Kvadratické formy a kvadriky Matematika I – 13a Kvadriky Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10. 12. 2012 Kvadratické formy a kvadriky Obsah přednášky 1 Kvadratické formy a kvadriky Kvadratické formy a kvadriky Plán přednášky 1 Kvadratické formy a kvadriky Kvadratické formy a kvadriky Objekty v En lze zadávat i složitějšími rovnicemi než lineárními. Ty zadané kvadratickými rovnicemi, se jmenují kvadriky. Kvadratické formy a kvadriky Objekty v En lze zadávat i složitějšími rovnicemi než lineárními. Ty zadané kvadratickými rovnicemi, se jmenují kvadriky. Zvolme v En pevně kartézskou souřadnou soustavu (tj. bod a ortonormální bázi zaměření) a uvažme obecnou kvadratickou rovnici pro souřadnice (x1, . . . , xn) bodů A ∈ En n i,j=1 aij xi xj + n i=1 2ai xi + a = 0, aij = aji . Můžeme ji zapsat jako f (u) + g(u) + a = 0 pro kvadratickou formu f (tj. zúžení symetrické bilineární formy F na dvojice stejných argumentů), lineární formu g a skalár a ∈ R a předpokládáme že hodnost f je nenulová (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). Kvadratické formy a kvadriky Začněme s kvadratickou částí, tj. bilineární symetrickou formou f : Rn × Rn → R. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f (x) na vektoru x = x1e1 + · · · + xnen dána vztahem f (x) = F(x, x) = i,j xi xj F(ei , ej ) = xT · A · x kde A = (aij ) je symetrická matice s prvky aij = F(ei , ej ). Kvadratické formy a kvadriky Začněme s kvadratickou částí, tj. bilineární symetrickou formou f : Rn × Rn → R. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f (x) na vektoru x = x1e1 + · · · + xnen dána vztahem f (x) = F(x, x) = i,j xi xj F(ei , ej ) = xT · A · x kde A = (aij ) je symetrická matice s prvky aij = F(ei , ej ). Takovýmto zobrazením f říkáme kvadratické formy a výše uvedený vzorec pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Jestliže změníme bázi ei na jinou bázi e1, . . . , en, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S · x a tedy f (x) = (S · x )T · A · (S · x ) = (x )T · (ST · A · S) · x . Kvadratické formy a kvadriky Předchozí výpočet na prostoru se skalárním součinem můžeme shrnout: matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy f se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro ortogonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je S−1 = ST ): Theorem Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah ϕ → F, F(u, u) = ϕ(u), u zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V . Kvadratické formy a kvadriky Euklidovská klasifikace kvadrik Z poslední věty vyplývá okamžitý důsledek, že pro každou kvadratickou formu f existuje ortonormální báze zaměření, ve které má f diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Předpokládejme tedy přímo rovnici ve tvaru n i=1 λi x2 i + n i=1 bi xi + b = 0. Kvadratické formy a kvadriky Euklidovská klasifikace kvadrik Z poslední věty vyplývá okamžitý důsledek, že pro každou kvadratickou formu f existuje ortonormální báze zaměření, ve které má f diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Předpokládejme tedy přímo rovnici ve tvaru n i=1 λi x2 i + n i=1 bi xi + b = 0. V dalším kroku pro souřadnice xi s λi = 0 provedeme doplnění do čtverců, které „pohltí“ kvadráty i lineární členy týchž neznámých (tzv. Lagrangeův algoritmus). Tak nám zůstanou nejvýše ty neznámé, pro které byl jejich koeficient u kvadrátu nulový, a získáme tvar n i=1 λi (xi − pi )2 + j splňující λj = 0 bj xj + c = 0. Kvadratické formy a kvadriky Pokud nám opravdu zůstaly nějaké lineární členy, můžeme zvolit novou bázi zaměření tak, aby odpovídající lineární forma byla prvkem duální báze a novou volbou počátku v En pak dosáhneme výsledného tvaru k i=1 λi y2 i + byk+1 + c = 0, kde k je hodnost kvadratické formy f . Lineární člen se může (ale nemusí) objevit jen, pokud je hodnost f menší než n, c ∈ R může být nenulové pouze, když je b = 0. Kvadratické formy a kvadriky Případ E2, tj. kuželosečky v rovině Původní rovnice má tvar a11x2 + a22y2 + 2a12xy + a1x + a2y + a = 0. Kvadratické formy a kvadriky Případ E2, tj. kuželosečky v rovině Původní rovnice má tvar a11x2 + a22y2 + 2a12xy + a1x + a2y + a = 0. Volbou vhodné báze zaměření a následným doplněním čtverců dosáhneme tvaru (opět používáme stejného značení x, y pro nové souřadnice): a11x2 + a22y2 + a1x + a2y + a = 0 kde ai může být nenulové pouze v případě, že aii je nulové. Kvadratické formy a kvadriky Případ E2, tj. kuželosečky v rovině – pokračování Posledním krokem obecného postupu, tj. v dimenzi n = 2 jen případnou volbou posunutí, dosáhneme právě jedné z rovnic: 0 = x2/a2 + y2/b2 + 1 prázdná množina 0 = x2/a2 + y2/b2 − 1 elipsa 0 = x2/a2 − y2/b2 − 1 hyperbola 0 = x2/a2 − 2py parabola 0 = x2/a2 + y2/b2 bod 0 = x2/a2 − y2/b2 2 různoběžné přímky 0 = x2 − a2 2 rovnoběžné přímky 0 = x2 2 splývající přímky 0 = x2 + a2 prázdná množina Kvadratické formy a kvadriky Afinní pohled Geometrická formulace našeho popisu kvadrik je, že pro dva různé objekty – kvadriky, zadané v obecně různých kartézských souřadnicích, existuje euklidovská transformace na En (tj. afinní bijektivní zobrazení zachovávající velikosti) tehdy a jen tehdy, pokud výše uvedený algoritmus vede na stejný analytický tvar, až na pořadí souřadnic. Kvadratické formy a kvadriky Afinní pohled Geometrická formulace našeho popisu kvadrik je, že pro dva různé objekty – kvadriky, zadané v obecně různých kartézských souřadnicích, existuje euklidovská transformace na En (tj. afinní bijektivní zobrazení zachovávající velikosti) tehdy a jen tehdy, pokud výše uvedený algoritmus vede na stejný analytický tvar, až na pořadí souřadnic. Pochopitelně ale často potřebujeme podobnou věc v afinních prostorech, tj. s volností výběru jakékoliv afinní souřadné soustavy. Např. v rovině to bude znamenat, že neumíme rozlišit kružnici od elipsy, samozřejmě bychom ale měli odlišit hyperbolu a všechny ostatní typy kuželoseček. Hlavně ale splynou mezi sebou všechny hyperboly atd. Kvadratické formy a kvadriky Afinní pohled Geometrická formulace našeho popisu kvadrik je, že pro dva různé objekty – kvadriky, zadané v obecně různých kartézských souřadnicích, existuje euklidovská transformace na En (tj. afinní bijektivní zobrazení zachovávající velikosti) tehdy a jen tehdy, pokud výše uvedený algoritmus vede na stejný analytický tvar, až na pořadí souřadnic. Pochopitelně ale často potřebujeme podobnou věc v afinních prostorech, tj. s volností výběru jakékoliv afinní souřadné soustavy. Např. v rovině to bude znamenat, že neumíme rozlišit kružnici od elipsy, samozřejmě bychom ale měli odlišit hyperbolu a všechny ostatní typy kuželoseček. Hlavně ale splynou mezi sebou všechny hyperboly atd. Ukážeme si hlavní rozdíl postupu na kvadratických formách. Kvadratické formy a kvadriky Uvažme nějakou kvadratickou formu f na vektorovém prostoru V a její analytické vyjádření f (u) = xT Ax vzhledem ke zvolené bázi na V . Pro vektor u = x1u1 + · · · + xnun pak také zapisujeme formu f ve tvaru f (x1, n) = ij aij xi xj , V předchozích odstavcích jsme již s využitím skalárního součinu ukázali, že pro vhodnou bázi bude matice A diagonální, tj. že pro příslušnou symetrickou formu F bude platit F(ui , uj ) = 0 při i = j. Každou takovou bázi nazýváme polární báze kvadratické formy f . Samozřejmě si pro takový účel můžeme vždy skalární součin vybrat. Kvadratické formy a kvadriky Uvažme nějakou kvadratickou formu f na vektorovém prostoru V a její analytické vyjádření f (u) = xT Ax vzhledem ke zvolené bázi na V . Pro vektor u = x1u1 + · · · + xnun pak také zapisujeme formu f ve tvaru f (x1, n) = ij aij xi xj , V předchozích odstavcích jsme již s využitím skalárního součinu ukázali, že pro vhodnou bázi bude matice A diagonální, tj. že pro příslušnou symetrickou formu F bude platit F(ui , uj ) = 0 při i = j. Každou takovou bázi nazýváme polární báze kvadratické formy f . Samozřejmě si pro takový účel můžeme vždy skalární součin vybrat. Existuje ale daleko jednodušší algoritmus, jak takovou polární bázi najít mezi všemi bazemi. Tím se zároveň dovíme podstatné informace o afinních vlastnostech kvadratických forem. Následující věta bývá v literatuře uváděna pod názvem Lagrangeův algoritmus. Kvadratické formy a kvadriky Lagrangeův algoritmus doplňování na čtverce Nechť V je reálný vektorový prostor dimenze n, f : V → R kvadratická forma. Pak na V získáme polární bázi pro f takto: Kvadratické formy a kvadriky Lagrangeův algoritmus doplňování na čtverce Nechť V je reálný vektorový prostor dimenze n, f : V → R kvadratická forma. Pak na V získáme polární bázi pro f takto: (1) Nechť A je matice f v bázi u = (u1, . . . , un) na V a předpokládejme a11 = 0. Pak můžeme psát f (x1, . . . , xn) = a11x2 1 + 2a12x1x2 + · · · + a22x2 2 + . . . = a−1 11 (a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn)2 + členy neobsahující x1 Provedeme tedy transformaci souřadnic (tj. změnu báze) tak, aby v nových souřadnicích bylo x1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, x2 = x2, . . . , xn = xn. Kvadratické formy a kvadriky pokračování To odpovídá nové bázi v1 = a−1 11 u1, v2 = u2 − a−1 11 a12u1, . . . , vn = un − a−1 11 a1nu1 a tak jak lze očekávat, v nové bázi bude příslušná symetrická bilinerání forma splňovat g(v1, vi ) = 0 pro všechny i > 0. Má tedy f v nových souřadnicích analytický tvar a−1 11 x1 2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné x1. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v1 = u1, opět dostaneme výraz f = f1 + h, kde f1 závisí pouze na x1, zatímco v h se x1 nevyskytuje. Přitom pak g(v1, v1) = a11. Kvadratické formy a kvadriky pokračování To odpovídá nové bázi v1 = a−1 11 u1, v2 = u2 − a−1 11 a12u1, . . . , vn = un − a−1 11 a1nu1 a tak jak lze očekávat, v nové bázi bude příslušná symetrická bilinerání forma splňovat g(v1, vi ) = 0 pro všechny i > 0. Má tedy f v nových souřadnicích analytický tvar a−1 11 x1 2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné x1. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v1 = u1, opět dostaneme výraz f = f1 + h, kde f1 závisí pouze na x1, zatímco v h se x1 nevyskytuje. Přitom pak g(v1, v1) = a11. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x2 2 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření f = f1 + f2 + h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buď provedeme n − 1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme i-tém kroku bude prvek aii dosud získané matice nulový. Kvadratické formy a kvadriky pokračování (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj = 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s j-tým a pokračovat podle předešlého postupu. Kvadratické formy a kvadriky pokračování (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj = 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s j-tým a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci ajj = 0 pro všechny j ≥ i. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk = 0 s j ≥ i, k ≥ i, pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že ajk = 0. Použijeme pak transformaci vj = uj + uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. xk = xk − xj , ostatní zůstávají). Pak h(vj , vj ) = h(uj , uj ) + h(uk, uk) + 2h(uk, uj ) = 2ajk = 0 a můžeme pokračovat podle postupu v (1). Kvadratické formy a kvadriky Po výpočtu polární báze Lagrangeovým algoritmem můžeme ještě vylepšit bázové vektory pomocí násobení skalárem tak, aby v příslušném analytickém vyjádření naší formy vystupovaly v roli koeficientů u kvadrátů jednotlivých souřadnic pouze skaláry 1, −1 a 0. Kvadratické formy a kvadriky Po výpočtu polární báze Lagrangeovým algoritmem můžeme ještě vylepšit bázové vektory pomocí násobení skalárem tak, aby v příslušném analytickém vyjádření naší formy vystupovaly v roli koeficientů u kvadrátů jednotlivých souřadnic pouze skaláry 1, −1 a 0. Počty jedniček a mínus jedniček nazýváme signaturou kvadratické formy. Opět tedy dostáváme úplný popis kvadratických forem ve smyslu, že dvě takové formy jsou převoditelná jedna na druhou pomocí afinní transformace tehdy a jen tehdy, když mají stejnou signaturu: Kvadratické formy a kvadriky Theorem (věta o setrvačnosti) Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 ≤ p ≤ r a r nezávislých lineárních forem ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗ takových, že f (u) = (ϕ1(u))2 + · · · + (ϕp(u))2 − (ϕp+1(u))2 − · · · − (ϕr (u))2 . Jinak řečeno, existuje polární báze, ve které má f analytické vyjádření f (x1, . . . , xn) = x2 1 + · · · + x2 p − x2 p+1 − · · · − x2 r . Počet p kladných diagonálních koeficientů v matici dané kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze. Kvadratické formy a kvadriky Theorem (věta o setrvačnosti) Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 ≤ p ≤ r a r nezávislých lineárních forem ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗ takových, že f (u) = (ϕ1(u))2 + · · · + (ϕp(u))2 − (ϕp+1(u))2 − · · · − (ϕr (u))2 . Jinak řečeno, existuje polární báze, ve které má f analytické vyjádření f (x1, . . . , xn) = x2 1 + · · · + x2 p − x2 p+1 − · · · − x2 r . Počet p kladných diagonálních koeficientů v matici dané kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze. Dvě symetrické matice A, B dimenze n jsou maticemi téže kvadratické formy v různých bazích právě, když mají stejnou hodnost a když matice příslušných forem v polární bázi mají stejný počet kladných koeficientů. Kvadratické formy a kvadriky Při diskusi symetrických zobrazení jsme hovořili o definitních a semidefitních zobrazeních. Tatáž diskuse má jasný smysl i pro symetrické bilineární formy a kvadratické formy. Kvadratickou formu f forma na reálném vektorovém prostoru V nazýváme 1 positivně definitní, je-li f (u) > 0 pro všechny u = 0 2 positivně semidefinitní, je-li f (u) ≥ 0 pro všechny u ∈ V 3 negativně definitní, je-li f (u) < 0 pro všechny u = 0 4 negativně semidefinitní, je-li f (u) ≤ 0 pro všechny u ∈ V 5 indefinitní, je-li f (u) > 0 a f (v) < 0 pro vhodné u, v ∈ V . Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřičných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy.