Matematika III - 6. přednáška Funkce více proměnných: Vázané extrémy, úvod do integrálního počtu ínných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2013 Literatura Implicitně defino\ 'aná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet ví ľe protne inných oooooooo ooooo oooooooooo Obsah přednášky Q Implicitně definovaná zobrazení • Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Tečné a normálové prostory Q Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných Literatura Implicitně definoval iá zobrazení Vázané extrémy Integrální počet ví ľe protne inných oooooooo ooooo oooooooooo Dopori jčené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných ♦OOOOOOO OOOOO OOOOOOOOOO Příklady k procvičení Příklad Ukažte, že funkce F(x,y) = exsin(y) + eysin(x) definuje předpisem F(x,y) = 1 pro [x,y] £ (0, ^) x (0, ^) implicitně proměnnou y jako funkci f(x) proměnné x. Určete f'(x). Příklad Najděte lokální extrémy funkce y = y(x) dané implicitně rovnicí In \/x2 + y2 = arctg £. Literatura Implicitně definovaná zobrazení o«oooooo Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Věta (O implicitním zobrazení) Necht F : Em+n —> En je spojitě diferencovatelné zobrazení na otevřeném okolí bodu [x*,y*] G Em x En = Em+n, v němž platí F{x*,y*) = 0 a det DyF ^ 0. Potom existuje spojitě diferencovatelné zobrazení G : Em —^ En definované na nějakém okolí U bodu x* G Em s obrazem G(U), který obsahuje bod y*, a takové, že F(x, G(x)) = 0 pro všechny x G U. Navíc je Jacobiho matice D1G zobrazení G na okolí bodu x* zadána součinem matic D1G(x) = -{DlF)-\x, G(x)) • DlF{x, G(x)). Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M. se dříve zavedený vektor parciálních derivací nazývá gradient funkce f. V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,..., x„) = b s pevnou hodnotou b G M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Přesněji: pokud je vektor parciálních derivací nenulový, můžeme lokálně množinu M popsat jako graf spojitě diferencovatelné funkce v n — 1 proměnných. Hovoříme v této souvislosti také o úrovňových množinách Mt, (analogie vrstevnic v př. n = 2). Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných ooo»oooo ooooo oooooooooo Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mt, se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna t, proto ±f(c(t)) = df(c'(t)) = 0. Pro obecný vektor v = (i/i,..., vn) G En je velikost příslušné směrové derivace funkce f: dvf\ df ■ 1/1 + ••• + df (df, v) = || df ||\\v\\ costp dxi dxn kde tp je odchylka vektoru v od gradientu funkce f. Dokázali jsme: Směr zadaný gradientem v bodě x = (xi,..., x„) je právě ten směr, ve kterém funkce f nejrychleji roste. Tečná rovina k neprázdné úrovňové množině v okolí jejího bodu s nenulovým gradientem df je určena ortogonálním doplňkem ke gradientu. Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooo»ooo ooooo oooooooooo Tečná nadrovina Násobkům gradientu v tomto případě říkáme normálový vektor nadplochy M^. Věta Pro funkci f n proměnných a bod P = (ai,..., an) £ M^, v jehož okolí je Mt, grafem funkce (n — 1) proměnných, je implicitní rovnice pro tečnou nadrovinu 0=|1). <«,-,.). Literatura Implicitně definovaná zobrazení ooooo»oo Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Tečné a normálové prostory Obecná dimenze: funkce F = (fi,..., fn) : Em+n -í£„an rovnic //(xi,..., xm+n) = b,-, i = 1,..., n. Dle věty o implicitním zobrazení je „většinou" množina všech řešení (xi,... ,xm+n) grafem zobrazení G : Em —> En. Pro pevnou volbu b = (£>i,..., bn) je samozřejmě množinou M všech řešení průnik nadploch M{b;,fj) příslušejících jednotlivým rovnicím f, = b\. Totéž platí pro tečné směry a normálové směry: Afinní podprostor v Em+n obsahující právě všechny tečny k M bodem P dán rovnicemi: df df 0 = —^-(P) • (xi - ai) + • • • + —±-{P) ■ {xm+n - am+n) r)f r)f 0 = -^(P) • (xi - 3l) + • • • + -ÍL(P) • (xm+n - am+n). OX\ oxn Literatura Implicitně definova lá zobrazení Vázané extrémy Integrální počet ví ľe protne nných oooooo»o ooooo oooooooooo Tento podprostor se nazývá tečný prostor k (implicitně zadané) ploše M v bodě P. Normálový prostor v bodě P je afinní podprostor generovaný bodem P a gradienty všech funkcí f\,..., fn v bodě P, tj. řádky Jacobiho matice D1F. Příklad Spočtěme tečnu a normálový prostor ke kuželosečce v E3. Uvažujme rovnici 0 = f(x, y, z) = z - ^x2 + y2 kuželu s vrcholem v počátku a rovinu zadanou vztahem 0 = g(x,y,z) = z - 2x + y + 1. Bod P = (1, 0,1) patří kuželu i rovině a průnik M těchto dvou ploch je křivka. Literatura Implicitně definovaná zobrazení ooooooo# Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných oooooooooo Příklad (pokr.) Její tečnou v bodě P bude přímka zadaná rovnicemi 2y/x2 + y2 + l-(z-l) 2x •(x-1) x=l,y=0 2y y x=l,y=0 = -X + Z 0 = -2(x - 1) + y + (z - 1) = -2x + y + z + 1 zatímco rovina kolmá k naší křivce bodem P bude parametricky dána výrazem (1,0,1)+t(-1,0,1) + <7(-2,1,1) s parametry r a a. Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooooooo ooooo oooooooooo Již dříve jsme se zabývali úlohou nalézt absolutní extrém dané funkce na (uzavřené) množině, což vedlo na vyšetření lokálních extrémů funkce na hranici této množiny. Jinými slovy, na hledání extrémů funkce v bodech, které jsou vázány nějakou další podmínkou. Ukážeme nejprve názorně graficky na případu funkcí dvou proměnných obecnou metodu. Příklad Určete extrémy funkce h(x,y) = x2y na množině M dané implicitně rovnicí 5x2 + 2y2 = 14. t Viz applet na webu MIT. Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných OOOOOOOO »0000 oooooooooo Metoda Lagrangeových multiplikátorů V předchozím příkladu jsme viděli, že normálový vektor (tj. gradient) funkce, k níž hledáme extrém, musí být ve vyšetřovaném bodě prvkem normálového prostoru k ploše (v temže bodě). Toto samozřejmě platí i obecně. Pokud je M ve všech svých bodech grafem hladkého zobrazení, musí být každý extrém P e M stacionárním bodem, tj. pro každou křivku c(ŕ) c M procházející přes P = c(0) musí být h(c(t)) extrémem pro tuto funkci jedné proměnné. Proto musí platit ^/i(c(t))|t=o = dc(o)h(P) = d/>(P)(c'(0)) = 0. Tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že gradient funkce h leží v normálovém pod prostoru. Takové body P e M budeme nazývat stacionární body funkce h vzhledem k vazbám F. Literatura Implicitně definova iá zobrazení Vázané extrémy Integrální počet ví ľe protne nných oooooooo o»ooo oooooooooo V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině bodů M zadaných implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0 {F : Em+n —> En). Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda Lagrangeových multiplikátorů: Věta Nechi F = (fi,... ,fn) : Em+n —> En je spojitě diferencovatelná v okolí bodu P, F(P) = 0 a M je zadána implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0, přičemž hodnost matice D1F v bodě P je n. Pak P je stacionárním bodem spojitě diferencovatelné funkce h : Em+n —> M právě, když existují reálné parametry Ai,..., A„ takové, že grad /j = Ai grad f\ -\-----h A„ grad fn. Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooooooo oo»oo oooooooooo Absolutní extrémy Výklad o vázaných extrémech jsme začali tím, že pro nalezení absolutních extrémů funkce na kompaktní množině často potřebujeme vyšetření extrémů na množině bodů vázaných nějakou podmínkou. Ilustrujme si to na příkladu: Příklad Maximalizujte f(x,y) = 2x + y za podmínky \ + y2 <1 Implicitně definovaná zobrazení oooooooo Vázané extrémy ooo»o Integrální počet více proměnných oooooooooo Řešení Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud' ve stacionárních bodech nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. Sestrojíme Lagrangeovu funkci L(x, y, A) = 2x + y - A(^- + y2 - 1). Pak dostáváme: 0 = Lx = 2 - A^ 0 = Ly = l-2Xy o = i- + /-i. Odtud snadno x = j, y = j^, a tedy A = ^^-,x = -^,y = (resp. A = —-^,x = — -7=,y = — 7W Pro minimum). Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooooooo oooo» oooooooooo Příklad na procvičení Příklad Drát délky í je rozdělen na 3 části. Z jedné části je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze třetí rovnostranný trojúhelník (vždy stočením, resp. složením vytvoříme obvod příslušného útvaru). Určete délky jednotlivých částí tak, aby celková plocha omezená těmito útvary byla minimální, resp. maximální. Příklad Rozhodněte, zda existují maxima a minima funkce f : M2 —> M, f(x,y) = x — 2y na křivce dané rovnicí y — x3 — 2x — 1 = 0, x £ (0, 5). Případné extrémy určete. Pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů nalezněte body na průniku ploch z2 = x2 + y2 a z = 1 + x + y, které leží nejblíže počátku. Zdůvodněte, že jde skutečně o minimum. Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných OOOOOOOO OOOOO #000000000 Motivace: výpočet plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x na uzavřeném intervalu. Funkce f : M. —> M. jedné proměnné ohraničená na uzavřeném intervalu [a, b]). Zvolíme dělení D = {xi = a,... ,xn = b} intervalu [a, b] a hledaný integrál (tj. plochu pod grafem) aproximujeme součtem kde G [x/,x/+i] je libovolný. (Součet ploch obdélníků pod křivkou). Je-li norma dělení (tj. maximum z délek intervalů [x/,x,-+1]) malá, pak výše uvedená suma je velmi blízko zmíněné ploše (přesněji pomocí nulové posloupnosti delenia limit). b n-l Literatura Implicitně definovaná zobrazeni oooooooo Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných 00*0000000 Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí J^[f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky ^J(p'{t)2 + ip'{t)2dt, • objem rotačního tělesa tv f2(x)dx, • povrch pláště rotačního tělesa 2tv f(x)^/l + [f'(x)]2dx. Literatura Implicitně definovaná zobrazeni oooooooo Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných ooo»oooooo Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f(x,yi,... ,yn), potom výsledek bude funkcí F(yi,... ,y„) ve zbývajících n proměnných. Věta (O záměně derivace a integrálu) Pro spojitě diferencovatelnou funkci f(x, yi,..., y„) definovanou pro x z konečného intervalu [a, (3] a na nějakém okolí bodu a= [ai,...,a„] e £„ uvažujme integrál ŕ F{yi,...,yn) = f(x,y1,...,yn)dx. J a Potom platí pro všechny indexy j = 1,..., n Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooooooo ooooo oooo»ooooo Integrace funkcí více proměnných Obdobně jako v případě jedné proměnné můžeme potřebu zavedení integrálu více proměnných motivovat výpočtem objemu trojrozměrného prostoru pod grafem funkce z = f(x,y) dvou proměnných. Místo výběru malých intervalů [x,-,x/+i] dělících celý interval, přes který integrujeme, a přiblížením příslušné části obsahu ploškou obdélníku s výškou danou hodnotou funkce f v reprezentantu tohoto intervalu tj. výrazem - *i) budeme pracovat s děleními v obou proměnných a hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Co jsou obory integrace? Nejjednodušším přístupem je uvažovat pouze obory integrace S, které jsou dány jako součiny intervalů, tj. jsou zadány rozsahem x G [a, b] a y G [c, d]. Hovoříme v této souvislosti o vícerozměrném intervalu. Literatura Implicitně definoval iá zobrazení Vázané extrémy Integrální počet vm ze pro mě ínných oooooooo ooooo ooooo»oooo Pokud je S jiná ohraničená množina v M2, pracujeme místo ní s dostatečně velikou oblastí [a, b] x [c, d], ale upravíme naši funkci tak, že f(x,y) = 0 pro všechny body mimo S. Definice Riemannova integrálu věrně sleduje náš postup pro jednu proměnnou. Integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení E (nyní ve všech proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých krychliček (nebo spíše kvádříčků) 6....J e [xí,xí+i] x ... x [zj,zj+1] C M", s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty S= € = f(&,...j)(x/+i - *i) ■ ■ ■ (z7+i - zj)-/,... j konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme J f(x,..., z)dx... dz Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooooooo ooooo oooooo»ooo Pro všechny spojité funkce f lze opět dokázat existenci Riemannova integrálu a tento výsledek lze snadno rozšířit pro „dostatečně spojité" funkce na „dostatečně rozumných" oborech integrace. Definice Omezenou množinu Sc£„ označujeme za Riemannovsky měřitelnou, jestliže je její charakteristická funkce, definovaná x(x) = 1 pro x G S a x(x) = 0 jinak, Riemannovsky integrovatelná. Literatura Implicitně definovaná zobrazeni oooooooo Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných ooooooo»oo Definice Riemannova integrálu sice nedává rozumný návod, jak hodnoty integrálů skutečně vypočíst (kromě využití výpočetní techniky, kdy je přímé použití definice na místě), okamžitě ale vede k základním vlastnostem Riemannova integrálu (srovnejte s vlastnostmi integrálu v jedné proměnné): Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí na vícerozměrném intervalu S C En je vektorovým prostorem a Riemannův integrál je na něm lineární formou. Pokud je obor integrace S zadán jako disjunktní sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných oborů S-,, je integrál funkce f přes S dán součtem integrálů přes obory S-,. Implicitně definovaná zobrazení Vázané extrémy Integrální počet více proměnných oooooooo ooooo oooooooo»o Příklad Vypočtěte dvojný integrál xy dxdy '[0,l]x[0,l] jako limitu integrálního součtu. Za nulovou posloupnost dělení uvážíme posloupnost (Dn)^1, kde n-té dělení dostaneme pomocí přímek x = i/n,y = j/n pro i, j = 1, 2,..., n — 1, přičemž hodnoty budeme vybírat z pravých horních rohů dělících čtverečků. Literatura Implicitně definovaná zobrazeni oooooooo Vázané extrémy ooooo Integrální počet více proměnných 000000000» Řešení (dokončení) Pak [0,1]x[0,1] xy dxdy = lim (/ + 1)(/ + 1)11 0oo n "n(f? + 1)"