Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Matematika II - 5. přednáška Derivace - průběh funkce, optimalizace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26. 10. 2011 Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Obsah přednášky Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Q Optimalizace Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes 40^ 4^» 4i» « -O^O Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo poručené zdroj Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Jaromír Kuběn - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 (rovněž na http: //www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Plán přednášky Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Q Optimalizace Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody •ooooooooooooooooooooocoooooo oooooooo ooooooo Monotonie a extrémy Definice Funkce f(x) je • rostoucí (resp. neklesající) na intervalu /, pokud ^(xi) < f{x2) (resp. ^(xi) < f{x2)) pro každé xi,X2 G /, x\ < X2, « klesající (resp. nerostoucíjna intervalu /, pokud ^(xi) > f{x2) (resp. ^(xi) > f(x2)) pro každé xi,X2 G /, x\ < X2, Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody •ooooooooooooooooooooocoooooo oooooooo ooooooo Monotonie a extrémy Definice Funkce f(x) je • rostoucí (resp. neklesající) na intervalu /, pokud ^(xi) < f{x2) (resp. ^(xi) < f{x2)) pro každé xi,X2 G /, x\ < X2, « klesající (resp. nerostoucíjna intervalu /, pokud ^(xi) > f{x2) (resp. ^(xi) > f(x2)) pro každé xi,X2 G /, x\ < X2, Funkce f(x) má v bodě xo G D(f) » lokální maximum, pokud f(x) < ^(xo) pro všechna x z nějakého okolí bodu xo, • lokální minimum, pokud f(x) > í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xq. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody •ooooooooooooooooooooocoooooo oooooooo ooooooo Monotonie a extrémy Definice Funkce f(x) je • rostoucí (resp. neklesající) na intervalu /, pokud ^(xi) < f{x2) (resp. ^(xi) < f{x2)) pro každé xi,X2 G /, x\ < X2, « klesající (resp. nerostoucíjna intervalu /, pokud ^(xi) > f{x2) (resp. ^(xi) > f(x2)) pro každé xi,X2 G /, x\ < X2, Funkce f(x) má v bodě xo G D(f) » lokální maximum, pokud f(x) < í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xo, • lokální minimum, pokud f(x) > í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xq. Analogicky ostré lokální maximum (minimum). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody o»ooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f(x) je neklesající na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx G /. Průběh funkce Optimalizace o»ooooooooooooooooooooooooooo ESE m Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f(x) je neklesající na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx G /. O Funkce f(x) je rostoucí na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx G /, přičemž rovnost f'(x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. Průběh funkce Optimalizace o»ooooooooooooooooooooooooooo ESE m Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f(x) je neklesající na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx G /. O Funkce f(x) je rostoucí na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx e /, přičemž rovnost f'(x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. O Funkce f(x) je nerostoucí na intervalu I 44> f'(x) < 0 Vx G /. J Průběh funkce Optimalizace o»ooooooooooooooooooooooooooo ESE m Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f(x) je neklesající na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx G /. O Funkce f(x) je rostoucí na intervalu I 44> f'(x) > 0 Vx e /, přičemž rovnost f'(x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. O Funkce f(x) je nerostoucí na intervalu I 44> f'(x) < 0 Vx G /. O Funkce f[x) je klesající na intervalu I 44> f'{x) < 0 Vx G /, přičemž rovnost f'(x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. Průběh funkce Optimalizace oo»oooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Body, kde f'(x) = 0, se nazývají stacionární body funkce f(x). Věta Funkce f(x) může mít lokální extrémy pouze ve svých stacionárních bodech nebo v bodech, kde f'(x) neexistuje. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody oo»oooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Body, kde f'(x) = 0, se nazývají stacionární body funkce f(x). Věta Funkce f(x) může mít lokální extrémy pouze ve svých stacionárních bodech nebo v bodech, kde f'(x) neexistuje. ' Věta ^ Necht xq je stacionární bod funkce f(x), tj. f\xQ) = 0 , a necht existuje f"(xo). O Je-li f"(xo) > 0, potom je v bodě xq ostré lokální minimum. O Je-li f"(xo) < 0, potom je v bodě xq ostré lokální maximum. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooo#ooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Definice Funkce f(x) má v bodě xo G V(f) • globální maximum na množině M C V(f), pokud f{x) < f{xo) pro všechna x G M, « globální minimum na množině M C P(/r), pokud f(x) > ^(xq) pro všechna x G M. Průběh funkce Optimalizace oooo»ooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Poznámka O Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. O Globální max/min nemusí být jediné. Např. funkce f(x) = x2 na intervalu [—1,1] má globální max 1 v bodech x = — 1 a x = 1, kdežto globální min 0 v bodě x = 0. O Globální max/min nemusí ani existovat. O Weierstrassova věta zaručuje existenci globálního max/min -za předpokladu spojitosti funkce f(x) na intervalu [a,b]. O Pokud víme, že globální extrémy existují, potom musí tyto globální extrémy být • ve stacionárních bodech, • v bodech, kde neexistuje f'(x), » nebo v krajních bodech daného intervalu. Nemusíme již pak určovat, jestli jsou ve stacionárních bodech lokální extrémy či nikoliv. Průběh funkce Optimalizace ooooo»oooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Poznámka Z Poznámky (v) plyne postup pro nalezení globálních extrémů spojité funkce f(x) na intervalu [a, b] (z Weierstrassovy věty víme, že globální max/min existuje): • Najdeme stacionární body funkce f(x) a body, kde neexistuje f'{x). • V těchto bodech a v krajních bodech intervalu určíme funkční hodnoty. • Vybereme z nich max a min hodnotu. Průběh funkce Optimalizace oooooo^oooooooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad Určete globální extrémy funkce f(x) = x — 1 — "\/í*í> na intervalu [—1,1]. Průběh funkce Optimalizace oooooo^oooooooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad Určete globální extrémy funkce f(x) = x — 1 — VT*Í> na intervalu [—1,1]. Řešení Protože je f(x) spojitá na intervalu [—1,1], globální extrémy v tomto intervalu existují. Pro x > 0 je f(x) = x — 1 — t/x =4> f'{x) = 1 — a dostáváme stacionární bod x = |. Průběh funkce Optimalizace oooooo^oooooooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad Určete globální extrémy funkce f(x) = x — 1 — VT*Í> na intervalu [—1,1]. Řešení Protože je f(x) spojitá na intervalu [—1,1], globální extrémy v tomto intervalu existují. Pro x > 0 je f(x) = x — 1 — t/x =4> f'{x) = 1 — a dostáváme stacionární bod x = |. Prox< Oje f(x) =x-l-y/=x => f'(x) = 1 - • (-1), což není nulové pro žádné x < 0 (dokonce pro žádné x G M). Vidíme, že x = I je jediný stacionární bod a x = 0 je bod, kde neexistuje f'(x) (v intervalu [—1,1]). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooo»ooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Řešení (dokončení) Máme tedy stac. body: x = i 4' fík) = k _ 1 _ I = _5 ' V4/ 4 2 4' ^ f'(x) x = o, f(0) = -1, <— max krajní body: x = -1, f(-l) = -1 - 1 - 1 = -3, <— min x = 1, f(l) = 1 - 1 - 1 = -1. <— max Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooo»ooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Řešení (dokončení) Máme tedy stac. body: x = i 4' fík) = k _ 1 _ I = _5 ' V4/ 4 2 4' ^ f'(x) x = o, f(0) = -1, <— max krajní body: x = -1, f(-l) = -1 - 1 - 1 = -3, <— min x = 1, f(l) = 1 - 1 - 1 = -1. <— max Dostáváme tedy globální min —3 v bodě x = —1, globální max —1 v bodech x = 0, x = 1. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody oooooooo»ooooooooooooocoooooo oooooooo ooooooo Konvexnost,konkávnost, inflexe Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) „zatáčí". Tyto pojmy budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce. Průběh funkce Optimalizace oooooooo»ooooooooooooocoooooo Konvexnost,konká Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) „zatáčí". Tyto pojmy budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce. Definice Nechť má funkce f(x) vlastní derivaci na intervalu / C V(f). Funkce f(x) se nazývá • konvexní na intervalu I, pokud je f'(x) neklesající na /, • konkávni na intervalu I, pokud je f'(x) nerostoucí na /. Průběh funkce Optimalizace OOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOCOOOOOO Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Poznámka To, že funkce f'(x) je neklesající na intervalu / (tj. f(x) je konvexní), znamená, že tečny mají „neklesající směrnici", tj. graf funkce f(x) zatáčí doleva a tečny leží pod grafem. To, že funkce f'(x) je nerostoucí na intervalu / (tj. f(x) je konkávni), znamená, že tečny mají „nerostoucí směrnici", tj. graf funkce f(x) zatáčí doprava a tečny leží nad grafem. Průběh funkce Optimalizace oooooooooo«oooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad O Funkce f(x) = x2 má derivaci f'(x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na M. A proto je x2 konvexní na M. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody oooooooooo«oooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Příklad O Funkce f(x) = x2 má derivaci f'(x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na M. A proto je x2 konvexní na M. O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, 00). Průběh funkce Optimalizace oooooooooo«oooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad O Funkce f(x) = x2 má derivaci f'(x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na M. A proto je x2 konvexní na M. O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, 00). O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu (—oo,0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A proto je x3 konkávni na (—00, 0]. Průběh funkce Optimalizace oooooooooo«oooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad O Funkce f(x) = x2 má derivaci f'(x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na M. A proto je x2 konvexní na M. O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, 00). O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu (—oo,0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A proto je x3 konkávni na (—00, 0]. O Funkce f(x) = ax + b má derivaci f'(x) = a, což je funkce konstantní (tudíž neklesající) na M. A proto je ax + b konvexní na M. Současně je konstantní funkce f'(x) = a nerostoucí na M, a proto je ax + b také konkávni na M. ■0 0.0 Průběh funkce Optimalizace ooooooooooo»oooooooooocoooooo Konvexnost a druh Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Věta Nechť I C V(f) je otevřený interval a nechť má funkce f(x) druhou derivaci f"(x) na I. (i) Je-li f"(x) > 0 na I, potom je f(x) konvexní na intervalu I. (ii) Je-li f"(x) < 0 na I, potom je f(x) konkávni na intervalu I. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooo»oooooooooocoooooo Konvexnost a druh Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Věta Nechť I C V(f) je otevřený interval a nechť má funkce f(x) druhou derivaci f"(x) na I. (i) Je-li f"(x) > 0 na I, potom je f(x) konvexní na intervalu I. (ii) Je-li f"(x) < 0 na I, potom je f(x) konkávni na intervalu I. Důkaz. ad (i): Je-li f"(x) > 0 na intervalu /, potom je funkce f'(x) rostoucí na intervalu /. Tedy je přímo podle definice funkce f[x) konvexní na intervalu /. □ Průběh funkce Optimalizace oooooooooooo»ooooooooocoooooo Inflexní bo Primitivní funkce OOOOOOOO Základní integrační metody ooooooo Tam, kde se mění konvexnost na konkávnost nebo naopak, se nacházejí tzv. inflexní body funkce. Definice Nechť má funkce f(x) vlastní nebo nevlastní derivaci f'(xo). Je-li f'(xo) nevlastní, potom navíc předpokládejme, že je f(x) spojitá v bodě xo. Bod xo je inflexní bod funkce f(x), pokud v nějakém levém okolí bodu xo je funkce f(x) konvexní a v nějakém pravém okolí bodu xo je funkce f(x) konkávni, nebo naopak. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooo»oooooooocoooooo Vlastnosti inflexníc Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Věta (i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f"(xo) = 0 v inflexním bodě xq, potom je f"(xo) = 0. (ii) Je-li f"(xo) = 0 a f"(x) mění znaménko v bodě xq, potom je xq inflexní bod. (iii) Je-li f"(xo) = 0 a f"'(xo) ^ 0, potom je xq inflexní bod. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooo»oooooooocoooooo oooooooo ooooooo Vlastnosti inflexních bodů Věta (i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f"(xo) = 0 v inflexním bodě xo, potom je r"(x0) = 0. (ii) Je-li f"(xo) = 0 a f"{x) mění znaménko v bodě xq, potom je xo inflexní bod. (iii) Je-li f"(xo) = 0 a f"'(xo) ^ 0, potom je xq inflexní bod. Zejména část (ii) v předchozí větě ukazuje, jak inflexní body najít. Současně ze změny znaménka f"{x) (tedy jestli se jedná o změnu z 0 do © nebo o změnu z © do 0) poznáme, kterým směrem graf funkce f[x) v bodě xq „zatáčí". Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooo»oooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a inflexní body funkce f(x) =x + sinx na intervalu [0,47r]. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody oooooooooooooo»oooooooooooooo oooooooo ooooooo Příklad Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a inflexní body funkce f(x) =x + sinx na intervalu [0,47r]. Řešení f'(x) = 1 + cosx = 0 implikuje, že cos x = — 1, tedy x = ir, 3tt jsou stacionární body (v intervalu [0,47r]). Body, kde neexistuje f'(x) nejsou. V každém z intervalů (0, ir), (7r,37r) a (3ir, 4tt) vybereme jeden bod pro určení znaménka f'(x) v těchto intervalech. Tedy f(x) je rostoucí na [0,47r], f(x) nemá lokální extrémy. » Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooo»ooooooooooooo ešení příkladu - Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Řešení f"(x) = — sin x = 0 implikuje, že x = 0, ir, 2tt, 3tt, 4tt jsou kandidáti na inflexní body. V každém z intervalů (0,7r), (tt,2tt), (2tt, 3tt) a (3ir, 4tt) vybereme jeden bod pro určení znaménka f"{x) v těchto intervalech. Tedy f(x) je konvexní na [ir, 2tt] a na [37r,47r], f(x) je konkávni na [0,7r] a na [27r,37r], f(x) má inflexi v bodech x = ir, 2tt, 3tt. A protože můžeme jednoduše vypočítat funkční hodnoty a hodnoty derivace (pro sklon tečny) ve zmiňovaných stacionárních, inflexních a krajních bodech, můžeme také načrtnout graf této funkce na intervalu [0,47r]. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooo»oooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v oo a v —oo. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooo»oooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integračn ooooooo metody Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v oo a v —oo. Definice • Přímka x = xo (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice funkce f(x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v bodě xo nevlastní, tj. lirri . + fix) = ±00 nebo lim , - fix) = ±00. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooo»oooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integračn ooooooo metody Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v oo a v —oo. Definice • Přímka x = xq (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice funkce f(x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v bodě xo nevlastní, tj. lirri . + fix) = ±00 nebo lim , - fix) = ±00. • Přímka y = ax + b (a, b £ M) je asymptotou se směrnicí v 00, pokud lim \f(x) - (ax + b)] = 0. Podobně pro asymptotu se směrnicí v —00. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooo»ooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad (a) Funkce f(x) = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooo»ooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad (a) Funkce f(x) = ^ má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f(x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože / sinx \ sinx hm--0 = hm - x—>±oo V x J x—>±oo x ohr. typ , ±00 = 0. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooo»ooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad (a) Funkce f(x) = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f(x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože . smx hm--0 x—>±oo V x lim sin x X—>±OQ x typ ohr. ±00 0. (c) Funkce f(x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±00). Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooo»ooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad (a) Funkce f(x) = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f(x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože . smx hm--0 x—>±oo V x lim sin x X—>±OQ x typ ohr. ±00 0. (c) Funkce f(x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±00). Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooo»ooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad (a) Funkce f(x) = ^ má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f(x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože / sinx \ sinx hm--0 = hm - x—>±oo V x J x—>±oo x ohr. typ , ±00 = 0. (c) Funkce f (x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±00). Poznámka Je zřejmé, že asymptoty bez směrnice mohou být pouze v bodech nespojitosti funkce f(x). Samozřejmě ne každý bod nespojitosti zadává asymptotu, viz např. f(x) = v xq = 0. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooo»oooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integračn ooooooo metody Věta Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f(x) i/oo f(x) a= lim -, b = lim [f(x) — ax]. x—>oo x x—>oo Podobně, přímka y = ax + b je asymptotou funkce f(x) v —oo 44> f(x) a = lim -, b = lim [fix) — ax]. x—>—oo x x—>—oo Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooo»oocoooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Důkaz. Býti asymptotou v oo znamená, že f(x) ax + b pro x —> oo. Tedy pokud obě strany podělíme výrazem x, dostaneme, že f{x) b -a H— pro x —^ oo. x x A protože výraz ^ —>■ 0 pro x —^ oo, dostáváme odtud vzoreček pro hodnotu koeficientu a. Dále, známe-li koeficient a, potom f(x) — ax k, b pro x —>■ oo. ^__ Samozřejmě, pokud alespoň jedna z limit definujících koeficienty a, b je nevlastní nebo neexistuje, tak potom daná funkce asymptotu v příslušném oo nebo —oo nemá. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody oooooooooooooooooooo»oooooooo oooooooo ooooooo Příklad Určete asymptoty funkce f(x) (x + 2f Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooo»oooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad ^ Určete asymptoty funkce f(x) = (x - 2)3 (x + 2)2- Řešení x = — 2 je asymptota bez směrn ce. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody oooooooooooooooooooo»oooooooo oooooooo ooooooo Příklad Určete asymptoty funkce f(x) (x + 2f Řešení -2 je asymptota bez směrnice. x ,. f(x) —00. Proto y = 1, £>+ = ••• = —10. Podobně pro 10 je asymptota v 00 i v —00. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooo^ooooooo oooooooo ooooooo Celkový průběh funkce Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooosooooooo oooooooo ooooooo mm Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooosooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooosooooooo oooooooo ooooooo Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooosooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, • hodnoty funkce f(x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde neexistuje f'(x) nebo f"{x), v krajních bodech, atd.), Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooosooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, • hodnoty funkce f(x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde neexistuje f'(x) nebo f"(x), v krajních bodech, atd.), • a nakonec ze všech těchto informací sestrojíme graf funkce f(x). Průběh funkce Optimalizace 0000000000000000000000*000000 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo ' Příklad Vyšetřete celkový průběh funkce f[x) = - + Inx. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody 0000000000000000000000*000000 oooooooo ooooooo ' Příklad ^ Vyšetřete celkový průběh funkce f[x) = - + Inx. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (O, oo). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody 0000000000000000000000*000000 oooooooo ooooooo ' Příklad ^ Vyšetřete celkový průběh funkce f(x) = - + Inx. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (O, oo). • První derivace f'{x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionární bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f(x)). Průběh funkce Optimalizace 0000000000000000000000*000000 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad Vyšetřete celkový průběh funkce f[x) = - + Inx. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (O, oo). • První derivace f'{x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionární bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f(x)). 9 Druhá derivace f"{x) = ^r, je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. Průběh funkce Optimalizace 0000000000000000000000*000000 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad Vyšetřete celkový průběh funkce f[x) = - + Inx. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (O, oo). • První derivace f'(x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionární bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f(x)). 9 Druhá derivace f"{x) = ^r, je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. • x = O je asymptota bez směrnice Průběh funkce Optimalizace 0000000000000000000000*000000 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad Vyšetřete celkový průběh funkce f[x) = - + Inx. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (O, oo). • První derivace f'{x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionární bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f(x)). 9 Druhá derivace f"{x) = ^r, je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. • x = O je asymptota bez směrnice • f(x) nemá žádnou asymptotu se směrnicí Průběh funkce Optimalizace 0000000000000000000000*000000 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad Vyšetřete celkový průběh funkce f[x) = - + Inx. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (O, oo). • První derivace f'{x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionární bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f(x)). 9 Druhá derivace f"{x) = ^r, je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. • x = O je asymptota bez směrnice • f(x) nemá žádnou asymptotu se směrnicí • Hodnoty funkce f[x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech: f{l) = l, f'{l) = 0, f(2) = 1 + In2 « 1,19, f'{2) = \. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Plán přednášky Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce O Optimalizace Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes 4 S ► < -š ► ' - ► Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooo»ooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo V tomto odstavci uvidíme, jak využít znalostí o průběhu funkce či globálních extrémů funkce pro aplikace v „běžném životě". Příklad (Papírová krabice) Z kartonu velikosti A4 vyřízněte v každém rohu stejný čtverec tak, abyste mohli sestrojit krabici (bez víka) s co největším objemem. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooootooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo V tomto odstavci uvidíme, jak využít znalostí o průběhu funkce či globálních extrémů funkce pro aplikace v „běžném životě". Příklad (Papírová krabice) Z kartonu velikosti A4 vyřízněte v každém rohu stejný čtverec tak, abyste mohli sestrojit krabici (bez víka) s co největším objemem. Řešení Označme jako x (v mm) délku strany čtverců, které musíme vyříznout. Potom má zbývající podstava rozměry (297 — 2x) cm x (210 — 2x) cm, přičemž výška krabice bude právě x cm. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooootooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo V tomto odstavci uvidíme, jak využít znalostí o průběhu funkce či globálních extrémů funkce pro aplikace v „běžném životě". Příklad (Papírová krabice) Z kartonu velikosti A4 vyřízněte v každém rohu stejný čtverec tak, abyste mohli sestrojit krabici (bez víka) s co největším objemem. Řešení Označme jako x (v mm) délku strany čtverců, které musíme vyříznout. Potom má zbývající podstava rozměry (297 — 2x) cm x (210 — 2x) cm, přičemž výška krabice bude právě x cm. Pro objem krabice dostaneme proto vztah V = V(x) = (297 - 2x)(210 - 2x)x = 4x3 - 1014x2 + 62370x Délka strany vyřízlých čtverců může být nejvýše 210/2 — 105 mm, a proto musíme najít maximum funkce V(x) na intervalu [0,105]. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooco»oooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Řešení (pokr.) Protože je fukce V(x) spojitá na intervalu [0,105], její maximum existuje (Weierstrassova věta) Musíme najít stacionární body: V'(x) = 12 x2 - 2028 x + 62370 Xl,2 Body, kde V'(x) neexistuje, nejsou. 169 i - — Í-VŤ771 Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooco»oooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Řešení (pokr.) Protože je fukce V(x) spojitá na intervalu [0,105], její maximum existuje (Weierstrassova věta) Musíme najít stacionární body: V'(x) = 12 x Xi 2 2028 x + 62370 169 i - — Í-VŤ771 Body, kde V'(x) neexistuje, nejsou. Bod X2 ~ 40,42 leží v intervalu [0,105], zatímco bod x\ nikoliv. Hodnoty funkce V(x) ve významných (stacionárních a krajních) bodech jsou stacionární bod: krajní body: X2 x = x = s 40,42, 0, 105, V(x2) V(0) = V(0) = 1,1285 x 106 Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoo»ooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Řešení (dokončení) Tedy maximální objem je cca 1,1285 litru pro krabici o rozměrech cca 257 mm x 170 mm x 40 mm. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoo»ooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Řešení (dokončení) Tedy maximální objem je cca 1,1285 litru pro krabici o rozměrech cca 257 mm x 170 mm x 40 mm. Všimněte si, že maximum můžeme také ověřit testem s první derivací): pro x 6 [0,X2) je V'(x) > 0, tedy V(x) je rostoucí na intervalu [0,X2], zatímco pro x £ (x2,105) je V'(x) < 0 a tedy V(x) je klesající na intervalu [x2,105]. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocooo»oo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Příklad (Výroba plechovky) Určete rozměry litrové plechovky tak, aby spotřeba materiálu na její výrobu byla co nejmenší. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody oooooooooooooooooooooooooo»oo oooooooo ooooooo Příklad (Výroba plechovky) Určete rozměry litrové plechovky tak, aby spotřeba materiálu na její výrobu byla co nejmenší. Označme si jako h (v cm) výšku plechovky a jako r (v cm) poloměr jejího dna (či víčka). Potom je na výrobu takové plechovky potřeba S = S(h, r) = 2_7rr^ +2Tirh cm2 materiálu. dno + víčko stěna Protože ale musí mít plechovka objem 1 litr = 1000 cm3, musí platit , 1000 V = 7rr2h = 1000 h= - irrz Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooo^o Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Řešení (pokr.) Odtud r r, ^ n 2 n !000 „ 2 2000 S = Sír) = 2nr2 + 2nr-T = 2nr2 +- irrz r , pro r > 0. Hledáme tedy minimum funkce S(r) pro r 6 (0, oo). Všimněte si, že daný interval není uzavřený ani ohraničený, a proto pro existenci extrému nelze použít Weierstrassovu větu. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooooooooooooooooooooooo^o oooooooo ooooooo Řešení (pokr.) Odtud S = S(r) = 2Tir2 + 2ivr 1000 irr^ n 2 2000 27rr2 +-, pro r > 0. Hledáme tedy minimum funkce S(r) pro r £ (0, oo). Všimněte si, že daný interval nen/uzavřený ani ohraničený, a proto pro existenci extrému nelze použít Weierstrassovu větu. Určeme nejdříve stacionární body: S'(r) = (27rr2 + 2000 r1)' = Aur - 2000 r2 = Aur 2000 7rr 500, 500 7T o, 5,42. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody oooooooooooooooooooooooooooo* oooooooo ooooooo Dále, protože je S"(x) = (47rr-2000 r~2)' = 4tt+4000 r~3 = 4tt+^^ > O pro r > O, je funkce S(r) konvexní na celém intervalu (O, oo). A proto je bod ro globální minimum. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooooooooo* Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Dále, protože je S"(x) = (47rr-2000 r~2)' = 4tt+4000 r~3 = 4tt+^^ > O pro r > je funkce S(r) konvexní na celém intervalu (O, oo). A proto je bod ro globální minimum. Odpovídající výška plechovky je pak 1000 7rr02 1000 = 2 500 7T -= 2 r0 « 10,84. Spotřeba materiálu je tedy minimální, pokud je výška plechovky rovna průměru podstavy. Průběh funkce Optimalizace OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Plán přednášky Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooo Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe » Asymptoty • Celkový průběh funkce Q Optimalizace Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes Primitivní funkce •ooooooo Základní integrač OOOOOOO Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F'(x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = xo < xi < • • • < x„ = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xf- výrazy F(x/+1) - F(x,-) f{x) x/+1 - x/ dostáváme součet n-l n-l F(Z>)-F(a) = £ F(X;!l)_F(X;)-(x;+1-x;) ^ ^ f (x/K^-x,-). /=0 x/+1 - x/ /=0 Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce •ooooooo Základní integrační metody OOOOOOO Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F'(x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = xo < xi < • • • < x„ = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xf- výrazy frx\ ~ F(x'+i) ~ F(x') Xi+l ~ X; dostáváme součet F(b)-F(a) = ]T F(X;+l)IF(X;)-(x;+1-x;) c ]T f(x;).(x;+1-x;). Funkci F nazýváme antiderivace nebo primitivní funkce k funkci f, množinu všech takových funkcí nazveme neurčitým integrálem funkce f. i -o«.o Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce o^oooooo Základní integrační metody ooooooo Antiderivace reálné funkce f(x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f, souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -00.0 Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce o^oooooo Základní integrační metody ooooooo Antiderivace reálné funkce f(x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f, souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce OO0OOOOO Základní integrační metody ooooooo Poznámka V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem. Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu — jeho vyčíslení vyžaduje znalost antiderivace. Tu obecně není snadné spočíst i když ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme napřed diskutovat jinou definici integrálu. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce ooosoooo Základní integrační metody ooooooo Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak z předchozího víme, že se zbytkem v bodě a dává F(x) — G(x) = konst. na celém intervalu. Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce ooosoooo Základní integrační metody ooooooo Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak z předchozího víme, že se zbytkem v bodě a dává F(x) — G(x) = konst. na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru Průběh funkce Optimalizace OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOODOOOOO Primitivní funkce ooosoooo Základní integrační metody ooooooo Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak z předchozího víme, že se zbytkem v bodě a dává F(x) — G(x) = konst. na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru F{t) = J f{x)dx+C. Příklad Protože mají funkce F{x) = arctgx a G(x) = — arccotgx stejnou derivaci f(x) = musí se tyto funkce lišit o konstantu. Konstantu C můžeme určit např. z hodnot těchto funkcí v bodě x = 0, arctg 0 = 0, arccotg 0 = ^, C = ^, neboli platí arctgx + arccotgx = f, Vx G M. •0 0.O Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce OOOO0OOO Základní integrační metody ooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'(x) = f(x) pro všechna x G /. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce OOOO0OOO Základní integrační metody ooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'(x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooo»ooo ooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'(x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooocooo ooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'(x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na M. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooo»ooo ooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'(x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na M. (d) Funkce arcsin x je primitivní k funkci , 1 2 na (—1,1). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooocooo ooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na M. (d) Funkce arcsin x je primitivní k funkci ^2 na (—1,1). (e) Funkce C (konstantní funkce) je primitivní k funkci 0 na M. ■0 0.0 Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo ooooosoo ooooooo Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f(x) existuje primitivní funkce F(x)? Ne vždy! <□» <0> <1> 3 O^O Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody oooooooooooooooooooooocoooooo ooooo»oo ooooooo Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f(x) existuje primitivní funkce F{x)l Ne vždy! Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Později. □ Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody oooooooooooooooooooooocoooooo ooooo»oo ooooooo Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f(x) existuje primitivní funkce F{x)l Ne vždy! Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Později. J3 Poznámka Věta udává pouze postačující podmínku pro existenci primitivní funkce, spojitost není podmínkou nutnou! Např. funkce f(x) = 2xsin ^ — cos ^, pro 0, f(0) = 0 není 0, přitom snadno spočítáme, že funkce pro x ^ 0, a F(0) = 0 je k f(x) primitivní. spojitá v bodě x F(x) 2 ■ 1 x sin -, Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOCOOOOOO OOOOOO0O ooooooo Tabulkové integrály eax dx = -eax + C a — dx = a I n x + C x a cos bx dx = — si n bx + C b a si n fax dx = — — cos fax + C b a cos fax sin" fax dx b{n + l) smn+1bx+C a si n fax cos" fax crx cos"+1 fax + C a tg fax cŕx = — — I n (cos fax) + C Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooooooooooooooooooooooooo 0000000« ooooooo a2 + x2 dx = arctg y—j + C dx = In \f(x)\ + C Poznámka V posledním vzorci si všimněte, že na pravé straně je v logaritmu absolutní hodnota, neboť pro x > O je (Inx)' = - a pro x < O je [ln(-x)]' = ^-(-l) = i Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooooooo Plán přednášky 0 Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce 0 Optimalizace Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes id> <1> « ono Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo ooooooo (i) Pravidlo konstantního násobku: Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x), potom je c . F (x) primitivní k c . f (x). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOODOOOOO oooooooo ooooooo (i) Pravidlo konstantního násobku: Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x), potom je c . F (x) primitivní k c . f (x). (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: J [f {x) ± g{x)] dx = J f {x) dx±J g{x) dx. Neboli, je-li F (x) primitivní k f (x) a je-li G(x) primitivní k g (x), potom je F (x) ± G(x) primitivní k f (x) ±g(x). Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO »000000 Metoda per partes Metoda pro integraci per partes (= po částech) je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu. Toto integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z jednoduššího součinu. ' Věta Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na J u'(x). v(x) dx = u(x). v(x) — j intervalu 1. Potom platí f u(x). v'(x) dx. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO »000000 Metoda per partes Metoda pro integraci per partes (= po částech) je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu. Toto integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z jednoduššího součinu. ' Věta Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na J u'(x). v(x) dx = u(x). v(x) — j intervalu 1. Potom platí f u(x). v'(x) dx. Tato metoda je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu: [u v]' = u' v + u v', =>■ j[u v]' = f (u' v + u v') u v = j u' v + J uv'. □ Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo o^ooooo Příslušné výpočty pro metodu per partes se často ve výpočtu zapisují mezi dvě svislé čary. Příklad x cos x dx u v - cosx x sin x = 1 x smx si n x d>\ x sin x — (— cosx) + C = x sin x + cosx + C. Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo o»ooooo Příslušné výpočty pro metodu per partes se často ve výpočtu zapisují mezi dvě svislé čary. Příklad x cos x dx u v - cosx x sin x = 1 x smx si n x d>\ x sin x — (— cosx) + C = x sin x + cosx + C. Příklad Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo oo»oooo Metoda per partes občas vyžaduje i použití některých (i když dnes už dostatečně profláknutých) triků: ' Příklad 11 / 1 n x dx = 1. \n x dx = J J v = lnx = x 1 n x — J x ■ — dx = x \nx — u = x v> = ± = x ^ 1 dx = x \nx — x + C Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integrační metody ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooo ooosooo Příklad ex si n x dx u' = ex v = sin x u = e x cos x označme jako / ex si n x — / ex cos x dx e sm x u' = ex v = cos x u = e |excosx — J ex (— sin x) cŕx| sm. ex sin x — ex cos x — / ex si n x c/x pro neznámý integrál / tedy dostáváme rovnici I = ex (sinx — cosx) — /, odkud snadno dopočteme / = \ ex (sinx — cosx). Primitivní funkce oooooooo Základní integraci OOOO0OO Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu J x" eax dx, Jxn cos(ax) dx, Jxn sin(ax) dx, J x" arctg(ax) dx, J x" arccotg(ax) dx, J xa ln"xcrx. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody OOOO0OO Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu J x" eax dx, Jxn cos(ax) dx, Jxn sin(ax) dx, J x" arctg(ax) dx, J x" arccotg(ax) dx, J xa ln"xcrx. Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál, např. Průběh funkce Optimalizace oooooooooooooooooooooocoooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody OOOO0OO Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu J x" eax dx, Jxn cos(ax) dx, Jxn sin(ax) dx, J x" arctg(ax) dx, J x" arccotg(ax) dx, J xa ln"xcrx. Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál, např. J r /.«■,„<*,) *• Metoda per-partes vede někdy na rekurentní formuli pro neznámý integrál (viz následující příklad). Průběh funkce Optimalizace ooooooooooooooooooooooooooooo Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooo«o ' Příklad ^ Určete Kn(x) := j f (x* + 1)" ^ i+»(l + zx) i uz + x u(T + zx) x "(T + zx) XP XZ - x-u-(T + zx) ("-)' x / " "-(T + sx) *2- i-ü-(T + zx)u~ = iA u-{l + zx) = A x = n peloid o«-ooooo Äpoq.3LU juDEJ§3q.ui jupe|>je2 oooooooo 3D>|Unj JUAIIILLIU,-! OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 3Dezi|ELUiq.dQ SD^unj L|sqnj,-| Průběh funkce Optimalizace Primitivní funkce Základní integračn metody OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO oooooooo 000000» Příklad (Dokončení) Z rovnice snadno dopočteme Kn+i{x) = ^ • (y2*!)n + ^JJT ' ^n(x)> odkud je pak možné iterativně počítat hodnoty Kn, např. volbou n = 1 vypočítáme integrál /<2(x): y (x2Ti)2 * = 2(x) = 2 • x^n + 2arctgx+