Skupina A
Příklad l.(3b.) Určete kolmou projekci vektoru (1,2,3) do podprostoru (roviny) generovaného vektory (1,1,0) a (1,0,1).
Řešení. Normála k dané rovině je (1, —1, —1). Průmět je pak (1, 2, 3) — (—4/3)(l, —1, —1) — (7/3, 2/3, 5/3).
□
Příklad 3. (3b.) Určete souřadnice vektoru (1, 2) e M2 v bázi f = ((1,1), (1, 0)).
Řešení. Matice přechodu od / ke standardní bázi je ^ . Souřadnice pak (2, —1). □
Příklad 3. (4b.) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
\0   2    3 J
Řešení. Vlastní čísla 1 (dvojnásobné), příslušná rovina vlastních vektorů ((1, 0, 0), (0, —1,1)), číslo 2 (jednonásobné), příslušný jednorozměrný prostor vlastních vektorů ((—1,1, —2)). □
1
Skupina B
Příklad l.(3b.) Určete kolmou projekci vektoru (—1,1,2) do podprostoru (roviny) generovaného vektory (-1,1,0) a (1,0,-1).
Řešení. Normála k dané rovině je (1,1,1). Průmět je pak (—1,1, 2) — (2/3)(l, 1,1) — (—5/3,1/3,4/3). □ Příklad 2.(3b.) Určete souřadnice vektoru (4,1) e M2 v bázi f = ((2,1), (-1,0)).
Řešení. Matice přechodu od / ke standardní bázi je ^ ^ ^ ■ Souřadnice pak (1, —2). □ Příklad 3. (4b.) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
Řešení. Vlastní čísla —1 (dvojnásobné), příslušná rovina vlastních vektorů ((0, 0,1), (1,1, 0)), číslo 2 (jednonásobné), příslušný jednorozměrný prostor vlastních vektorů ((0, —1, 1)). □
2
Skupina C
Příklad l.(3b.) Určete kolmou projekci vektoru (2, —3, —1) do podprostoru (roviny) generovaného vektory (-1,0,1) a (2,1,-1).
Řešení. Normála k dané rovině je (1, —1,1). Průmět je pak (2, —3, —1) — (4/3)(1, —1,1) — (2/3, —5/3, —7/3).
□
Příklad 2.(3b.) Určete souřadnice vektoru (-2,1) e M2 v bázi f = ((0, -1), (-1,1)).
Řešení. Matice přechodu od / ke standardní bázi je ^  j . Souřadnice pak (1, 2). □
Příklad 3. (4b.) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
Řešení. Vlastní čísla 2 (dvojnásobné), příslušná rovina vlastních vektorů ((1, 0, 0), (0, —1,1)), číslo —1 (jednonásobné), příslušný jednorozměrný prostor vlastních vektorů ((—1,1, 0)). □
3
Skupina D
Příklad 1.(3b.) Určete kolmou projekci vektoru (3,1,3) do podprostoru (roviny) generovaného vektory (-1,-1,0) a (1,0,-1).
Řešení. Normála k dané rovině je (1, —1,1). Průmět je pak (3,1, 3) — (5/3)(1, —1,1) — (4/3, 8/3,4/3). □ Příklad 2.(3b.) Určete souřadnice vektoru (1, -3) e R2 v bázi f = ((1, -1), (-1, 2)).
(2 l\
Řešení. Matice přechodu od / ke standardní bázi je ( ^ ^ j. Souřadnice pak (—1, —2). □ Příklad 3. (4b.) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
Řešení. Vlastní čísla —2 (dvojnásobné), příslušná rovina vlastních vektorů ((1, 0, 0), (0,1,1)), číslo 1 (jednonásobné), příslušný jednorozměrný prostor vlastních vektorů ((—1,1, 0)). □
4