4. cvičení
(10. a 11. 10. 2011)
Zobrazení Nechť A, B jsou libovolné množiny. Předpis f, který každému prvku množiny A
přiřazuje právě jeden prvek množiny B, se nazývá zobrazení množiny A do množiny
B. Píšeme f : A → B
Zobrazení f : A → B se nazývá
• injektivní zobrazení (prosté zobrazení), jestliže každý prvek z množiny B má
při zobrazení f nejvýše jeden vzor.
• surjektivní zobrazení (zobrazení na), jestliže každý prvek z množiny B má při
zobrazení f alespoň jeden vzor.
• bijektivní zobrazení, jestliže každý prvek z množiny B má při zobrazení f prváě
jeden vzor.
Důkaz, že je zobrazení f : A → B
• je injektivní, pak předpokládáme, že pro prvky x, y ∈ A platí f(x) = f(y) a
následně dokážeme, že x = y.
• není injektivní, pak nalezneme dva konkrétní různé prvky z množiny A, které se
zobrazí na stejný prvek v množině B.
• je surjektivní, pak vezmeme libovolný (obecný) prvek b ∈ B a najdeme k němu
vzor, tzn. najdeme prvek a ∈ A, pro který platí: f(a) = b.
• není surjektivní, pak nalezneme v množině B takový konkrétní prvek, který nemá
při zobrazení f žádný vzor.
Relace R na množině A je
• reflexivní, jestliže ∀x ∈ A ⇒ [x, x] ∈ R
• symetrická, jestliže x, y ∈ A ∧ [x, y] ∈ R ⇒ [y, x] ∈ R
• antisymetrická, jestliže x, y ∈ A ∧ [x, y] ∈ R ∧ [y, x] ∈ R ⇒ x = y
• tranzitivní, jestliže x, y, z ∈ A ∧ [x, y] ∈ R ∧ [y, z] ∈ R ⇒ [x, z] ∈ R
Relace se nazývá relace ekvivalence, jestliže je R, S, T. Značíme x ∼ y.
Relace se nazývá uspořádání, jestliže je R, A-S, T. Značíme x ≤ y.
1
1. Určete matici lineárního zobrazení v R2
, která popisuje otočení o úhel π
3
v kladném
směru.
2. Určete matici lineárního zobrazení v R2
, která popisuje zrcadlení vzhledem k ose y.
3. Určete matici lineárního zobrazení v R2
, která popisuje zrcadlení vzhledem k přímce
y =
√
3x svírající s kladným směrem osy y úhel π
6
. Určete obraz vektoru u = (
√
3, 1)
v tomto zobrazení.
4. Rozhodněte, zda dané zobrazení f : N → N je injektivní, resp. surjektivní, je-li pro
každé x ∈ N:
(a) f(x) = 5x − 3
(b) f(x) =
6 x ≤ 6
x − 6 x > 6
5. Rozhodněte, zda dané zobrazení f je injektivní, resp. surjektivní, je-li:
(a) f : R − {0} → R+
, f(x) = x2
(b) f : R → R, f(x) = x2
+ 7x + 12
(c) f : R+
→ R+
, f(x) = x2
6. Určete složené zobrazení g ◦ f, f ◦ g, jestliže f(x) = 3x − 4, g = 2x + 5
3
.
7. Rozhodněte, zda jsou následující relace reflexivní, symetrické, antisymetrické, tranzitivní.
m, n ∈ N
(a) m ∼ n ⇔ n | m
(b) m ∼ n ⇔ n + m ≥ 50
(c) m ∼ n ⇔ n + m je sudé
(d) m ∼ n ⇔ m = nk
pro nějaké k ∈ N
(e) m ∼ n ⇔ n + m je násobkem 3
(f) m ∼ n ⇔ m > n
2