Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Matematika I – 2b Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26. 9. 2012 Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Podmíněná pravděpodobnost 4 Geometrická pravděpodobnost Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Plán přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Podmíněná pravděpodobnost 4 Geometrická pravděpodobnost Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V matematice pracujeme s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku (ta ale umí pomoci). Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V matematice pracujeme s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku (ta ale umí pomoci). Vrátíme se k tomuto tématu, ale až na konci čtvrtého semestru v matematické statistice! Jde o teorii umožňující posoudit, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou. K jejímu studiu bude již potřebný dosti rozsáhlý matematický aparát. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Ω konečná množina s prvky ω1, . . . , ωn, představujícími jednotlivé možné výsledky. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Ω konečná množina s prvky ω1, . . . , ωn, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina A ⊂ Ω představuje možný jev. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Ω konečná množina s prvky ω1, . . . , ωn, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina A ⊂ Ω představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže Ω ∈ A, tj. základní prostor, je jevem, je-li A, B ∈ A, pak A \ B ∈ A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl, jsou-li A, B ∈ A, pak A ∪ B ∈ A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Komplement Ac = Ω \ A jevu A je jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Komplement Ac = Ω \ A jevu A je jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A, B ⊂ Ω platí A \ (Ω \ B) = A ∩ B. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , A, B ∈ A jsou neslučitelné jevy, je-li A ∩ B = ∅, Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , A, B ∈ A jsou neslučitelné jevy, je-li A ∩ B = ∅, jev A má za důsledek jev B, když A ⊂ B, Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , A, B ∈ A jsou neslučitelné jevy, je-li A ∩ B = ∅, jev A má za důsledek jev B, když A ⊂ B, je-li A ∈ A, pak se jev B = Ω \ A nazývá opačný jev k jevu A, píšeme B = Ac. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Pravděpodobnost) Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru Ω, na kterém je definována skalární funkce P : A → R s následujícími vlastnosti: je nezáporná, tj. P(A) ≥ 0 pro všechny jevy A, je aditivní, tj. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A ∩ B = ∅ a A, B ∈ A, pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (Ω, A). Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Pravděpodobnost) Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru Ω, na kterém je definována skalární funkce P : A → R s následujícími vlastnosti: je nezáporná, tj. P(A) ≥ 0 pro všechny jevy A, je aditivní, tj. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A ∩ B = ∅ a A, B ∈ A, pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (Ω, A). Důsledky Pro všechny jevy platí P(Ac) = 1 − P(A). Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Pravděpodobnost) Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru Ω, na kterém je definována skalární funkce P : A → R s následujícími vlastnosti: je nezáporná, tj. P(A) ≥ 0 pro všechny jevy A, je aditivní, tj. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A ∩ B = ∅ a A, B ∈ A, pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (Ω, A). Důsledky Pro všechny jevy platí P(Ac) = 1 − P(A). Additivnost platí pro jakýkoliv konečný počet neslučitelných jevů Ai ⊂ Ω, i ∈ I, tj. P(∪i∈I Ai ) = i∈I P(Ai ), kdykoliv je Ai ∩ Aj = ∅, i = j, i, j ∈ I. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Příklad pravděpodobnosti: Definition (Klasická konečná pravděpodobnost) Nechť Ω je konečný základní prostor a nechť jevové pole A je právě systém všech podmnožin v Ω. Klasická pravděpodobnost je takový pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) s pravděpodobnostní funkcí P : A → R, P(A) = |A| |Ω| . Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Následující věta je promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší konečné pravděpodobnosti: Theorem Buďte A1, . . . , Ak ∈ A libovolné jevy na základním prostoru Ω s jevovým polem A. Pak platí P(∪k i=1Ai ) = k i=1 P(Ai ) − k−1 i=1 k j=i+1 P(Ai ∩ Aj ) + k−2 i=1 k−1 j=i+1 k =j+1 P(Ai ∩ Aj ∩ A ) − · · · + (−1)k−1 P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak). Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Následující věta je promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší konečné pravděpodobnosti: Theorem Buďte A1, . . . , Ak ∈ A libovolné jevy na základním prostoru Ω s jevovým polem A. Pak platí P(∪k i=1Ai ) = k i=1 P(Ai ) − k−1 i=1 k j=i+1 P(Ai ∩ Aj ) + k−2 i=1 k−1 j=i+1 k =j+1 P(Ai ∩ Aj ∩ A ) − · · · + (−1)k−1 P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak). Jde o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Princip inkluze a exkluse Speciálním případem předchozí věty je situace, kdy všechny konečné podmnožniny základního prostoru jsou jevy a všechny elementární jevy mají stejnou pravděpodobnost. Ve formuli z předchozí věty pak všechny pravděpodobnosti dávají právě počet prvků příslušných podmnožin, až na společný faktor 1 n , kde n je počet prvků základního prostoru. Pak můžeme vyčíst následující tvrzení pro obecnou konečnou množinu M a její podmnožiny A1, . . . , Ak. Budeme psát |M| pro počet prvků množiny M, tj. pro mohutnost množiny M. |M \ (∪k i=1Ai )| = |M| + k j=1 (−1)i 1≤i1<··· 0: P(A1 ∩ · · · ∩ Ak) = P(A1)P(A2|A1) · · · P(Ak|A1 ∩ · · · ∩ Ak−1). Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Přímo z definice také vyplývá tzv. „věta o násobení pravděpodobností“ pro jevy A1, . . . , Ak splňující P(A1 ∩ · · · ∩ Ak) > 0: P(A1 ∩ · · · ∩ Ak) = P(A1)P(A2|A1) · · · P(Ak|A1 ∩ · · · ∩ Ak−1). Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i napravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Plán přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Podmíněná pravděpodobnost 4 Geometrická pravděpodobnost Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu R2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Ω se známým obsahem vol Ω (symbol „vol“ od anglického „volume“, tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A ⊂ Ω za jevové pole A bereme systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Třeba všechna konečná sjednocení trojůhelníků. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Ω, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Podobně jako u klasické pravděpodobnosti pak definujeme pravděpodobnostní funkci P : A → R vztahem P(A) = vol A vol Ω . Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě π = 3, 1415 . . . , která vyjadřuje poměr obsahu a čtverce poloměru. Pokud zvolíme za Ω jednotkový čtverec a za A průnik Ω a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = 1 4 π. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost vygenerované dvojice (a, b) menší než jedna, tj. √ a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo 1 4 π. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo.