Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Spojité modely a statistika - 1. přednáška Funkce a zobrazení více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 9. 2014 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo ooooo Q Literatura Q| Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo ooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •ooooooooooooo Limita a spojitost funkce ooooo V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->• R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -> Rn. Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru Rn Literatura Zobrazení a funkce více proměnných o»oooooooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Definice Zobrazení f : W —> R nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... ,x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:M"3(x1,...,x„)4f(x1,..,x„)£l a např. funkce f definované v „rovině" E2 = M2 budou značeny f : R2 3 (x, y) f (x, y) G R Definiční obor A c Rn - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 00*00000000000 Limita a spojitost funkce ooooo Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + \l\x\ + |y| - \Í2. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooo#oooooooooo Limita a spojitost funkce ooooo ' Příklad * Zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) f(x,y) = + Příklad Určete definiční obor funkce f{x,y,z) = arccos - V x2 + y2 Zobrazení a funkce více pramenných oooo»ooooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfcR"xl = Rn+1 splňující Gf = {{xi, ■ ■ ■ ,xn, f{xi, ■ ■ ■ ,xn)); (xi,... ,x„) G A}, kde A je definiční obor funkce f. Příklad Grafem funkce definované v E2 f(x'y) = x^T7 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2 \ {(0,0)}. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooo»oooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : M2 —> M. je funkce dvou proměnných, c£l Množinu fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = 0, y = 0, z = 0 a rovinami rovnoběžnými (kde je místo 0 jiná konstanta). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooo»ooooooo ooooo Příklady ' Příklad Načrtněte vrstevnice funkcí: a) f{x,y) = x2 - y2, b) f(x,y) = y/xy. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce ooooooo»oooooo ooooo Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek (správněji spíše jejich obrazů). Definice Křivka je zobrazení c : R —> En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En: Příklad Obrazem křivky t i-> (cos t, sin t), t £ M. v rovině E2 je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky 11-> (cos(ř3), sin(ř3)), t G R. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooo«ooooo Limita a spojitost funkce ooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice "* • Limita: limt^t0 c(ŕ) G En « Derivace: c'(t0) = limř^řo (c(ř)-^o)) £ Rn « Integrál: f^c(t)dt G M". Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooooo»oooo Limita a spojitost funkce ooooo Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivní funkce pro křivky: Věta _] Je-li c : M —> En křivka spojitá na intervalu [a, b] Riemannův integrál f c(t)dt. Navíc je křivka pak existuje její C(t) = í c(s)ds G Rn J a dobře definovaná, diferencovatelná a platí C(t) -všechny hodnoty t G [a, b]. = c(t) pro Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooo«ooo Limita a spojitost funkce ooooo Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En, tj. vektor c'(řo) ěM"v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> na rozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t £ [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlením čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1, 0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1, 0, 2). Zrychlení ve směru tečny je pak m,^,, (c'(0) ■ c"(0)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 00000000000*00 Limita a spojitost funkce ooooo Příklad Určete tečnu křivky dané předpisem f(t) = (2cosř + cos3ř,sin2ř, t) v bodě t = Příklad Na křivce f(ř) = (t, t , ř ) najděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou x + 2y + z = 1. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooo»o Limita a spojitost funkce ooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic je invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení M." —> M" Zobrazení a funkce více pramenných O* ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde I a, b G M jsou parametry. Zobrazení a funkce více pramenných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo »oooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě ael" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G O(a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo o»ooo Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d • lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, • je-li limx^a f(x) = 0 a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu a, pak lim f{x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooooo Limita a spojitost funkce oo»oo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) Vx2+y2+l-l f=- v bodě (0,0). Viz cvičení. Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) x2+y2 v bodě (0,0). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oooooooooooooo ni Limita a spojitost funkce ooo«o Příklad Vypočtěte limity nebo dokažte jejich neexistenci. a) lim(x,yH(0,0) ^T^, b) lim(XiyH(00i00)(x2+y2)e-(x+^, c) lim(Xiy)_>(o0il)(l + -)*+*, ,\ ,. 1—cos(x2+y2) d) lim(yiy)_,(0,o) {x2+y2)xy. Zobrazení a funkce více pramenných Limita a spojitost funkce oooooooooooooo oooo» SDoiitost funkce Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v bodě a vlastní limitu a platí lim f (x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : M" —> M je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0.