Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace oooooo Matematika III - 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 9. 2013 Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo ooooo oooooo Obsah nřednášky Literatura Zobrazení a funkce více proměnných • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo ooooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Zobrazení a funkce více proměnných •oooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace OOOOOO Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek. Definice Křivka je zobrazení c : R —> En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En: Příklad Obrazem křivky t i-> (cos t, sin t), t £ M. v rovině E2 je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky 11-> (cos(ř3), sin(ř3)), t G R. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných o^ooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice "* • Limita: limt^t0 c(ŕ) G En « Derivace: c'(t0) = limř^řo (c(ř)-^o)) £ Rn « Integrál: f^c(t)dt G Rn. Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných oo»oooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace oooooo Analogie souvislosti Riemannova integrálu a primitivní funkce pro křivky: Věta _] Je-li c : M —> En křivka spojitá na intervalu [a, b] Riemannův integrál f c(t)dt. Navíc je křivka pak existuje její C(t) = í c(s)ds G Rn J a dobře definovaná, diferencovatelná a platí C(t) -všechny hodnoty t G [a, b]. = c(t) pro Literatura Zobrazení a funkce více proměnných 000*000 Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace oooooo ;e křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : M. —> En v bodě c(řo) £ En, tj. vektor c'(řo) ěM"v prostoru zaměření M." daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +t • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě řo> na rozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cos t, t, t2), t £ [O, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, O, 2), c'(0) = (0,1, 0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1, O, 2). Zrychlení ve směru tečny je pak m,^,, (c'(0) • c"(0)). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOO0OO ooooo oooooo Příklady Příklad Určete tečnu křivky dané předpisem f(t) = (2cosř + cos3ř,sin2ř, t) v bodě t = Příklad Na křivce f(ř) = (t, t , ř ) najděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou x + 2y + z = 1. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooo»o ooooo oooooo Zobrazení Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic je invertibilní zobrazení M." —> M.n. Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (r>v) ^ (rcos^rsinv?) = Pkartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení M." —> M" Zobrazení a funkce více proměnných O* ak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + bip, kde I a, b G M jsou parametry. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo »oooo oooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : W —> M má ve svém hromadném bodě agR" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x G 0{a) \ {a} platí f(x) G O(L). Píšeme lim f(x) = L Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Literatura Zobrazení a funkce ví ľe protne nných Limita a spojitost funkce Parciální a sm rové derivace ooooooo o»ooo oooooo Vlastn osti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, • je-li limx^a f(x) = 0 a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f{x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce oo»oo Parciální a směrové derivace oooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) Vx2+y2+l-l f=- v bodě (0,0). Viz cvičení. Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) x2+y2 v bodě (0,0). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo ooo»o oooooo Příklady k procvičení Příklad Vypočtěte limity nebo dokažte jejich neexistenci. a) lim(x,yH(0,0) ^T^, b) lim(XiyH(00i00)(x2+y2)e-(x+^, c) lim(Xiy)^(o0il)(l + -)*+*, ,\ ,. 1—cos(x2+y2) d) lim(yiy)_,(0,o) {x2+y2)xy. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce oooo» Parciální a směrové derivace oooooo SDojitost funkce Definice Funkce f : M" —> M je spojitá v hromadném bodě a G W, pokud má v bodě a vlastní limitu a platí lim f(x) = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : M" —> M je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b G A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace •OOOOO Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice /K,...,xn*)), , x*] parciální ,x*) (příp. Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> M. parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do M. Existuje-li limita t™o 1 ' ' " ''X/-1'X/ 'X/+1'' ' ' ' *"> ~ říkáme, že funkce f : En —> M. má v bodě [xj*,... derivaci podle proměnné x; a značíme fXi{x\, ■ ■ ■ g(x1*,...,x*)nebo^(x1*,...,x*)). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace o»oooo Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace oo»ooo Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru věM"v bodě x £ En, jestliže existuje derivace dvf(x) složeného zobrazení 11-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim y(f(x + tv) - f(x)). Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných ooooooo Limita a spojitost funkce ooooo Parciální a směrové derivace ooo»oo Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné tp(t) = f(x+ tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro i/ěK" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —» M. v bodě x g En, pak: O d/(Vf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné ItsR, O dv{f ± g){x) = dvf{x) ± dvg{x), 0 dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ^Oje dv^ = -^(dvf(x)g(x) - f(x)dvg(x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: du+vf{x) ŕ duf{x) + dvf{x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na „směru" vektoru, ale i na jeho velikosti. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo ooooo oooo»o Ze nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem mimo počátek a ^(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). < Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál, Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooo ooooo ooooo* Příklady k procvičení Příklad Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = arctg(x2 + y2) v bodě [— 1,1] ve směru vektoru (1, 2).