Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Matematika III - 5. přednáška Inverzní zobrazení a implicitně definované zobrazení, vázané extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 10. 2012 Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Q Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Q Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Q Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo ooooooo ooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo ooooooo ooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo ooooooo ooooo Doporuč ené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo ooooooo ooooo Doporuč ené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo ooooooo ooooo P) 1 ' v rian pre< □nasky Q Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Q Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Q Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy •oooooooooo ooooooo ooooo Věta o inverzní funkci jedné proměnné - pri| Pokud k dané funkci f : M —> M inverzní funkce f existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjR, f o f Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy •oooooooooo ooooooo ooooo Věta o inverzní funkci jedné proměnné - pri| Pokud k dané funkci f : M —> M inverzní funkce f existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjR, f o f^1 = id^,. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f^1 diferencovatelná, vztah pro derivaci složené funkce nám (pro y = f(x)) dává i = (id)'(x) = (r1 o o'(x) = (r'Yif (x)) • f {x) a tedy přímo víme formuli (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být nulové) (f^Yifix)) = jfa. Věta_ Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu xo a f'(xo) ^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = f(xo) funkce f^1 inverzní k f a platí vztah 1 Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy o»ooooooooo ooooooo ooooo Věta o i r werzním zobrazení Věta Necht F : En —» En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* g En a necht je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F^1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1 F (x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy o»ooooooooo ooooooo ooooo Věta o i r werzním zobrazení Věta Necht F : En —» En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* g En a necht je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F^1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1 F (x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. * Princip důkazu: Z pravidla pro derivovaní složené funkce vyplýva, že pokud diferencovatelná inverze existuje, pak musí být její Jacobiho matice inverzí k původní Jacobiho matici (srovnejte s případem 1 proměnné). Důkaz poměrně komplikovaným způsobem vyvozuje, že díky invertovatelnosti Jacobiho matice existuje diferencovatelná inverze. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oo^oooooooo ooooooo ooooo Příklad Rozhodněte, zda zobrazení F = (f, g) : M' souřadnicích f (x, y) = xy,g(x,y) l2 definované po x y je prosté v okolí bodu [2,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(2,1). Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooo»ooooooo ooooooo ooooo Věta o implicitní funkci - neformální připomenutí Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme 0 jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = 0, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak 1 v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. ' Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce yi = Vx, y2 = -Vx Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooo»ooooooo ooooooo ooooo Věta o implicitní funkci - neformální připomenutí Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme 0 jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = 0, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak 1 v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. ' Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce yi = Vx, y2 = -Vx Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuje výsledná derivace y' jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od běžného derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Literatura Zobrazení mezi prostory oooosoooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Věta o implicitní funkci noduchost vyložíme ideu v rovině E2'. Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooo»oooooo ooooooo ooooo Věta o implicitní funkci Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině e2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooo»oooooo ooooooo ooooo Věta o implicitní funkci Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině e2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce y = f (x) = - pro všechna x. Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooo»oooooo ooooooo ooooo Věta o implicitní funkci Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině e2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce y = f (x) = - pro všechna x. Ve druhém případě umíme pouze pro [a, b] splňující rovnici kružnice a b 7^ t najít okolí bodu a, na kterém nastane jedna z možností: y = f(x) = t + y/(x — s)2 — r, y = f (x) = ŕ - ^/(x - s)2 - r. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooo»ooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = ŕ(x). Literatura Zobrazení mezi prostory ooooo»ooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: = 1 2(x~s) = x~s = _[x { ' 2 ^/(x - s)2 - r2 y-t Fy Literatura Zobrazení mezi prostory ooooo»ooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: = 1 2(x~s) = x~s = _[x { ' 2 ^/(x - s)2 - r2 y-t Fy Naopak, pokud budeme chtít najít závislost x = f (y) takovou, aby F(f(y),y) = 0, pak v okolí bodů (s ± r, ŕ) bez problémů uspějeme. Všimněme si, že v těchto bodech je parciální derivace Fx nenulová. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo«oooo ooooooo ooooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Literatura Zobrazení mezi prostory oooooo«oooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Pro funkci F(x,y) a bod [a, b] g e2 takový, že F(a, b) = 0, umíme najít funkci y = f(x) splňující F(x, f(x)) = 0, pokud je Fy(a, b) ý 0- V takovém případě umíme i vypočíst f'(x) = —Fx/Fy. Z následující věty plyne, že takto to platí vždy, navíc rozšířené i na libovolné počty proměnných. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooo»ooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Věta (O implicitní funkci) Necht F : En+\ —> M je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] é f„ x K, ve kterém je F{x*,y*) = 0 a §^(x*,y*) 7^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> M definovaná na nějakém okolí U bodu x* g En taková, že F(x, f(x)) = 0 pro všechny x g U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující df_( , d« f(x,f(x))- Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooo»ooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Věta (O implicitní funkci) Necht F : En+\ —> M je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] é f„ x K, ve kterém je F{x*,y*) = 0 a §^(x*,y*) 7^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> M definovaná na nějakém okolí U bodu x* g En taková, že F(x, f(x)) = 0 pro všechny x g U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující df_( , Poslední tvrzení o derivaci přitom je dobře zapamatovalné (i pochopitelné) z výrazu pro diferenciál: 0 = dF = Fx dx + Fy dy = (Fx + Fyf\x)) dx. Literatura Zobrazení mezi prostory oooooooo«oo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Příklad Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — \f2yz — 1 = 0. Literatura Zobrazení mezi prostory oooooooo«oo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Příklad Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — \f2yz — 1 = 0. Řešení Derivováním rovnosti podle x a y dostáváme: 2x + 2z • zx — z — x • zx - V2yzx = 0 2y + 2z • zy — x • zy - - VŽz - Vlyzy - = 0, odkud vyjádříme z - 2x V2z - 2y 2z — x — \/2y' 2z — x — V2y' Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooo»o Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = y/2y, a tedy y = V2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, \/2, 2] a [—1, — \/2, —2]. V těchto bodech je Fz/0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: ___2___2 Zxx — ~ô 7^' Zxy ~ ' Zyy ~~ ~ô T^-' 2z — x — V2y 2z — x — V2y ■0 0.0 Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooo»o Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = y/2y, a tedy y = V2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, \/2, 2] a [—1, — \/2, —2]. V těchto bodech je Fz/0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: ___2___2 Zxx — ~ô 7^' Zxy ~ ' Zyy — ~ô T^-' 2z — x — V2y 2z — x — V2y Ve stacionárních bodech je Hf negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastávají lokální maximum, resp. minimum funkce f. ■0 0.0 Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy 0000000000» ooooooo ooooo Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Zobrazení mezi prostory 0000000000» Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Věta (O implicitním zobrazení) Necht F : Em+n —> En je spojitě diferencovatelné zobrazení na otevřeném okolí bodu [x*,y*] G Em x En = Em+n, v němž platí F{x*,y*) = O a det DyF ^ 0. Potom existuje spojitě diferencovatelné zobrazení G : Em —^ En definované na nějakém okolí U bodu x* G Em s obrazem G(U), který obsahuje bod y*, a takové, že F(x, G(x)) = O pro všechny x G U. Navíc je Jacobiho matice D1G zobrazení G na okolí bodu x* zadána součinem matic D1G{x) = -(DyF)-\x, G(x)) • DlF{x, G(x)). Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooo Q Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Q Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Q Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo •oooooo ooooo Definice Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M se vektor V^xi''"' dxn/ nazývá gradient funkce f. V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo •oooooo ooooo Definice Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M se vektor V^xi''"' dxn/ nazývá gradient funkce f. V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,... ,x„) = b s pevnou hodnotou b G M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy •oooooo Vázané extrémy ooooo Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... ,x„) : En —> M se vektor V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,... ,xn) = b s pevnou hodnotou b G M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Přesněji: pokud je vektor parciálních derivací nenulový, můžeme lokálně množinu M popsat jako graf spojitě diferencovatelné funkce v n — 1 proměnných. nazývá gradient funkce f. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy •oooooo Vázané extrémy ooooo Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... ,x„) : En —> M se vektor V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,... ,xn) = b s pevnou hodnotou b G M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Přesněji: pokud je vektor parciálních derivací nenulový, můžeme lokálně množinu M popsat jako graf spojitě diferencovatelné funkce v n — 1 proměnných. Hovoříme v této souvislosti také o úrovňových množinách Mt, (analogie vrstevnic v př. n = 2). nazývá gradient funkce f. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo o«ooooo ooooo Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mb se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna ř, proto ínc{t)) = df{C'{t)) = o. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo 0*00000 ooooo Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mt, se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna t, proto ±f(c(t)) = df(c'(t)) = 0. Pro obecný vektor v = (i/i,..., vn) G En je velikost příslušné směrové derivace funkce f: dvf\ df ■1/1 + + df (df, v) = cos^||dr|||M| dxi dxn kde tp je odchylka vektoru v od gradientu funkce f. Dokázali jsme: Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy OOOOOOOOOOO 0*00000 ooooo Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mt, se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna t, proto ±f(c(t)) = df(c'(t)) = 0. Pro obecný vektor v = (i/i,..., vn) G En je velikost příslušné směrové derivace funkce f: dvf\ df df (df, v) = cos tp\\ df\\|| v\\ dxi dxn kde tp je odchylka vektoru v od gradientu funkce f. Dokázali jsme: Směr zadaný gradientem v bodě x = (xi,..., x„) je právě ten směr, ve kterém funkce f nejrychleji roste. Tečná rovina k neprázdné úrovňové množině v okolí jejího bodu s nenulovým gradientem df je určena ortogonálním doplňkem ke gradientu. ■0 0.0 Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy oo»oooo Vázané extrémy ooooo Násobkům gradientu v tomto případě říkáme normálový vektor nadplochy M^. Věta Pro funkci f n proměnných a bod P = (ai,..., an) G v jehož okolí je Mt, grafem funkce (n — 1) proměnných je implicitní rovnice pro tečnou nadrovinu 0 = J^(P) • (*i - ai) + • • • + • {xn - a„). Příklad (Model osvětlení 3D objektu) Pro 2D povrch známe směr v dopadu světla, tj. máme množinu M zadanou implicitně rovnicí f(x,y,z) = 0 a vektor v. Intenzitu osvětlení bodu P G M pak definujme jako Iq cos ip, kde ip je úhel mezi normálou zadanou gradientem a vektorem opačným ke směru světla. (Znaménko říká, kterou stranu plochy osvětlujeme, /oje tzv. svítivost.) Např. v = (1,1, —1) (tj. „šikmo dolů") a f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 1. Pro bod P = (x, y, z) e M l(P) grad f ■ v 2x - 2y + 2z 27! ||gradf|||K Dle očekávání je plnou intenzitou Iq osvětlen bod P = -js{—1, —1,1) na povrchu koule. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo oooo»oo ooooo T V ' '\ ' J- lecne a normalove prostory Obecné dimenze: funkce F = (fi,..., fn) : Em+n -í£„an rovnic //(xi,..., xm+n) = b/, / = 1,..., n. Dle věty o implicitní funkci je „většinou" množina všech řešení (xi,... ,xm+n) grafem zobrazení G : Em —> En. Pro pevnou volbu b = (£>i,..., bn) je samozřejmě množinou M všech řešení průnik nadploch M{b;,fj) příslušejících jednotlivým rovnicím f, = b\. Totéž platí pro tečné směry a normálové směry: Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo oooo»oo ooooo Tečné a normálové prostory Obecné dimenze: funkce F = (fi,..., fn) : Em+n -í£„an rovnic //(xi,..., xm+n) = b,-, i = 1,..., n. Dle věty o implicitní funkci je „většinou" množina všech řešení (xi,... ,xm+n) grafem zobrazení G : Em —> En. Pro pevnou volbu b = (£>i,..., bn) je samozřejmě množinou M všech řešení průnik nadploch M{b;,fj) příslušejících jednotlivým rovnicím f, = b\. Totéž platí pro tečné směry a normálové směry: Afinní podprostor v Em+n obsahující právě všechny tečny k M bodem P dán rovnicemi: df df 0 = —^-(P) • (xi - ai) + • • • + —±-{P) ■ {xm+n - am+n) r)f r)f 0 = -^(P) • (xi - 3l) + • • • + -ÍL(P) • (xm+n - am+n). ŮX\ oxn (P)(c'(0)) = 0. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy •oooo Metoda Lagrangeových multiplikátorů V předchozím příkladu jsme viděli, že normálový vektor (tj. gradient) funkce h, k níž hledáme extrém, musí být ve vyšetřovaném bodě prvkem normálového prostoru k ploše (v temže bodě). Toto samozřejmě platí i obecně. Pokud je M ve všech svých bodech grafem hladkého zobrazení, musí být každý extrém P g M stacionárním bodem, tj. pro každou křivku c(ŕ) c M procházející přes P = c(0) musí být h(c(t)) extrémem pro tuto funkci jedné proměnné. Proto musí platit ^/i(c(t))|t=o = dc(o)h(P) = d/>(P)(c'(0)) = 0. Tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že gradient h leží v normálovém podprostoru (přesněji v jeho zaměření). Takové body P g M budeme nazývat stacionární body funkce h vzhledem k vazbám F. Literatura Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooooooooo ooooooo o»ooo V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině bodů M zadaných implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0 (F : Em+n —> En). Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda Lagrangeových multiplikátorů: Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy o»ooo V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině bodů M zadaných implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0 (F : Em+n —> En). Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda Lagrangeových multiplikátorů: Věta Nechi F = (fi,... ,fn) : Em+n —> En je spojitě diferencovatelná v okolí bodu P, F(P) = 0 a M je zadána implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0, přičemž hodnost matice D1F v bodě P je n. Pak P je stacionárním bodem spojitě diferencovatelné funkce h : Em+n —> M právě, když existují reálné parametry Ai,..., A„ takové, že grad /j = Ai grad f\ -\-----h A„ grad fn. 00.0 Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oo»oo Všimněme si počtu neznámých a rovnic v tomto algoritmu: gradienty jsou vektory o m + n souřadnicích, tedy požadavek z věty dává m + n rovnic. Jako neznámé máme jednak souřadnice xi,... ,xm+n hledaných stacionárních bodů P, ale navíc také n parametrů A/ v hledané lineární kombinaci. Zbývá však požadavek, že hledaný bod P patří implicitně zadané množině M, což představuje dalších n rovnic. Celkem tedy máme 2n + m rovnic pro 2n + m proměnných a proto lze očekávat, že řešením bude diskrétní množina bodů P (tj. každý z nich bude izolovaným bodem). Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooo»o Výklad o vázaných extrémech jsme začali tím, že pro nalezení absolutních extrémů funkce na kompaktní množině často potřebujeme vyšetření extrémů na množině bodů vázaných nějakou podmínkou. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooo»o Výklad o vázaných extrémech jsme začali tím, že pro nalezení absolutních extrémů funkce na kompaktní množině často potřebujeme vyšetření extrémů na množině bodů vázaných nějakou podmínkou. Ilustrujme si to na příkladu: Příklad Maximalizujte ŕ(x,y) = 2x + y za podmínky ^- + y2 < 1. Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooo» Řešení Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud' ve stacionárních bodech (funkce je zřejmě diferencovatelné na celé vyšetřované množině) nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. 00.0 Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooo» Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud ve stacionárních bodech (funkce je zřejmě diferencovatelné na celé vyšetřované množině) nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. Sestrojíme Lagrangeovu funkci L(x, y, A) = 2x + y - A(^- + y2 - 1). Pak dostáváme: 0 0 L ■X 1 - 2Ay 0 00.0 Literatura Zobrazení mezi prostory ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooo» Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud' ve stacionárních bodech (funkce je zřejmě diferencovatelné na celé vyšetřované množině) nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. Sestrojíme Lagrangeovu funkci L(x, y, A) = 2x + y - A(4- + y2 - 1). Pak dostáváme: 0 = Lx = 2- 0 = = 1 - 2Ay 2 0 = X T + y2 - 1. Odtud snadno x = j, y (resp. A = atedyA = ^,x = ^,y = ^ 17' 17 O 1 pro minimum).