Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Matematika I – 9b Volby bazí a vlastnosti lineárních zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita 14. 11. 2011 Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Obsah přednášky 1 Iterované lineární procesy 2 Perronova–Frobeniova teorie Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Plán přednášky 1 Iterované lineární procesy 2 Perronova–Frobeniova teorie Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Iterované procesy Procesy bývají popsány prostřednictvím lineární operace pro jednotlivá časová období (linearizovaný model). Budeme chtít studovat jeho chování během delší doby. Example Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty jako takový proces – vektor posledních k hodnot xi převádíme násobením konstatní maticí A tak, že další novou hodnotu spočteme a nejstarší hodnotu zapomeneme. Fundamentální systém řešení jsme hledali ve tvaru vlastních vektorů pro matici A! Charakteristický polynom matice A splývá s charakteristickým polynomem rovnice z minulé přednášky! Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie populační modely Představme si, že zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod) rozdělený do m skupin (třeba podle stáří, fází vývoje hmyzu apod.). Stav xn je tedy dán vektorem (a1, . . . , am) závisejícím na okamžiku tn, ve kterém systém pozorujeme. Lineární model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu vektoru xn na xn+1 = A · xn při přírůstku času z tk na tk+1. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Leslieho model Příkladem lineárních procesů je Leslieho model růstu s maticí (pro m = 5) A =       f1 f2 f3 f4 f5 τ1 0 0 0 0 0 τ2 0 0 0 0 0 τ3 0 0 0 0 0 τ4 0       , ve které: Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Leslieho model Příkladem lineárních procesů je Leslieho model růstu s maticí (pro m = 5) A =       f1 f2 f3 f4 f5 τ1 0 0 0 0 0 τ2 0 0 0 0 0 τ3 0 0 0 0 0 τ4 0       , ve které: fi označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém skoku vznikne z N jedinců v i–té skupině fi N jedinců nových, tj. ve skupině první); τi je relativní úmrtnost i-té skupiny během jednoho období. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Všechny koeficienty jsou tedy nezáporná reálná čísla a τ jsou mezi nulou a jedničkou. Přímým výpočtem (využitím Laplaceova rozvoje) spočteme charakteristický polynom p(λ) = det(A − λE) = λ5 − aλ4 − bλ3 − cλ2 − dλ − e s vesměs nezápornými koeficienty a, b, c, d, e, např. e = τ1τ2τ3τ4f5. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Všechny koeficienty jsou tedy nezáporná reálná čísla a τ jsou mezi nulou a jedničkou. Přímým výpočtem (využitím Laplaceova rozvoje) spočteme charakteristický polynom p(λ) = det(A − λE) = λ5 − aλ4 − bλ3 − cλ2 − dλ − e s vesměs nezápornými koeficienty a, b, c, d, e, např. e = τ1τ2τ3τ4f5. Je tedy p(λ) = λ5 (1 − q(λ)) kde q je ostře klesající a nezáporná funkce pro λ > 0. Evidentně bude proto existovat právě jedno kladné λ, pro které bude q(λ) = 1 a tedy p(λ) = 0. Jinými slovy, pro každou Leslieho matici existuje právě jedno kladné vlastní číslo λ0. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Pro konkrétní koeficienty může být dominantní vlastní číslo λ0 vetší než jedna, zatímco absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel λi budou ostře menší než jedna. Iterace dávají pro každý vektor v = v0 + v1+ rozložený na vlastní vektory matice (pomíjíme teď složitější možnost různých algebraických a geometrických násobností jednotlivých vlastních čísel) ϕk (v) = λk 0v0 + λk 1v1 + . . . . Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Pro konkrétní koeficienty může být dominantní vlastní číslo λ0 vetší než jedna, zatímco absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel λi budou ostře menší než jedna. Iterace dávají pro každý vektor v = v0 + v1+ rozložený na vlastní vektory matice (pomíjíme teď složitější možnost různých algebraických a geometrických násobností jednotlivých vlastních čísel) ϕk (v) = λk 0v0 + λk 1v1 + . . . . V takovém případě při iteraci kroků našeho procesu dojde při libovolné počáteční hodnotě x0 k postupnému vymizení všech komponent v jednotlivých vlastních podprostorech kromě v0. Poměrné proporce rozložení populace do věkových skupin se budou blížit poměrům komponent vlastního vektoru k dominantnímu vlastnímu číslu. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Markovovy procesy Speciálním případem lineráních procesů je případ, kdy A je tzv. stochastická matice, tj. sloupce v ní jsou stochastické vektory určující rozdělení pravděpodobnosti systému s konečně mnoha stavy. Hovoříme o diskrétních Markovových procesech. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Plán přednášky 1 Iterované lineární procesy 2 Perronova–Frobeniova teorie Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Theorem (Perronova–Frobeniova věta) Nechť A je reálná čtvercová matice dimenze m s kladnými prvky. Pak platí 1 existuje reálné vlastní číslo λm matice A takové, že pro všchna ostatní vlastní čísla λ platí |λ| < λm, 2 vlastní číslo λm má algebraickou násobnost jedna, 3 vlastní podprostor odpovídající λm obsahuje vektor se všemi souřadnicemi kladnými 4 platí odhad mini j aij ≤ λm ≤ maxi j aij . Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Theorem (Perronova–Frobeniova věta) Nechť A je reálná čtvercová matice dimenze m s kladnými prvky. Pak platí 1 existuje reálné vlastní číslo λm matice A takové, že pro všchna ostatní vlastní čísla λ platí |λ| < λm, 2 vlastní číslo λm má algebraickou násobnost jedna, 3 vlastní podprostor odpovídající λm obsahuje vektor se všemi souřadnicemi kladnými 4 platí odhad mini j aij ≤ λm ≤ maxi j aij . Tvrzení bezezbytku platí i pro tzv. regulární matice, tj. takové, jejichž nějaká mocnina má výhradně kladné prvky. Takové jsou např. Leslieho matice se všemi parametry nenulovými. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Důsledkem této věty pro Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky (nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost), je existence vlastního vektoru x∞ pro vlastní číslo 1, který je pravděpodobnostní přibližování hodnoty iterací Tkx0 k vektoru x∞ pro jakýkoliv pravděpodobnostní vektor x0. První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadnic vlastního vektoru zmíněné v Perronově–Frobeniově větě, druhé pak z toho, že absolutní hodnoty všech ostatních vlastních čísel musí být ostře menší než jedna. Iterované lineární procesy Perronova–Frobeniova teorie Důkaz Perronovy–Frobeniovy věty Odvození těchto výsledků je docela složité – viz tabule nebo texty ...