Matematika 11-10. přednáška Nekonečné řady funkcí Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 30. 11. 2011 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooooooooo ooooo Obsah přednášky Q Posloupnosti a řady funkcí Q Mocninné řady Q Taylorovy a Maclaurinovy řady Q Aplikace nekonečných řad Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooooooooo ooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooooooooo ooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka - Nekonečné řady s programem Maple, CD, e-text a videozáznamy, http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm. Posloupnosti a řady funkcí >vy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooooooooo ooooo Plán přednášky Q Posloupnosti a řady funkcí Q Mocninné řady Q Taylorovy a Maclaurinovy řady 0 Aplikace nekonečných řad <□> <9> <1> -š O^O Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad •oooooooo ooooooooooooo ooooo Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f(x). Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad •oooooooo ooooooooooooo ooooo Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f(x). Přirozené dotazy jsou: • Jsou-li všechny funkce fn{x) spojité v nějakém bodě xq £ [a, b], je spojitá i funkce f(x) v bodě xq? Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad •oooooooo ooooooooooooo ooooo Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f(x). Přirozené dotazy jsou: • Jsou-li všechny funkce fn{x) spojité v nějakém bodě xo 6 [a, b], je spojitá i funkce f(x) v bodě xo? • Jsou-li všechny funkce fn{x) diferencovatelné v a £ [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce f(x) a platí vztah Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad •oooooooo ooooooooooooo ooooo Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f(x). Přirozené dotazy jsou: • Jsou-li všechny funkce fn{x) spojité v nějakém bodě xo 6 [a, b], je spojitá i funkce f(x) v bodě xo? • Jsou-li všechny funkce fn{x) diferencovatelné v a £ [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce f(x) a platí vztah f'(x) = £~ i • Jsou-li všechny funkce fn{x) integrovatelné na intervalu [a,b], je integrovatelná i funkce f(x) a platí vztah jY(x) N a všechna x G [a, b] platí \f„{X) - f{X)\ < 6. Řada funkcí konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooo»ooo ooooooooooooo ooooo Stejnoměrná konvergence Důvodem neúspěchu ve všech příkladech byla různá rychlost bodové konvergence v jednotlivých xéI. Zmíněnou dodatečnou podmínkou pak bude silnější pojem konvergence. Definice Říkáme, že posloupnost funkcí fn{x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f(x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo e existuje (velké) přirozené číslo N G N takové, že pro všechna n > N a všechna x G [a, b] platí \f„{X) - f{X)\ < 6. Řada funkcí konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. _ _ _ Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f(x) na f(x) ± e pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné e, vždy padnou skoro všechny'funkce čffxY1 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Tayl ořovy a IV aclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad oooooo^oo ooooooooooooo ooooo Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Věta Necht fn{x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad oooooo^oo ooooooooooooo ooooo Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Věta Necht fn{x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a, b\. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod xo G [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé e > 0 bude \f(x) — ^(xo)! < e pro všechna x dostatečně blízká k xq. Z definice stejnoměrné spojitosti pro naše e > 0 je \ fn{x) — f{x)\ < e pro všechna x G [a, b] a všechna dostatečně velká n. 00.0 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad oooooo^oo ooooooooooooo ooooo Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Necht fn{x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod xo G [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé e > 0 bude \f(x) — ^(xo)! < e pro všechna x dostatečně blízká k xo. Z definice stejnoměrné spojitosti pro naše e > 0 je \ fn{x) — f{x)\ < e pro všechna x G [a, b] a všechna dostatečně velká n. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme ô > 0 tak, aby \ fn{x) — fn{xo)\ < e pro všechna x z á-okolí xo (to je možné, protože všechny fn{x) jsou spojité). Pak \f(x)-f(x0)\ < |f(x)-fn(x)| + |fn(x)-fn(xo)| + |fn(xo)-f(xo)| < 3e pro všechna x z námi zvoleného á-okolí bodu xq. □ 00.0 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooo»o ooooooooooooo ooooo Věta (R-integrovatelnost limity stejnoměrně konvergentních funkcí) Nechť fn{x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f(x). Pak také f(x) je integrovatelná a platí Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooo»o ooooooooooooo ooooo Věta (R-integrovatelnost limity stejnoměrně konvergentních funkcí) Nechť fn{x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f(x). Pak také f(x) je integrovatelná a platí lim fn(x) dx ( lim fn{x)) dx f{x) dx. Pro příslušný výsledek o derivacích je třeba zvýšené pozornosti ohledně předpokladů: Věta (diferencovatelnost limity stejnoměrně konvergentních funkcí) Nechť fn{x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Dále nechť jsou všechny derivace gn{x) = f„{x) spojité a nechť konvergují na temže intervalu stejnoměrně k funkci g(x). Pak je také funkce f(x) diferencovatelná na intervalu [a, b] a platí zde f\x) = g(x). Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad 00000000» ooooooooooooo ooooo Test pro stejnoměrnou konvergenci Nejjednodušším způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Weierstrassův test Předpokládejme, že máme řadu funkcí fn{x) na intervalu / = [a, b] a že navíc známe odhad \fn{*)\ < an G R pro vhodné nezáporné konstanty an a všechna x G [a, b]. Pokud je (číselná) řada konstant J2^Lian konvergentní, pak bude řada funkcí Yl^Li ^i(x) konvergentní stejnoměrně Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad 00000000» ooooooooooooo ooooo Test pro stejnoměrnou konvergenci Nejjednodušším způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Weierstrassův test Předpokládejme, že máme řadu funkcí fn{x) na intervalu / = [a, b] a že navíc známe odhad \fn{*)\ < 3n £ M pro vhodné nezáporné konstanty a„ a všechna x G [a, b]. Pokud je (číselná) řada konstant Yľ^Ĺi an konvergentní, pak bude řada funkcí Yl^Li ^i(x) konvergentní stejnoměrně Příklad Rozhodněte, je-li řada Yľ^Ĺi S'n"X stejnoměrně konvergentní na M. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooooooooo ooooo Q Posloupnosti a řady funkcí Q Mocninné řady Q Taylorovy a Maclaurinovy řady Q Aplikace nekonečných řad Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad OOOOOOOOO »000000000000 ooooo Mocninné řady V části věnované diferenciálnímu počtu jsme ukázali, jak k dané funkci f(x) přiřadit Taylorův polynom stupně n (se středem v daném bodě xq), který aproximuje funkci f(x) v okolí bodu xq. Definice Mocninná řada se středem v bodě xq = 0 je nekonečná řada tvaru oo an x" = 3p + 31 x + a2 x2 + a3 x3 + ■ ■ ■ Podobně, nekonečná řada tvaru oo - x0)" = 30 + 31 (x-x0) + 32 (x-x0)2 + 33 (x-x0)3 + . . . se nazývá mocninná řada se středem v bodě xq . Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad OOOOOOOOO »000000000000 ooooo Mocninné řady V části věnované diferenciálnímu počtu jsme ukázali, jak k dané funkci f(x) přiřadit Taylorův polynom stupně n (se středem v daném bodě xq), který aproximuje funkci f(x) v okolí bodu xq. Definice Mocninná řada se středem v bodě xq = 0 je nekonečná řada tvaru oo an x" = 3p + 31 x + a2 x2 + a3 x3 + ■ ■ ■ Podobně, nekonečná řada tvaru oo - x0)" = 30 + 31 (x-x0) + 32 (x-x0)2 + 33 (x-x0)3 + . . . se nazývá Bod xq se mocninná řada se středem v bodě xq . nazývá střed mocninné řady a čísla a^ její koeficienty. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo 0*00000000000 ooooo Příklad (geometrická řada) Pokud vezmeme všechny koeficienty an = 1 a xo = 0, dostaneme mocninnou řadu oo ^ x" = 1 + x + x2 + x3 +____ Tato řada je geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = x a a konverguje pro |x| < 1, přičemž její součet je j^—. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo o»ooooooooooo ooooo Příklad (geometrická řada) Pokud vezmeme všechny koeficienty an = 1 a xo = 0, dostaneme mocninnou řadu x" = i+x+x2+x3 + n=0 Tato řada je geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = x a a konverguje pro |x| < 1, přičemž její součet je Příklad Mocninná řada s ar ^ ^ a středem xq = 2, která je také 1 a kvocientem q = —^r^- geometrická s počátečním členem a Ta podle tvrzení o konvergenci geometrické řady tato řada konverguje pro I x-2 2 I < 1, tj. pro x G (0,4), přičemž její součet je n=0 2" x-2^ 2 > 2+X-2 2 2 x pro x G (0,4 00.0 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oo^oooooooooo ooooo Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot. Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada Eoo f_i\n-lx" _ _ x2 , x3 _ x4 , x5 _ n=l\ í) n ~ X 2 + 3 4 + 5 ---- Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Tayl ořovy a IV aclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oo^oooooooooo ooooo Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot. Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada Eoo f_i\n-lx" _ _ x2 , x3 _ x4 , x5 _ n=l\ í) n ~ X 2 + 3 4 + 5 ---- Řešení Podle podílového kritéria je Un+l n+l n Un n X n + l x\ —> \x\ pro n —> oo. A tedy pro |x| < 1 tato řada konverguje (absolutně) a pro |x| > 1 nekonverguje (zřejmě pro x < — 1 diverguje k —oo a pro x > 1 osciluje). 00.0 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oo^oooooooooo ooooo Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot. Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada E~i(-ir1^=^ ~2 ~3 " " 2 + 3 4 + 5 Podle podílového kritéria je Un+l n+l n Un n X n + l pro n oo. A tedy pro |x| < 1 tato řada konverguje (absolutně) a pro |x| > 1 nekonverguje (zřejmě pro x < — 1 diverguje k —oo a pro x > 1 osciluje). Pro x = —1 se jedná o zápornou harmonickou řadu která diverguje k —oo. A pro x = 1 se jedná o alternující harmonickou řadu, která konverguje (relativně). Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooo»ooooooooo ooooo Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada y- n=0 2 3 4 5 x x° x xj 1+x + y + y + 24 + i2ô + - Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooo»ooooooooo ooooo Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada y- n=0 2 3 4 5 x x° x xj 1+x + y + y + 24 + i2ô + - Podle podílového kritéria je pro n oo un+i (n+l)\ ±xn n\ (n + l)\ n + 1 A tedy tato řada konverguje (absolutně) a pro každé xéI. Později ukážeme, že součet této mocninné řady je funkce ex Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooosoooooooo ooooo Každá mocninná řada konverguje ve svém středu, protože pro x = xq se jedná o nulovou řadu. Dále ze srovnávacího kritéria plyne následující. Věta Uvažujme mocninnou radu oo (x - x0)" = 30 + 3i (x-x0) + 32 (x-x0)2 + 33 (x-x0)3 +---- O Jestliže tato mocninná řada konverguje pro nějaké x = c, potom konverguje absolutně pro všechna \x\ < \c\. Z Weiestrassova kritéria pak plyne dokonce stejnoměrná konvergence na každém uzavřeném intervalu [a, b] C (—c, c). O Jestliže tato řada nekonverguje (tj. diverguje k ±00 nebo osciluje) pro nějaké x = d, potom nekonverguje pro všechna Ixl > \d\. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooo»ooooooo ooooo Poloměr konv 'ergence Pro každou mocninnou řadu tedy nastává právě jedna z následujících možností: • Existuje číslo R > 0 takové, že tato mocninná řada konverguje absolutně pro |x — xq\ < R, tj. pro x £ (xo — R,xq + R) a nekonverguje pro |x — xo| > R, tj. pro x < xo — R a pro x > xo + R. Rada může a nemusí konvergovat v každém z krajních bodů x = xo — R a x = xo + R. 9 Tato mocninná řada konverguje absolutně pro všechna x£l (v tomto případě klademe R : = oo). • Tato mocninná řada konverguje pouze pro x = xo a nekonverguje pro všechna (v tomto případě R := 0). Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad OOOOOOOOO OOOOO0OOOOOOO ooooo Poloměr konvergence Pro každou mocninnou řadu tedy nastává právě jedna z následujících možností: • Existuje číslo R > 0 takové, že tato mocninná řada konverguje absolutně pro |x — xq\ < R, tj. pro x G (xo — R,xq + R) a nekonverguje pro |x — xo| > R, tj. pro x < xo — R a pro x > xo + R. Rada může a nemusí konvergovat v každém z krajních bodů x = xo — R a x = xo + R. 9 Tato mocninná řada konverguje absolutně pro všechna x G M (v tomto případě klademe R : = oo). • Tato mocninná řada konverguje pouze pro x = xo a nekonverguje pro všechna (v tomto případě R : = 0). Číslo R mající výše popsané vlastnosti nazýváme poloměr konvergence mocninné řady. Pokud je R > 0 (tj. pokud nastane první nebo druhá z výše uvedených možností), potom hovoříme o intervalu konvergence. ■0 0.0 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooo«oooooo ooooo Příklad « Pro mocninné řady ^^Lox"' Yl^Lo (—l)"x" Je poloměr konvergence R = 1. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooo«oooooo ooooo Příklad « Pro mocninné řady ^^Lox"' Yl^Lo (—l)"x" Je poloměr konvergence R = 1. » Pro mocninnou řadu J2T=o 7TT Je P°l°m^r konvergence R = oo. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooo«oooooo ooooo ' Příklad ^ « Pro mocninné řady x",Eľ=o(-1)"^Je p°loměr konvergence R = 1. • Pro mocninnou řadu q ^ je poloměr konvergence R = 00. 0 Pro mocninnou řadu q n! x" je poloměr konvergence R = 0. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooo»ooooo ooooo Pro poloměr konvergence R mocninné řady platí následující. Pokud existuje limita (vlastní nebo nevlastní) lim V\a případně lim an+i an potom poloměr konvergence mocninné řady je R pro a > 0, pro a = 0, pro a = oo. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooooo»oooo ooooo Důkaz. Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria resp. z odmocninového kritéria. Pokud totiž existuje příslušná limita z věty, potom je VW\ = >/|a„ (x-x0)"| = —> a . |x — xq| pro n OO xo| xo| Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Tayl ořovy a IV aclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooooo«oooo ooooo Důkaz. Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria resp. z odmocninového kritéria. Pokud totiž existuje příslušná limita z věty, potom je VW\ = V>n {X-X0)"\ = VW\ ■ a . \x — xq j pro n —> oo Tedy mocninná řada konverguje (absolutně), pokud je a . \x — xq\ < 1, a nekonverguje, pokud je a . \x — xq\ > 1. Pro a. \x — xq| = 1 konvergovat může i nemusí. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooooo«oooo ooooo Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria resp. z odmocninového kritéria. Pokud totiž existuje příslušná limita z věty, potom je U„\ = V\3n (x-Xo)"| = VW\- \/\x-X0\n = VW\ • I* " *0 Tedy mocninná řada konverguje (absolutně), pokud je a . |x — xo| < 1, a nekonverguje, pokud je a . |x — xo| > 1. Pro a. |x — xo| = 1 konvergovat může i nemusí. To znamená, že pokud je a > 0, řada konverguje pro |x — xo| < - a nekonverguje pro |x — xo| > -, neboli R = -. Pokud je a = 0, je a. |x — xo| = 0 < 1 pro všechna x £ M, a tedy řada konverguje pro všechna xěI, neboli R = oo. A pokud je a = oo, je a. |x — xo| = oo > 1 pro všechna x ^ xq, neboli řada nekonveguje pro všechna x ^ xq, neboli R = 0. □ a . |x — Xq pro n oo Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo 000000000*000 ooooo Poznámka Předpoklad existence limity ve větě je příliš silný. Lze ukázat, že stačí místo limity použít limitu superior (která existuje vždy), tj. 3, případně lim sup 3n+l Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo 000000000*000 ooooo Poznámka Předpoklad existence limity ve větě je příliš silný. Lze ukázat, že stačí místo limity použít limitu superior (která existuje vždy), tj. lim sup y \an\ = a, případně lim sup 3n+l a. Může nastat situace, že lim„-xx> vl^ňl = 3 existuje, zatímco limn^oo | ^r1 | neexistuje (opačně nikoliv!). Je tedy vidět, že stačí vždy počítat poloměr konvergence pomocí vzorečku s limn^oo {/\a~l a (pokud tedy tato limita existuje jako vlastní nebo jako nevlastní). Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooooooo»oo ooooo ninných řad Mocninné řady (jakožto „polynomy" nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, ze stejnoměrné konvergence mocninné řady na libovolném uzavřeném podintervalu intervalu konvergence plnye, že: — součet mocninné řady je spojitá funkce, Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooooooo»oo ooooo ninných řad Mocninné řady (jakožto „polynomy" nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, ze stejnoměrné konvergence mocninné řady na libovolném uzavřeném podintervalu intervalu konvergence plnye, že: — součet mocninné řady je spojitá funkce, — mocninnou řadu můžeme derivovat člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence, Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo oooooooooo»oo ooooo ninných řad Mocninné řady (jakožto „polynomy" nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, ze stejnoměrné konvergence mocninné řady na libovolném uzavřeném podintervalu intervalu konvergence plnye, že: — součet mocninné řady je spojitá funkce, — mocninnou řadu můžeme derivovat člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence, — mocninnou řadu můžeme integrovat (neurčitým i určitým integrálem) člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooooooo ooooooooooo»o ooooo Příklad Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady oo nxn =x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + .... Posloupnosti a řady funkcí ooooooooo Mocninné řady ooooooooooo»o Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad Příklad Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady oo J2nx" =x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + .... ?z±i = a±±^i = a, =► R=1- = i. an n a Tedy řada konverguje pro x £ (—1,1) a zřejmě nekonverguje v krajních bodech tohoto intervalu. 00.0 Posloupnosti a řady funkcí ooooooooo Mocninné řady ooooooooooo»o Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad Příklad Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady oo J2nx" =x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + .... ?z±i = a±±^i = a, =► R=1- = i. an n a Tedy řada konverguje pro x 6 (—1,1) a zřejmě nekonverguje v krajních bodech tohoto intervalu. Protože je nx"_1 = (x")', součet této řady určíme z věty o derivaci mocninné řady OO OO OO / OO \ I J2nx" = x- H nx"_1 = x- H(x")'= x- (Hx" Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad OOOOOOOOO 000000000000» ooooo ' Příklad ^ Určete součet mocninné řady oo -n=l 2 3 4 5 x x x x ~ ~i + y ~ t + y ~" ■ a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady. Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad OOOOOOOOO 000000000000» ooooo Příklad Určete součet mocninné řady oo 1 2 3 4 5 ^y ' n 2 3 4 5 n—l a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady. Řešení Tato mocninná řada konverguje pro x £ (—1,1]. Protože je = f xn dx, součet této řady určíme z věty o integraci mocninné řady. 00.0 Posloupnosti a řady funkcí ooooooooo Mocninné řady 000000000000» Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad Příklad Určete součet mocninné řady 2 3 x x i 2 3 4 5 y(_l)"-lAx" =x- - + --- + - ^y ' n o -\ A R a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady. Tato mocninná řada konverguje pro x £ (—1,1]. Protože je = f xn dx, součet této řady určíme z věty o integraci mocninné řady. oo - oo n+l 00 / /* E (-ir^x" = E = E /x" * n=l n=0 n=0 V = / (E("x)")c/x = / T^^ = ln(l+x) + C, proxG(-