Opravný test MBlOl Varianta A
Příklad 1: Čtěte pozorně (rozlišitelné/nerozlišitelné)! Uvažte, že lze umístit více koulí do jedné přihrádky. Kolika způsoby lze rozdělit (a) 3 rozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (b) 3 nerozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (c) 3 rozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných přihrádek? (d) 3 nerozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných přihrádek?
Příklad 2: Uveďte příklad relace na množině {1,2,3,4}, která (a) není reflexivní, (b) je reflexivní a současně není symetrická, (c) je symetrická a současně není tranzitivní. Příklady uveďte buď výčtem prvků relace nebo tabulkou nebo obrázkem (grafem) relace s orientovanými šipkami.
Příklad 3: Metodou Gaussovy eliminace vyřešte následující lineární systém a proveďte diskusi řešení vzhledem k hodnotám parametru a G R (tj. pro které hodnoty parametru a řešení neexistuje nebo existuje a tato řešení určete:
—Ax\ — 3aľ2 — 2aľ3 ~~ x4 — cl
x2 + 2x3 + 3aľ4 — 2
4xi + 5x2 + 6x3 + 7x4 — 2
8x1 + 9x2 + 10x3 + llx4 = 2
Příklad 4: Uvažujme matici
A =
/ 2 -2 0 0^
0 3 0 0
-1-2 3 0
V 0 0 0 1/
Určete determinant matice A. Rozhodněte, jestli je matice A regulární. Pokud ano, určete determinant inverzní matice k matici A.
Příklad 5: Mějme matici
A =
/ 1    0   1 0\
-2103 113 3 V 0    2   4 6/
Určete nějakou bázi a dimenzi jádra matice A. Určete vektor v v jádru matice A, který je nejblíže k vektoru w — (2 2 0 4)T a tuto nej menší vzdálenost vektoru w od vektoru v (tj. od jádra matice A) spočítejte.
Příklad 6: Předpokládejme, že v populačním modelu dravec-kořist (vlk-zajíc) je vztah mezi počtem vlků (Vk) a počtem zajíců (Zk) v daném a následujícím období následovný:
14+i   =   0.614 + 0-2Zk, Zk+1   =   -0.414 + 1.2Zk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za podmínky, že počáteční počet vlků a zajíců je Vq — 50 a Zq — 210.
1
Opravný test MBlOl Varianta B
Příklad 1: Čtěte pozorně (rozlišitelné/nerozlišitelné)! Uvažte, že lze umístit více koulí do jedné přihrádky. Kolika způsoby lze rozdělit (a) 2 rozlišitelné koule do 3 rozlišitelných přihrádek? (b) 2 nerozlišitelné koule do 3 rozlišitelných přihrádek? (c) 2 rozlišitelné koule do 3 nerozlišitelných přihrádek? (d) 2 nerozlišitelné koule do 3 nerozlišitelných přihrádek?
Příklad 2: Uveďte příklad relace na množině {a,b,c,d}, která (a) není reflexivní, (b) je reflexivní a současně není symetrická, (c) je symetrická a současně není tranzitivní. Příklady uveďte buď výčtem prvků relace nebo tabulkou nebo obrázkem (grafem) relace s orientovanými šipkami.
Příklad 3: Metodou Gaussovy eliminace vyřešte následující lineární systém a proveďte diskusi řešení vzhledem k hodnotám parametru a G R (tj. pro které hodnoty parametru a řešení neexistuje nebo existuje a tato řešení určete:
—4xi — 3aľ2 — 2aľ3 ~~ x4 — cl
x2 + 2x3 + 3aľ4 — —6
4xi + 5x2 + 6x3 + 7x4 — —2
8x1 + 9x2 + 10x3 + llx4 = 2
Příklad 4: Uvažujme matici
A =
/l 2
0 2
-1 -2
\ 0 0
2 0\
0 0
4 0
0 1/
Určete determinant matice A. Rozhodněte, jestli je matice A regulární. Pokud ano, určete determinant inverzní matice k matici A.
Příklad 5: Mějme matici
A =
/ 1    0   1 0\
113 3
0    2   4 6
\-2   10 3/
Určete nějakou bázi a dimenzi jádra matice A. Určete vektor v v jádru matice A, který je nejblíže k vektoru w — (0 2 — 2 4)T a tuto nej menší vzdálenost vektoru w od vektoru v (tj. od jádra matice A) spočítejte.
Příklad 6: Předpokládejme, že v populačním modelu dravec-kořist (vlk-zajíc) je vztah mezi počtem vlků (Vk) a počtem zajíců (Zk) v daném a následujícím období následovný:
Vk+1   =   0.614+ 0.3Zfe, Zk+1   =   -0.414 + 1.3Zk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za podmínky, že počáteční počet vlků a zajíců je Vq — 20 a Zq — 90.
2