Příklad l.(8b.) Určete příčku mimoběžek p : [O,1,1] + í(l, 2, 3), q : [O, 5, 5] + s(2,1, 0), tj. body P a Q, kde P g p a Q g q, takové, že přímka PQ prochází bodem [—7, 7,12].
Řešení. P= [-1,-1,-2], Q = [-4,3,5]. □ Příklad 2.(1 Ob.J Určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentnímu vztahu
x„ — 7xn_i — 10x„_2 + 8n — 22,
s počátečními členy x± — 6, X2 — 8.
Řešení. x„ = 2™+1 - + 2n + 1. □ Příklad 3.(6b.) Nad C určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
Řešení. Vlastní hodnota (1 + 2i), příslušný vektor (—i, 1). Vlastní hodnota (1 — 2z), příslušný vektor (i, 1).
□
Příklad 4.(8b.) VM2 určete vrcholy nějakého rovnostranného trojúhelníka ABC o straně délky 1, s bodem C — [1,1] a základnou AB rovnoběžnou s přímkou 3x + 4y — 10°.
Řešení. Směry stran jsou (3\/3/2 - 2, 3/2 + 2\/3) a (3\/3/2 + 2, 2\/3 - §). Jedna ze dvou možných dvojic potom je ,4 - [— + ^, — + - [— + 5, jo + — \-
□
Příklad 5.(8b.) Kolika způsoby můžeme do řady posadit 50 lidí tak, aby Pavel s Petrem ob jedno místo a Martin sousedil alespoň s jedním z nich? (Ve skupině je právě jeden Pavel, Petr i Martin)
Řešení. (3 • 46 + 2 • 2) • 2 • 47! □
1