Krivkový integrál Peter Šepitka podzim 2014 Obsah 1 Krivky a ich parametrizácie Krivky Obsah 1 Krivky a ich parametrizácie Krivky Skalárne a vektorové funkcie Definícia 1 Nech n, m sú prirodzené čísla. Zobrazenie f : Rn → Rm sa nazýva reálna m-vektorová funkcia n reálnych premenných. Každému n-rozmernému vektoru x ∈ D(f) ⊆ Rn sa priradí práve jeden m-rozmerný vektor f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fm(x)) ∈ Rm , Funkcie f1, f2, . . . , fm sa nazývajú zložky vektorovej funkcie f. Nech f = (f1, f2, · · · , fm) je vektorová funkcia n premenných. Potom D(f) = D(f1) ∩ D(f2) ∩ · · · D(fm). Ak m = n = 1, funkcia f sa nazýva aj skalárne pole. V prípade m = n ≥ 2 hovoríme o vektorovom poli. Limita a spojitosť vektorovej funkcie f sa definuje po jednotlivých jej zložkách fi, t.j., lim x→x0 f(x) = lim x→x0 f1(x), lim x→x0 f2(x), · · · , lim x→x0 fm(x) . Krivky Pojem krivky v Rm Definícia 2 Nech m je prirodzené číslo a I ⊆ R je interval. Krivkou v Rm rozumieme každú vektorovú funkciu ϕ : I → Rm , ktorá je spojitá na I. Množina ϕ := ϕ(I) = {ϕ(t), t ∈ I} ⊆ Rm sa nazýva geometrický obraz (trajektória) krivky ϕ. Funkcia ϕ sa potom označuje ako parametrizácia množiny ϕ . Ak I = [a, b] je kompaktný interval, potom ϕ(a) je začiatočný bod a ϕ(b) je koncový bod krivky. Definícia 3 Krivka ϕ : [a, b] → Rm sa nazýva jednoduchá, ak ϕ je prostá na [a, b]; uzavretá, ak ϕ(a) = ϕ(b); Jordanova, ak ϕ je prostá na [a, b) a ϕ(a) = ϕ(b) (t.j., ϕ je jednoduchá a uzavretá krivka). Krivky Veta 1 (Jordanova) Nech ϕ je Jordanova krivka v R2 . Potom existujú dve súvislé oblasti G1 a G2 tak, že každý bod z R2 \ ϕ patrí práve do jednej z nich. Oblasti G1 a G2 sú teda disjunktné a platí G1 ∪ G2 ∪ ϕ = R2 , pričom trakejtória ϕ krivky ϕ je spoločná hranica množín G1 a G2. Poznamenajme, že práve jedna z oblastí G1 a G2 je ohraničená a nazýva sa vnútro krivky ϕ – Int ϕ. Druhá, neohraničená oblasť sa potom označuje ako vonkajšok krivky ϕ – Ext ϕ. Krivky Príklad 1 Graf každej reálnej funkcie f jednej reálnej premennej t, ktorá je spojitá na nejakom intervale I, je trajektóriou jednoduchej krivky v R2 . Zobrazenie ϕ I ∋ t −→ ϕ(t) = (t, f(t)) ⊆ R2 je totiž spojité a prosté na intervale I, a je teda jednoduchou krivkou v R2 . Príklad 2 Kružnica x = 3 + 2 cos t, y = 2 + 2 sin t, t ∈ [0, 2π], je jednoduchá a uzavretá krivka v R2 , teda Jordanova krivka. Rovnice x = 3 + 2 cos t, y = 2 + 2 sin t, t ∈ [0, 3π], určujú trajektóriu krivky, ktorá nie je ani jednoduchá, ani uzavretá. Rovnice x = 3 + 2 cos 2t, y = 2 + 2 sin 2t, t ∈ [0, 2π], popisujú krivku v R2 , ktorá je uzavretá, ale nie je jednoduchá. Krivky Príklad 3 Bernoulliho lemniskáta x = a √ 2 cos t 1 + sin2 t , y = a √ 2 cos t sin t 1 + sin2 t , t ∈ [0, 2π], a > 0, je uzavretá krivka v R2 , ale nie jednoduchá. Príklad 4 Cykloida x = rt − d sin t, y = r − d cos t, t ∈ (−∞, ∞), r, d > 0, nie je uzavretá krivka v R2 . Obyčajná cykloida (r = d) a skrátená cykloida (r > d) sú jednoduché krivky, kým predĺžená cykloida (r < d) nie je jednoduchá krivka. Krivky Definícia 4 (Transformácia parametra) Nech ϕ : [a, b] → Rm a ψ : [α, β] → Rm sú krivky. Povieme, že ϕ a ψ sú ekvivalentné a píšeme ϕ ∼ ψ, ak existuje spojito diferencovateľné zobrazenie w : [α, β] → [a, b] také, že w′ (t) = 0 pre každé t ∈ [α, β] a platí ϕ(w(t)) = ψ(t) pre každé t ∈ [α, β]. Pre funkciu w z Definície 4 platí že derivácia w′ (t) nemení znamienko na [α, β], a teda w je buď rastúca alebo klesajúca na [α, β]. Preto funkcia w je prostá a jej inverzia w−1 je tiež spojito diferencovateľná na [α, β]. Relácia ∼ je teda skutočne ekvivalencia a platí ϕ = ψ , t.j., zachováva trajektórie kriviek. Definícia 4 potom vyjadruje transformáciu parametrizácie množiny ϕ. Príklad 5 Uvažujme krivky ϕ a ψ dané ϕ : x = t, y = t, t ∈ (0, 1), ψ : x = t3 , y = t3 , t ∈ (0, 1). Trajektóriou oboch kriviek je otvorená úsečka spájajúca body [0, 0] a [1, 1]. Krivky ϕ a ψ sú ekvivalentné s funkciou w : (0, 1) → (0, 1) tvaru w(t) = t3 . Krivky Definícia 5 Nech ϕ : [a, b] → Rm a ψ : [α, β] → Rm sú krivky spĺňajúce ϕ(b) = ψ(α). Súčtom kriviek ϕ a ψ rozumieme krivku ϕ ⊕ ψ danú (ϕ ⊕ ψ)(t) :=    ϕ(t), t ∈ [a, b] ψ(t + α − b), t ∈ [b, b + β − α]. (1) Opačnou krivkou ku krivke ϕ rozumieme krivku ⊖ ϕ danú (⊖ ϕ)(t) := ϕ(−t), t ∈ [−b, −a]. (2) Z Definície 5 priamo vyplýva ⊖ϕ = ϕ a ϕ ⊕ ψ = ϕ ∪ ψ . Operácia ⊕ je asociatívna, t.j., pre každé tri krivky ϕ, ψ a ω v Rm platí (ϕ ⊕ ψ) ⊕ ω = ϕ ⊕ (ψ ⊕ ω), ak aspoň jedna strana rovnosti má zmysel. Rozdiel kriviek ϕ a ω definujeme ϕ ⊖ ψ := ϕ ⊕ (⊖ ψ), (3) ak súčet ϕ ⊕ (⊖ ψ) je definovaný, t.j., platí ϕ(b) = ψ(β). Krivky Nech ϕ = (ϕ1, · · · , ϕm) je krivka v Rm definovaná na kompaktnom intervale [a, b]. Deriváciou krivky ϕ v bode t ∈ [a, b] rozumieme vektor ϕ′ (t) = (ϕ′ 1(t), · · · , ϕ′ m(t)), (4) pričom pre t = a, resp. t = b uvažujeme príslušné jednostranné derivácie funkcií ϕi, t.j., ϕ′ (a) = (ϕ1)′ +(a), · · · , (ϕm)′ +(a) , ϕ′ (b) = (ϕ1)′ −(b), · · · , (ϕm)′ −(b) . Ak ϕ′ (t) = 0, vektor ϕ′ (t) sa nazýva dotykový vektor ku krivke ϕ v bode t a vektor τ(t) := ϕ′ (t)/ ϕ′ (t) je jednotkový dotykový vektor. Pripomeňme, že ϕ′ (t) := (ϕ′ 1(t))2 + · · · + (ϕ′ m(t))2 je (euklidovská) norma, resp. veľkosť vektora ϕ′ (t). Priamka definovaná {ϕ(t) + hϕ′ (t), h ∈ R} (5) sa označuje ako dotyčnica krivky ϕ v bode t. Dotyčnica sa zo všetkých priamok prechádzajúcich cez bod ϕ(t) najviac primkýna ku trajektórii krivky ϕ. Krivky Definícia 6 Krivka ϕ : [a, b] → Rm sa nazýva hladká, ak vektorová funkcia ϕ je spojito diferencovateľná na [a, b] a ϕ′ (t) = 0 pre každé t ∈ [a, b]. V prípade uzavretej hladkej krivky naviac požadujeme ϕ′ (a) = ϕ′ (b). Krivka ϕ sa označuje ako po častiach hladká, ak existuje konečné delenie D : a = t0 < t1 < · · · < tn = b intervalu [a, b] také, že krivka ϕ|[tk−1,tk] je hladká pre každé k = 1, . . . , n. V prípade po častiach hladkej krivky ϕ teda existuje najviac konečne veľa izolovaných bodov t, v ktorých ϕ′ (t) neexistuje. Jednoduchá hladká krivka sa nazýva oblúk (príp. hladký oblúk). Ak v Definícii 6 vynecháme podmienku nenulovosti derivácie ϕ′ na intervale [a, b], dostaneme tzv. regulárnu, resp. po častiach regulárnu krivku. Po častiach regulárna krivka sa nazýva aj cesta. Krivky Príklad 6 Kružnica alebo elipsa sú jednoduché hladké krivky (Jordanove hladké krivky). Obvod štvorca alebo obdĺžnika je jednoduchá po častiach hladká krivka. Príklad 7 Asteroida ϕ(t) = (a cos3 t, a sin3 t), a > 0, t ∈ [0, 2π] je príkladom jednoduchej uzavretej regulárnej krivky (Jordanova regulárna krivka). Nie je však hladkou krivkou, nakoľko derivácia ϕ′ (t) = (−3a cos2 t sin t, 3a sin2 t cos t) má nulovú hodnotu v bodoch t = 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Podľa Definície 6 nie je ani po častiach hladkou krivkou. Ako ukážeme neskôr, vhodnou transformáciou parametra získame krivku, ktorá má rovnakú trajektóriu a je po častiach hladká. Krivky Orientácia krivky Nech ϕ je krivka v Rm definovaná na intervale I. Stanoviť orientáciu krivky ϕ znamená zvoliť nejaké usporiadanie na množine ϕ , t.j., chceme určiť, ktorým smerom sa pohybujeme po trajektórii krivky. Ak pre každú dvojicu t1, t2 ∈ I s t1 < t2 platí, že bod ϕ(t1) je pred bodom ϕ(t2) v danom usporiadaní (pohybom po ϕ prechádzame najprv bodom ϕ(t1) a až potom bodom ϕ(t2)), t.j., ϕ(t1) ≺ ϕ(t2) ⇐⇒ t1 < t2, (6) potom krivka ϕ je orientovaná súhlasne s parametrizáciou. V prípade, ak ϕ(t2) ≺ ϕ(t1) ⇐⇒ t1 < t2, (7) krivka ϕ je orientovaná nesúhlasne s parametrizáciou. Krivka s usporiadaním ≺ sa označuje ako orientovaná krivka. V prípade kompaktného intervalu I = [a, b] a orientovanej krivky ϕ je možné jeden z krajných bodov ϕ(a) a ϕ(b) vyhlásiť za začiatočný bod a druhý za koncový bod krivky ϕ. Opačná krivka má opačnú orientáciu. Orientácia Jordanovej krivky je zadaná smerom dotykového vektora v jednom bode krivky. Potom Jordanova krivka je kladne orientovaná, ak je orientovaná proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade hovoríme o záporne orientovanej Jordanovej krivke.