Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciá ooo ooooo oooooo ooooooooooo Matematika III - 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo ooooooooooo Q| Literatura Q| Zobrazení a funkce více proměnných • Zobrazení q Limita a spojitost funkce Q| Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Q| Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo ooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál •oo ooooo oooooo ooooooooooo V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->• R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -> Rn. Zabývat se budeme především dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru Rn Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciá o»o ooooo oooooo ooooooooooo Zobrazení Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic je invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení M." —> M" Zobrazení a funkce více pramenných ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde I a, b G M jsou parametry. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo •oooo oooooo ooooooooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo o«ooo oooooo ooooooooooo Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d • lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, • je-li limx^a f(x) = 0 a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu a, pak lim f{x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo oo»oo oooooo ooooooooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) Vx2+y2+l-l f=- v bodě (0,0). Viz cvičení. Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) x2+y2 v bodě (0,0). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooo«o oooooo ooooooooooo Příklad Vypočtěte limity nebo dokažte jejich neexistenci. a) lim(x,yH(0,0) ^T^, b) lim(XiyH(00i00)(x2+y2)e-(x+^, c) lim(Xiy)^(o0il)(l + -)*+*, ,\ ,. 1—cos(x2+y2) d) lim(yiy)_,(0,o) {x2+y2)xy. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciá ooo oooo» oooooo ooooooooooo Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v bodě a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : M" —> M je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál OOO OOOOO »00000 ooooooooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice /K,...,xn*)), , x*] parciální ,x*) (příp. Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> M. parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do M. Existuje-li limita t™o 1 ' ' " ''X/-1'X/ 'X/+1'' ' ' ' *"> ~ říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... derivaci podle proměnné x; a značíme fXi{x\, ■ ■ ■ g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo o«oooo ooooooooooo Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oo»ooo ooooooooooo Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru věM"v bodě x £ En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo ooo»oo ooooooooooo Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné tp(t) = f(x+ tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro i/ěK" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —» M. v bodě x £ En, pak: O d/(Vf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné ItsR, O dv{f ± g){x) = dvf{x) ± dvg{x), 0 dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ^Oje dv^ = -^(dvf(x)g(x) - f(x)dvg(x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: du+vf{x) ŕ duf{x) + dvf{x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na „směru" vektoru, ale i na jeho velikosti. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooo»o ooooooooooo Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem mimo počátek a ^(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). < Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál, Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál OOO OOOOO 00000» ooooooooooo Příklad Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = arctg(x2 + y2) v bodě [— 1,1] ve směru vektoru (1, 2). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál OOO OOOOO OOOOOO »0000000000 V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující Formálně říkáme, že funkce f : M —> M je diferencovatelná v xo, pokud existuje A £ M. tak, že dy = f'(xo) ■ dx. lim h->o f{x0 + h)- f{x0) - Ah h = 0. (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo o»ooooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> ffi i je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,... , an) £ W takový, že pro všechny „směry" i/ě!" platí lim li^ji (f(x + v) - f(x) -a-v) =0. Lineární funkci df definovanou předpisem v ^ a • v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo oo»oooooooo Diferenciál - shrnutí Funkce f : En —> M je tedy diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an) g W takový, že pro všechny „směry" i/é!" platí O v bodě x existují všechny směrové derivace dvf(x), v g M", Q v i-> dvf(x) je lineární v závislosti na přírůstku v O 0 = lim^o^(/r(x+1/)-f(x)-^f(x)), tj. 0 = linrwo l^i\{f{x + v)~ f{x) -a-v). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo ooo»ooooooo Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již konečně dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě xěI", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v) — f{x) = a ■ v + t(v), kde lirrv_>o = 0. Proto: lim)(/r(x + v) - f(x)) = lim (a • v + t (v)) = 0, a tedy lim f(x + v) = f(x). v—>0 □ Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo oooo»oooooo Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x, y) = x2 + y2 v obecném bodě [x*,y*]. Řešení Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy . Pak f(x* +dx,y* +dy) - f{x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*h + 2y*h +h2 + k2. Odtud df(x*,y*)(h, k) = 2x* ■ h + 2y* • k a r(h,k) = h2 + k2. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál OOO OOOOO OOOOOO 00000*00000 Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ^ {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. t^o \\tv\\ Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f'(x) je přímo roven vektoru a. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo oooooo»oooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo ooooooo^ooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně Jf df J df J df J df = — dx-y + — dx2 H-----h -z—dxn OXi OX2 oxn (*) a platí: Necht f : En —^ M je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x G En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál d f v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo oooooooo»oo Příklad Určete diferenciál v daném bodě: a) f(x,y)=xy + f v bodě [1,1], b) fix,y) = arcsin Jí—v bodě [1, VŠI. Vx2+y2 Příklad Spočtěme znovu jednodušeji dřívější příklad a určeme směrovou derivaci funkce f(x,y) = arctg(x2 +y2) v bodě [—1,1] ve směru vektoru (1,2) pomocí diferenciálu. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace Diferenciál ooo ooooo oooooo oooooooooso Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme df (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = 0 dx + 1 dy, což celkem dává odhad e0,053-0,02 _ f(0,05; -0,02) « f(0, 0) + df(0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Literatura Zobraze ií a funkce ví ľe protne nných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro lé derivac Diferenciál ooo ooooo oooooo 0000000000» Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte: \ ■ 0,48 a) arcsmj^, b) 1,042<02.