Skupina B
3.samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 40 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište a napište svou skupinu. Pracujte pozorně. Pokud něčemu v zadání nerozumíte, zeptejte se. Přeji Vám hodně štěstí!!!
Příklad č. 1: Určete dimenzi a najděte nějakou bázi podprostoru V = span ((1,1, 3)T , (3,1, 0)T, (1, 0, 2)T, (2, 0, 3)T, (2, 2,1)T, (2, 0,1)T) C R3
Řešení. Bázi určíme tak, že vybereme lineárně nezávislé vektory z této množiny, tedy vektory naskládáme do matice a tu upravíme na schodovitý tvar:
1   3   1   2   2   2\ /l   3   1   2    2 2\
1 1 0 0 2 0 ] ~ ... ~ 0 1 ± 1 0 1 ] 302311/ \0   0   |   6   -5 4/
Odtud je vidět, že bázi můžeme vytvořit například z prvních tří vektorů. Dimenze udává počet vektorů v bázi, tedy dimV = 3.
Příklad č. 2: Určete bázi a dimenzi součtu a průniku podprostoru S a
T.
S = span ((0,4,1)T, (1, 2, 0)T> T = span ((1,1,1)T, (0, -1, 2)T, (2, 0, -1)T>
Řešení. Bázi množiny S + T zjistíme tak, že vybereme lineárně nezávislé vektory z obou podprostoru, tedy
0   110     2 \      /l   0   1   2 -1\ 421-1    0 ] ~ í 0   1   1   0 2 10   12-1/      \0   059 0/
Vidíme, že S + T = ((0, 4,1)T, (1, 2, 0)T, (1,1,1)T>. Platí dimS + T = 3.
Víme, že platí: když x G SílT, pak x = ai(0,4,1)T + a2(l52,0)T a zároveň x = &i(l, 1,1)T + 62(0, -1, 2)T + 63(2, 0, -1)T. Odtud platí
ai(0,4,1)T + a2(l, 2, 0)T - fei(l, 1,1)T - 62(0, -1, 2)T - 63(20 - 1)T = 0.
Řešíme tuto soustavu, můžeme vzužít již upravený schodovitý tvar předchozí matice. Odtud dostáváme, že 63 = —p, 62 = — t a b\ = |í, kde p,í É M
1
jsou parametry. Neznáme a± a 02 již nemusíme počítat. Dosadíme do x a dostáváme
x   =   61(l,l,l)T + &2(0,-l,2)T + 63(2,0,-l)T -   9í(l, 1,1)T - í(0, -1, 2)T - p(2, 0, -1)T
5
T 1 9 14 -1
span( (2,0,-1)J, ( -, y, g
p(2,0,-l)
T\
Platí dimS' n T = 2
Příklad č. 3: Zjistěte, zda je zobrazení / : M3 —> M2 lineární: / ((^, y, z)) = (z,2x -y + 2z). Jestliže ano, pak určete Ker f a Imf. Řešení. Nejprve ověříme platnost linearity. Tedy
1.
f((x, y, z) + (k, l, m)) = f((x + k,y + l,z + m)) =
(z + m, 2x + 2k - y - l + 2z + 2m)   = (z,2x - y + 2 z) + (m,2k-l + 2m) = f((x,y,z))+f((k,l,m))
2.
af((x, y, z)) = a(z, 2x — y + 2 z) = (2az, 2ax — ay + 2az) = f((ax, ay, a z))
Linearita je tedy splněna. Nyní najdeme jádro Kerf. Víme, že podle definice musí platit
(z,2x-y + 2z) = (0,0)
A odtut dostáváme z = 0 a zároveň 2x — y + 2z = 0. Řešením této soustavy dostáváme z = 0, y = 2t a x = t, kde t £ M je parametr. A tedy platí
Kerf = (t, 2t, 0)T = í(l, 2, 0)T = span ((1, 2, 0)T>
Obraz Imf nalezneme tak, že se podíváme, kam se zobrazují vektory báze R3. Tedy
/((1,0,0)) = (0,2) /((0,1,0)) = (0,-1) /((0, 0,1)) = (1,2)
2
A odtud dostáváme
Imf = span ((0, 2)T, (0, -1)T, (1, 2)T> = ((0, 2)T, (1, 2)T> = R2
Příklad č. 4: Najděte matici přechodu od báze a k bázi [3. Pomocí této matice určete souřadnice vektoru (w)a = (—5,8,2) v bázi [3.
a = [(2,1,1), (2,-1,1), (1,2,1)]
(3 = [(3,1,-5), (1,1, -3), (-1,0, 2)]
Řešení. Potřebujeme vyjádřit každý vektor z báze a jako lineární kombinaci vektorů z báze [3. Označíme-li si vektory v bázi a jako u±, u2 a u3 a vektory z báze [3 jako v±, v2 a «3, pak budeme řešit následující soustavy
m = aivi + h v2 +
U3 = 03^1 + 63^2 + C3U3 Matice přechodu má pak tvar
(0.1   a2 a3\ h   b2 b3 Cl    c2 c3J
Dopočtením koeficientů dostáváme matici přechodu
S jejím využitím pak spočteme (w)p.
{w)p = (id)p^a(w)a = (6, -15, -5)
3