podprostor
M, a x = (x1, x2, x3, x4)T
je vektor neznámých a t = (t1, t2) vektor parametrů. Soustavu
rovnic Ex = αt + P přepíseme do matice tvaru (E|α|P):




1 0 0 0 | 1 1 | 1
0 1 0 0 | −1 2 | 0
0 0 1 0 | 0 0 | 2
0 0 0 1 | 0 −1 | 2




Matici budeme upravovat pomocí EŘO tak, aby prostřední blok ve výsledné matici byl
ve schodovitém tvaru. 



1 0 0 0 | 1 1 | 1
1 1 0 0 | 0 3 | 1
0 0 1 0 | 0 0 | 2
1 1 0 3 | 0 0 | 7




Obecné rovnice podprostoru M určují koeficienty levého a pravého bloku, a to v řádcích,
ve kterých jsou v prostředním bloku samé nuly. Tedy
x3 = 2
x1 + x2 + 3x4 = 7
Dosazením se přesvědčíme, že bod P této soustavě skutečně vyhovuje.
Příklad: V prostoru R4
zjistěte vzájemnou polohu podprostorů
(a) π : 3x1 + x2 + 2x3 = 5, 5x1 − x2 + 2x4 = 3,
ρ : x1 + 5x2 − 4x3 = −3, 2x2 − x3 + x4 = −2,
(b) ρ : x1 + 2x2 − x3 = 1, x1 + x3 + 2x4 = 3,
p : (3, −1, 0, 0) + t(−3, 2, 1, 1),
55
(c) ρ : (3, −1, 0, 0) + s(−1, 1, 1, 0) + t(2, 1, 0, 1),
p : (3, 1, 0, 0) + r(−1, 2, 1, 1).
Řešení: (a) Hledáme společný bod podprostorů π a ρ, tj. bod R = (x1, x2, x3, x4), jehož
souřadnice splňují rovnice podprostoru π i ρ. Řešíme tedy systém rovnic
3x1 + x2 + 2x3 = 5
5x1 − x2 + 2x4 = 3
x1 + 5x2 − 4x3 = −3
2x2 − x3 + x4 = −2
Pomocí EŘO upravíme jeho rozšířenou matici na schodovitý tvar




3 1 2 0 | 5
5 −1 0 2 | 3
1 5 −4 0 | −3
0 2 −1 1 | −2



 ∼ · · · ∼




1 5 −4 0 | −3
0 1 −1 0 | −1
0 0 3 −1 | 4
0 0 0 1 | −1




ze kterého dostáváme x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = −1, což je jediné řešení daného systému.
Podprostory π, ρ jsou tedy různoběžné a jejich průsečíkem je bod R = (1, 0, 1, −1).
(b) Bod Q leží na přímce p, pokud Q = (3 − 3t, −1 + 2t, t, t), t ∈ R. Aby bod Q ležel
i v rovině ρ, musí jeho souřadnice splňovat rovnici roviny ρ, tedy musí platit
3 − 3t + 2(−1 + 2t) + −t = 1
3 − 3t + t + 2t = 3
Ekvivalentní úpravou dostaneme rovnici
0 · t = 0
která je splněna pro každé t ∈ R. To znamená, že každý bod přímky p je zároveň bodem
roviny ρ, tedy přímka p leží v rovině ρ.
(c) Bod Q leží v rovině ρ, pokud Q = (3 − s + 2t, −1 + s + t, s, t), a leží na přímce p,
pokud Q = (3 − r, 1 + 2r, r, r). Řešíme tedy nehomogenní soustavu rovnic
−s + 2t + r = 3 − 3
s + t + 2r = 1 + 1
s − r = 0
t − r = 0
Její rozšířenou matici upravíme pomocí EŘO na schodovitý tvar:




−1 2 1 | 0
1 1 −2 | 2
1 0 −1 | 0
0 1 −1 | 0



 ∼ · · · ∼




1 2 1 | 0
0 3 −1 | 2
0 0 1 | −2
0 0 0 | 1




56
Soustava nemá řešení, tzn. že ρ ∩ p = ∅. Vyřešíme-li tuto soustavu jako homogenní, zjistíme,
že vektory určující zaměření roviny ρ a přímky p jsou lineárně nezávislé, tedy rovina
a přímka jsou mimoběžné.
Příklad: V prostoru R3
najděte příčku mimoběžek p : (1, 2, −1) + s(1, −1, 1), q :
(0, 9, −2) + t(1, 0, 0) rovnoběžnou s vektorem (1, 2, 0).
Řešení: Protože vektory (1, −1, 1), (1, 0, 0), (1, 2, 0) jsou lineárně nezávislé, taková přímka
existuje. Stačí nalézt průsečík přímky q s rovinou ρ : (1, 2, −1) + s(1, −1, 1) + r(1, 2, 0).
Abychom tento průsečík nalezli, musíne řešit rovnici
(0, 9, −2) + t(1, 0, 0) = (1, 2, −1) + s(1, −1, 1) + r(1, 2, 0)
přičemž nám stačí znát hodnotu parametru t. Rozepsáním do složek dostaneme nehomogenní
soustavu tří rovnic o třech neznámých
t − s − r = 1
s − 2r = −7
−s = 1
Odtud spočítáme t = 3 (s = −1, r = 3) a bod (3, 9, −2) je průsečíkem přímky q s rovinou
ρ. Hledaná příčka je pak (3, 9, −2) + r(1, 2, 0).
Příklad: V prostoru R3
najděte příčku mimoběžek p : P + su = (3, 3, 3) + s(2, 2, 1)
a q : Q + tv = (0, 5, −1) + t(1, 1, 1), která prochází bodem A = (4, 5, 3).
Řešení: Snadno zjistíme, že jak vektory (1, 2, 0), (2, 2, 1), (1, 1, 1) (kde (1, 2, 0) = A−P),
tak vektory (4, 0, 4), (2, 2, 1), (1, 1, 1) (kde (4, 0, 4) = A − Q) jsou lineárně nezávislé, takže
příčka existuje. Potřebujeme najít průsečík přímky q s rovinou ρ : (4, 5, 3) + r(1, 2, 0) +
s(2, 2, 1). Pro hledaný průsečík tak dostáváme soustavu
t − r − 2s = 4
t − 2r − 2s = 0
t − s = 4
odkud t = 0. Průsečík přímky q s rovinou ρ je R = (0, 5, −1) a hledaná příčka je
(0, 5, −1) + a(4, 0, 4) = (0, 5, −1) + a(1, 0, 1).
Příklad: V prostoru R4
uvažujme roviny ρ : x1 + x2 = 3, x3 + x4 = 4 a σ : x1 + x3 =
1, x2 − x4 = 3 a bod M = (2, −2, 3, −3). Najděte přímku q, která prochází bodem M,
protíná rovinu σ a je rovnoběžná s rovinou ρ.
Řešení: Nechť τ je rovina procházející bodem M a je rovnoběžná s rovinou ρ. Pak souřadnice
bodu M splňují její rovnici, kterou získáme dosazením souřadnic bodu M do rovnice
57
roviny ρ a dopočítáním příslušných koeficientů.
x1 + x2 = c
x3 + x4 = d
dosazením souřadnic bodu M dostáváme
2 − 2 = 0
3 − 3 = 0
tedy c = d = 0 a
τ : x1 + x2 = 0
x3 + x4 = 0
Bod P tvořící druhý bod přímky q je průsečíkem rovin σ a τ. Řešíme systém rovnic
x1 + x3 = 1
x2 − x4 = 3
x1 + x2 = 0
x3 + x4 = 0
jehož matici převedeme pomocí EŘO na schodovitý tvar




1 0 1 0 | 1
0 1 0 −1 | 3
1 1 0 0 | 0
0 0 1 1 | 0



 ∼




1 0 1 0 | 1
0 1 0 −1 | 3
0 0 −1 1 | −4
0 0 0 2 | −4




ze kterého dostáváme x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = −2. Tedy P = (−1, 1, 2, −2) a přímka
q má rovnici
q : M + t(P − M) = (2, −2, 3, −3) + t(−3, 3, −1, 1)
Příklad: Najděte průnik afinních podprostorů Q1 : (3, 0, −3, 3)+a(1, 0, −1, 0)+b(0, 2, 0, 1),
Q2 : (4, −2, −4, 2) + s(0, 0, 1, −1) + t(1, 2, 0, 0).
Řešení: Nechť X ∈ Q1 ∩ Q2. Pak platí
X = A + au1 + bu2 = B + sv1 + tv2
tedy
au1 + bu2 − sv1 − tv2 = B − A
58
Soustavu přepíšeme do matice a upravíme na schodovitý tvar




1 0 0 −1 | 1
0 2 0 −2 | −2
−1 0 −1 0 | −1
0 1 1 0 | −1



 ∼




1 0 0 −1 | 1
0 1 0 −1 | −1
0 0 1 1 | 0
0 0 0 0 | 0




odkud a = p, b = p, s = p, t = −p. Tedy
X = B − pv1 + pv2 = B + p(v2 − v1) =




4
−2
−4
2



 + p




1
2
−1
1



.
Podobně pomocí vektorů u1, u2 dostaneme
X = A + pu1 + pu2 = A + p(u1 + u2) =




3
0
−3
3



 + p




1
2
−1
1



.
Cvičení:
1. Napište paramerické rovnice roviny, jestliže jsou zadány její
(a) tři body A = (−1, 1, 0), B = (2, 1, 6), C = (3, 0, 4),
(b) dva body = (1, 2, −3), B = (0, 2, 1) a směrový vektor u = (2, 1, −1),
(c) bod A = (3, 1, −2) a dva lineárně nezávislé směrové vektory u = (−1, 2, 1), v =
(3, −4, 2).
2. Najděte obecnou rovnici roviny určené
(a) třemi body A = (1, −1, 1), B = (2, 1, −3), C = (1, 4, 2),
(b) dvěma body A = (4, 1, 2), B = (2, −2, 3) a směrovým vektorem u = (3, −2, 1),
(c) bodem A = (3, 3, 3) a směrovými vektory u = (1, −1, 1), v = (−1, 1, 1).
3. Zjistěte, které z bodů A = (1, 2, −1), B = (1, 2, 2), C = (3, 1, 2), D = (−4, 2, 0) leží
v rovině
(a) (x, y, z) = (6, 2, −2) + t(5, 0, −1) + s(1, 1, 0),
(b) x = 1 + 2t, x = 3 − 2t + s, z = 4 − 2t + 2s,
(c) x + 17y + 5z − 30 = 0.
4. Najděte parametrické vyjádření přímky v R3
zadané p :
2x − y + z − 9 = 0
x + y − z = 0
. Jak
vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)?
59
5. Najděte parametrické vyjádření podprostoru v R4
zadaného obecnými rovnicemi.
(a) x1 + x2 − 2x4 = 6, x1 + 2x2 + x3 − x4 = 11, x1 + x2 − x4 = 8,
(b) x1 + 2x2 − x3 = 4, x2 + x3 + x4 = 5, 2x1 + 4x2 − x3 = 11.
6. Určete vzájemnou polohu přímek v prostoru R2
, resp. R3
; v případě, že jsou různoběžné,
najděte jejich průsečík.
(a) p : 3x + 4y − 20 = 0, q : x = 4 − 8t, y = 2 + 6t,
(b) p : (x, y) = (2, −9) + t(1, −1), q : (x, y) = (1, −1) + t(5, 2),
(c) p : x = 3 − 6t, y = −1 + 4t, z = t, q : x = −2 + 3t, y = 4, z = 3 − t,
(d) p :
x + z − 1 = 0
3x + y − z + 13 = 0
, q :
x − 2y + 3 = 0
y + 2z − 8 = 0
,
7. Určete vzájemnou polohu rovin v R3
; v případě, že jsou různoběžné, napište paramerické
rovnice jejich průsečíku.
(a) ρ : x + y + 2z − 3 = 0, σ : x − y + z − 1 = 0,
(b) ρ : (x, y, z) = (−1, 3, −2) + t(0, 1, 1) + s(1, −1, −2), σ : x − y + z + 6 = 0.
8. V prostoru R3
, resp R4
, zjistěte vzájemnou polohu přímky a roviny; v přídadě různoběžnosti
určete jejich průsečík.
(a) p : x = 2 + 4t, y = −1 + t, z = 2 − t, σ : 4x + y − z + 13 = 0,
(b) p :
2x − y + 3z + 4 = 0
x − 2y − 2z + 2 = 0
, σ : 4x − 5y − z + 8 = 0,
(c) p : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 0,
ρ : (0, 3, 0, 1) + s(1, 0, −1, 0) + t(1, 2, −2, 0),
(d) p : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 3,
ρ : (1, −1, 1, 2) + s(−1, 1, 0, 0) + t(0, 0, −2, 2),
(e) p : (4, −2, 3, −1) + t(1, −1, 1, −1), ρ : x1 + x3 + x4 = 4, x1 + x2 + x3 = 3.
9. V prostoru R4
zjistěte vzájemnou polohu
(a) roviny (1, 0, 2, 2) + r(1, −1, 0, 0) + s(1, 2, 0, −1)
a přímky (0, 0, −6, 5) + t(1, 2, −3, 0),
(b) nadroviny (2, 1, 1, 1) + r(1, 1, 1, 1) + s(1, 1, 1, −1) + t(1, 1, −1, −1)
a přímky (3, 2, 0, −2) + u(1, 1, −1, 1),
(c) rovin (2, 3, 1, 3) + s(−1, 1, 0, 2) + (0, 2, −3, 2),
(−1, 0, 2, 1) + u(2, 4, −9, 2) + v(1, 1, 1, 1)
60
10. V prostoru R4
(a) určete parametry a, b tak, aby přímka (1, 2, 1, 2) + r(1, a, 0, 2) ležela v rovině
(1, 1, 2, b) + s(1, 2, 1, 2) + t(1, 1, 2, 2),
(b) v závislosti na parametru a určete vzájemnou polohu rovin (3, −1, −1, 6) +
s(−2, 1, −2, 1) + t(4, −1, −1, 0), (4, 1, 3, a) + u(0, −2, 0, 1) + v(2, 2, −1, −1).
11. V prostoru R5
určete vzájemnou polohu podprostorů:
(a) (1, 1, 1, 1, 1) + r(2, −8, 3, −5, −9),
(1, 1, 2, −1, 3) + s(1, −1, 0, 2, 3) + t(0, 2, −1, 3, 5),
(b) (−2, 10, −1, 2, −1) + r(2, −8, 3, −5, 1),
(1, 1, 2, −1, 3) + s(1, −1, 0, 2, 3) + t(0, 2, −1, 3, 5).
12. V prostoru R3
najděte příčku mimoběžek
(a) (x, y, z) = (1, −1, 2) + t(1, −1, 3), (x, y, z) = (3, −1, 1) + t(2, 1, 4), která prochází
bodem M = (3, −2, 13).
(b) x−2
1
= y−1
3
= z−1
−2
, (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(1, −1, 1) rovnoběžnou s přímkou
x − y + z + 11 = 0, x − 3y − z − 6 = 0.
(c) x − 2 = y+3
2
= −z−1
2
, x − 3 = y = z+58
3
, která je rovnoběžná s průsečnicí rovin
2x − z − 15 = 0, x − y + 324 = 0.
(d) (1, 3, 4)+t(1, 0, 2) a 2x−z+2 = 0, y−3 = 0, která prochází bodem (13, 17, 29).
13. V prostoru R3
napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A =
(3, −2, −4) rovnoběžně s rovinou ρ : 3x − 2y − 3z − 7 = 0 a protíná přímku p :
2x + 3y + 8 = 0, y + z + 3 = 0.
14. V prostoru R3
určete přímku q, která prochází bodem M = (3, 2, 1), protíná přímku
p : x1 − x2 = 1, x1 + x3 = 6 a je rovnoběžná s rovinou ρ : 2x1 + x2 + x3 = 5.
15. V prostoru R4
určete přímku q, která
(a) prochází bodem M = (8, 9, −11, −15) a protíná přímky p : (1, 0, −2, 1) +
s(1, 2, −1, −5), r : (0, 1, 1, −1) + t(2, 3, −2, −4),
(b) prochází bodem M = (1, 2, −1, −2), protíná rovinu σ : x1 + x2 = 1, x3 − x4 = 3
a je rovnoběžná s rovinou ρ : x1 + x3 = −5, x2 + x4 = 3,
(c) prochází bodem M = (1, 0, 3, 1), protíná přímku p : (7, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0, 1)
a je rovnoběžná s nadrovinou ρ : x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
16. V prostoru R5
určete přímku q, která prochází bodem M = (5, 3, 4, 6, 2) a protíná
roviny ρ : (3, 1, 0, 4, 0) + a(0, 1, 0, 0, 0) + b(0, 0, 1, 0, 1) a π : (0, 1, −2, 1, 0) +
c(1, 0, 0, 0, 0) + d(0, 0, 0, 1, 0).
17. Najděte příčku mimoběžek p : (1, 5, 2, −1) + t(1, 2, 1, 0), q : (0, −1, 1, 1) + t(3, 1, 0, 1)
procházející bodem M = (0, 1, −5, −3).
61
18. Najděte parametrickou a implicitní rovnici nadroviny σ v R4
určenou body B1 =
(−1, 0, −1, 0), B2 = (0, 2, 0, 1), B3 = (0, −2, 2, 0), B4 = (1, 0, 0, −1). Určete její zamě-
ření.
19. V R4
najděte obecné rovnice afinního podprostoru
(a) M : (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0, 0) + s(1, −1, 1, 0) + t(3, −2, 0, 1),
(b) M : (x1, x2, x3, x4) = (0, 3, 1, 3) + s(1, 1, −2, −2) + t(1, 5, −4, 0).
20. Najděte průnik afinních podprostorů
(a) P1 : (2, 3, 1, 3) + a(−1, 1, 0, 2) + b(0, 2, −3, 2),
P2 : (−1, 0, 2, 1) + s(2, 4, −9, 2) + t(1, 1, 1, 1),
(b) P1 : (−9, 2, 1, −5) + a(5, −1, 0, 2) + b(3, 1, 2, 0),
P2 : (1, 2, 3, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0, 1, 0, 0) + t(0, 0, 1, 0).
21. V R2
je dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A , B , C středy jeho stran BC, AC,
AB. Dokažte, že platí
(A − A) + (B − B) + (C − C) = 0.
62
ŘEŠENÍ KE CVIČENÍM:
1. OPAKOVÁNÍ, POČÍTÁNÍ S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY
1. (a) −486 − 702i; (b) −28 + 24i; (c) − 4
17
+ 18
17
i. 2. (a) −59 + 17i; (b) 8 + 5i; (c) 5
2
+ 1
2
i;
(d) − 1
25
+ 7
25
i; (e) −15
2
+ 5i; (f) −1 − i. 3. (a) x = 0, y = 0; (b) x = − 1
29
, y = 66
29
. 4. (a)
1+i; (b) 8−3
√
2
73
+ 3+8
√
2
73
i; (c) 69
2210
+ 123
2210
i. 5. (a) 2(cos 2
3
π +i sin 2
3
π); (b) 2(cos 3
4
π +i sin 3
4
π);
(c) 2
√
3(cos 11
6
π + i sin 11
6
π). 6. (a) x0 = 2, x1 = −1 + i
√
3, x2 = −1 − i
√
3; (b) x0 =
4√
8
2
(1 + i), x1 =
4√
8
2
(−1 + i), x2 = −
4√
8
2
(1 + i), x3 =
4√
8
2
(1 − i); (c) x0 = 1
2
(1 + i
√
3), x1 =
−1, x2 = 1
2
(1−i
√
3); (d) x0 = 1, x1 = cos 2
5
π +i sin 2
5
π, x2 = cos 4
5
π +i sin 4
5
π, x3 = cos 6
5
π +
i sin 6
5
π, x4 = cos 8
5
π + i sin 8
5
π; (e) x0 = 3 3
7
(1 + i
√
3), x1 = −2 3 3
7
, x2 = 3 3
7
(1 − i
√
3).
2. POLE A VEKTOROVÉ PROSTORY
2.1 zbytkové třídy.
1. p = 3 : x = 2, p = 5 : x = 3, p = 7 : x = 4. 2. p = 11 : x = 3, p = 13 : x = 11.
3. p = 5 : x = 3, p = 7 : x = 1, p = 11 : x = 2. 4. (a) nemá řešení; b) x = 1, 3, 5, 7.
5. (a) x = 3; b) x = 6. 6. (a) např. 2x = 0, 2x = 2, 2x = 4, 3x = 0, 3x = 3; (b)
5x = c, c = 0, 1, 2, 3, 4, 5; (c) např. 2x = 1, 2x = 3, 3x = 4, 3x = 5, 4x = 3. 7. (a) x = 1, 2, 4;
(b) x = 3, 5, 6. 8. (a) x = 4, 6; (b) x = 2, 7. 9. (a) x = 2, 4; (b) nemá řešení; (c) x = 4, 5.
2.2 vektorové prostory
1. (a) ne, není splněn axiom (8); (b) ne, není splněn axiom (5) a (6); (c) ne, není splněn
axiom (4); (d) ne, není splněn axiom (7) a (8); (e) ano; (f) ano; (g) ano; (h) ne, není splněn
axiom (3) a (4); (i) ano. 2. ne, o1 = o1 + o2 = o2. 3. ne, (−u)1 = (−u)1 + [u + (−u)2] =
[(−u)1 + u] + (−u)2 = (−u)2.
3. MATICE A OPERACE S MATICEMI
1. (α) zleva B, F, G, zprava C, D, H; (β) (a)




1 0 −2 4
−3 0 6 −12
0 0 0 0
7 0 −14 28



; (b) (29); (c)
12 −20
26 −92
;
(d)


−2 −6 0
2 1 1
2 −9 −14

; (e) není definováno; (f)


−4 −2
5 59
−7 −13

; (g) (113). 2. (a) není definováno;
(b)
7 2 4
3 5 7
; (c)


−5 0 −1
4 −1 1
−1 −1 1

; (d) viz (c); (e)


0 0 0
0 0 0
0 0 0

; (f)


3 45 9
11 −11 17
7 17 13

;
63
(g) viz (f); (h) 5; (i) −25; (j) 168; (k) není definována; (l) 61; (m)


15 3 12
14 0 7
12 12 13

.
3. (a)


−1 23 −10
37 −13 8
29 23 41

; (b) A11B11 nelze vynásobit; (c)
−3 −15 −11
21 −15 44
. 6. (a)




2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
5 6 7 8



; (b)




1 1 1 1
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64



; (c)




−1 −1 1 1
−1 −1 −1 1
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1



. 7. pro n = 4 (a) A =




1 0 0 0
0 a 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 v B vynásobí a-krát druhý sloupec, v C vynásobí a-krát druhý řádek; (b)
A =




0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1



 v B přehodí první a třetí sloupec, v C přehodí první a třetí řádek;
(c) A =




1 0 a 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 v B přičte k prvnímu sloupci a-násobek třetího sloupce, v C přičte
k prvnímu řádku a-násobek třetího řádku. 8. A =
3 0
0 3
. 9. A =
3 −2
−1 1
. 10. (a)
jedna: A =


1 1 0
1 −1 0
0 0 0

; (b) žádná. 11. (a) ±
1 1
1 1
; (b) 4 :
±
√
5 0
0 ±3
; (c) ne, např.
−1 0
0 1
. 12. (a) ano, např.
1 0
0 0
; (b) ano, např.
0 1
0 0
. 15. Ak
= (aij
k
), aij
k
= počet
cest z i do j délky k.
4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
1. v R: nemá řešení; v Z5 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1. 2. v R : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 5
3
, x4 = −4
3
;
v Z5 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 2; v Z7 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 1. 3.
x1 = 3t−3
2
, x2 = t, x3 = 1
3
, x4 = −2
3
, x5 = 0, t ∈ R; homogenní soustava: x1 = 3s − 39t, x2 =
2s, x3 = 2t, x4 = −4t, x5 = 2t, s, t ∈ R. 4. (a) x = 3 + 2i, y = 1 − i, z = 1 + i; (b)
x = 1 − 2i, y = i; (c) x = 3 − i, y = 2i. 5. x1 = −3r − 4s − 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 =
s, x5 = t, x6 = 1
3
, r, s, t, ∈ R. 6. x1 = −s − t, x2 = s, x3 = −t, x4 = 0, x5 = t, s, t ∈ R.
7. nemá řešení. 8. x1 = a − 1
3
c, x2 = a − 1
2
b, x3 = −a + 1
2
b + 1
3
c. 9. x1 = −1, x2 =
0, x3 = 1, x4 = 2. 10. nemá řešení; homogenní soustava: x1 = 3t, x2 = 23t, x3 = 45.
11. (a) (i) a = −1 : x = a+b
(1+a)2 , y = b
1+a
+ b−1
(1+a)2 , z = b−1
1+a
; (ii) a = −1, b = 1 : x =
64
t − 1, y = t, z = −1, t ∈ R; (iii) a = −1, b = 1; (b) (i) a = 0 : x = −3a2−ab−4a+2b+4
a
, y =
−2b+3a+4
a
, z = b+2
a
; (ii) a = 0, b = −2 : x = −2 + 2p, y = −3 − 2p, z = p, p ∈ R; (iii)
a = 0, b = −2. 12. (i) nikdy; (ii) b = 1, a lib.: x = 2 + 2ap, y = 4 + 2ap, z = p, p ∈ Z5;
(iii) b = 1, a lib. 13. [1, 0, 1], [2, 4, 2], [3, 3, 3], [4, 2, 4], [0, 1, 0]. 14. právě jedno řešení pro
a = 4 : x = 4+a2b−2ab
a3+1
, y = 2a2b−4a+b
a3+1
, z = 4a2−ab+2b
a3+1
; více řešení pro a = 4, b = 2 :
[4, 1, 0], [0, 2, 1], [1, 3, 2], [2, 4, 3], [3, 0, 4]; žádné řešení pro a = 4, b = 2. 15. a = ±c, b = 0.
16. právě jedno řešení pro a = 1, a = −2, b = 0 : x = a−b
(a−1)(a+2)
, y = ab+b−2
b(a−1)(a+2)
, z =
a−b
(a−1)(a+2)
; více řešení pro a = 1, b = a : x = t, y = 1 − 2t, z = t, t ∈ R nebo pro
a = −2, b = a : x = t, y = −1+t
2
, z = t, t ∈ R; žádné řešení pro a = 1, b = a nebo
a = −2, b = a.
5. INVERZNÍ MATICE
1. A−1
=
7 −5
−11 8
, B−1
=
4 −3
−1 1
, C−1
=


1 −2 1
0 1 −2
0 0 1

, D−1
=


2 2 3
1 −1 0
−1 2 1

,
E−1
= 1
4




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1



, F−1
=




−7 5 12 −19
3 −2 −5 8
41 −30 −69 111
−59 43 99 −159



, G−1
=




154 −179 −205 235
−36 42 48 −55
6 −7 −8 9
1 −1 −1 1



. 2. (a) A−1
=
2 −1
−5 3
, B−1
=
1
5
3
20
−1
5
1
10
, C−1
=
−1
2
−2
1 3
.
3. K−1
= 1
αδ−βγ
δ −β
−γ α
, L−1
=
cos α sin α
− sin α cos α
, M−1
= 1
n−1





0 1 1 · · · 1
1 0 1 · · · 1
... · · · · · · · · ·
...
1 1 · · · 1 0





,
N−1
=







1 −1 1 −1 · · · (−1)n−1
0 1 −1 1 · · · (−1)n−2
0 0 1 −1 · · · (−1)n−3
... · · · · · · · · · · · ·
...
0 0 0 0 0 1







. 4. A−1
=
1−i
6
1
3
1+i
3
− i
3
, B−1
=
0 1
−i 2i
,
C−1
= 1
1+9i
4 −1 + i
−2 + 3i 1
, D−1
= 1
2
3 −i
i 1
, E−1
= 1
−i
1 −2
0 −i
.
6. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST,
LINEÁRNÍ OBALY
6.1 vektorové podprostory
1. (a) ne, neplatí (1); (b) ne, neplatí (1),(2). 2. (a) ne, neplatí (1), (2); (b) ano. 3. (a) ano;
(b) ano. 4. (a) ano; (b) ne, neplatí (2).
65
6.2 lineární závislost a nezávislost, lineární obaly
1. (a) LNZ; (b) LNZ; (c) LZ, [u1, u2, u3] = [u1, u2]; (d) LNZ; (e) LNZ; (f) LZ, [u1, u2, u3, u4] =
[u1, u2, u3]. 2. (a) v1, v2, v3; (b) v1, v2, v4, v6. 3. (a) LZ; (b) LZ; (c) LNZ; (d) LZ. 4. (a) ne;
(b) ano. 5. (a) ano; (b) ne. 6. (a) LNZ; (b) LZ; (c) LZ.
7. BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU, SOUŘADNICE, SOUČTY A
PRŮNIKY PODPROSTORŮ
1. Stačí přidat např. (a) (0, 0, 0, 1); (b) x; (c)
0 0
0 1
. 2. (a) u3; (b) žádný. 3. (a) (1, 0, 0),
(1, 1, 0), (1, 2, 3), dim M = 3; (b) 2x−1, x3
+x+1, x2
+x, dim M = 3; (c)
1 1
1 1
,
1 −1
−1 1
,
0 1
1 1
, dim M = 3. 4. např. M = [(−1, 1, 0, ..., 0), (−1, 0, 1, ..., 0), ..., (−1, 0, 0, ..., 1)],
dim M = n−1, Rn
= M ∪(1, 0, ..., 0). 5. (a) dim P = n−1; (b) dim P = n−2. 6. (a) P1 =
[x4
, x2
, 1], P2 = [x5
, x3
, x], P3 = [(x−1)(x−2)x3
, (x−1)(x−2)x2
, (x−1)(x−2)x, (x−1)(x−
2)]; (b) [x4
−5x2
+4]; (c) [P1]∪[P3]. 7. (b) např. [P] =
0 1
1 0
,
0 1
2 0
,
1 1
1 −1
; (c)
α = [P]∪
1 0
0 0
, (E)α = (1, 0, −1, 2). 9. (a) (−5, 4, 0)T
; (b) (0, 1, 1)T
; (c) (11, −3, 67, −51)T
;
(d) (− 1
10
, 1
2
, 1
2
, 0); (e) (2, −1, 3)T
; (f) (1, 1, 1, −2)T
; (g) (1, 0, 2, 3)T
; (h) (1, 1, −1, −1, 3, −4)T
.
10. (u)β = (a1, a2, a3 − a2, a4 − a1)T
. 11. ozn. β – báze P1 + P2, γ – báze P1 ∩ P2. (a) např.
β = ε3, dim(P1 + P2) = 3, γ = [(0, 2, 1), (1, 4, 0)]; (b) např. β = ε3, dim(P1 + P2) = 3, γ =
[(3, 5, 7)]; (c) např. β = ε4, dim(P1 + P2) = 4, γ = ∅; (d) např. β = ε4, dim(P1 + P2) =
4, γ = [(1, −1, 1, −1), (1, 0, 1, 0)]. 12. V1 ∩ V2 = [(1, 2, 1, 2)], (V1 + V2) ∩ v = [(1, −2, 3, −4)].
13. V1 + V2 + V3 = [x2
+ 2x3
, −x3
+ x6
, 2 + x2
, x2
+ x3
+ 2x4
, x2
+ x6
, 1 + 3x3
+ x5
], V1 ∩ V2 =
[x2
+ x6
], V1 ∩ V3 = [x2
+ x3
+ x6
], V2 ∩ V3 = ∅ ⇒ V1 ∩ V2 ∩ V3 = ∅.
8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ
1. (a), (b) ano pro v = 0, ne pro v = 0. 2. (a), (c), (d) ne; (b) ano, Kerf = {∅}, Imf =
[(2, 1), (3, −1)], A =
2 3
1 −1
; (e) ano, Kerf = [(1, −1, −3)], Imf = [(1, 2, 0), (−2, −1, 3)],
A =


1 −2 1
2 −1 1
0 3 −1

. 3. (a) ano, KerA = {∅}, ImA = R2[x]; (b) ano, KerA = R0[x], ImA =
{a1x + a2x2
, a1, a2 ∈ R}; (c) ano, Kerf = {a + bx; a, b ∈ R} = R1[x]; (d) ne. 4. (a)

1 0 0
0 1 0
0 0 1

; (b)


1 0 0
0 0 0
0 0 0

; (c)


0 0 0
0 1 0
0 0 1

; (d)


a 0 0
0 a 0
0 0 a

; (e)


1 0 0
0 −1 0
0 0 1

 , f(2, −5, 3) =
66
(2, 5, 3); (f)
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
, f(3, −4) = (3−4
√
3
2
, −3
√
3+4
2
); (g)


1 0 0
0
√
3
2
−1
2
0 1
2
√
3
2

 , f(−2, 1, 2) =
(−2,
√
3−2
2
, 1+2
√
3
2
). 5. otočení o úhel −ψ. 6. f je isomorfismus, f−1
(x) = 1
2
(x1 −x2 +x3, x1 +
x2 −x3, −x1 +x2 +x3). 7. (a), (b) dim Kerf = 2, dim Imf = 2. 8. dim Kerf = 1, dim Imf =
3. 9. f(x1, x2) = 1
7
(3x1 − x2, −9x1 − 4x2, 5x1 + 10x2), f(2, −3) = 1
7
(9, −6, −20). 10.
(f)ε3,ε3 =


−1 −2
7
3
7
1
2
11
14
1
14
1 2
7
−3
7

 , f(x) = (−x1 − 2
7
x2 + 3
7
x3, 1
2
x1 + 11
14
x2 + 1
14
x3, x1 + 2
7
x2 − 3
7
x3). 11.
f
a1 a2
a3 a4
= 1
2
a1+1
2
a2+2a3−a4. 12. (a) neexistuje; (b) existuje, f(x) = 1
3
((4+a)x1+(−5+
4a)x2 + 3ax3, (1 + b)x1 + (1 + 4b)x2 + 3bx3), a, b ∈ R. 13. αKerf = {(9, −10, −7, 8)}, αImf =
{(5, 0, 0, 1), (0, 5, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}. 14. f(x) = 1
2
(x1−x2+x3, −x1+x2+x3, x1−x2+x3, −x1+
x2 + x3). 15. dim Im(V1 ∩ V2) = 1, αIm(V1∩V2) = {(2, −3, 1, −1, −3)}, dim(f−1
(W)) = 0. 16.
(a) (f(v1))β = (1, −2)T
, (f(v2))β = (3, 5)T
; (b) f(v1) = (5, −5)T
, f(v2) = (−2, 29)T
; (c)
f(x1, x2) = 1
7
(18x1 + x2, −107x1 + 24x2); (d) 1
7
(19, −83).
9. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ, MATICE PŘECHODU
1. f(x) = (−2x1 + x2, x2 − x3, −x3), f je isomorfismus. 2. (f)γ,γ =
2
3
−2
9
1
2
4
3
, (f)δ,δ =
1 1
0 1
. 3. (a) (A)α,α =




1 4 6 0
0 1 8 18
0 0 1 12
0 0 0 1



; (b) (A)β,β =




3 −2 16 −2
2 −1 −10 8
0 0 7 −6
0 0 6 5



 , A je isomorfismus.
4. (a) (x)β = (5, −1, 5)T
; (b) (x)β = (1, −4, 5)T
. 5. f ∈ {−s+ 1
2
+(−t+ 1
2
)x+sx2
+
tx3
; s, t ∈ R}. 6. (f)β,β =




1 0 2 0
−1 0 0 2
1 0 0 0
0 1 1 1



. 7. (ϕ)δ,γ = D−1
AC, kde sloupce matic C a D
jsou tvořeny vektory bazí γ a δ. 8. (b) Kerf = {x2
+ x + 1}; (c) (f)ε,ε =


1 −1 0
1 0 −1
0 1 −1

.
9. f(x1, x2) = 1
2
(4x1 − 2x2, 2x1 + 2x2, x1 − x2). 10. (a) (f)β,α =




1
2
1
2
0 0
1
2
−1
2
0 0
0 0 1
2
1
2
0 0 1
2
1
2



; (b)
(f)α,β =




1 1 0 0
1 −1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 −1



. 11. (a) (f)β,α =


3
4
3
4
1
12
−3
4
−17
12
−17
12
0 2
3
2
3

 , (w)β = (19
12
, −43
12
, 4
3
)T
; (b)
67


3 2 5
2
−2 −3 −1
2
5 1 6

 , (w)β = (−7
2
, 23
2
, 6)T
. 12.


0 0
−1
2
1
8
3
4
3

. 13. (a) f(x) = (x1 +2x3, −x1 +x2);
(b) f(x) = (4x1 + 2x2 + 12x3, −3x1 − 3x2 − 6x3). 14. f(x) = (3, −12), f(y) = (−3, −21).
15. f : R3
→ R5
, g : R5
→ R3
; zobrazení f ◦ g : R5
→ R5
je dáno maticí AB, nejedná se
o isomorfismus, zobrazení g ◦ f : R3
→ R3
je dáno maticí BA, jedná se o isomorfismus.
10. AFINNÍ GEOMETRIE
1. (a) (x, y, z) = (−1, 1, 0) + t(1, 0, 2) + s(4, −1, 4); (b) (x, y, z) = (1, 2, −3) + t(−1, 0, 4) +
s(2, 1, −1); (c) (x, y, z) = (3, 1, −2) + t(−1, 2, 1) + s(3, −4, 2). 2. (a) 22x − y + 5z − 28 = 0;
(b) x − 5y − a3z + 27 = 0; (c) x + y − 6 = 0. 3. (a) A, D; (b) B, C; (c) A, C, D. 4.
p : (x, y, z) = (3, −3, 0) + t(0, 1, 1), svazek rovin: a(2x − y + z − 9) + b(x + y − z) =
0, (a, b) = (0, 0). 5. (a) (7, 3, 0, 2) + t(1, −1, 1, 0); (b) (3, 2, 3, 0) + t(−2, −1, 0, 1). 6. (a)
totožné; (b) různoběžné, R = (−4, −3); (c) mimoběžné; (d) různoběžné, R = (−3, 0, 4).
7. (a) x = 2 + 3t, y = 1 + t, z = −2t; (b) totožné. 8. (a) (−2, −2, 3); (b) přímka leží
v rovině; (c) mimoběžné; (d) přímka leží v rovině; (e) různoběžné, P = (2, 0, 1, 1). 9.
(a) protínají se v bodě (−8
3
, −16
3
, 2, 5); (b) přímka leží v nadrovině; (c) protínají se v
přímce (1, 2, 3, 4) + t(2, 4, −9, 2). 10. (a) a = 3, b = 2; (b) pro a = 11
4
se protínají v
přímce (4, −21
10
, 3, 43
10
) + t(10, −2, −5, 1), pro a = 11
4
mimoběžné. 11. (a) rovnoběžné; (b)
protínají se v bodě (0, 2, 2, −3, 0). 12. (a) x = 3 + t, y = −2, z = 13 + 8t; (b) x =
1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − t; (c) x − 4 = y − 1 = z+5
2
; (d) příčka neexistuje, přímky
jsou totožné. 13. x = 3 + 5t, y = −2 + 10t, z = −4 + 9t. 14. q : (3, 2, 1) + t(−1, −1, 3).
15. (a) (8, 9, −11, −15) + t(6, 7, −8, −11); (b) q : (1, 2, −1, −2) + t(−2, 0, 2, 0); (c) q :
(1, 0, 3, 1) + s(6, −1, −3, −2). 16. q : (5, 3, 4, 6, 2)+ t(2, 1, 3, 2, 1). 17. příčka neexistuje. 18.
(x1, x2, x3, x4) = (−1, 0, −1, 0) + r(1, 2, 1, 1) + s(1, −2, 3, 0) + t(2, 0, 1, −1), −10x1 + 7x2 +
8x3 − 12x4 = 2. 19. (a) 2x1 + 3x2 + x3 = 2, −x1 − x2 + x4 = −1; (b) 3x1 + x2 + 2x3 =
5, 4x1+x3+x4 = 4. 20. (a) X = (−1, 0, 2, 1)T
+p(2, 4, −9, 2)T
= (2, 3, 1, 3)T
+p(2, 4, −9, 2)T
;
(b) X = (−9, 2, 1, −5)T
+ p(3, 1, 2, 0)T
= (1, 2, 3, 4)T
+ p(3, 1, 2, 0)T
.
68
LITERATURA
[1] H. Anton, C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 8th Edition, Applications Version,
Willey, 2000.
[2] L. Bican: Lineární algebra, Matematický seminář SNTL, Praha, 1979.
[3] P. Kaprálik, J. Tvarožek: Zbierka riešených príkladov z lineárnej algebry a analytickej
geometrie, Alfa, Bratislava, 1987.
[4] J. Slovák: Lineární algebra, elektronický učební text, http://www.math.muni.cz/˜slovak,
Brno, 1995.
[5] P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, skripta MFF UK v Bratislavě, 1999.