Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programován oooooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Matematika III - 6. přednáška Speciální optimalizační metody, lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 10. 2012 Literatura Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooooooooo Obsah přednášky Q| Literatura Q| Vázané extrémy • Speciální optimalizační metody Q| Lineární programování Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooooooooo Plán prednášky O Literatura Q Vázané extrémy • Speciální optimalizační metody Qi Lineární programování Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programování oooooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooooooooo Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ľe protne inných oooo oooooooo oooooooooo Doporu čené zdroje e • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ľe protne inných oooo oooooooo oooooooooo Doporu čené zdroje e • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach, Lineárne programovanie, Alfa, 1990. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ľe protne inných oooo oooooooo oooooooooo Doporu čené zdroje e • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach, Lineárne programovanie, Alfa, 1990. • Předmětové záložky v IS MU • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooooooooo Plán přednášky Literatura Vázané extrémy • Speciální optimalizační metody Lineární programování Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných •ooo oooooooo oooooooooo Speciální optimalizační metody Zmiňme se jen ve stručnosti o speciálních optimalizačních technikách, které se v dnešní praxi používají. Zájemce o bližší seznámení s nimi můžeme odkázat na další předměty MU, např.: • Optimalizace - PřF: M0160 (jaro) • Optimalizace - PV027 (jaro) • Lineární programování - PřF: M4110 (jaro) • Matematické programování - PřF: M5170 (podzim) Integrální počet více proměnných oooooooooo Metoda gradientu Vazane extrémy Lineami programovaní o»oo oooooooo Již dříve jsme zmínili, že funkce nejrychleji roste ve směru gradientu (a nejrychleji klesá ve směru opačném) - proto je přirozené se při hledání maxima vydat z daného bodu ve směru gradientu (analogie chození do kopce nejprudším svahem). Otázka je, jak dlouho „jít" a jak často gradient počítat (podrobněji viz např. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent). Iterace: xn+i =xn + ln grad f(xn), pro dostatečně malé 7,,, aby f(xn+i) > f(xn). Již dříve jsme zmínili, že funkce nejrychleji roste ve směru gradientu (a nejrychleji klesá ve směru opačném) - proto je přirozené se při hledání maxima vydat z daného bodu ve směru gradientu (analogie chození do kopce nejprudším svahem). Otázka je, jak dlouho „jít" a jak často gradient počítat (podrobněji viz např. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent). Iterace: xn+í =xn + ln grad f(xn), pro dostatečně malé 7,,, aby f(xn+i) > f(xn). Problémy: • náročný opakovaný výpočet 7, • velký počet iterací v případě velmi různorodé křivosti v různých směrech; např Rosenbrockova banánová funkce f{x,y) = (l-x)2 + 100(y-x2)2. Integrální počet více proměnných oooooooooo Newtonova optimalizační metoda Vazane extrémy Lineární programovaní oo«o oooooooo Newtonova metoda je dobře známý numerický postup pro nalezení kořenů dané reálné funkce f . Známe-li bod xo „rozumně" blízko kořene, zkonstruujeme v bodě [xo, ^(xo)] tečnu ke grafu funkce f a za bod xi zvolíme průsečík tečny s osou x. Tento postup opakujeme. Snadno je vidět, že platí rekurentní vztah Integrální počet více proměnných oooooooooo Newtonova optimalizační metoda Vazane extrémy Lineární programovaní oo«o oooooooo Newtonova metoda je dobře známý numerický postup pro nalezení kořenů dané reálné funkce f . Známe-li bod xo „rozumně" blízko kořene, zkonstruujeme v bodě [xq, f{xo)] tečnu ke grafu funkce f a za bod xi zvolíme průsečík tečny s osou x. Tento postup opakujeme. Snadno je vidět, že platí rekurentní vztah f(Xn) Tento postup např. poskytuje efektivní postup pro výpočet V2 (nebo obecněji \fď) s libovolnou přesností; pokud bychom ale chtěli hledat řešení rovnice x1/3 = 0, tak snadno vidíme, že metoda diverguje, ať začneme jakkoli blízko 0. Literatura Vázané extrémy ooo» Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Při hledání extrémů funkcí (i více proměnných) může být Newtona metoda využita pro nalezení stacionárních bodů - v nich musí být derivace nulová, proto jde vlastně o nalezení kořenů derivace iterativním postupem xn+i =xn- {Hfixn))'1 ■ grad f(xn). Literatura Vázané extrémy ooo» Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Při hledání extrémů funkcí (i více proměnných) může být Newtona metoda využita pro nalezení stacionárních bodů - v nich musí být derivace nulová, proto jde vlastně o nalezení kořenů derivace iterativním postupem xn+i =xn- {Hfixn))'1 ■ grad f(xn). Výpočet inverze Hessiánu je časově náročná operace, proto se často místo toho využívá • metoda sdružených gradientů pro řešení příslušné soustavy, • různých tzv. /(vaz/-newtonovských metod, využívajících pouze přibližného Hessiánu (např. BFGS) - viz např. http://demonstrations.wolfram.com/ MinimizingTheRosenbrockFunction/ Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ľe protne inných oooo oooooooo oooooooooo Plán př ednášky Q Literatura 01 Vázané extrémy • Speciální optimalizační metody Q| Lineární programování Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných OOOO »0000000 oooooooooo Lineární programování Úloha lineárního programování Pro daná cgK" řeší lineární programování úlohu optimalizovat (tj. maximalizovat nebo minimalizovat) lineární účelovou funkci f(x) = C ■ X = CyXy H-----h CnXn Literatura Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných OOOO »0000000 oooooooooo Úloha lineárního programování Pro daná cgK" řeší lineární programování úlohu optimalizovat (tj. maximalizovat nebo minimalizovat) lineární účelovou funkci f(x) = C ■ X = CyXy H-----h CnXn za daných (lineárních) omezení ay x < by 3k-x < bk 3k+l ■ X = bk+y ae- x = be Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo o»oooooo oooooooooo Lineární programování Lze ukázat, že každou (rozumnou) úlohu lineárního programování lze převést na tzv. kanonický tvar maximalizovat f(x) = c ■ x za podmínek 3\ • x < b\ 3k -x < bk, kde x = (xi,... ,xn), xi > 0,... ,x„ > 0. Vázané extrémy oooo Lineární progran o«oooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Lze ukázat, že každou (rozumnou) úlohu lineárního programování lze převést na tzv. kanonický tvar maximalizovat f(x) = c ■ x za podmínek 3\ • x < b\ 3k -x < bk, kde x = (xi,... ,x„), xi > 0,... ,x„ > 0. Převody: • minimalizace c • x —> maximalizace (—c) • x • nerovnice o rovnice (doplňková proměnná, resp. nahrazení rovnice dvojicí nerovnic) • reálná proměnná x —> nezáporné proměnné (substituce x = x+ - x", x+ > 0, x" > 0). 1 Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programování oo»ooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Grafické řešení úlohy lineárního programování Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obdobného přístupu jako v případě vázaných extrémů. Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programováni oo»ooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Grafické řešení úlohy lineárního programování Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obdobného přístupu jako v případě vázaných extrémů. V rovině si znázorníme množinu, vyhovující všem omezujícím podmínkám a pomocí vrstevnic účelové funkce najdeme bod(y) této množiny, kde nabývá účelová funkce extrémů. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oo»ooooo oooooooooo Grafické řešení úlohy lineárního programování Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obdobného přístupu jako v případě vázaných extrémů. V rovině si znázorníme množinu, vyhovující všem omezujícím podmínkám a pomocí vrstevnic účelové funkce najdeme bod(y) této množiny, kde nabývá účelová funkce extrémů. Příklad Maximalizujte hodnotu x + y za podmínek 4x - y < 8 2x + y < 10 5x - 2y > -2 x,y > 0 Literatura Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo ooo»oooo oooooooooo Simplexová metoda Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ľe protne inných oooo ooo»oooo oooooooooo Simple> :ová metoc ja Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru, tj. mnohostěnu, na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ľe protne inných oooo ooo»oooo oooooooooo Simple> :ová metoc ja Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru, tj. mnohostěnu, na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Sice je ukázán příklad podmínek, kdy simplexová metoda projde nešikovně všech 2" vrcholů (jde o příklad zborcené n-rozměrné krychle), a tedy metoda je v nejhorším případě exponenciální, ale v praxi je obvykle pozoruhodně úspěšná (kolem roku 2000 bylo dokázáno, že očekávaný čas běhu na náhodném vstupu je polynomiální). Integrální počet více proměnných oooooooooo Příklad ^^^^^™^B vazane extrémy oooo Lineární progran oooo»ooo Maximalizujte f = 2x — 3y + 4z za podmínek 4x - 3y + z < 3 x + y + z < 10 2x + y-z < 10 x > 0,y > 0,z > 0. Převedeme úlohu z kanonického do standardního tvaru - k tomu stačí zavést doplňkové proměnné u, v, w. Maximalizujeme 4x - 3y x + y 2x + y -2x + 3y +z+ u +z —z + v + 1/1/ = 3 = 10 = 10 +f = 0 00.0 Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programování ooooo»oo Integrální počet více proměnných oooooooooo Řešení (pokračování) Úlohu přepíšeme do tzv. simplexové tabulky. X y z u v w u 4 -3 1 1 0 0 3 v 1 1 1 0 1 0 10 w 2 1 -1 0 0 1 10 f -2 3 -4 0 0 0 0 V posledním řádku odpovídajícím účelové funkci najdeme některou zápornou hodnotu (heuristika: největší v abs. hodnotě), což odpovídá tomu, že se snažíme postupovat po hraně ve směru proměnné odpovídající příslušnému sloupci. Krajní vrchol této hrany najdeme tak, že najdeme minimum z podílů 3/1,10/1 absolutních členů a kladných koeficientů u proměnné, v jejímž směru se snažíme postupovat. Zde půjde o sloupec proměnné z a eliminovat budeme pomocí 1. řádku ("pivoť'je 1) - řádek označíme stejně jako dotyčný sloupec (proměnná přejde do báze). Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programování oooooo»o Integrální počet více proměnných oooooooooo Řešení (pokračování) X y z u v w z 4 -3 1 1 0 0 3 v -3 4 0 -1 1 0 7 w 6 -2 0 1 0 1 13 f 14 -9 0 4 0 0 12 Nyní máme jediný záporný prvek v posledním řádku (sloupec y) a v něm jediný kladný prvek, proto pivotujeme podle 4 ve 2. řádku. Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programování 0000000» Integrální počet více proměnných oooooooooo Řešení (dokončení) X y z u W z 7 4 0 1 i 4 3 4 0 33 4 y 3 4 i 0 1 4 1 4 0 7 4 w 9 2 0 0 1 2 1 2 1 33 2 f 29 4 0 0 / 4 9 4 1 111 4 Nyní již máme všechny prvky v posledním řádku kladné, dosáhli jsme tedy maxima pro z = j, y = |aiv = y. Původní proměnná x je nyní nebazická (x není uvedeno jako označení žádného řádku nebo ekvivalentně: sloupec x není eliminovaný), což odpovídá x = 0. 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Q Literatura 01 Vázané extrémy • Speciální optimalizační metody Ql Lineární programování Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných OOOO OOOOOOOO #000000000 Motivace: výpočet plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x na uzavřeném intervalu. Funkce f : M. —> M. jedné proměnné ohraničená na uzavřeném intervalu [a, b]). r 1 Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných OOOO OOOOOOOO O0OOOOOOOO Připomenutí: Riemannův integrál Zvolíme dělení D = {xi = a,... ,xn = b} intervalu [a, b] a hledaný integrál (tj. plochu pod grafem) aproximujeme součtem f f{x)dx^Y^f{íl){xí+i-xil kde G [x/,x/+i] je libovolný. (Součet ploch obdélníků pod křivkou). Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných o»oooooooo Zvolíme dělení D = {xi = a,... ,xn = b} intervalu [a, b] a hledaný integrál (tj. plochu pod grafem) aproximujeme součtem kde G [x/,x/+i] je libovolný. (Součet ploch obdélníků pod křivkou). Je-li norma dělení (tj. maximum z délek intervalů [x/,x,-+1]) malá, pak výše uvedená suma je velmi blízko zmíněné ploše (přesněji pomocí nulové posloupnosti delenia limit). b n-l Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet vm ze pro mě ínných oooo oooooooo 00*0000000 1 Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oo»ooooooo Připomenutí: Riemannův integrál Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí f^[f(x) — g(x)]dx, Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oo»ooooooo Připomenutí: Riemannův integrál Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí J^[f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky ^J(p'{t)2 + ip'{t)2dt, Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oo»ooooooo Připomenutí: Riemannův integrál Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí J^[f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky ^J(p'{t)2 + ip'{t)2dt, • objem rotačního tělesa tv f2(x)dx, Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oo»ooooooo Připomenutí: Riemannův integrál Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí J^[f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky ^J(p'(t)2 + ip'(t)2dt, • objem rotačního tělesa tv f2(x)dx, • povrch pláště rotačního tělesa 2tv f(x)^/l + [f'(x)]2dx. Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných ooo»oooooo u Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f(x,yi,... ,yn), potom výsledek bude funkcí F(yi,... ,y„) ve zbývajících n proměnných. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných OOOO OOOOOOOO OOO0OOOOOO Integrály závislé na parametru Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f(x,yi,... ,yn), potom výsledek bude funkcí F(yi,... ,y„) ve zbývajících n proměnných. Věta (O záměně derivace a integrálu) Pro spojitě diferencovatelnou funkci f(x, yi,..., y„) definovanou pro x z konečného intervalu [a, (3] a na nějakém okolí bodu a= [ai,...,a„] e £„ uvažujme integrál ŕ F{yi,...,yn) = f(x,y1,...,yn)dx. J a Potom platí pro všechny indexy j = 1,..., n Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooo»ooooo Integrace funkcí více proměnných Obdobně jako v případě jedné proměnné můžeme potřebu zavedení integrálu více proměnných motivovat výpočtem objemu trojrozměrného prostoru pod grafem funkce z = f(x,y) dvou proměnných. Místo výběru malých intervalů [x,-,x/+i] dělících celý interval, přes který integrujeme, a přiblížením příslušné části obsahu ploškou obdélníku s výškou danou hodnotou funkce f v reprezentantu tohoto intervalu tj. výrazem - *i) budeme pracovat s děleními v obou proměnných a hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Integrální počet více proměnných oooo»ooooo Integrace funkcí více proměnných Vazane extrémy Lineární programovaní oooo oooooooo Obdobně jako v případě jedné proměnné můžeme potřebu zavedení integrálu více proměnných motivovat výpočtem objemu trojrozměrného prostoru pod grafem funkce z = f(x,y) dvou proměnných. Místo výběru malých intervalů [x,-,x/+i] dělících celý interval, přes který integrujeme, a přiblížením příslušné části obsahu ploškou obdélníku s výškou danou hodnotou funkce f v reprezentantu tohoto intervalu tj. výrazem f{Ši){xi+i ~ Xi) budeme pracovat s děleními v obou proměnných a hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Co jsou obory integrace? Nejjednodušším přístupem je uvažovat pouze obory integrace S, které jsou dány jako součiny intervalů, tj. jsou zadány rozsahem x G [a, b] a y G [c, d]. Hovoříme v této souvislosti o vícerozměrnémninte*valu-. Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných ooooo»oooo Pokud je S jiná ohraničená množina v M2, pracujeme místo ní s dostatečně velikou oblastí [a, b] x [c, d], ale upravíme naši funkci tak, že f(x,y) = 0 pro všechny body mimo S. Definice Riemannova integrálu věrně sleduje náš postup pro jednu proměnnou. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet vm ze pro mě ínných oooo oooooooo ooooo»oooo Pokud je S jiná ohraničená množina v M2, pracujeme místo ní s dostatečně velikou oblastí [a, b] x [c, d], ale upravíme naši funkci tak, že f(x,y) = 0 pro všechny body mimo S. Definice Riemannova integrálu věrně sleduje náš postup pro jednu proměnnou. Integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení E (nyní ve všech proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých krychliček £/,...J £ [x/,x/+i] x ... x [zj,zj+1] C M", s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty S= € = f(&,...j)(x/+i - *i) ■ ■ ■ (z7+i - zj)-/,... j konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme f(x,...,z)dx.. .dz Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet vm ze pro mě ínných oooo oooooooo oooooo»ooo Pro všechny spojité funkce f lze opět dokázat existenci Riemannova integrálu a tento výsledek lze snadno rozšířit pro „dostatečně spojité" funkce na „dostatečně rozumných" oborech integrace. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooooo»ooo Pro všechny spojité funkce f lze opět dokázat existenci Riemannova integrálu a tento výsledek lze snadno rozšířit pro „dostatečně spojité" funkce na „dostatečně rozumných" oborech integrace. Definice Omezenou množinu Sc£„ označujeme za Riemannovsky měřitelnou, jestliže je její charakteristická funkce, definovaná x(x) = 1 pro x G S a x(x) = 0 jinak, Riemannovsky integrovatelná. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet vm ze pro mě ínných oooo oooooooo ooooooo»oo Definice Riemannova integrálu sice nedává rozumný návod, jak hodnoty integrálů skutečně vypočíst (kromě využití výpočetní techniky, kdy je přímé použití definice na místě), okamžitě ale vede k základním vlastnostem Riemannova integrálu (srovnejte s vlastnostmi integrálu v jedné proměnné): Literatura Vázané extrémy oooo Lineární programováni oooooooo Integrální počet více proměnných ooooooo»oo Definice Riemannova integrálu sice nedává rozumný návod, jak hodnoty integrálů skutečně vypočíst (kromě využití výpočetní techniky, kdy je přímé použití definice na místě), okamžitě ale vede k základním vlastnostem Riemannova integrálu (srovnejte s vlastnostmi integrálu v jedné proměnné): Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí na vícerozměrném intervalu S C En je vektorovým prostorem a Riemannův integrál je na něm lineární formou. Pokud je obor integrace S zadán jako disjunktní sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných oborů S-,, je integrál funkce f přes S dán součtem integrálů přes obory S-,. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ze pro mě nných oooo oooooooo oooooooo»o Příklad Vypočtěte dvojný integrál xy dxdy '[0,l]x[0,l] jako limitu integrálního součtu. Vázané extrémy Lineární programování Integrální počet více proměnných oooo oooooooo oooooooo»o Příklad Vypočtěte dvojný integrál xy dxdy '[0,l]x[0,l] jako limitu integrálního součtu. Za nulovou posloupnost dělení uvážíme posloupnost (Dn)^1, kde n-té dělení dostaneme pomocí přímek x = i/n,y = j/n pro i, j = 1, 2,..., n — 1, přičemž hodnoty budeme vybírat z pravých horních rohů dělících čtverečků. Literatura Vázané extré my Lineární programování Integrální počet ví ze pro mě nných oooo oooooooo 000000000» Řešení (dokončení) Pak [0,1]x[0,1] xy dxdy = lim (/ + 1)(/ + 1)11 0oo n 'n(n + iy