Diferer iice - dokoi Závěreči Matematika 11-14. přednáška Závěrečné shrnutí Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21. 12. 2011 Diferer iice - dokoi Závěreči Q Diferenciální rovnice - dokončení Q Závěrečné shrnutí Diferer iice - dokoi Závěreči • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Diferer iice - dokoi Závěreči Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru a(x)y" + b(x)y' + c(x)y = f(x), kde funkce a, b, c, f : I —> M jsou koeficienty v této rovnici. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu mají podobné vlastnosti jako lineární rovnice 1. řádu, zejména jejich řešení existují a jsou určena jednoznačně pomocí dvou počátečních podmínek y(xo) = yo,y'{xo) = yi, tj. je zadána hodnota funkce a její derivace (neboli bod v rovině, kterým musí řešení projít, a pak sklon, pod kterým musí řešení tímto bodem projít). Diferer iice - dokoi Závěreči Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru a(x)y" + b(x)y' + c(x)y = f(x), kde funkce a, b, c, f : I —> M jsou koeficienty v této rovnici. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu mají podobné vlastnosti jako lineární rovnice 1. řádu, zejména jejich řešení existují a jsou určena jednoznačně pomocí dvou počátečních podmínek y(xo) = yo,y'{xo) = yi, tj. je zadána hodnota funkce a její derivace (neboli bod v rovině, kterým musí řešení projít, a pak sklon, pod kterým musí řešení tímto bodem projít). O těchto rovnicích existuje velké množství literatury, obvykle se studují zejména rovnice s konstantními koeficienty ay" + by' + cy = f(x), které mají mnoho aplikací např. při modelování mechanického a elektromagnetického kmitání. Pro ilustraci uveďme lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, kterou vyřešíme (bez jakýchkoliv dalších znalostí teorie diferenciálních rovnic) pomocí nekonečných řad. Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y" + y = 0 pomocí nekonečných řad. Diferer iice - dokoi Závěreči Pro ilustraci uveďme lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, kterou vyřešíme (bez jakýchkoliv dalších znalostí teorie diferenciálních rovnic) pomocí nekonečných řad. Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y" + y = 0 pomocí nekonečných řad. Řešení Hledejme řešení této rovnice ve tvaru mocninné řady y = Yl^Lo anxn• Potom podle pravidla pro derivaci mocninné řady platí oo oo / = nx"-1 = Y, an+i (n + 1) x", n—l n=0 oo oo y" = Yann(n-l) xn~2 = £ an+2 (n + 2)(n + 1) x". n=2 n=0 Diferer lice - dokoi Závěreči Řešení (pokr.) Dosazením do rovnice y" + y = 0 dostávame 0 = oo oo 5>n+2 (n + 2) (n + 1) x" + ^ 3„ x" = = y" r OO [a„+2(n + 2)(n + l) + an]x" n=0 Diferer iice - dokoi Závěreči Řešení (pokr.) Dosazením do rovnice y" + y = 0 dostáváme oo oo 0 = 5>n+2 (n + 2) (n + 1) x" + J>„ x" n=Q n=Q [a„+2(n + 2)(n + l) + an]x" n=Q Tedy poslední uvedená řada je mocninná řada pro konstantní funkci s(x) = 0, a proto musí všechny její koeficienty být nulové, tj. 3n+2 {n + 2) (n + 1) + an = 0 pro všechna n G N U {0}. Diferenciální rovnice - dokončení Řešení Odtud vychází rekurentní vztah pro jednotlivé koeficienty an+2 = -7-TT-7--r pro všechna n G N U {0}. (i) + 2)(n + l) K 1 J Tedy jsou-li koeficienty 3o a a\ dány (všimněte si, že ao = y(0) a 3i =y'(0), tj. tyto koeficienty jsou dány počátečními podmínkami ve středu hledané mocninné řady), potom je 3() 3i a2 — -TT' a3 2 ' J 3.2' _ a2 _ a0 _ 33 _ al 34 " ~4~3 " 4Í' 35 " "5^ " 5!' 32k = (-1) 7^7T7, a2/c+l = (-1) (2/c)!' ZK+1 v ' (2/c + l)! Diferer iice - dokoi Závěreči Řešení (dokončení) Celkově je tedy hledané řešení tvaru y n=Q 30 1 2! X +4!X 6! 1 7! x6 + ... + (-1)' (2/c)! 1 x2* + ... (2/c + l)! x2k+1 + 00.0 Diferer iice - dokoi Závěreči Řešení (dokončení) Celkově je tedy hledané řešení tvaru oo n=Q 30 1 + 31 < X 2!* +4!* 6! 7! xu + x7 + (2/c) x2* + ... (2/c + l)! x2/(+1 + ,2k+l Vidíme tedy, že hledané obecné řešení je lineární kombinací dvou funkcí, přičemž uvedené mocninné řady konvergují pro všechna x G M (jejich poloměr konvergence je R = oo). Neboli obecné řešení uvedené diferenciální rovnice je (pro C := ao a D := a\) rovno y = C cos x + D sin x, x G M, C, D G M. Diferenciální rovnice - dokončení Závěrečné shrnutí Plán přednášky Qi Diferenciální rovnice - dokončení Q Závěrečné shrnutí <□> <|l -a O^O O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproxim metodou nejmenších čtverců. 4 & ► 4 = k 4 Metoda nejmenších čtverců - flashback Hledáme funkci tvaru f(x) = a ■ x + b s neznámými a, b G M tak, aby hodnota i-l byla minimální. Metoda nejmenších čtverců - flashback Hledáme funkci tvaru f(x) = a ■ x + b s neznámými a, b G M tak, aby hodnota byla minimální. Následující tvrzení lze snadno odvodit pomocí metody na nalezení extrému funkce dvou proměnných (tato metoda je analogií pro hledání extrému funkce jedné proměnné, přesněji viz MB103). Mezi přímkami tvaru f(x) = a ■ x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x\,..., xn od hodnot y, funkce splňující aj2xf + bJ2Xi = Y1 x'>y'> a ^ x; + b ■ n = ^ y; 00.0 O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. ® Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. ® Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. ® Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Aproximace - diferenciál, Taylorův polynom. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. ® Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Aproximace - diferenciál, Taylorův polynom. O Primitivní funkce - metody výpočtu. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. ® Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Aproximace - diferenciál, Taylorův polynom. O Primitivní funkce - metody výpočtu. O Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. Q Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Aproximace - diferenciál, Taylorův polynom. O Primitivní funkce - metody výpočtu. Q Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. O Nekonečné řady - kritéria a typy konvergence. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. Q Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Aproximace - diferenciál, Taylorův polynom. O Primitivní funkce - metody výpočtu. Q Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. O Nekonečné řady - kritéria a typy konvergence. O Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná spojitosti, Taylorovy a Fourierovy řady, jejich využití při aproximaci. O Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. O Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. Q Exponenciální a logaritmická funkce - způsob definice (přírůstky do zoo). Q Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. O Aproximace - diferenciál, Taylorův polynom. O Primitivní funkce - metody výpočtu. Q Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. O Nekonečné řady - kritéria a typy konvergence. O Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná spojitosti, Taylorovy a Fourierovy řady, jejich využití při aproximaci. Q Elementární diferenciální rovnice.