Krivkový integrál
Peter Šepitka
podzim 2014
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
3 Krivkový integrál druhého druhu
4 Greenova veta a nezávislosť na integračnej ceste
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
3 Krivkový integrál druhého druhu
4 Greenova veta a nezávislosť na integračnej ceste
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Skalárne a vektorové funkcie
Definícia 1
Nech n, m sú prirodzené čísla. Zobrazenie f : Rn
→ Rm
sa nazýva reálna
m-vektorová funkcia n reálnych premenných. Každému n-rozmernému vektoru
x ∈ D(f) ⊆ Rn
sa priradí práve jeden m-rozmerný vektor
f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fm(x)) ∈ Rm
,
Funkcie f1, f2, . . . , fm sa nazývajú zložky vektorovej funkcie f.
Nech f = (f1, f2, · · · , fm) je vektorová funkcia n premenných. Potom
D(f) = D(f1) ∩ D(f2) ∩ · · · D(fm).
Ak m = n = 1, funkcia f sa nazýva aj skalárne pole. V prípade m = n ≥ 2
hovoríme o vektorovom poli. Limita a spojitosť vektorovej funkcie f sa definuje
po jednotlivých jej zložkách fi, t.j.,
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
f1(x), lim
x→x0
f2(x), · · · , lim
x→x0
fm(x) .
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Pojem krivky v Rm
Definícia 2
Nech m je prirodzené číslo a I ⊆ R je interval. Krivkou v Rm
rozumieme
každú vektorovú funkciu ϕ : I → Rm
, ktorá je spojitá na I. Množina
ϕ := ϕ(I) = {ϕ(t), t ∈ I} ⊆ Rm
sa nazýva geometrický obraz (trajektória) krivky ϕ. Funkcia ϕ sa potom
označuje ako parametrizácia množiny ϕ . Ak I = [a, b] je kompaktný interval,
potom ϕ(a) je začiatočný bod a ϕ(b) je koncový bod krivky.
Definícia 3
Krivka ϕ : [a, b] → Rm
sa nazýva
jednoduchá, ak ϕ je prostá na [a, b];
uzavretá, ak ϕ(a) = ϕ(b);
Jordanova, ak ϕ je prostá na [a, b) a ϕ(a) = ϕ(b) (t.j., ϕ je jednoduchá a
uzavretá krivka).
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Veta 1 (Jordanova)
Nech ϕ je Jordanova krivka v R2
. Potom existujú dve súvislé oblasti G1 a G2
tak, že každý bod z R2
\ ϕ patrí práve do jednej z nich. Oblasti G1 a G2 sú
teda disjunktné a platí G1 ∪ G2 ∪ ϕ = R2
, pričom trakejtória ϕ krivky ϕ je
spoločná hranica množín G1 a G2.
Poznamenajme, že práve jedna z oblastí G1 a G2 je ohraničená a nazýva sa
vnútro krivky ϕ – Int ϕ. Druhá, neohraničená oblasť sa potom označuje ako
vonkajšok krivky ϕ – Ext ϕ.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 1
Graf každej reálnej funkcie f jednej reálnej premennej t, ktorá je spojitá na
nejakom intervale I, je trajektóriou jednoduchej krivky v R2
. Zobrazenie ϕ
I ∋ t −→ ϕ(t) = (t, f(t)) ⊆ R2
je totiž spojité a prosté na intervale I, a je teda jednoduchou krivkou v R2
.
Príklad 2
Kružnica
x = 3 + 2 cos t, y = 2 + 2 sin t, t ∈ [0, 2π],
je jednoduchá a uzavretá krivka v R2
, teda Jordanova krivka. Rovnice
x = 3 + 2 cos t, y = 2 + 2 sin t, t ∈ [0, 3π],
určujú trajektóriu krivky, ktorá nie je ani jednoduchá, ani uzavretá. Rovnice
x = 3 + 2 cos 2t, y = 2 + 2 sin 2t, t ∈ [0, 2π],
popisujú krivku v R2
, ktorá je uzavretá, ale nie je jednoduchá.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 3
Bernoulliho lemniskáta
x =
a
√
2 cos t
1 + sin2
t
, y =
a
√
2 cos t sin t
1 + sin2
t
, t ∈ [0, 2π], a > 0,
je uzavretá krivka v R2
, ale nie jednoduchá.
Príklad 4
Cykloida
x = rt − d sin t, y = r − d cos t, t ∈ (−∞, ∞), r, d > 0,
nie je uzavretá krivka v R2
. Obyčajná cykloida (r = d) a skrátená cykloida
(r > d) sú jednoduché krivky, kým predĺžená cykloida (r < d) nie je
jednoduchá krivka.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 4 (Transformácia parametra)
Nech ϕ : [a, b] → Rm
a ψ : [α, β] → Rm
sú krivky. Povieme, že ϕ a ψ sú
ekvivalentné a píšeme ϕ ∼ ψ, ak existuje spojito diferencovateľné zobrazenie
w : [α, β] → [a, b] také, že w′
(t) = 0 pre každé t ∈ [α, β] a platí
ϕ(w(t)) = ψ(t) pre každé t ∈ [α, β].
Pre funkciu w z Definície 4 platí že derivácia w′
(t) nemení znamienko na [α, β],
a teda w je buď rastúca alebo klesajúca na [α, β]. Preto funkcia w je prostá a
jej inverzia w−1
je tiež spojito diferencovateľná na [α, β]. Relácia ∼ je teda
skutočne ekvivalencia a platí ϕ = ψ , t.j., zachováva trajektórie kriviek.
Definícia 4 potom vyjadruje transformáciu parametrizácie množiny ϕ.
Príklad 5
Uvažujme krivky ϕ a ψ dané
ϕ : x = t, y = t, t ∈ (0, 1),
ψ : x = t3
, y = t3
, t ∈ (0, 1).
Trajektóriou oboch kriviek je otvorená úsečka spájajúca body [0, 0] a [1, 1].
Krivky ϕ a ψ sú ekvivalentné s funkciou w : (0, 1) → (0, 1) tvaru w(t) = t3
.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 5
Nech ϕ : [a, b] → Rm
a ψ : [α, β] → Rm
sú krivky spĺňajúce ϕ(b) = ψ(α).
Súčtom kriviek ϕ a ψ rozumieme krivku ϕ ⊕ ψ danú
(ϕ ⊕ ψ)(t) :=



ϕ(t), t ∈ [a, b]
ψ(t + α − b), t ∈ [b, b + β − α].
(1)
Opačnou krivkou ku krivke ϕ rozumieme krivku ⊖ ϕ danú
(⊖ ϕ)(t) := ϕ(−t), t ∈ [−b, −a]. (2)
Z Definície 5 priamo vyplýva ⊖ϕ = ϕ a ϕ ⊕ ψ = ϕ ∪ ψ . Operácia ⊕
je asociatívna, t.j., pre každé tri krivky ϕ, ψ a ω v Rm
platí
(ϕ ⊕ ψ) ⊕ ω = ϕ ⊕ (ψ ⊕ ω),
ak aspoň jedna strana rovnosti má zmysel. Rozdiel kriviek ϕ a ω definujeme
ϕ ⊖ ψ := ϕ ⊕ (⊖ ψ), (3)
ak súčet ϕ ⊕ (⊖ ψ) je definovaný, t.j., platí ϕ(b) = ψ(β).
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Nech ϕ = (ϕ1, · · · , ϕm) je krivka v Rm
definovaná na kompaktnom intervale
[a, b]. Deriváciou krivky ϕ v bode t ∈ [a, b] rozumieme vektor
ϕ′
(t) = (ϕ′
1(t), · · · , ϕ′
m(t)), (4)
pričom pre t = a, resp. t = b uvažujeme príslušné jednostranné derivácie funkcií
ϕi, t.j.,
ϕ′
(a) = (ϕ1)′
+(a), · · · , (ϕm)′
+(a) , ϕ′
(b) = (ϕ1)′
−(b), · · · , (ϕm)′
−(b) .
Ak ϕ′
(t) = 0, vektor ϕ′
(t) sa nazýva dotykový vektor ku krivke ϕ v bode t a
vektor τ(t) := ϕ′
(t)/ ϕ′
(t) je jednotkový dotykový vektor. Pripomeňme, že
ϕ′
(t) := (ϕ′
1(t))2 + · · · + (ϕ′
m(t))2
je (euklidovská) norma, resp. veľkosť vektora ϕ′
(t). Priamka definovaná
{ϕ(t) + hϕ′
(t), h ∈ R} (5)
sa označuje ako dotyčnica krivky ϕ v bode t. Dotyčnica sa zo všetkých priamok
prechádzajúcich cez bod ϕ(t) najviac primkýna ku trajektórii krivky ϕ.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 6
Krivka ϕ : [a, b] → Rm
sa nazýva hladká, ak vektorová funkcia ϕ je spojito
diferencovateľná na [a, b] a ϕ′
(t) = 0 pre každé t ∈ [a, b]. V prípade uzavretej
hladkej krivky naviac požadujeme ϕ′
(a) = ϕ′
(b). Krivka ϕ sa označuje ako po
častiach hladká, ak existuje konečné delenie
D : a = t0 < t1 < · · · < tn = b
intervalu [a, b] také, že krivka ϕ|[tk−1,tk] je hladká pre každé k = 1, . . . , n.
V prípade po častiach hladkej krivky ϕ teda existuje najviac konečne veľa
izolovaných bodov t, v ktorých ϕ′
(t) neexistuje. Jednoduchá hladká krivka sa
nazýva oblúk (príp. hladký oblúk). Ak v Definícii 6 vynecháme podmienku
nenulovosti derivácie ϕ′
na intervale [a, b], dostaneme tzv. regulárnu, resp. po
častiach regulárnu krivku. Po častiach regulárna krivka sa nazýva aj cesta.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 6
Kružnica alebo elipsa sú jednoduché hladké krivky (Jordanove hladké krivky).
Obvod štvorca alebo obdĺžnika je jednoduchá po častiach hladká krivka.
Príklad 7
Asteroida
ϕ(t) = (a cos3
t, a sin3
t), a > 0, t ∈ [0, 2π]
je príkladom jednoduchej uzavretej regulárnej krivky (Jordanova regulárna
krivka). Nie je však hladkou krivkou, nakoľko derivácia
ϕ′
(t) = (−3a cos2
t sin t, 3a sin2
t cos t)
má nulovú hodnotu v bodoch t = 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Podľa Definície 6 nie je
ani po častiach hladkou krivkou. Ako ukážeme neskôr, vhodnou transformáciou
parametra získame krivku, ktorá má rovnakú trajektóriu a je po častiach hladká.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Orientácia krivky
Nech ϕ je krivka v Rm
definovaná na intervale I. Stanoviť orientáciu krivky ϕ
znamená zvoliť nejaké usporiadanie na množine ϕ , t.j., chceme určiť, ktorým
smerom sa pohybujeme po trajektórii krivky. Ak pre každú dvojicu t1, t2 ∈ I s
t1 < t2 platí, že bod ϕ(t1) je pred bodom ϕ(t2) v danom usporiadaní (pohybom
po ϕ prechádzame najprv bodom ϕ(t1) a až potom bodom ϕ(t2)), t.j.,
ϕ(t1) ≺ ϕ(t2) ⇐⇒ t1 < t2, (6)
potom krivka ϕ je orientovaná súhlasne s parametrizáciou. V prípade, ak
ϕ(t2) ≺ ϕ(t1) ⇐⇒ t1 < t2, (7)
krivka ϕ je orientovaná nesúhlasne s parametrizáciou. Krivka s usporiadaním ≺
sa označuje ako orientovaná krivka. V prípade kompaktného intervalu I = [a, b]
a orientovanej krivky ϕ je možné jeden z krajných bodov ϕ(a) a ϕ(b) vyhlásiť
za začiatočný bod a druhý za koncový bod krivky ϕ. Opačná krivka má opačnú
orientáciu. Orientácia Jordanovej krivky je zadaná smerom dotykového vektora
v jednom bode krivky. Potom Jordanova krivka je kladne orientovaná, ak je
orientovaná proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade hovoríme o
záporne orientovanej Jordanovej krivke.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Delenie a dĺžka krivky
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je krivka súhlasne orientovaná s parametrizáciou a
uvažujme konečné delenie intervalu [a, b], t.j.,
a = t0 < t1 < · · · < tn = b.
Body Pi = ϕ(ti), i = 1, . . . , n, trajektórie ϕ potom zrejme spĺňajú
P0 ≺ P1 ≺ · · · ≺ Pn.
Množina D = {P0, P1, . . . , Pn} sa nazýva delenie D krivky ϕ. Ak krivka ϕ je
uzavretá, požadujeme P0 = Pn. Množinu ϕ aproximujeme lomenou čiarou L
tvorenou úsečkami Pi−1Pi pre i = 1, . . . , n, t.j.,
L = P0P1 ∪ · · · ∪ Pn−1Pn. (8)
Pre jej dĺžku m1(L) potom platí
m1(L) = |P0P1| + · · · + |Pn−1Pn| (9)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 7 (Dĺžka krivky)
Ak existuje reálne číslo M také, že pre každú lomenú čiaru L v (8) platí
m1(L) ≤ M,
potom povieme, že krivka ϕ má konečnú dĺžku alebo je rektifikovateľná.
Najmenšie takéto číslo M nazveme dĺžka krivky ϕ a označíme m1( ϕ ).
Ak krivka ϕ má konečnú dĺžku, potom množina reálnych čísiel
{m1(L), L je lomená čiara v (8)}
je zhora ohraničená, a má teda suprémum rovné m1( ϕ ).
Veta 2
Každá regulárna krivka ϕ : [a, b] → Rm
má konečnú dĺžku a platí
m1( ϕ ) =
b
a
ϕ′
(t) dt =
b
a
(ϕ′
1(t))2 + · · · + (ϕ′
m(t))2 dt.
Vzorec vo Vete 2 platí aj v prípade po častiach hladkej krivky ϕ.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 8
Uvažujme skrutkovicu ϕ v R3
danú parametrickým vyjadrením
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, a, b > 0, t ∈ [0, 2π].
Krivka ϕ je regulárna a pre každé t ∈ [0, 2π] platí
ϕ′
(t) = (−a sin t)2 + (a cos t)2 + b2 = a2 + b2.
Preto daná skrutkovica je rektifikovateľná krivka a na [0, 2π] má dĺžku
m1( ϕ ) =
2π
0
ϕ′
(t) dt =
2π
0
a2 + b2 dt = 2π a2 + b2.
Príklad 9
Krivka ϕ v R3
daná
x = t, y =
t sin π
t
, t = 0,
0, t = 0,
t ∈ [−1, 1],
nemá dĺžku, pretože množina dĺžok m1(L) je zhora neohraničená.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Prirodzená parametrizácia krivky
Pre každú krivku konečnej dĺžky je možné zvoliť jej parametrizáciu tak, aby
parameter vyjadroval priamo dĺžku krivky. Konkrétne, ak s1, s2 sú dve hodnoty
parametra spĺňajúce s1 < s2, potom časť krivky odpovedajúca intervalu [s1, s2]
má dĺžku s2 − s1. Takejto parametrizácii hovoríme prirodzená parametrizácia
krivky. Ak ϕ : [a, b] → Rm
je hladká krivka, potom funkcia
s(t) =
t
a
ϕ′
(u) du
je definovaná a spojito diferencovateľná na intervale [a, b] s s′
(t) = ϕ′
(t) .
Nakoľko ϕ′
(t) > 0 na [a, b], funkcia s(t) je prostá na [a, b] s oborom hodnôt
[0, m1( ϕ )]. Ak w(s) je funkcia inverzná k s(t), potom parametrizácia
ϕ(w(s)), s ∈ [0, m1( ϕ )],
je práve prirodzenou parametrizáciou krivky ϕ. Poznamenajme, že podľa
Definície 4 sú krivky ϕ a ϕ ◦ w ekvivalentné, a teda majú rovnaké trajektórie.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 10
Nájdime prirodzenú parametrizáciu časti asteroidy z Príkladu 7. Pre
t ∈ [0, π/2] platí
s(t) =
t
0
ϕ′
(u) du =
t
0
(−3a cos2u sin u)2 + (3a sin2
u cos u)2 du
=
3a
2
sin2
t,
z čoho s(π/2) = 3a/2. Inverzná funkcia w(s) je teda definovaná na intervale
[0, 3a/2] a platí
w(s) = arcsin
2s
3a
, s ∈ 0,
3a
2
.
Prirodzená parametrizácia časti krivky ϕ má potom tvar
x = a (1 − 2s/3a)3/2
, y = a (2s/3a)3/2
, s ∈ 0,
3a
2
.
Krivky ϕ a ϕ ◦ w však nie sú ekvivalentné, hoci majú rovnakú trajektóriu.
Krivka ϕ totiž nie je hladká na [0, π/2] (v bodoch t = 0, π/2 má nulovú
deriváciu), kým krivka ϕ ◦ w je hladká na [0, 3a/2].
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
3 Krivkový integrál druhého druhu
4 Greenova veta a nezávislosť na integračnej ceste
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Krivkový integrál I. druhu
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je hladká krivka a nech f : ϕ → R je ohraničená
funkcia (m premenných). Pre n ∈ N uvažujme delenie intervalu [a, b]
a = t0 < t1 < · · · < tn = b,
a k nemu prislúchajúce delenie krivky ϕ
Dn = {P0, P1, . . . , Pn}, Pi = ϕ(ti), i = 0, . . . , n.
Body P0, . . . , Pn rozdelia krivku ϕ na n úsekov si = ϕ|[ti−1,ti], i = 1, . . . , n,
ktoré sa nazývajú elementy krivky ϕ. Dĺžku elementu si označíme m1(si). Číslo
Dn := max{m1(s1), . . . , m1(sn)}
sa nazýva norma delenia Dn. V každej z množín si zvolíme ľubovoľne bod
Mi a utvoríme integrálny súčet funkcie f s delením Dn krivky ϕ a s výberom
bodov M1, . . . , Mn
S(f, Dn) :=
n
i=1
f(Mi) m1(si). (10)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 8 (Krivkový integrál I. druhu)
Hovoríme, že existuje krivkový integrál prvého druhu z funkcie f po krivke ϕ,
ak pre každú postupnosť {Dn}∞
n=1 delení krivky ϕ takú, že
lim
n→∞
Dn = 0, (11)
príslušná postupnosť {S(f, Dn)}∞
n=1 integrálnych súčtov funkcie f konverguje
pre každý výber bodov M1, . . . , Mn.
Postupnosť {Dn}∞
n=1 delení krivky ϕ s vlastnosťou (11) nazývame normálnou.
Platí, že ak existuje krivkový integrál I. druhu z funkcie f po krivke ϕ, potom
všetky postupnosti {S(f, Dn)}∞
n=1 integrálnych súčtov funkcie f z Definície 8
majú rovnakú limitu. Túto limitu potom nazývame krivkovým integrálom I.
druhu z funkcie f po krivke ϕ a označujeme
ϕ
f(x) ds, t.j.,
ϕ
f(x) ds := lim
n→∞
S(f, Dn). (12)
Všimnime si, že Definícia 8 nevyžaduje, aby krivka ϕ bola jednoduchá. Integrál
(12) sa dá definovať i v prípade po častiach hladkej krivky ϕ.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Základné vlastnosti krivkových integrálov I. druhu
V nasledujúcich vetách budeme uvažovať po častiach hladké krivky.
Veta 3 (Linearita vzhľadom na integrand)
Nech existujú integrály ϕ
f(x) ds a ϕ
g(x) ds a nech α, β ∈ R. Potom
existuje aj integrál ϕ
[α f(x) + β g(x)] ds a platí
ϕ
[α f(x) + β g(x)] ds = α
ϕ
f(x) ds + β
ϕ
g(x)ds.
Veta 4 (Aditivita vzhľadom na integračný obor)
Nech ϕ a ψ sú krivky také, že súčet ϕ ⊕ ψ je definovaný. Ďalej nech existujú
integrály ϕ
f(x) ds, ψ
f(x) ds a ϕ⊕ψ
f(x) ds. Potom platí
ϕ⊕ψ
f(x) ds =
ϕ
f(x) ds +
ψ
f(x) ds.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Veta 5 (Nezávisloť na orientácii krivky)
Nech ϕ je orientovaná krivka. Potom integrál ϕ
f(x) ds existuje práve vtedy,
keď existuje integrál ⊖ϕ
f(x) ds a platí
ϕ
f(x) ds =
⊖ϕ
f(x) ds.
Veta 6 (Nezávisloť na ekvivalentnej parametrizácii krivky)
Nech ϕ a ψ sú ekvivalentné krivky. Potom integrál ϕ
f(x) ds existuje práve
vtedy, keď existuje integrál ψ
f(x) ds a platí
ϕ
f(x) ds =
ψ
f(x) ds.
Veta 7 (Dĺžka krivky)
Pre dĺžku rektifikovateľnej krivky ϕ platí m1( ϕ ) = ϕ
ds.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Veta 8
Nech existujú integrály ϕ
f(x) ds a ϕ
g(x) ds a nech platí f(x) ≤ g(x) pre
každé x ∈ ϕ . Potom platí
ϕ
f(x) ds ≤
ϕ
g(x) ds.
Veta 9
Nech ϕ je rektifikovateľná krivka a nech existujú h, H ∈ R tak, že platí
h ≤ f(x) ≤ H pre každé x ∈ ϕ . Nech existuje integrál ϕ
f(x) ds. Potom
h m1( ϕ ) ≤
ϕ
f(x) ds ≤ H m1( ϕ ).
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Výpočet krivkového integrálu I. druhu
Prakticky sa krivkový integrál I. druhu počíta prevodom na určitý (Riemannov)
integrál z funkcie jednej premennej.
Veta 10
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je po častiach hladká krivka a nech f : ϕ → R je
ohraničená funkcia, t.j., existuje M ∈ R tak, že |f(x)| ≤ M pre každé x ∈ ϕ .
Ďalej nech existuje Riemannov integrál
b
a
f(ϕ(t)) ϕ′
(t) dt.
Potom existuje i integrál ϕ
f(x) ds a platí
ϕ
f(x) ds =
b
a
f(ϕ(t)) ϕ′
(t) dt.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 11
Vypočítajme krivkový integrál I. druhu
ϕ
sin 2x ds,
kde ϕ je časť grafu funkcie y = cos x pre x ∈ [0, π/2]. Krivka ϕ má napr.
parametrizáciu
x(t) = t, y(t) = cos t, t ∈ [0, π/2].
Krivka ϕ je hladká a platí
ϕ′
(t) = (x′
(t), y′
(t)) = (1, − sin t) =⇒ ϕ′
(t) = 1 + sin2
t, t ∈ [0, π/2].
Podľa Vety 10 potom platí
ϕ
sin 2x ds =
π/2
0
sin 2t 1 + sin2
t dt =
2
3
(
√
8 − 1).
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 12
Vypočítajme krivkový integrál I. druhu
ϕ
(x2
+ y2
+ z2
) ds,
kde ϕ je skrutkovica
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, a, b > 0, t ∈ [0, 2π].
Platí x2
+ y2
+ z2
= a2
+ b2
t2
pre každé t ∈ [0, 2π] a
x′
(t) = −a sin t, y′
(t) = a cos t, z′
(t) = b,
ϕ′
(t) = (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 = a2 + b2, t ∈ [0, 2π].
Podľa Vety 10 potom máme
ϕ
(x2
+ y2
+ z2
) ds =
2π
0
(a2
+ b2
t2
) a2 + b2 dt
= 2π a2 + b2 a2
+
4
3
π2
b2
.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Aplikácie krivkového integrálu I. druhu
Dĺžka krivky
m1( ϕ ) =
ϕ
ds. (13)
Hmotnosť krivky s hustotou ρ = ρ(x)
M( ϕ ) =
ϕ
ρ(x) ds. (14)
Obsah valcovej plochy
m2( ϕ ) =
ϕ
f(x, y) ds. (15)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Dĺžka krivky
Príklad 13
Vypočítajme dĺžku reťazovky, ktorá je grafom funkcie
y =
a
2
e
x
a + e− x
a pre a = 3/2 a x ∈ [−2, 2].
Zavedieme vhodnú parametrizáciu, napríklad
x = t, y =
a
2
e
t
a + e− t
a , t ∈ [−2, 2].
Jedná sa o hladkú krivku ϕ, pričom platí
x′
(t) = 1, y′
(t) = e
t
a − e− t
a /2,
ϕ′
(t) = (x′(t))2 + (y′(t))2 = e
t
a + e− t
a /2, t ∈ [−2, 2].
Podľa vzorca na predchádzajúcom slide (resp. podľa Vety 7) potom máme
m1( ϕ ) =
ϕ
ds =
2
−2
1
2
e
t
a + e− t
a dt = 2a sinh
2
a
= 3 sinh
4
3
.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Obsah valcovej plochy
Príklad 14
Vypočítajme obsah prednej steny klinu, ktorý vznikol z trojbokého hranola
ohraničeného rovinami x + y = 2, x = 0, y = 0 a z = 0 odsekom plochou
z = 4 − y2
.
Po nakreslení vhodného obrázku zistíme, že máme vypočítať obsah valcovej
plochy, ktorej základňou je krivka ϕ : x + y = 2, x, y ≥ 0, a ktorá je zhora
ohraničená grafom funkcie z = f(x, y) = 4 − y2
. Parametrizujeme danú krivku
x = t, y = 2 − t, t ∈ [0, 2].
Ide o hladkú krivku s ϕ′
(t) = (x′(t))2 + (y′(t))2 =
√
1 + 1 =
√
2. Potom
pre hľadaný obsah platí
m2( ϕ ) =
ϕ
f(x, y) ds =
ϕ
(4 − y2
) ds =
2
0
4 − (2 − t)2
√
2 dt =
16
√
2
3
.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
3 Krivkový integrál druhého druhu
4 Greenova veta a nezávislosť na integračnej ceste
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Krivkový integrál II. druhu
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je po častiach hladká orientovaná krivka a nech
f : ϕ → Rm
je ohraničená vektorová funkcia (m premenných). Pre n ∈ N
uvažujme delenie a = t0 < t1 < · · · < tn = b intervalu [a, b] a k nemu
prislúchajúce delenie krivky ϕ
Dn = {P0, P1, . . . , Pn}, Pi = ϕ(ti), i = 0, . . . , n.
Body P0, . . . , Pn rozdelia krivku ϕ na n úsekov si = ϕ|[ti−1,ti], i = 1, . . . , n,
ktoré sa nazývajú orientované elementy krivky ϕ. Dĺžku elementu si označíme
m1(si). Číslo
Dn := max{m1(s1), . . . , m1(sn)}
sa nazýva norma delenia Dn. V každej z množín si zvolíme ľubovoľne bod
Mi a utvoríme integrálny súčet funkcie f s delením Dn krivky ϕ a s výberom
bodov M1, . . . , Mn
S(f, Dn) :=
n
i=1
f(Mi) · (Pi−1 − Pi) =
n
i=1
f(Mi) · (ϕ(ti−1) − ϕ(ti)). (16)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 9 (Krivkový integrál II. druhu)
Hovoríme, že existuje krivkový integrál druhého druhu z funkcie f po krivke ϕ,
ak pre každú postupnosť {Dn}∞
n=1 delení krivky ϕ takú, že
lim
n→∞
Dn = 0, (17)
príslušná postupnosť {S(f, Dn)}∞
n=1 integrálnych súčtov funkcie f konverguje
pre každý výber bodov M1, . . . , Mn.
Postupnosť {Dn}∞
n=1 delení krivky ϕ s vlastnosťou (17) nazývame normálnou.
Platí, že ak existuje krivkový integrál II. druhu z funkcie f po krivke ϕ, potom
všetky postupnosti {S(f, Dn)}∞
n=1 integrálnych súčtov funkcie f z Definície 9
majú rovnakú limitu. Túto limitu potom nazývame krivkovým integrálom II.
druhu z funkcie f po krivke ϕ a označujeme
ϕ
f(x) · dr, t.j.,
ϕ
f(x) · dr := lim
n→∞
S(f, Dn). (18)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Základné vlastnosti krivkových integrálov II. druhu
V nasledujúcich vetách budeme uvažovať po častiach hladké orientované krivky.
Veta 11 (Linearita vzhľadom na integrand)
Nech existujú integrály ϕ
f(x) · dr a ϕ
g(x) · dr a nech α, β ∈ R. Potom
existuje aj integrál ϕ
[α f(x) + β g(x)] · dr a platí
ϕ
[α f(x) + β g(x)] · dr = α
ϕ
f(x) · dr + β
ϕ
g(x) · dr.
Veta 12 (Aditivita vzhľadom na integračný obor)
Nech ϕ a ψ sú krivky súhlasne (nesúhlasne) orientované s parametrizáciou a
nech súčet ϕ ⊕ ψ je definovaný. Ďalej nech existujú integrály ϕ
f(x) · dr,
ψ
f(x) · dr a ϕ⊕ψ
f(x) · ds. Potom platí
ϕ⊕ψ
f(x) · dr =
ϕ
f(x) · dr +
ψ
f(x) · dr.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Veta 13 (Závisloť na orientácii krivky)
Nech ϕ je orientovaná krivka. Potom integrál ϕ
f(x) · dr existuje práve vtedy,
keď existuje integrál ⊖ϕ
f(x) · dr a platí
ϕ
f(x) · dr = −
⊖ϕ
f(x) · dr.
Veta 14 (Ekvivalentná parametrizácia krivky)
Nech ϕ a ψ sú ekvivalentné, rovnako orientované krivky. Potom integrál
ϕ
f(x) · dr existuje práve vtedy, keď existuje integrál ψ
f(x) · dr a platí
ϕ
f(x) · dr =
ψ
f(x) · dr.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Výpočet krivkového integrálu II. druhu
Prakticky sa krivkový integrál II. druhu počíta prevodom na určitý (Riemannov)
integrál z funkcie jednej premennej.
Veta 15
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je po častiach hladká orientovaná krivka a nech
f : ϕ → Rm
je ohraničená vektorová funkcia. Ďalej nech existuje Riemannov
integrál
b
a
f(ϕ(t)) · ϕ′
(t) dt.
Potom existuje i integrál ϕ
f(x) · dr a platí
ϕ
f(x) · dr = ±
b
a
f(ϕ(t)) · ϕ′
(t) dt,
pričom znamienko + platí v prípade súhlasnej orientácie a znamienko − platí v
prípade nesúhlasnej orientácie krivky ϕ s jej parametrizáciou.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Ak krivka ϕ : [a, b] → Rm
a funkcia f : ϕ → R, ako vektorové funkcie, majú
zložky
ϕ = (ϕ1, · · · , ϕm), f = (f1, · · · , fm),
potom sa krivkový integrál ϕ
f(x) · dr dá zapísať v tvare
ϕ
f(x) · dr =
ϕ
[f1(x) dϕ1 + · · · + fm(x) dϕm] .
Špeciálne v R2
, resp. v R3
platí
ϕ
[f1(x, y) dx + f2(x, y) dy] ,
resp.
ϕ
[f1(x, y, z) dx + f2(x, y, z) dy + f3(x, y, z) dz] .
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Aplikácie krivkového integrálu II. druhu
Obsah vnútra uzavretej krivky v R2
Nech ϕ je jednoduchá, uzavretá, po častiach hladká krivka v R2
, ktorá je
orientovaná súhlasne s parametrizáciou. Nech A označuje vnútro krivky
ϕ. Potom pre obsah S(A) oblasti A platí
S(A) =
1
2 ϕ
(x dy − y dx). (19)
Práca silového poľa po krivke
Nech ϕ je po častiach hladká krivka v Rm
, ktorá je orientovaná súhlasne s
parametrizáciou. Uvažujme v Rm
silové pole reprezentované vektorovou
funkciou f. Potom pre prácu W tohto silového poľa po krivke ϕ platí
W =
ϕ
f(x) · dr. (20)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 15
Vypočítajme krivkový integrál II. druhu
I =
ϕ
(x2
− 2xy) dx + (y2
− 2xy) dy ,
kde ϕ je parabola y = x2
, x ∈ [−1, 1], orientovaná v smere rastu premennej x.
Krivku ϕ parametrizujeme súhlasne s orientáciou, napr.
x = t, y = t2
, t ∈ [−1, 1].
Potom platí
ϕ′
(t) = (x′
(t), y′
(t)) = (1, 2t), t ∈ [−1, 1],
a podľa Vety 15 (v I dosadíme za premenné x, y parametrické vyjadrenie)
I = +
1
−1
(t2
− 2t · t2
) · 1 + ((t2
)2
− 2t · t2
) · 2t dt
=
1
−1
2t5
− 4t4
− 2t3
+ t2
dt = −14/15.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 16
Vypočítajme krivkový integrál II. druhu
I =
ϕ
(y dx + z dy + x dz)
po skrutkovici ϕ s parametrickým vyjadrením
x = a cos t, y = a sin t, y = bt, a, b > 0, t ∈ [0, 2π],
ktorá je orientovaná súhlasne s touto parametrizáciou. Vyjadríme diferenciály
dx, dy a dz pomocou premennej t
dx = x′
(t) dt = −a sin t dt, dy = y′
(t) dt = a cos t dt, dz = z′
(t) dt = b dt.
Dosadením do integrálu I v zadaní dostaneme
I = +
2π
0
[a sin t · (−a sin t) + bt · (a cos t) + a cos t · b] dt
=
2π
0
−a2
sin2
t + abt cos t + ab cos t dt = −πa2
.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 17
Pomocou krivkového integrál II. druhu odvoďme vzorec na výpočet obsahu
oblasti ohraničenej elipsou ϕ s polosami a, b, t.j.,
x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π].
Elipsa ϕ je po častiach hladká Jordanova krivka. Uvažujme jej orientáciu
súhlasne s danou parametrizáciou. Potom z predchádzajúceho pre obsah jej
vnútra platí
S =
1
2 ϕ
(x dy − y dx).
Pre diferenciály dx a dy platí
dx = x′
(t) dt = −a sin t dt dy = y′
(t) dt = b cos t dt.
Dosadením do vyššie uvedeného integrálu potom máme
S =
1
2
2π
0
[a cos t · b cos t − b sin t · (−a cos t)] dt
=
1
2
2π
0
[ab cos2
t + ab sin2
t] dt =
ab
2
2π
0
1 dt = πab.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 18
Vypočítajme prácu silového poľa f(x, y, , z) = (y, z, x), ktorú vykoná
posunutím telesa z bodu [−1, 0, eπ
] do bodu [1, 0, 1] pozdĺž krivky ϕ s
vyjadrením
x = cos t, y = sin t, z = et
.
Nech parameter t ∈ [0, π]. Potom ϕ(0) = [1, 0, 1] a ϕ(π) = [−1, 0, eπ
], teda
daná krivka je orientovaná nesúhlasne s parametrizáciou (orientácia krivky v
zadaní je od bodu [−1, 0, eπ
] do bodu [1, 0, 1]). Ďalej máme
ϕ′
(t) = (x′
(t), y′
(t), z′
(t)) = (− sin t, cos t, et
), t ∈ [0, π].
Pre hľadanú prácu potom platí
W =
ϕ
f(x, y, z) · dr = −
π
0
(sin t, et
, cos t) · (− sin t, cos t, et
) dt
=
π
0
(sin2
t − 2et
cos t) dt = 1 + eπ
+ π/2.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Vzťah medzi krivkovými integrálmi I. a II. druhu
Ak krivka ϕ je hladká, t.j., jej derivácia ϕ′
je spojitá a všade nenulová, potom
sa krivkový integrál II. druhu pozdĺž krivky ϕ z nejakej vektorovej funkcie f(x)
dá vyjadriť ako krivkový integrál I. druhu pozdĺž ϕ z istej skalárnej funkcie
g(x). Konkrétne, vyjadrenie vo Vete 15 môžeme upraviť
ϕ
f(x) · dr = ±
b
a
f(ϕ(t)) · ϕ′
(t) dt = ±
b
a
f(ϕ(t)) ·
ϕ′
(t)
ϕ′(t)
ϕ′
(t) dt
= ±
b
a
f(ϕ(t)) ·
ϕ′
(t)
ϕ′(t)
ϕ′
(t) dt = ±
b
a
g(t) ϕ′
(t) dt
= ±
ϕ
g(x)ds,
kde g(t) := [f(ϕ(t)) · ϕ′
(t)] / ϕ′
(t) je skalárna funkcia definovaná na [a, b].
Ak τ(t) := ϕ(t)/ ϕ′
(t) je jednotkový dotykový vektor ku krivke ϕ, potom
ϕ
f(x) · dr
integrál II. druhu z vektorovej funkcie f
=
ϕ
(f · τ)(x)ds
integrál I. druhu zo skalárnej funkcie f · τ
. (21)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
3 Krivkový integrál druhého druhu
4 Greenova veta a nezávislosť na integračnej ceste
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Greenova integrálna veta
Veta 16 (Greenova integrálna veta)
Nech Ω ⊆ R2
je oblasť v R2
a nech A ⊆ Ω je množina, ktorej hranica je kladne
orientovaná, po častiach hladká Jordanova krivka ϕ. Nech f = (P, Q) je
vektorová funkcia (vektorové pole) definovaná na oblasti Ω, pričom funkcie P,
Q, ∂P/∂y a ∂Q/∂x sú spojité na Ω. Potom platí
ϕ
[P(x, y) dx + Q(x, y) dy] =
¯A
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy, (22)
kde ¯A := Int ϕ ∪ ϕ je tzv. uzáver množiny A (v metrickom priestore R2
).
Greenova integrálna veta dáva do súvisu krivkový integrál II. druhu z vektorovej
funkcie pozdĺž orientovanej uzavretej rovinnej krivky na dvojný integrál z istej
(skalárnej) funkcie po uzávere vnútra tejto krivky. Krivkový integrál II. druhu z
vektorovej funkcie pozdĺž uzavretej krivky sa niekedy nazýva aj cirkulácia
vektorovej funkcie (vektorového poľa) pozdĺž uzavretej krivky. Hlavná aplikácia
Greenovej vety spočíva v prevedení výpočtu krivkového integrálu II. druhu na
výpočet dvojného integrálu, pozri nasledujúce príklady.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 19
Daný krivkový integrál II. druhu vyjadrime ako dvojný integrál
I =
ϕ
x2 + y2 dx + y xy + ln x + x2 + y2 dy ,
kde ϕ je kladne orientovaná, po častiach hladká Jordanova krivka. Príslušná
vektorová funkcia, z ktorej počítame krivkový integrál, má zložky
P(x, y) = x2 + y2, Q(x, y) = y xy + ln x + x2 + y2 .
Ďalej máme
∂P
∂y
=
y
x2 + y2
,
∂Q
∂x
= y2
+
y
x2 + y2
.
Podľa Greenovej vety 16 potom formálne platí
I =
D
y2
+
y
x2 + y2
−
y
x2 + y2
dx dy =
D
y2
dx dy,
kde množina D = Int ϕ ∪ ϕ . V súlade s predpokladmi Greenovej vety,
posledná rovnosť platí na oblasti D neobsahujúcej bod [x, y] = [0, 0].
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 20
Vypočítajme krivkový integrál II. druhu
I =
ϕ
2(x2
+ y2
) dx + (x + y)2
dy ,
kde ϕ je kladne orientovaný obvod trojuholníka s vrcholmi A = [1, 1],
B = [2, 2] a C = [1, 3]. Daný integrál I budeme počítať prevodom na dvojný
integrál podľa Greenovej vety. Zložky podintegrálnej vektorovej funkcie sú
P(x, y) = 2(x2
+ y2
), Q(x, y) = (x + y)2
,
pričom príslušné parciálne derivácie P′
y, Q′
x majú tvar
P′
y = 4y, Q′
x = 2(x + y), Q′
x − P′
y = 2(x − y).
Krivka ϕ je kladne orientovaná, po častiach hladká Jordanova krivka a funkcie
P, Q, P′
y a Q′
x sú spojité na celom R2
. Podľa Greenovej vety 16 potom platí
I =
D
2(x − y) dx dy,
kde množina D predstavuje vnútro spolu s obvodom trojuholníka ABC.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Poznámka 1 (k Príkladu 20)
Kompletný výpočet bude spravený na cvičení :-). Daný krivkový integrál sa
samozrejme dá vypočítať tradičným spôsobom, podľa Vety 15, s rovnakým
výsledkom. Výpočet je však náročnejší, nakoľko je nutné počítať krivkový
integrál z danej funkcie pozdĺž každej strany trojuholníka ABC osobitne a
nakoniec získané výsledky sčítať. Tento príklad ilustruje efektívne použitie
Greenovej integrálnej vety pri niektorých príkladoch.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Nezávislosť na integračnej ceste I
Príklad 21 (Motivačný)
Uvažujme vektorovú funkciu f(x, y) v R2
tvaru
f(x, y) =
−x
x2 + y2
,
−y
x2 + y2
.
Vypočítajme krivkový integrál z f pozdĺž paraboly y = x2
+ 1, orientovanej od
bodu A = [2, 5] do bodu B = [0, 1]. Jej parametrizácia
x = t, y = t2
+ 1, t ∈ [0, 2]
je potom nesúhlasná s danou orientáciou. Ďalej x′
(t) = 1 a y′
(t) = 2t. Preto
I =
parabola
f(x, y) · dr = −
2
0
−t
t2 + (t2 + 1)2
−
t2
+ 1
t2 + (t2 + 1)2
· 2t dt
=
2
0
2t3
+ 3t
√
t4 + 3t2 + 1
dt =
√
29 − 1.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Nezávislosť na integračnej ceste II
Príklad 21 (Motivačný)
Vypočítajme teraz krivkový integrál z f pozdĺž úsečky orientovanej od bodu
A = [2, 5] do bodu B = [0, 1]. Jej parametrizácia má napríklad tvar x = t,
y = 1 + 2t, t ∈ [0, 2]. Potom x′
(t) = 1 a y′
(t) = 2 a
J =
úsečka
f(x, y) · dr = −
2
0
−t
t2 + (1 + 2t)2
−
1 + 2t
t2 + (1 + 2t)2
· 2 dt
=
2
0
5t + 2
√
5t2 + 4t + 1
dt =
√
29 − 1.
V obidvoch prípadoch sme dostali rovnakú hodnotu krivkového integrálu II.
druhu z funkcie f, hoci sme zakaždým integrovali po inej krivke. Okrem toho,
parabola i úsečka mali spoločný začiatočný i koncový bod a boli rovnako
orientované.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Definícia 10 (Nezávislosť na integračnej ceste)
Nech f je vektorové pole definované na oblasti Ω ⊆ Rm
. Hovoríme, že krivkový
integrál (II. druhu) z vektorového poľa f nezávisí v Ω na integračnej ceste, ak
pre ľubovoľné dve po častiach hladké orientované krivky ϕ, ψ, ležiace v Ω a
majúce spoločný začiatočný i koncový bod, platí
ϕ
f(x) · dr =
ψ
f(x) · dr. (23)
Ekvivalentná formulácia nezávislosti krivkového integrálu na integračnej ceste v
Definícii 10 je nasledovná. Krivkový integrál z vektorového poľa f nezávisí v Ω
na integračnej ceste, ak pre každú po častiach hladkú, uzavretú orientovanú
krivku η, ležiacu v Ω, platí
η
f(x) · dr = 0. (24)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
S problematikou nezávislosti krivkového integrálu na integračnej ceste úzko
súvisí pojem tzv. potenciálového vektorového poľa.
Definícia 11 (Potenciálové vektorové pole)
Nech f je vektorové pole definované na oblasti Ω ⊆ Rm
. Hovoríme, že f je
potenciálové na Ω, ak existuje funkcia V : Rm
→ R (tzv. potenciál poľa f,
alebo aj kmeňová funkcia poľa f) s vlastnosťou
f(x) = grad V (x) := V ′
x1
(x), · · · , V ′
xm
(x) pre každé x ∈ Ω. (25)
Hovoríme, že oblasť Ω je jednoducho súvislá (1-násobne súvislá), ak jej doplnok
v Rm
, t.j., množina Rm
\ Ω, je súvislá. Oblasť Ω je n-násobne súvislá, ak jej
doplnok Rm
\ Ω má práve n súvislých komponent.
Príklad 22
Ľubovoľný kruh v rovine je jednoducho súvislá oblasť v R2
. Naproti tomu
mezikružie {[x, y] ∈ R2
, 1 < x2
+ y2
< 3} je dvojnásobne súvislá oblasť v R2
.
Zjednodušene povedané, jednoducho súvislá oblasť nemá “diery”, zatiaľ čo
n-násobne súvislá oblasť má práve n − 1 “dier”.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Veta 17 (Nezávislosť na integračnej ceste)
Nech f je vektorové pole definované a spojité na oblasti Ω ⊆ Rm
. Nasledujúce
dve podmienky sú ekvivalentné.
(i) Krivkový integrál z vektorového poľa f nezávisí v Ω na integračnej ceste.
(ii) Vektorové pole f je potenciálové v Ω.
Naviac, v tomto prípade pre každú po častiach hladkú orientovanú krivku ϕ v
oblasti Ω so začiatočným bodom A a s koncovým bodom B platí
ϕ
f(x) · dr = V (B) − V (A), (26)
kde V je ľubovoľný potenciál (kmeňová funkcia) vektorového poľa f v Ω.
V prípade potenciálového poľa f teda hodnota krivkového integrálu II. druhu z
f závisí iba na začiatočnom a koncovom bode, nie však na výbere konkrétnej
cesty spájajúcej tieto dva body.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Veta 18 (Potenciálové pole v R2
)
Nech f = (P, Q) je vektorové pole definované na oblasti Ω ⊆ R2
, pričom nech
funkcie P, Q majú spojité parciálne derivácie I. rádu na Ω. Potom platí:
(i) Ak vektorové pole f je potenciálové v Ω, potom
∂P/∂y = ∂Q/∂x na Ω. (27)
(ii) Nech naviac oblasť Ω je jednoducho súvislá. Potom rovnosť v (27)
implikuje, že vektorové pole f je potenciálové.
Veta 19 (Potenciálové pole v R3
)
Nech f = (P, Q, R) je vektorové pole definované na oblasti Ω ⊆ R3
a nech
funkcie P, Q, R majú spojité parciálne derivácie I. rádu na Ω. Potom platí:
(i) Ak vektorové pole f je potenciálové v Ω, potom
∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y, ∂R/∂x = ∂P/∂z na Ω. (28)
(ii) Nech naviac oblasť Ω je jednoducho súvislá. Potom rovnosť v (28)
implikuje, že vektorové pole f je potenciálové.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 23
Rozhodnime, či vektorové pole
f(x, y) =
−x
x2 + y2
,
−y
x2 + y2
je potenciálové v oblasti Ω = {[x, y] ∈ R2
, y > 0}. Keďže Ω je jednoducho
súvislá oblasť, podľa Vety 18 stačí overiť platnosť rovnosti (27) na Ω pre dané
pole f. Máme
P(x, y) =
−x
x2 + y2
, Q(x, y) =
−y
x2 + y2
.
Pre príslušné parciálne derivácie funkcií P a Q potom platí
∂P
∂y
=
xy
(x2 + y2)3
,
∂Q
∂x
=
xy
(x2 + y2)3
na Ω.
Podľa Vety 18 je teda vektorové pole f potenciálové na oblasti Ω. Nájdeme
teraz všetky jeho kmeňové funkcie (potenciály) v Ω.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 23
Z Definície 11 vieme, že kmeňová funkcia V (x, y) vektorového poľa f spĺňa na
oblasti Ω rovnosti
∂V
∂x
= P(x, y) =
−x
x2 + y2
,
∂V
∂y
= Q(x, y) =
−y
x2 + y2
. (29)
Integrovaním prvej rovnosti v (29) podľa premennej x dostaneme
V (x, y) = V ′
x(x, y) dx = −x/ x2 + y2 dx = − x2 + y2 + C(y),
kde C(y) je (neznáma) integračná funkcia iba premennej y (integrovali sme
podľa x, pričom premennú y sme chápali ako konštantu). Dosadením tohto
vyjadrenia funkcie V (x, y) do druhej rovnosti v (29) určíme funkciu C(y)
−y
x2 + y2
+ C′
(y) =
−y
x2 + y2
,
C′
(y) = 0 =⇒ C(y) = K, K ∈ R.
Preto každá kmeňová funkcia vektorového poľa f má všeobecný tvar
V (x, y) = − x2 + y2 + K, K ∈ R. (30)
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Poznámka 2
Poznamenajme, že pole f z Príkladu 23 je možné spojito rozšíriť na oblasť
Ψ = R2
\ {[0, 0]}.
Podobne, potenciál V (x, y) v (30) je možné definovať na celom R2
a rovnosti
(27) i (29) platia aj na Ψ. Pole f je teda podľa Definície 11 potenciálové i na
oblasti Ψ, hoci Ψ nie je jednoducho súvislá oblasť v R2
(pozri podmienku na Ω
vo Vete 18). Podľa Vety 17 potom hodnota krivkového integrálu
ϕ
f(x) · dr
nezávisí na integračnej ceste ϕ ležiacej v oblasti Ψ a je rovná rozdielu
V (B) − V (A),
kde A, B sú začiatočný a koncový bod orientovanej krivky ϕ.
Krivky I. druh II. druh Nezávislosť
Príklad 24
Rozhodnime, či vektorové pole
f(x, y) =
−y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
je potenciálové v oblasti Ω = R2
\ {[0, 0]}. Platí
P(x, y) = −y/(x2
+ y2
), Q(x, y) = x/(x2
+ y2
),
P′
y = (y2
− x2
)/(x2
+ y2
)2
, Q′
x = (y2
− x2
)/(x2
+ y2
)2
na Ω.
Nutná podmienka (27) na to, aby f bolo potenciálové pole, je teda splnená. V
tomto prípade ale nemusí byť i postačujúcou podmienkou (podľa Vety 18(ii)),
pretože oblasť Ω teraz nie je jednoducho súvislá. A skutočne, ako sa môžeme
ľahko presvedčiť, krivkový integrál z f po kružnici ϕ : x2
+ y2
= 4 je rovný
ϕ
f(x) · dr =
ϕ
−y dx + x dy
x2 + y2
= 2π = 0.
Teda krivkový integrál po uzavretej krivke nie je nulový a závisí na integračnej
ceste v Ω. Preto podľa Vety 17 vektorové pole f nie je potenciálové.