Skupina A
2.samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 40 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište a napište svou skupinu. Pracujte pozorně. Pokud něčemu v zadání nerozumíte, zeptejte se. Přeji Vám hodně štěstí!!!
Příklad č. 1: Zjistěte pro které hodnoty parametrů a, b má soustava v M
1. právě 1 řešení (nepočítejte ho),
2. více než jedno řešení (napište tvar těchto řešení),
3. žádné řešení.
x + ay — az   = —3 x + (a — l)y — (a + 3) z   = —5
x + (a + l)y + 2z   = 6-1.
Řešení. Nejprve sestavíme matici soustavy, kterou následně upravíme na schodovitý tvar:
—a -a — 3 2
Nyní již rozhodujeme o počtu řešení na základě toho, jak bude vypadat poslední řádek:
1. Právě jedno řešení dostaneme, když v posledním řádku bude před lomítkem nenulový prvek, tedy odtud dostáváme, že a / 1.
2. Nekonečně mnoho řešení bude soustava mít, když v posledním řádku budou samé nuly, tedy odtud dostáváme a = 1 a b = 0. Řešení pak má tvar z = p, y = 2 — 3p, x = —5 + 4p.
3. Soustava nebude mít žádné řešení, když na levé straně v posledním řádku budou nuly a na pravé straně nenulový prvek, tedy pak a = 1 a b ^ 0
1
Příklad č. 2: Z následujících vektorů libovolně vyberte podmnožinu s maximálním počtem lineárně nezávislých vektorů:
i i
w
4 1
w
2
3 W
/2\
2 1
w
3 5
Řešení. Každý z vektorů má 4 souřadnice a proto bude maximální množina lineárně nezávislých vektorů, utvořená z těchto vektorů, obsahovat nanejvýš 4 vektory. Na základě definice lineární nezávislosti řešíme následující soustavu:
3 1   2   1\ /l   3   1    2     1 \
4 2 2 3 0 1 1 0 2 13 15 ~ - ~ 0 0 4 -1 8 2   4   2   1/             \0   0   0    1 -6j
Matici jsme upravili na schodovitý tvar a je vidět, že tyto vektory jsou lineárně závislé. Vybíráme z nich tedy ty vektory, které mají ve svém sloupci vedoucí prvek řádku matice. Tedy v našem případě 1.-4. vektor.
1 1
Vi
Přiklad č. 3: Určete hodnost matice A a v případě, že existuje, nalezněte inverzní matici:
' 2    -8 -6N A= I  1 -5-3 -16 4
Řešení. Nejprve ověříme hodnost tak, že matici upravíme na schodovitý tvar a zjistíme počet lineárně nezávislých řádků:
6
1 0
Odtud plyne, že hodnost matice je 3 a existuje tedy její inverzní matice. Tu vypočteme na základě úpravy následující blokové matice:
6
2 3N -1 0 2 L
Na pravé straně za lomítkem máme hledanou inverzní matici.
Příklad č. 4-' Dvěma různými způsoby vypočtěte determinant matice B
B
2
Řešení. Nejjednodušší je použít Sarrusovo pravidlo. Další možný způsob je pomocí ERO nebo Laplaceova rozvoje. Výsledek je —8.
3