Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Matematika I – 6b
A znovu vektory složitěji
Jan Slovák
Masarykova univerzita, Fakulta informatiky
24. 10. 2012
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Báze a souřadnice
3 Lineární zobrazení
4 Unitární prostory
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací
sčítání, pro kterou platí axiomy komutativní grupy, a násobení
skaláry takové, že platí
a · (v + w) = a · v + a · w (V1)
(a + b) · v = a · v + b · v (V2)
a · (b · v) = (a · b) · v (V3)
1 · v = v (V4)
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací
sčítání, pro kterou platí axiomy komutativní grupy, a násobení
skaláry takové, že platí
a · (v + w) = a · v + a · w (V1)
(a + b) · v = a · v + b · v (V2)
a · (b · v) = (a · b) · v (V3)
1 · v = v (V4)
Theorem
Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme
a, b, ai ∈ K, vektory u, v, uj ∈ V . Potom
1 a · u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0
2 (−1) · u = −u
3 a · (u − v) = a · u − a · v
4 (a − b) · u = a · u − b · u
5
n
i=1 ai · m
j=1 uj = n
i=1
m
j=1 ai · uj .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Výrazy tvaru a1 · v1 + · · · + ak · vk nazýváme lineární kombinace
vektorů v1, . . . , vk ⊂ V .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Výrazy tvaru a1 · v1 + · · · + ak · vk nazýváme lineární kombinace
vektorů v1, . . . , vk ⊂ V .
Množina vektorů M ⊂ V ve vektorovém prostoru V nad K se
nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou k-tici vektorů
v1, . . . , vk ∈ M a každé skaláry a1, . . . , ak ∈ K platí:
a1 · v1 + · · · + ak · vk = 0 =⇒ a1 = a2 = · · · = ak = 0.
Posloupnost vektorů v1, . . . , vk nazveme lineárně nezávislou jestliže
v1, . . . , vk jsou po dvou různé a {v1, . . . , vk} je lineárně nezávislá.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Výrazy tvaru a1 · v1 + · · · + ak · vk nazýváme lineární kombinace
vektorů v1, . . . , vk ⊂ V .
Množina vektorů M ⊂ V ve vektorovém prostoru V nad K se
nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou k-tici vektorů
v1, . . . , vk ∈ M a každé skaláry a1, . . . , ak ∈ K platí:
a1 · v1 + · · · + ak · vk = 0 =⇒ a1 = a2 = · · · = ak = 0.
Posloupnost vektorů v1, . . . , vk nazveme lineárně nezávislou jestliže
v1, . . . , vk jsou po dvou různé a {v1, . . . , vk} je lineárně nezávislá.
Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně
nezávislá.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Podmnožina M ⊂ V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže
spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama
vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme
∀a, b ∈ K, ∀v, w ∈ M, a · v + b · w ∈ M.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Příklady vektorových (pod)prostorů
Prostor n–tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je
vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např.
vektory (1, 0), (
√
2, 0) ∈ R2 jsou lineárně závislé nad R, protože√
2 · (1, 0) = (
√
2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé!
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Příklady vektorových (pod)prostorů
Prostor n–tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je
vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např.
vektory (1, 0), (
√
2, 0) ∈ R2 jsou lineárně závislé nad R, protože√
2 · (1, 0) = (
√
2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé!
Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Rm[x].
Zobrazení f : R → R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (a · f )(x) = a · f (x).
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Příklady vektorových (pod)prostorů
Prostor n–tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je
vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např.
vektory (1, 0), (
√
2, 0) ∈ R2 jsou lineárně závislé nad R, protože√
2 · (1, 0) = (
√
2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé!
Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Rm[x].
Zobrazení f : R → R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (a · f )(x) = a · f (x).
Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor R∞[x] a
Rm[x] ⊂ Rn[x] je vektorový podprostor pro všechna m ≤ n ≤ ∞.
Obdobně pro množiny řešení lineárních diferenčních rovnic atd.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Příklady vektorových (pod)prostorů
Prostor n–tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je
vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např.
vektory (1, 0), (
√
2, 0) ∈ R2 jsou lineárně závislé nad R, protože√
2 · (1, 0) = (
√
2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé!
Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Rm[x].
Zobrazení f : R → R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (a · f )(x) = a · f (x).
Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor R∞[x] a
Rm[x] ⊂ Rn[x] je vektorový podprostor pro všechna m ≤ n ≤ ∞.
Obdobně pro množiny řešení lineárních diferenčních rovnic atd.
Podprostory jsou např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy
(f (−x) = ±f (x)), po částech konstantní funkce apod.
Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu
vektorového prostoru na množině všech zobrazení R → R nebo
všech zobrazení M → V libovolné pevně zvolené množiny M do
vektorového prostoru V .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Generátory vektorového prostoru
Průnik všech podprostorů W ⊂ V , které obsahují předem danou
množinu vektorů M ⊂ V je podprostor. Říkáme, že takto M
generuje podprostor M , nebo že prvky M jsou generátory
podprostoru M .
Theorem
Pro každou podmnožinu M ⊂ V platí
1 M = {a1 · u1 + · · · + ak · uk; k ∈ N, ai ∈ K, uj ∈ M, j =
1, . . . , k}
2 M = M právě když M je vektorový podprostor
3 jestliže N ⊂ M pak N ⊂ M je vektorový podprostor
4 ∅ = {0} ⊂ V , triviální podprostor.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Báze a souřadnice
3 Lineární zobrazení
4 Unitární prostory
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Podmnožina M ⊂ V se nazývá báze vektorového prostoru V ,
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který
má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze
nazýváme dimenzí V
Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný.
Píšeme dim V = k, k ∈ N, případně k = ∞.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Podmnožina M ⊂ V se nazývá báze vektorového prostoru V ,
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který
má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze
nazýváme dimenzí V
Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný.
Píšeme dim V = k, k ∈ N, případně k = ∞.
Bázi k-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako k-tici
v = (v1, . . . , vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení
konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy
uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto,
striktně vzato, nedefinovali.
Zjevně, je-li (v1, . . . , vn) bazí V , je celý prostor V přímým součtem
jednorozměrných podprostorů
V = v1 ⊕ · · · ⊕ vn .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Theorem
Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V
lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků.
Silnější tvrzení je Steinitzova větu o výměně, která říká, že pro
každou konečnou bázi a každý systém lineárně nezávislých vektorů
ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů, které záměnou za
zadané nové vektory dají opět bázi.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Důsledky Steinitzovy věty o výměně
Corollary
1 Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají
stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na
volbě báze.
2 Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu
doplnit do báze.
3 Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě
maximální lineárně nezávislé množiny
4 Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální
množiny generátorů
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Theorem
Nechť W , W1, W2 ⊂ V jsou podprostory v prostoru konečné
dimenze. Pak platí
1 dim W ≤ dim V
2 V = W právě když dim V = dim W
3 dim W1 + dim W2 = dim(W1 + W2) + dim(W1 ∩ W2).
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Báze a souřadnice
3 Lineární zobrazení
4 Unitární prostory
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K.
Zobrazení f : V → W se nazývá lineární zobrazení
(homomorfismus) jestliže platí:
1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V
2 f (a · u) = a · f (u), ∀a ∈ K, ∀u ∈ V .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K.
Zobrazení f : V → W se nazývá lineární zobrazení
(homomorfismus) jestliže platí:
1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V
2 f (a · u) = a · f (u), ∀a ∈ K, ∀u ∈ V .
Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení
matic:
Kn
x → A · x ∈ Km
s maticí typu m/n nad K.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Obraz Imf := f (V ) ⊂ W je zjevně vektorový podprostor. Stejně
tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů
Ker f := f −1({0}) ⊂ V . Nazývá se jádro lineárního zobrazení f .
Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Obraz Imf := f (V ) ⊂ W je zjevně vektorový podprostor. Stejně
tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů
Ker f := f −1({0}) ⊂ V . Nazývá se jádro lineárního zobrazení f .
Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus.
Theorem
Nechť f : V → W je lineární zobrazení. Pro všechny
u, u1, . . . , uk ∈ V , a1, . . . , ak ∈ K platí:
1 f (0) = 0
2 f (−u) = −f (u)
3 f (a1 · u1 + · · · + ak · uk) = a1 · f (u1) + · · · + ak · f (uk)
4 pro každý vektorový podprostor V1 ⊂ V je jeho obraz f (V1)
vektorový podprostor ve W .
5 Pro každý podprostor W1 ⊂ W je množina
f −1(W1) = {v ∈ V ; f (v) ∈ W1} vektorový podprostor ve V .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Jednoduché důsledky
1 Složení g ◦ f : V → Z dvou lineárních zobrazení f : V → W a
g : W → Z je opět lineární zobrazení.
2 Lineární zobrazení f : V → W je izomorfismus právě když
Im f = W a Ker f = {0} ⊂ V . Inverzní zobrazení k
izomorfismu je opět izomorfismus.
3 Pro podprostory V1, V2 a lineární zobrazení f : V → W platí
f (V1 + V2) = f (V1) + f (V2), f (V1 ∩ V2) ⊂ f (V1) ∩ f (V2).
4 Zobrazení ”přiřazení souřadnic” u : V → Kn dané libovolně
zvolenou bází u = (u1, . . . , un) vektorového prostoru V je
izomorfismus.
5 Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě
když mají stejnou dimenzi.
6 Složení dvou izomorfismů je izomorfismus.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Uvažujme libovolné vektorové prostory V , W nad K s dim V = n,
dim W = m a mějme lineární zobrazení f : V → W . Pro každou
volbu bází u = (u1, . . . , un) na V , v = (v1, . . . , vn) na W , máme k
dispozici příslušná přiřazení souřadnic:
V
f //
u

W
v

Kn
fu,v
// Km
Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými
hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi
u. Odtud přímo vidíme, že fu,v je dáno jako násobení maticí, do
jejíchž sloupců jsou vepsány souřadnice hodnot zobrazení f (ui ) v
bázi v.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bazemi, a
za f identické zobrazení, vyjadřuje náš postup vektory báze u v
souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak
zadáme vektor u
u = x1u1 + · · · + xnun
v souřadnicích vzhledem k u a dosadíme za ui , obdržíme souřadné
vyjádření ¯x téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přeskládat pořadí
sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Podle výše
uvedeného postupu musí vyjít ¯x = T · x. Tuto matici nazýváme
matice přechodu od báze u k bázi v. Matice T zadávající
transformaci souřadnic z báze u do báze v je tedy maticí
identického zobrazení idV : V → V :
V
idV
//
u

V
v

Kn
(idV )u,v
// Kn
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Theorem
Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice
vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Theorem
Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice
vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T.
Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x
vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží
vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní
zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice
přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu
opačným směrem, tj. od báze v k bázi u.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Nyní snadno vidíme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních
zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k
s bází w, lineární zobrazení g : W → Z a označme příslušnou matici
gv,w . Pro matice těchto zobrazení dostáváme čímž jsme odvodili:
gv,w ◦ fu,v (x) = B · (A · x) = (B · A) · x = (g ◦ f )u,w (x)
pro všechny x ∈ Kn. Všimněte si, že isomorfismy odpovídají právě
invertibilním maticím.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Stejný postup nám dává odpověď na otázku, jak se změní matice
zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot:
V
idV
//
u

V
f //
u

W
idW
//
v

W
w

Kn T // Kn
fu,v
// Km S−1
// Km
kde T je matice přechodu od u k u a S je matice přechodu od v k
v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako
A = S−1AT.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Stejný postup nám dává odpověď na otázku, jak se změní matice
zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot:
V
idV
//
u

V
f //
u

W
idW
//
v

W
w

Kn T // Kn
fu,v
// Km S−1
// Km
kde T je matice přechodu od u k u a S je matice přechodu od v k
v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako
A = S−1AT.
Ve speciálním případě lineárního zobrazení f : V → V vyjadřujeme
zpravidla f pomocí jedné báze u prostoru V , to je přechod k nové
bázi u bude znamenat změnu na A = T−1AT.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Plán přednášky
1 Vektorové prostory
2 Báze a souřadnice
3 Lineární zobrazení
4 Unitární prostory
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Lineární a multilineární formy
Budeme se teď chvíli zabývat vektorovými prostory nad skaláry R
nebo C. Na komplexních číslech máme operace konjugace, z → ¯z.
Zúžení této operace na R je identita.
Speciálním případem lineárních zobrazení jsou tzv. lineární formy.
Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem
skalárů K do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V , je přiřazení
jednotlivé i-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Lineární a multilineární formy
Budeme se teď chvíli zabývat vektorovými prostory nad skaláry R
nebo C. Na komplexních číslech máme operace konjugace, z → ¯z.
Zúžení této operace na R je identita.
Speciálním případem lineárních zobrazení jsou tzv. lineární formy.
Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem
skalárů K do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V , je přiřazení
jednotlivé i-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou.
Při pevně zvolené bázi {1} na K jsou s každou volbou báze na V
lineární formy ztotožněny s maticemi typu 1/n, tj. s řádky. Vyčíslení
takové formy na vektoru je pak dáno vynásobením příslušného
řádkového vektoru se sloupcem souřadnic.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Lineární a multilineární formy
Budeme se teď chvíli zabývat vektorovými prostory nad skaláry R
nebo C. Na komplexních číslech máme operace konjugace, z → ¯z.
Zúžení této operace na R je identita.
Speciálním případem lineárních zobrazení jsou tzv. lineární formy.
Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem
skalárů K do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V , je přiřazení
jednotlivé i-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou.
Při pevně zvolené bázi {1} na K jsou s každou volbou báze na V
lineární formy ztotožněny s maticemi typu 1/n, tj. s řádky. Vyčíslení
takové formy na vektoru je pak dáno vynásobením příslušného
řádkového vektoru se sloupcem souřadnic.
Nad komplexními čísly budeme ještě potřebovat tzv. pololineární
(nebo sesquilineární) formy, tj. takové f , které jsou aditivní a
f (az) = ¯az. Je zjevné, že v souřadnicích bude taková forma dána
vynásobením řádku pevných skalárů s opruhovaným sloupcem
souřadnic z.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Duální báze
Množina všech lineárních forem na daném prostoru V je opět
vektorový prostor, značíme jej V ∗. Pokud je V konečněrozměrný, je
V ∗ izomorfní prostoru V . Realizace takového izomorfismu je dána
např. volbou tzv. duální báze k zvolené bázi na V , jejímiž prvky αi
jsou právě formy zadávající i-tou souřadnici.
Podobně budeme pracovat i se zobrazeními ze součinu k kopií
vektorového prostoru V do skalárů lineárních v každém argumentu.
Hovoříme o k-lineárních formách. Budeme se setkávat (a již jsme
je viděli v dimenzi 2) zejména s n-lineárními antisymetrickými
formami (formy objemu) a symetrickými bilineárními formami.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Definition
Unitární prostor V je vektorový prostor nad komplexními čísly,
spolu s formou , : V × V → C takovou, že
1 , je lineární v prvním argumentu
2 u, v = v, u
3 v, v ≥ 0 a je roven nule pouze při v = 0.
Této formě se také říká skalární součin.
Je tedy zjevně skalární součin sesquilineární v druhém argumentu.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Definition
Vektory v a w ∈ V se nazývají ortogonální, jestliže v, w = 0.
Vektor v se nazývá normovaný, jestliže v = 1. Báze prostoru V
složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze.
Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Theorem
Skalární součin je v každé ortonormální bázi na unitárním prostoru
dán výrazem
x, y = xT
· ¯y.
V obecné bázi V existuje matice S taková, že ST = ¯S a
x, y = xT
· S · ¯y.
Grammova–Schmidtova ortogonalizace funguje zcela stejně i pro
unitární prostory, proto opět vždy existují ortonormální báze.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Unitární a ortogonální zobrazení
Lineární zobrazení f zachovávající skalární součin, tj.
f (u), f (v) = u, v ,
se v případě K = C nazývá unitární, v reálném případě
ortogonální.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Unitární a ortogonální zobrazení
Lineární zobrazení f zachovávající skalární součin, tj.
f (u), f (v) = u, v ,
se v případě K = C nazývá unitární, v reálném případě
ortogonální.
V ortogonální bázi platí, že f : V → V je unitární (ortogonální),
právě když jeho matice A splňuje
A−1
= ¯AT
=: A∗
,
tj. inverzní maticí je matice adjungovaná.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Symetrická a samoadjungovaná zobrazení
Zobrazení f : V → V splňující
f (u), v = u, f (v)
se nazývá samoadjungované (resp. symetrické v reálném případě).
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Duální prostory a zobrazení
Zvolme pevně jeden vektor v ∈ V , a dosaďme jej za druhý
argument ve skalárním součinu:
V v → (w → v, w ∈ C),
tj. zobrazení V → V ∗ = Hom(V , C). Nedegenerovanosti skalárního
součinu zaručuje, že je to bijekce. Je vidět, že vektory ortonormální
báze jsou zobrazeny na formy tvořící bázi duální.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
Duální prostory a zobrazení
Zvolme pevně jeden vektor v ∈ V , a dosaďme jej za druhý
argument ve skalárním součinu:
V v → (w → v, w ∈ C),
tj. zobrazení V → V ∗ = Hom(V , C). Nedegenerovanosti skalárního
součinu zaručuje, že je to bijekce. Je vidět, že vektory ortonormální
báze jsou zobrazeny na formy tvořící bázi duální.
Každé lineární f : V → W (na libovolných vektorových prostorech
nad týmiž skaláry) zadává tzv. duální zobrazení f ∗ : W ∗ → V ∗
mezi formami, definované pro všechny w∗ ∈ W ∗, v ∈ V
f ∗
(w∗
)(v) = w∗
(f (v)).
V duálních bazích pak tentýž definiční vztah má tvar (píšeme A∗
pro matici zobrazení f ∗, xT souřadnice formy w∗, y souřadnice v)
(A∗
xT
) · y = xT
· (A · y)
a proto duální zobrazení má v duálních bazích matici AT .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Lineární zobrazení Unitární prostory
V případě unitárních vektorových prostorů převádí výše uvedené
bijekce duální zobrazení f ∗ na tobrazení f ∗ : W → V zadané
formulí
f (u), v = u, f ∗
(v)
a tomuto zobrazení se říká adjungované zobrazení k f . Předchozí
výpočet v souřadnicích pro symetrická zobrazení nám ve skutečnosti
sdělil, že je-li A matice zobrazení f v ortonormální bázi, pak matice
adjungovaného zobrazení f ∗ je matice transponovaná AT .
Můžeme proto také přeformulovat definici takto:
Symetrické/samoadjungované je takové zobrazení f : V → V , které
je rovno svému adjungovanému zobrazení f ∗. Často se takovým
zobrazením také proto říká samoadjungovaná.