Skupina A
Přikladl. Určete, zda je v rovině z bodu [22,31] viditelná strana AC neprůhledného rovnostranného trojúhelníku ABC, kde A = [O, 0] a B = [4,1].
Řešení. Bod C dostame jako obraz bodu B v rotaci o šedesát stupňů kolem bodu A. Protože A — [0,0], souřadnice bodu B odpovídají souřadnicím vektoru AB — B — A — (4,1), v uvažované rotaci pak je
AC
P-f,2VS+I),
což jsou i souřadnice bodu C.
Viditelnost strany AB pak můžeme posuzovat buď podle znaménka vhodného determinantu (označme X = [22,31]), například:
'    " -22 -31
-23-^2 2^3-31,5
xl	
xó	
< o,
vektory XA a XÓ tedy svírají (v tomto pořadí) úhel větší než 180°, což znamená, že bod X leží „napravo" od přímky AC (orientované ve směru AČ), stranu AC tedy není „přes trojúhelník" vidět. Viditelnost umíme rozhodnout i podle znaménka jiných determinantů obsahující souřadnice některé dvojice vektorů XA, xÔ, AC, či vektorů k nim opačným. Stačí mít na paměti, že daný determinant je kladný, právě když v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček) orientovaný úhel mezi prvním a druhým vektorem je menší než 180°.
Alternativně můžeme posuzovat viditelnost strany AC podle velikosti směrnice přímky AC a AX. Protože A — [0, 0], tak stranu AC bude vidět právě když směrnice přímky AC bude menší než směrnice přímky AX. Je však - 31
> H (pro odvození nerovnosti bez kalkulačky stačí použít faktu 1, 5 < \/3 < 2), tedy strana
AC není vidět. □
Příklad 2. Z balíčku 20 karet očíslovaných čísly 1 až 20 vytáhnu postupně čtyři karty. Jaká je pravděpodobnost, že čísla na vytažených kartách budou seřazena podle pořadí vytažení od nejmenšího k největšímu?
Řešení. Každá pořadí každé čtveřice má stejnou pravděpobnost, že bude vytaženo. Daná čtveřice má právě 4! — 24 pořadí, celkem je tedy 1/24 čtveřic (s pořadím), které vyhovují zadání. Hledaná pravděpodobnost je tedy 1/24. Uvah vedoucích ke správnému řešení je mnoho. Jednoduše lze spočítat i celkový počet vyhovujících pořadí čtyř prvků. Vyhovující pořadí je dáno čtveřicí prvků, které v daném pořadí vyskytují, tedy (24°), všech pořadí vytažených čtveřic (tedy všech elementárních jevů) je 20 • 19 • 18 • 17. Celkem je tedy hledaná pravděpodobnost
(24°)_ = I = 1
4! 24'
□
(20\
__
20 • 19 • 18 • 17
Příklad 3. Určete počet surjektivních zobrazení f množiny {1, 2, 3, 4, 5, 6} na množinu {1, 2, 3} takových, že /(l)>/(2).
Řešení. Od počtu všech surjektivních zobrazení šestiprvkové množiny na tříprvkovou (těch je 36 — (^) (26 — 2) —3) odečteme ta, pro která je /(l) — f (2) (těch je právě tolik, kolik je surjektivních zobrazení pětiprvkové množiny na tříprvkovou, prvky 1 a 2 totiž můžeme považovat za jeden; celkem 35 — (2) (25 — 2) — 3). Ve zbylých zobrazení je vzhledem k symetrii stejně těch, ve kterých je /(l) > /(2) jako těch, pro která je /(2) > /(l). Obou typů je tedy právě polovina získaného počtu. Celkem máme
36-f^(26-2)-3)-(35-^)(25-2)-3
= 195
zobrazení splňující podmínky zadání.
1
Skupina B
Přikladl. Určete, zda je v rovině z bodu [20,41] viditelná strana AC neprůhledného rovnostranného trojúhelníku ABC, kde A = [0, 0] a B = [6,1].
Řešení. C — [3 —      3\/3 + 5], porovnáním směrnic přímek       a pak
3\/3+i 41
^rrf>2'5>2č-
á 2
(k odhadu stačí použít faktu 1,7 < \fŽ < 1,8)
Stranu není vidět. □
Příklad 2. Z cifer 1, 2, 3, 4, 5 je náhodně sestaveno pěticiferné číslo. Jaká je pravděpodobnost, že v něm budou cify í, 2, 3 seřazené zleva podle velikosti (ne nutně za sebou).
Řešení. Všechna pěticiferná čísla tvořená nějakým pořadím cifer 1, 2, 3, 4, 5, můžeme rozdělit do šestic takových, že se v dané šestici čísla liší pouze pořadím číslic 1, 2 a 3. V každé šestici je tedy právě jedno vyhovující pořadí. Celková pravděpodobnost je tedy 1/6.
Lze spočítat i vyčíslením celkového počtu vyhovujících čísel ((3) • 2). Hledaná pravděpodobnost je pak
(I......
podílem počtu vyhovujích případů a počtu všech případů (všech daných pěticiferných čísel; těch je 5!)
1 _1 5!       3! 6'
□
Příklad 3. Určete počet surjektivních zobrazení f množiny {1, 2, 3,4, 5} na množinu {1, 2, 3} takových, že /(3) < /(4).
Řešení. \ [(35 - (%) (25 - 2) - 3) - (34 - (%) (24 - 2) - 3)] = 57. □
2
Skupina C
Přikladl. Určete, zda je v rovině z bodu [20,31] viditelná strana AC neprůhledného rovnostranného trojúhelníku ABC, kde A = [0, 0] a B — [4, —1].
Řešení. C = [2 + ^, 2\/3 - \],
2y/Ž-\ 31 2+^1 >20'
Strana není vidět. □ Příklad 2. Mezi šesti (různými) čísly taženými v loterii byla i čísla 2, 10, 20 a 42. Jaká je pravděpodobnost, že číslo 42 bv/o ze jmenovaných vytažené jako první.
Řešení. 1/4. □ Příklad 3. Určete počet surjektivních zobrazení f množiny {1, 2, 3, 4, 5, 6} na množinu {1, 2, 3} takových, že /(l)^/(2) nebo f (6) ŕ f (2).
Řešení. Od počtu všech surjektivních zobrazení odečteme počet surjektivních zobrazení nesplňujících podmínku, tedy takových, že /(l) — f (2) — /(6) (a těch je tolik, co surjektivních zobrazení čtyřprvkové množiny na trojprvkovou). (36 -     (26 - 2) - 3) - (34 - (%) (24 - 2) - 3) = 504. □
3
Skupina D
Přikladl. Určete, zda je v rovině z bodu [19,21] viditelná strana AC neprůhledného rovnostranného trojúhelníku ABC, kde A = [O, 0] a B = [4, -2].
Řešení. C = [2 + y/Ž, 2\/3 - 1], < §. Strana je vidět. □
Příklad 2. Mezi šesti (různými) čísly taženými v loterii byla i čísla 2, 10, 20 a 42. Jaká je pravděpodobnost, že čísla 2 a 10 byla tažena před čísly 20 a 42.
Řešení. 1/6. n
Příklad 3. Určete počet surjektivních zobrazení f množiny {1,2, 3,4, 5} na množinu {1,2, 3} taA-ových, že /(l) ^ f (2) nebo /(5) ^ /(2). Úvaha obdobná jako ve skupině C.
Řešení. (35 - (^)(25 - 2) - 3) - 3! = 144. □
4
Skupina E
Přikladl. Určete, zdaje v rovině z bodu [—17,-18] viditelná strana AB neprůhledného rovnostranného trojúhelníku ABC, kde A — [0,0] a C — [-4,1].
Řešení. B — [-^ — 2, 2\/3 + §], porovnáním směrnic přímek AX a AB {X — [—17, —18]) máme
2y/Ž+\ 18
—F-" < 0 < —.
2 z
Strana není vidět. □
Příklad 2. Z balíčku 20 Jcaret očíslovaných čísly 1 až 20 vytáhnu postupně čtyři karty. Jaká je pravděpodobnost, že největší číslo na vytažených kartách bude vytaženo jako poslední?
Řešení. 1/4. □
Příklad 3. Určete počet surjektivních zobrazení f množiny {1,2,3,4,5,6,7} na množinu {1,2,3,4,5} takových, že /(l) > f (2) > f (3). Pro každou z možných čtyř tříprvkových množin {/(l), /(2), /(3)}, kterých je (g) (výběrem této množiny jsou vzhledem k nerovnostem již pevně dány obrazy prvků 1, 2, 3). Zbylé prvky 4, 5, 6, 7 se zobrazují libovolně, avšak tak, aby v množině {/(4), /(5), /(6), f (7)} ležely ty dva prvky, které nejsou v {/(l),/(2),/(3)}. Celkem
Řešení.      (54 - 2 • 44 + 34). □
5
Skupina F
Přikladl. Určete, zdaje v rovině z bodu [—11,-21] viditelná strana AB neprůhledného rovnostranného trojúhelníku ABC, kde A — [O, 0] a C — [—1,4]. (Vrcholy trojúhelníka popisujeme v kladném smyslu.)
Řešení. B = [2\/3 -\,&+2\, < Tš < TT Strana je vidět. □
Příklad 2. Z balíčku 20 karet očíslovaných čísly 1 až 20 vytáhnu postupně pět karet. Jaká je pravděpodobnost, že největší číslo na vytažených kartách nebude vytaženo mezi posledními dvěma kartami?
Řešení. 2/5. □
Příklad 3. Určete počet surjektivních zobrazení f množiny {1, 2, 3,4, 5, 6} na množinu {1, 2, 3,4} takových, že /(l) > /(2) > /(3). Podobně jako ve skupině E.
Řešení. 4(43 - 33). □
6