Domácí úloha č.9
1. Určete matici přechodu od báze α = {(−3, 0, −3)T
, (−3, 2, −1)T
, (1, 6, −1)T
} k bázi
β = {(−6, −6, 0)T
, (−2, −6, 4)T
, (−2, −3, 7)T
}


3
4
3
4
1
12
−3
4
−17
12
−17
12
0 2
3
2
3


2. Určete matici přechodu od báze e = (1, x, x2
) k bázi u = (1, x + 1, 1 − x2
)


1 −1 1
0 1 0
0 0 −1


3. Určete matici přechodu od báze u = ((4, −6)T
, (1, −1)T
) k bázi v = ((1, 0)T
, (−1, 5))
a od báze v k bázi u.
Av,u =
14
5
4
5
−6
5
−1
5
Au,v =
−1
2
−2
3 7
4. Rozhodněte, zda je L : R2
→ R3
, L((x1, x2)) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1) lineární
zobrazení.
[ano]
5. Rozhodněte, zda je L : R3
→ R3
L((x1, x2, x3)) = (x1 +2x2 +x3, x1 +5x2, x3) lineární
zobrazení.
[ano]
6. Ověřte, zda zobrazení L je lineárním zobrazením a napište matici, kterou je repre-
zentováno.
L(u) =


u1 + 3u2 + 2u3
5u1 + u2 + 6u3
2u2 + u3




1 3 2
5 1 6
0 2 1


7. Pro zadané lineární zobrazení nalezněte jeho jádro a obraz:
L : R3
→ R4
, L((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, x1)
[Ker(L) = {(0, 0, 0, 0)T
}]
[Im(L) = Span (1, 0, 1, 1)T
, (1, 1, 0, 0)T
, (0, 1, 1, 0)T
]
1
8. Pro zadané lineární zobrazení nalezněte jeho jádro a obraz:
L : R4
→ R3
, L((x1, x2, x3, x4)) = (3x1 − x2 + 2x3 − x4, 5x1 + 2x2 + 3x3, 2x1 + 3x2 +
x3 + x4)
[Ker(L) = Span (−7, 1, 11, 0)T
, (−3, 0, 5, 1)T
]
[Im(L) = Span (3, 5, 2)T
, (−1, 2, 3)T
]
9. Určete matici lineárního zobrazení L : R2
→ R3
, L(x1, x2) = (x1 + 2x2, −x1, 0) v
bázích α = {(1, 3)T
, (−2, 4)T
}, β = {(1, 1, 1)T
, (2, 2, 0)T
, (3, 0, 0)T
}
Aβ,α =


0 0
−1
2
1
8
3
4
3


10. Nechť Aβ,α =
1 0 2
−1 1 0
je matice lineárního zobrazení L : R3
→ R2
v bázích
α = {(1, 1, 0)T
, (1, −2, 0)T
, (0, 0, 1)T
}, β = {(2, −1)T
, (0, 1)T
}. Nalezněte matici tohoto
lineárního zobrazení ve standardních bázích.
Ae,e =
4
3
2
3
4
−1 −1 2
11. Napište matici A reprezentující lineární zobrazení L : R2
→ R3
L(u) = 2u1v1 − (u1 + u2)v2, kde u = (u1, u2)T
a v1 = (1, 2, −1)T
, v2 = (1, 0, 1)T
(a) ve standardních bázích R2
a R3


1 −1
4 0
−3 −1


(b) v bázích α = ((1, 1)T
, (0, 1)T
) a β((2, 1, 1)T
, (1, 2, −1)T
, (0, 0, 1)T
)


−4
3
−2
3
8
3
1
3
0 0


12. Je dána matice zobrazení ve standardní bázi. Určete matici tohoto zobrazení v bázi
v.
Ae =


1 −1 0
0 1 1
2 0 0

, v =


1
1
0

 ,


−1
1
1

 ,


2
0
1


Av =


−1
4
2 −3
4
5
4
0 7
4
3
4
−2 9
4


2