Komplexná analýza
Peter Šepitka
podzim 2014
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Obor komplexných čísiel
Pod pojmom komplexné číslo a rozumieme usporiadanú dvojicu (α, β) ∈ R2
.
Prvá zložka α tejto dvojice sa nazýva reálna časť komplexného čísla a, druhá
zložka β sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla a, označujeme α = Re a
a β = Im a. Definujeme sčítanie a násobenie komplexných čísiel
(α, β) + (γ, δ) := (α + γ, β + δ),
(α, β) · (γ, δ) := (αγ − βδ, αδ + βγ).
Sčítanie i násobenie komplexných čísiel sú asociatívne a komutatívne binárne
operácie a pre každú trojicu a, b, c komplexných čísiel platí distributívny zákon
a · (b + c) = a · b + a · c.
Pre úplnosť definujeme násobenie komplexného čísla reálnym číslom
r(α, β) := (rα, rβ), r ∈ R.
Nula – (0, 0) – neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie, t.j.,
(α, β) + (0, 0) = (0, 0) + (α, β) = (α, β).
Jednotka – (1, 0) – neutrálny prvok vzhľadom na násobenie, t.j.,
(α, β) · (1, 0) = (1, 0) · (α, β) = (α, β).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Opačné číslo ku komplexnému číslu a = (α, β)
−a := (−α, −β)
Komplexné číslo −a je jediné riešenie rovnice
a + z = (0, 0).
Inverzné číslo k nenulovému komplexnému číslu a = (α, β)
a−1
:=
α
α2 + β2
,
−β
α2 + β2
.
Komplexné číslo a−1
je jediné riešenie rovnice
a · z = (1, 0).
Odčítanie komplexných čísiel a, b definujeme a − b := a + (−b).
Delenie komplexných čísiel a, b, b = (0, 0), definujeme a/b := a · b−1
.
Množina všetkých komplexných čísiel sa označuje C. Algebraická štruktúra
(C, +, ·) je teleso, ktoré sa nedá usporiadať (na rozdiel od (R, +, ·)).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Algebraický tvar komplexného čísla
Podmnožina komplexných čísiel
R := {a ∈ C, a = (α, 0), α ∈ R}
je podtelesom telesa C izomorfným s telesom R všetkých reálnych čísiel. Preto
je možné množiny R a R, ako algebraické štruktúry, stotožniť. To znamená, že
v množine C budeme klásť α = (α, 0) pre každé α ∈ R. Potom 0 = (0, 0) a
1 = (1, 0). Ďalej, komplexné číslo (0, 1) sa označuje symbolom i, t.j., i = (0, 1),
a nazýva sa imaginárna jednotka. Platí i2
= (−1, 0) = −1. Tieto označenia
potom umožňujú vyjadriť komplexné číslo a = (α, β) v tzv. algebraickom tvare
a = (α, β) = (α, 0) + (0, β) = α(1, 0) + β(0, 1) = α + iβ. (1)
Komplexné číslo a = α + iβ s β = 0 (teda s Im a = 0) sa označuje ako reálne
(komplexné) číslo, kým komplexné číslo a = α + iβ s β = 0 (teda s Im a = 0)
sa nazýva imaginárne (komplexné) číslo. Imaginárne číslo s nulovou reálnou
časťou sa nazýva rýdzo imaginárne (komplexné) číslo. Komplexne združené
číslo ¯a k číslu a = α + iβ ∈ C je definované ako ¯a = α − iβ.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Absolútna hodnota (veľkosť) |a| komplexného čísla a = α + iβ sa definuje
|a| := α2 + β2. (2)
Reálne číslo |a| vyjadruje geometrickú vzdialenosť bodu [α, β] od bodu [0, 0] v
reálnej rovine. Všeobecne, pre a, b ∈ C reálne číslo |a − b| vyjadruje vzájomnú
vzdialenosť bodov [Re a, Im a] a [Re b, Im b] v reálnej rovine.
Poznámka 1 (Základné vlastnosti)
Nech a, a1, a2 ∈ C. Potom platí:
¯¯a = a, a1 ± a2 = ¯a1 ± ¯a2, a1a2 = ¯a1¯a2, a1/a2 = ¯a1/¯a2, ak a2 = 0.
a¯a = |a|2
, |a1a2| = |a1||a2|, |a1/a2| = |a1|/|a2|, ak a2 = 0.
trojuholníkové nerovnosti ||a1| − |a2|| ≤ |a1 + a2| ≤ |a1| + |a2|.
|Re a| ≤ |a|, |Im a| ≤ |a|.
Re a =
a + ¯a
2
, Im a =
a − ¯a
2i
.
Re (a1 ± a2) = Re a1 ± Re a2, Im (a1 ± a2) = Im a1 ± Im a2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Komplexná (Gaussova) rovina
Prirodzeným modelom množiny C komplexných čísiel je (euklidovská) rovina –
komplexná (Gaussova) rovina. Každému komplexnému číslu z = x + iy je
priradený bod v rovine so súradnicami [x, y]. Naopak, každému bodu [x, y]
roviny odpovedá práve jedno komplexné číslo z = x + iy. Ďalej budeme preto
pre jednoduchosť stotožnovať body roviny s komplexnými číslami. Vzdialenosť
(metrika) sa v množine C definuje pomocou absolútnej hodnoty komplexného
čísla zavedenej v (2), t.j., vzdialenosť dvoch komplexných čísiel z1 a z2 je
definovaná d(z1, z2) := |z1 − z2|.
Ako je to s pojmom “komplexné” nekonečno? Pre množinu C komplexných
čísiel sa definuje iba jedno “nekonečno”. Konkrétne, k množine C sa formálne
pridá jeden prvok, ktorý sa označuje symbolom ∞, spĺňajúci vlastnosti
∞ = −∞ = |∞|, ∞ · ∞ = ∞,
z + ∞ = ∞, z/∞ = 0, ∞/z = ∞ pre z ∈ C,
z · ∞ = ∞, z/0 = ∞, pre z ∈ C \ {0}.
Nedefinujú sa výrazy ∞ + ∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 0/0, ∞/∞. Množina C ∪ {∞}
sa spolu s danými algebraickými operáciami označuje ˜C a nazýva sa rozšírená
(uzavretá) komplexná rovina alebo tiež rozšírená (uzavretá) Gaussova rovina.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Goniometrický (polárny) tvar komplexného čísla
S modelom komplexnej roviny úzko súvisí tzv. goniometrický (polárny) tvar
komplexných čísiel. Každé nenulové komplexné číslo z je možné vyjadriť v tvare
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ), (3)
kde ϕ je argument komplexného čísla z definovaný rovnicami
cos ϕ =
Re z
|z|
, sin ϕ =
Im z
|z|
. (4)
Argument ϕ nie je určený jednoznačne (ak ϕ je argument z, potom i ϕ + 2kπ,
k ∈ Z, je argument z). Množina všetkých argumentov daného komplexného
čísla sa označuje Arg z (je to tzv. mnohoznačná funkcia premennej z). Symbol
arg z bude označovať základný (hlavný) argument komplexného čísla z, t.j.,
argument spĺňajúci −π ≤ arg z < π. Základný argument arg z je pre dané z
určený jednoznačne. Platí
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}. (5)
Posledná rovnosť sa často zapisuje i v tvare Arg z ≡ arg z (mod 2π).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Zavedenie goniometrického tvaru v (3) umožňuje efektívne násobiť a deliť
komplexné čísla. Konkrétne, ak
z1 = |z1| (cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = |z2| (cos ϕ2 + i sin ϕ2)
sú dve komplexné čísla a ϕ1 a ϕ2 sú ich ľubovoľné argumenty, potom platí
z1z2 = |z1||z2| (cos ϕ1 + i sin ϕ1) (cos ϕ2 + i sin ϕ2)
= |z1||z2| [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)
+ i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2)]
= |z1||z2| [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]. (6)
Z rovnosti (6) potom vyplýva
Arg (z1z2) = Arg z1 +Arg z2 a arg(z1z2) ≡ arg z1 +arg z2 (mod 2π), (7)
ako aj tzv. Moivreov vzorec na výpočet n-tej mocniny komplexného čísla z
zn
= |z|n
[cos (n arg z) + i sin (n arg z)], n ∈ N. (8)
Okrem toho z relácií (7) vyplýva
Arg (zn
) = n Arg z a arg(zn
) ≡ n arg z (mod 2π). (9)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Podobne, pre podiel z1/z2, z2 = 0, platí
z1
z2
=
|z1|
|z2|
cos ϕ1 + i sin ϕ1
cos ϕ2 + i sin ϕ2
=
|z1|
|z2|
cos ϕ1 + i sin ϕ1
cos ϕ2 + i sin ϕ2
cos ϕ2 − i sin ϕ2
cos ϕ2 − i sin ϕ2
=
|z1|
|z2|
cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)
cos2 ϕ2 + sin2
ϕ2
=
|z1|
|z2|
[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)]. (10)
Potom máme
Arg
z1
z2
= Arg z1 − Arg z2, arg
z1
z2
≡ arg z1 − arg z2 (mod 2π). (11)
Pre každé z ∈ C a n ∈ N je n-tá odmocnina zo z definovaná ako
n
√
z = n
|z| cos
arg z + 2kπ
n
+ i sin
arg z + 2kπ
n
, (12)
kde k = 0, . . . , n − 1. Pre pevné n sa teda jedná o mnohoznačnú funkciu
(premennej z), pričom pre každé z ∈ C existuje práve n jeho n-tých odmocnín.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Výraz cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R, sa obvykle označuje symbolom eiϕ
, t.j.,
eiϕ
:= cos ϕ + i sin ϕ. (13)
Pre každé z ∈ C potom platí
z = |z| eiϕ
, ϕ ∈ Arg z. (14)
Zápis (14) sa nazýva exponenciálny tvar komplexného čísla z. Pre každé ϕ, ϕ1,
ϕ2 ∈ R platí
|eiϕ
| = 1, arg eiϕ
≡ ϕ (mod 2π), eiϕ = e−iϕ
= 1/eiϕ
, (15)
cos ϕ =
eiϕ
+ e−iϕ
2
, sin ϕ =
eiϕ
− e−iϕ
2i
, (16)
ei(ϕ1+ϕ2)
= eiϕ1
eiϕ2
, ei(ϕ1−ϕ2)
= eiϕ1
/eiϕ2
, (17)
eiϕ
m
= eimϕ
, m ∈ Z. (18)
Neskôr ukážeme, že výraz eiϕ
zavedený v (13) je rozšírením exponenciálnej
funkcie ex
do oboru komplexných čísiel.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 1
Dané komplexné číslo napíšte v goniometrickom tvare
1 + i.
Pre komplexné číslo z = 1 + i platí
Re z = 1, Im z = 1, |z| = 12 + 12 =
√
2.
Ľubovoľný argument ϕ čísla z potom spĺňa rovnosti
cos ϕ = Re z/|z| = 1/
√
2, sin ϕ = Im z/|z| = 1/
√
2.
Riešenie tejto sústavy je napr. ϕ = 9π/4. Potom platí
z =
√
2 [cos (9π/4) + i sin (9π/4)].
Základný argument čísla z je arg z = π/4 a podobne platí
z =
√
2 [cos (π/4) + i sin (π/4)].
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 2
Dané komplexné číslo napíšte v goniometrickom tvare
−2
√
3 − 2i.
Pre komplexné číslo z = −2
√
3 − 2i platí
Re z = −2
√
3, Im z = −2, |z| = (−2
√
3)2 + (−2)2 = 4.
Ľubovoľný argument ϕ čísla z spĺňa rovnosti
cos ϕ = Re z/|z| = −
√
3/2, sin ϕ = Im z/|z| = −1/2.
Základný argument čísla z je arg z = −5π/6 a platí
z = 4 [cos (−5π/6) + i sin (−5π/6)].
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 3
Vypočítajte
(1 + i
√
3)15
.
Použijeme Moivreov vzorec (8). Komplexné číslo z = 1 + i
√
3 prepíšeme do
goniometrického tvaru. Platí |z| = 2, arg z = π/3, a teda
z = 2 [cos (π/3) + i sin (π/3)].
Potom podľa (8) máme
z15
= 215
[cos (15π/3) + i sin (15π/3)] = 215
[cos (5π) + i sin (5π)] = −215
.
Poznamenajme, že rovnaký výsledok by sme získali klasickým roznásobením
podľa binomickej vety.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 4
Vypočítajme v C
3
√
−8.
Podľa (12) existujú práve 3 komplexné tretie odmocniny z čísla z = −8.
Goniometrický tvar čísla z je
z = 8 [cos (−π) + i sin (−π)].
Podľa (12) platí
3
√
−8 =
3
√
8 cos
−π + 2kπ
3
+ i sin
−π + 2kπ
3
,
pričom k = 0, 1, 2. Postupne dostáveme
k = 0 −→
3
√
8 cos
−π
3
+ i sin
−π
3
= 1 − i
√
3,
k = 1 −→
3
√
8 cos
π
3
+ i sin
π
3
= 1 + i
√
3,
k = 2 −→
3
√
8 (cos π + i sin π) = −2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Postupnosti v C
Nech r ∈ R+
a z0 ∈ C. Otvoreným kruhom K(z0, r) so stredom v bode z0 a s
polomerom r rozumieme množinu K(z0, r) := {z ∈ C, |z − z0| < r}. Množina
K(z0, r) sa často označuje aj ako r-okolie bodu z0. Ak z0 = ∞, definujeme
K(∞, r) := {z ∈ ˜C, |z| > 1/r}. Nech {an}∞
n=1 je postupnosť komplexných
čísiel. Komplexné číslo a0 ∈ ˜C sa nazýva limitou postupnosti {an}∞
n=1, ak pre
každé ε-okolie bodu a0 existuje index nε ∈ N tak, že an ∈ K(a0, ε) pre každý
index n ≥ nε. Potom píšeme limn→∞ an = a0 alebo aj an → a0.
Veta 1
Nech {an}∞
n=1 je postupnosť v C a a0 ∈ ˜C. Potom an → a0 práve vtedy, keď
lim
n→∞
|an −a0| = 0 ⇐⇒ lim
n→∞
Re an = Re a0 & lim
n→∞
Im an = Im a0. (19)
V tomto prípade platí i an → a0. Podobne, an → ∞ práve vtedy, keď
lim
n→∞
|an| = ∞, resp., lim
n→∞
1/|an| = 0. (20)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Číselné rady v C
Nech {an}∞
n=1 je postupnosť v C. Postupnosť {sk}∞
k=1 (tzv. postupnosť
čiastočných súčtov) definovaná ako sk := k
n=1 an sa nazýva nekonečný rad s
členmi an a označuje sa ∞
n=1 an, resp. an. Rad an konverguje (resp., je
konvergentný), ak existuje konečná limita postupnosti {sk}∞
k=1. Túto limitu
potom označujeme ako súčet s radu a píšeme s = an. V opačnom prípade
rad an diverguje (resp., je divergentný).
Veta 2
Nech an, bn sú konvergentné rady a a, b ∈ C. Potom platí:
limn→∞ an = 0 (nutná podmienka konvergencie radu).
Rad an konverguje so súčtom an = an.
Rad (aan + bbn) konverguje a (aan + bbn) = a an + b bn.
Veta 3
Komplexný rad an konverguje práve vtedy, keď konverguje každý z reálnych
radov Re an a Im an, pričom platí an = Re an + i Im an.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Komplexný rad an sa nazýva absolútne konvergentný, ak rad |an| je
konvergentný. Každý absolútne konvergentný rad je i konvergentný a platí
an ≤ |an|.
Ak an konverguje, ale rad |an| diverguje, potom hovoríme, že rad an
konverguje neabsolútne (relatívne). Platia nasledujúce výsledky.
Veta 4
Komplexný rad an konverguje absolútne práve vtedy, keď každý z reálnych
radov Re an a Im an konverguje absolútne.
Veta 5 (Riemannova veta o prerovnaní absolútne konvergentného radu)
Ak komplexný rad an konverguje absolútne, potom každé prerovnanie tohto
radu konverguje absolútne s rovnakým súčtom, t.j., platí
aτ(n) = an
pre každú permutáciu τ množiny N (t.j., pre každú bijekciu τ : N → N).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Pri vyšetrovaní (absolútnej) konvergencie komplexných radov môžeme aplikovať
mnohé kritériá využívané v reálnej analýze.
Porovnávacie kritérium – ak komplexný rad an spĺňa |an| ≤ bn pre
každé n ∈ N, kde bn je konvergentný reálny rad, potom rad an
konverguje absolútne.
D’Alembertovo podielové kritérium – ak komplexný rad an spĺňa
|an+1/an| ≤ q < 1 pre každé n ∈ N, potom an konverguje absolútne.
Ak |an+1/an| ≥ 1 pre každé n ∈ N, potom rad an diverguje. Obzvášť,
ak existuje limn→∞ |an+1/an| = q ∈ R∗
, potom pre q < 1 (q > 1) rad
an konverguje absolútne (diverguje).
Cauchyho odmocninové kritérium – ak komplexný rad an spĺňa
n
|an| ≤ q < 1 pre každé n ∈ N, potom an konverguje absolútne. Ak
n
|an| ≥ 1 pre každé n ∈ N, potom rad an diverguje. Obzvášť, ak
existuje limn→∞
n
|an| = q ∈ R∗
, potom pre q < 1 (q > 1) rad an
konverguje absolútne (diverguje).
Cauchyho integrálne kritérium – ak rad an spĺňa |an| = f(n) pre každé
n ∈ N, kde f : [1, ∞) → R je nezáporná, nerastúca a spojitá funkcia,
potom rad an konverguje absolútne práve vtedy, keď nevlastný integrál
∞
1
f(x) dx konverguje.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 5
Stanovme limitu
lim
n→∞
(1 + i)n
n!
.
Nájdeme reálnu a imaginárnu časť príslušnej postupnosti. Podľa Príkladu 1 platí
(1 + i)n
n!
=
√
2 [cos (π/4) + i sin (π/4)]
n
n!
=
(
√
2)n
cos (πn/4)
n!
+ i
(
√
2)n
sin (πn/4)
n!
.
Teda máme
Re
(1 + i)n
n!
=
(
√
2)n
cos (πn/4)
n!
, Im
(1 + i)n
n!
=
(
√
2)n
sin (πn/4)
n!
.
Keďže platí
lim
n→∞
Re
(1 + i)n
n!
= 0 = lim
n→∞
Im
(1 + i)n
n!
,
podľa Vety 1 limita v zadaní príkladu existuje a je rovná 0 + i0 = 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 6
Dokážme
lim
n→∞
in
n2n
= 0.
Uvedený výsledok vyplýva z Vety 1, pretože platí
lim
n→∞
in
n2n
− 0 = lim
n→∞
|i|n
n2n
= lim
n→∞
1
n2n
= 0.
Príklad 7
Nájdime limitu
lim
n→∞
n ein
.
Táto limita existuje a je nevlastná, pretože platí
lim
n→∞
n ein
= lim
n→∞
n ein
= lim
n→∞
n = ∞.
Pri výpočte sme využili prvú rovnosť v (15), t.j., ein
= 1. Podľa Vety 1 potom
lim
n→∞
n ein
= ∞.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 8
Nájdime súčet radu
∞
n=1
1 + i (−1)n−1
n
n2
.
V danom rade oddelíme jeho reálnu a imaginárnu časť. Dostaneme
Re
1 + i (−1)n−1
n
n2
=
1
n2
, Im
1 + i (−1)n−1
n
n2
=
(−1)n−1
n
, n ∈ N.
Keďže z reálnej analýzy máme
1/n2
= π2
/6, (−1)n−1
/n = ln 2,
podľa Vety 3 konverguje i rad v zadaní príkladu a platí
1 + i (−1)n−1
n
n2
=
π2
6
+ i ln 2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 9
Vyšetrime konvergenciu radu
∞
n=1
in
n
.
Oddelením reálnej a imaginárnej časti daného radu dostaneme
Re
in
n
=
(−1)k
/(2k), n = 2k,
0, n = 2k − 1,
Im
in
n
=
0, n = 2k,
(−1)k−1
/(2k − 1), n = 2k − 1.
Obidva reálne rady Re a Im konvergujú (podľa Leibnizovho kritéria), a
preto podľa Vety 3 konverguje i rad v zadaní príkladu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 10
Vyšetrime konvergenciu radov
a)
∞
n=1
n(1 + i)n
3n
, b)
∞
n=1
an
, a ∈ C.
a) Rad konverguje absolútne podľa D’Alembertovho kritéria, nakoľko
lim
n→∞
(n+1)(1+i)n+1
3n+1
n(1+i)n
3n
= lim
n→∞
(n + 1)(1 + i)
3n
= lim
n→∞
(n + 1)
√
2
3n
=
√
2
3
< 1.
b) Aplikovaním Cauchyho odmocninového kritéria dostaneme
lim
n→∞
n
|an| = lim
n→∞
n
|a|n = lim
n→∞
|a| = |a|.
Pre |a| < 1 daný rad konverguje absolútne, pre |a| > 1 rad diverguje. V prípade
|a| = 1 rad diverguje, pretože nie je splnená nutná podmienka konvergencie vo
Vete 2 (limn→∞ an
= 0, resp. neexistuje).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Funkcie v C
Nech D je podmnožina v ˜C. Pod pojmom (komplexná) funkcia (komplexnej
premennej) f budeme rozumieť priradenie, ktoré každému číslu z ∈ D priradí
jednu alebo viac hodnôt w ∈ ˜C. Množina D sa nazýva definičný obor funkcie f
a označuje sa D(f). Množina
H(f) := {w ∈ ˜C, w = f(z), z ∈ D(f)}
sa nazýva obor hodnôt funkcie f. Ak je každému z ∈ D(f) priradená práve
jedna hodnota w = f(z) ∈ H(f), potom hovoríme o jednoznačnej funkcii f. V
opačnom prípade funkciu f označujeme ako mnohoznačnú. Vhodným zúžením
oboru hodnôt H(f) mnohoznačnej funkcie f dostaneme jednoznačnú funkciu –
tzv. jednoznačnú vetvu komplexnej funkcie f. Vo všeobecnosti teda komplexná
funkcia komplexnej premennej nie je zobrazenie, pričom symbol f(z) znamená
podmnožinu v H(f). Inverznou funkciou k funkcii f : w = f(z), z ∈ D(f),
rozumieme funkciu f−1
: z = f−1
(w), ktorá každému w ∈ H(f) priradí práve
tie z ∈ D(f), pre ktoré w = f(z). Zrejme D(f−1
) = H(f) a H(f−1
) = D(f).
Okrem toho, f(f−1
(w)) = w, pre každé w ∈ H(f), avšak neplatí všeobecne
f−1
(f(z)) = z, pre z ∈ D(f). Inverzná funkcia f−1
môže byť jednoznačná i
mnohoznačná.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Nech f je funkcia. Ak D(f) ⊆ R, jedná sa o funkciu reálnej premennej, inak
hovoríme o funkcii komplexnej premennej. V prípade H(f) ⊆ R máme reálnu
funkciu, inak (t.j., pre H(f) ⊆ ˜C) máme komplexnú funkciu. Ak platí dokonca
H(f) ⊆ C, potom hovoríme o konečnej (komplexnej) funkcii.
Nech f je konečná funkcia komplexnej premennej. Potom existujú jediné reálne
funkcie u, v : R2
→ R také, že pre každé z = x + iy ∈ D(f) ∩ C platí
f(z) = u(x, y) + i v(x, y). (21)
Funkcie u a v sa nazývajú reálna a imaginárna časť funkcie f, t.j.,
u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z). (22)
Funkcia ¯f definovaná ¯f(z) := f(z), z ∈ D(f), sa nazýva funkcia komplexne
združená s f. Zrejme potom platí ¯f(z) = u(x, y) − i v(x, y) a
Re f(z) =
f(z) + ¯f(z)
2
, Im f(z) =
f(z) − ¯f(z)
2i
, z ∈ D(f). (23)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Limitu a spojitosť komplexnej funkcie f komplexnej premennej definujeme
podobným spôsobom ako v reálnej analýze. Nech M ⊆ ˜C a z0 je hromadný
bod množiny M. Číslo w0 ∈ ˜C nazývame limitou funkcie f v bode z0
vzhľadom na množinu M a píšeme
lim
z→z0
z∈M
f(z) = w0,
ak pre každé okolie O(w0) bodu w0 existuje rýdze okolie O∗
(z0) bodu z0 také,
že pre každé z ∈ O∗
(z0) ∩ M platí f(z) ∈ O(w0). V prípade M = D(f)
dostávame limitu funkcie f v tradičnom slova zmysle, t.j.,
lim
z→z0
f(z) = lim
z→z0
z∈D(f)
f(z) = w0.
Okrem toho platia relácie
lim
z→z0
f(z) = w0 ⇐⇒ lim
z→z0
Re f(z) = Re w0, lim
z→z0
Im f(z) = Im w0, (24)
lim
z→z0
f(z) = w0 ⇐⇒ lim
z→z0
¯f(z) = w0. (25)
Funkcia f je spojitá v bode z0 ∈ D(f), ak limz→z0 f(z) = f(z0). Pre spojitosť
funkcie potom platia výsledky analogické s (24) a (25).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 11
Príkladom reálnych funkcií komplexnej premennej sú funkcie
w = Re z, w = |z|, w = arg z.
Jedná sa o jednoznačné funkcie. Funkcia w = zn
, pre n ∈ N pevné, je
komplexná funkcia komplexnej premennej, kým funkcia w = eiϕ
, ϕ ∈ R, je
komplexná funkcia reálnej premennej ϕ. Ďalej, funkcie
w = Arg z, w = n
√
z, n ∈ N pevné,
sú príkladmi mnohoznačných komplexných funkcií komplexnej premennej. Prvá
z nich je nekonečne-značná, druhá je n-značná. Zúžením oboru hodnôt prvej z
nich dostaneme napríklad už zmienenú jednoznačnú funkciu ˜w = arg z.
Jednoznačnou vetvou druhej funkcie je napríklad funkcia (porovnaj s (12))
˜w = n
|z| cos
arg z
n
+ i sin
arg z
n
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 12
Stanovme limitu
lim
z→0
Re z
z
.
V limitovanej funkcii oddelíme jej reálnu a imaginárnu časť. Poznamenajme, že
konvergencia z = x + iy → 0 je ekvivalentná s x → 0 & y → 0. Platí
lim
z→0
Re z
z
= lim
(x,y)→(0,0)
x
x + iy
= lim
(x,y)→(0,0)
x
x + iy
x − iy
x − iy
= lim
(x,y)→(0,0)
x(x − iy)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
− i
xy
x2 + y2
.
Z reálnej analýzy funkcií dvoch premenných vieme ľahko ukázať, že limity
lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
, lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
neexistujú. Podľa (24) potom neexistuje ani limita v zadaní príkladu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 13
Vypočítajme limitu
lim
z→0
z Re z
|z|
.
V limitovanej funkcii oddelíme jej reálnu a imaginárnu časť. Dostaneme
lim
z→0
z Re z
|z|
= lim
(x,y)→(0,0)
(x + iy)x
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
+ i
yx
x2 + y2
.
V tomto prípade platí
lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
= 0 = lim
(x,y)→(0,0)
yx
x2 + y2
.
Preto podľa (24) limita v zadaní príkladu má hodnotu 0 + i0 = 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 14
Zistime limitu
lim
z→i
z2
+ 1
z − i
.
V limitovanej funkcii vykonáme algebraické úpravy (rozklad čitateľa na súčin)
lim
z→i
z2
+ 1
z − i
= lim
z→i
(z + i)(z − i)
z − i
= lim
z→i
(z + i) = 2i.
Príklad 15
Rozhodnime o existencii limity
lim
z→0
¯z
z
.
Dokážeme, že uvedená limita neexistuje. Nech z sa blíži k bodu 0 = 0 + i0 po
reálnej osi, t.j., z = x ∈ R. Potom ¯z/z = ¯x/x = x/x = 1, a limz→0 ¯z/z = 1 v
tomto prípade. Ak z sa bude k 0 blížiť po imaginárnej osi, t.j., z = iy ∈ i R,
potom platí ¯z/z = −iy/iy = −1, a v tomto prípade limz→0 ¯z/z = −1. Pri
pohybe po dvoch rôznych cestách do bodu 0 sme dostali dve rôzne hodnoty
limity. Preto daná limita neexistuje.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Derivácia komplexnej funkcie
Definícia 1 (Komplexná diferencovateľnosť)
Nech G je otvorená podmnožina v C a f je konečná funkcia definovaná na G.
Hovoríme, že f je komplexne diferencovateľná (monogénna) v bode z0 ∈ G, ak
existuje konečná limita
lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
resp. lim
h→0
h∈C
f(z0 + h) − f(z0)
h
. (26)
Limita v (26) sa nazýva derivácia funkcie f v bode z0 a označuje sa f′
(z0),
resp. df
dz
(z0).
V komplexnej analýze sa teda nedefinuje nevlastná derivácia a derivácia v bode
∞. Z Definície 1 vyplýva, že funkcia f : G → C je komplexne diferencovateľná
v bode z0 ∈ G práve vtedy, keď existuje komplexné číslo a s vlastnosťou
lim
h→0
h∈C
f(z0 + h) − f(z0) − ah
h
= 0. (27)
V tomto prípade a = f′
(z0). Výraz ah sa nazýva diferenciál funkcie f v bode
z0 a označuje sa df(z0), resp. df(z0)(h).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Komplexná derivácia má podobné základné vlastnosti ako derivácia v reálnom
obore. Vo všeobecnosti je však komplexná diferencovateľnosť podstatne silnejší
koncept než reálna diferencovateľnosť.
Veta 6
Ak funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C, potom je v bode z0
spojitá.
Dôkaz.
Výsledok vyplýva z Definície 1 a z nasledujúceho výpočtu
lim
z→z0
f(z) = lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
(z − z0) + f(z0) = f′
(z0)·0+f(z0) = f(z0).
Poznámka 2
Poznamenajme, že podobne ako v reálnom obore spojitosť funkcie nezaručuje
komplexnú diferencovateľnosť funkcie. Túto skutočnosť ilustruje Príklad 17.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Veta 7 (Základné vlastnosti)
(i) Ak funkcie f, g sú komplexne diferencovateľné v bode z0 ∈ C, potom aj
funkcie f ± g, f · g a f/g (ak g(z0) = 0) sú komplexne diferencovateľné v
bode z0 a platí
(f ± g)′
(z0) = f′
(z0) ± g′
(z0),
(f · g)′
(z0) = f′
(z0) g(z0) + f(z0) g′
(z0),
(f/g)′
(z0) = f′
(z0) g(z0) − f(z0) g′
(z0) /[g(z0)]2
.
(ii) Ak funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C a funkcia g je
komplexne diferencovateľná v bode f(z0), potom aj zložená funkcia g ◦ f
je komplexne diferencovateľná v z0 a platí (g ◦ f)′
(z0) = g′
(f(z0)) f′
(z0).
(iii) Ak funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C a prostá na
okolí bodu z0, potom inverzná funkcia f−1
je komplexne diferencovateľná
v bode w0 = f(z0) a platí
f−1 ′
(w0) = 1/f′
(z0).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
V nasledujúcom budeme pracovať s algebraickým tvarom komplexných čísiel a
funkcií, t.j., podľa (21) pre dané z ∈ C a danú komplexnú funkciu f máme
z = x + iy a f(z) = u(x, y) + iv(x, y) pre x, y ∈ R. (28)
Pripomeňme, že jednoznačne určené reálne funkcie u, v sú podľa (22) reálnou a
imaginárnou časťou funkcie f.
Veta 8 (Nutná podmienka komplexnej diferencovateľnosti)
Nech funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 = x0 + iy0. Potom
funkcie u, v v (28) spĺňajú tzv. Cauchyho–Riemannove rovnice (podmienky)
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0),
∂u
∂y
(x0, y0) = −
∂v
∂x
(x0, y0). (29)
Pre deriváciu f′
(z0) potom platí
f′
(z0) =
∂u
∂x
(x0, y0) + i
∂v
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0) − i
∂u
∂y
(x0, y0). (30)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Náčrt dôkazu.
Ak f je komplexne diferencovateľná v bode z0, potom podľa Definície 1 je f
definovaná na nejakom okolí bodu z0 a existuje limita v (26). Hodnota tejto
limity nezávisí na ceste, po ktorej sa s premenlivým bodom z blížime do bodu
z0. Uvažujme napríklad z = x + iy0, kde x ∈ R a x → x0. Do z0 = x0 + iy0 sa
teda blížíme po priamke y = y0. Platí potom
f′
(z0) = lim
z=x+iy0
x→x0
f(z) − f(z0)
z − z0
= lim
x→x0
f(x + iy0) − f(x0 + iy0)
x − x0
.
Pomocou funkcií u, v sa posledná limita dá rozpísať do tvaru
f′
(z0) = lim
x→x0
u(x, y0) + iv(x, y0) − u(x0, y0) − iv(x0, y0)
x − x0
= lim
x→x0
u(x, y0) − u(x0, y0)
x − x0
+ i
v(x, y0) − v(x0, y0)
x − x0
.
Limitovaním posledného výrazu dostaneme prvú rovnosť v (30). Podobným
spôsobom odvodíme i druhé vyjadrenie derivácie f′
(z0) v (30), kde uvažujeme
z = x0 + iy s y ∈ R a y → y0 (priamka x = x0). Porovnaním reálnych a
imaginárnych častí vyjadrení v (30) dostaneme rovnosti (29).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Poznámka 3
Z Vety 8 vyplýva, že nutnými podmienkami existencie komplexnej derivácie
f′
(z0) je existencia prvých parciálnych derivácií reálnych funkcií u, v v bode
[x0, y0] a platnosť Cauchyho–Riemannovych podmienok (29) v bode [x0, y0].
Ako však ukazuje nasledujúca veta, nie sú to zároveň aj postačujúce podmienky.
Veta 9 (Nutná a postačujúca podmienka komplexnej diferencovateľnosti)
Funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C práve vtedy, keď reálne
funkcie u, v v (28) sú diferencovateľné v [x0, y0] a platia rovnice v (29).
Nech G ⊆ C je otvorená množina. Hovoríme, že komplexná funkcia f je
komplexne diferencovateľná na G, ak f′
(z) existuje v každom bode z ∈ G. Z
Vety 9 vyplýva, že ak funkcie u, v v (28) majú spojité I. parciálne derivácie na G
a spĺňajú podmienky (29) na G, potom f je komplexne diferencovateľná v G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Cauchyho–Riemannove podmienky (29) výrazne obmedzujú triedu reálnych
diferencovateľných funkcií u, v, ktoré môžu byť reálnymi, resp. imaginárnymi
časťami komplexne diferencovateľných funkcií. Ak totiž funkcia f = u + iv je
komplexne diferencovateľná v otvorenej množine G ⊆ C a funkcie u, v majú
naviac spojité i druhé parciálne derivácie na G, potom u, v sú riešeniami tzv.
Laplaceovej rovnice na G, t.j., platí
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0,
∂2
v
∂x2
+
∂2
v
∂y2
= 0 na G. (31)
Riešenia Laplaceovej rovnice sa označujú ako harmonické funkcie. Reálne a
imaginárne časti komplexne diferencovateľných funkcií v G musia preto byť
nutne harmonickými funkciami v G. Neskôr ukážeme, že požiadavka existencie
a spojitosti druhých (dokonca i všetkých vyšších) parciálnych derivácií funkcií
u, v na G je prekvapivo prirodzene zabudovaná v koncepte komplexnej derivácie
funkcie f na množine G.
Veta 10
Nech G ⊆ C je jednoducho súvislá oblasť. Potom ku každej harmonickej funkcii
u (resp. v) na G existuje funkcia f komplexne diferencovateľná na G tak, že
u = Re f (resp. v = Im f) na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 16
Dokážme, že pre každé pevné n ∈ N platí
(zn
)′
= nzn−1
, z ∈ C.
Označme f(z) = zn
a nech z0 ∈ C je zafixované. Podľa Definície 1 máme
f′
(z0) = lim
z→z0
zn
− zn
0
z − z0
= lim
z→z0
zn−1
+ zn−2
z0 + · · · + zzn−2
0 + zn−1
0
= nzn−1
0 .
Príklad 17
Funkcia f(z) = ¯z = x − iy je síce spojitá v celej komplexnej rovine, ale nie je
nikde v C komplexne diferencovateľná, pretože limita
lim
h→0
h∈C
z0 + h − z0
h
= lim
h→0
h∈C
z0 + ¯h − z0
h
= lim
h→0
h∈C
¯h
h
neexistuje pre žiadne z0 ∈ C (porovnaj s Príkladom 15).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 18
Rozhodnime o existencii derivácie funkcie (ako funkcie v C)
f(z) = 1/z
overením Cauchyho–Riemannovych rovností (29). Zrejme D(f) = C \ {0}.
Oddelíme reálnu a imaginárnu časť funkcie f
1
z
=
1
x + iy
=
x − iy
(x + iy)(x − iy)
=
x
x2 + y2
+ i
−y
x2 + y2
.
Platí u(x, y) = x/(x2
+ y2
), v(x, y) = −y/(x2
+ y2
), a ďalej
u′
x = (y2
− x2
)/(x2
+ y2
)2
, u′
y = (−2xy)/(x2
+ y2
)2
,
v′
x = (2xy)/(x2
+ y2
)2
, v′
y = (y2
− x2
)/(x2
+ y2
)2
,
Funkcie u, v sú diferencovateľné na D(f) a platia rovnosti (29) na D(f). Teda
podľa Vety 9 funkcia f je komplexne diferencovateľná na D(f) a platí
1
z
′
= u′
x+iv′
x =
y2
− x2
(x2 + y2)2
+i
2xy
(x2 + y2)2
= −
(x − iy)2
(x2 + y2)2
= −
(¯z)2
|z|4
= −
1
z2
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 19
Určme komplexne diferencovateľnú funkciu f, ktorá spĺňa
Re f(z) = x3
− 3xy2
+ 3x2
− 3y2
+ 1, f(0) = 1.
Funkcia u(x, y) = x3
− 3xy2
+ 3x2
− 3y2
+ 1 je harmonická v C, nakoľko
u′
x = 3x2
− 3y2
+ 6x, u′′
xx = 6x + 6,
u′
y = −6xy − 6y, u′′
yy = −6x − 6,
⇓
u′′
xx + u′′
yy = 0 v R2
.
Podľa Vety 10 je funkcia u reálnou časťou istej funkcie f, ktorá je komplexne
diferencovateľná na C. Jej imaginárnu časť v určíme z podmienok (29)
v′
x = −u′
y = 6xy + 6y, v′
y = u′
x = 3x2
− 3y2
+ 6x.
Máme teda určiť kmeňovú funkciu v pre dvojicu 6xy + 6y a 3x2
− 3y2
+ 6x.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Príklad 19
Postupujúc štandardným spôsobom, dostaneme
v(x, y) = −y3
+ 3x2
y + 6xy + K, K ∈ R.
Keďže f(0) = 1, platí v(0, 0) = Im f(0) = 0, a teda K = 0. Funkcia f má tvar
f(z) = x3
− 3xy2
+ 3x2
− 3y2
+ 1 + i (−y3
+ 3x2
y + 6xy).
Nakoniec, ak dosadeníme za reálne premenné x, y výrazy
x = (z + ¯z)/2, y = (z − ¯z)/2i,
dostaneme vyjadrenie hodnoty f(z) pomocou komplexnej premennej z. Po
úpravách získame finálny predpis
f(z) = z3
+ 3z2
+ 1.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Holomorfné funkcie
Definícia 2 (Holomorfná funkcia)
Hovoríme, že funkcia f je holomorfná (analytická, regulárna) v bode z0 ∈ C, ak
f má deriváciu na nejakom okolí bodu z0. Funkcia f je holomorfná na množine
G ⊆ C, ak je holomorfná v každom bode z ∈ G.
Pojem holomorfnosti funkcie (na rozdiel od komplexnej diferencovateľnosti) je
možné zaviesť i pre nevlastný bod ∞. Konkétne, funkcia f(z) sa označuje ako
holomorfná v bode ∞, ak funkcia f(1/z) je holomorfná v bode z0 = 0.
Príklad 20
Z predchádzajúcich príkladov (Príklady 16, 17 a 18) vyplýva, že funkcia
f(z) = zn
je holomorfná v celej komplexnej rovine, funkcia g(z) = ¯z nie je
holomorfná v žiadnom bode z ˜C a funkcia h(z) = 1/z je holomorfná na ˜C \ {0}.
Príklad 21
Funkcia f(z) = |z|2
nie je holomorfná v žiadnom bode z ˜C, hoci je komplexne
diferencovateľná v bode z0 = 0, ako sa možno ľahko presvedčiť.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Veta 11
Nech G ⊆ C je oblasť. Funkcia f : G → C je konštantná na G práve vtedy,
keď je holomorfná na G a f′
(z) = 0 pre každé z ∈ G.
Dôkaz.
Implikácia “⇒” vyplýva priamo z Definícií 1 a 2. Naopak, nech f je holomorfná
na G s f′
(z) = 0 pre každé z ∈ G. Funkcie u, v z (28) podľa (30) spĺňajú
u′
x(x, y) = 0 = v′
x(x, y), v′
y(x, y) = 0 = −u′
y(x, y) pre každé [x, y] ∈ G,
z čoho vyplýva, že funkcie u, v sú konštantné na oblasti G. To znamená, že i
funkcia f = u + iv je konštantná na G.
Dôsledok 1
Nech f, g sú funkcie holomorfné na oblasti G ⊆ C. Potom platia tvrdenia.
(i) Rovnosť f′
≡ g′
platí na G práve vtedy, keď f ≡ g + K na G, kde K je
(komplexná) konštanta.
(ii) Funkcia f je polynóm stupňa menšieho ako n na G práve vtedy, keď
f(n)
≡ 0 na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Komplexné funkcionálne rady
Nech G ⊆ C je neprázdna množina a nech {fn(z)}∞
n=1 je postupnosť funkcií
definovaných na G. Postupnosť čiastočných súčtov {sk(z)}∞
k=1 definovaná
sk(z) :=
k
n=1
fn(z), z ∈ G, k ∈ N,
sa nazýva (nekonečný) funkcionálny rad s členmi fn a označuje sa ∞
n=1 fn(z),
resp. fn(z). Rozlišujeme dva typy konvergencie funkcionálnych postupností
a radov.
Bodová konvergencia na G – pre každé z0 ∈ G je číselná postupnosť
{fn(z0)} (číselný rad fn(z0)) konvergentná(ý). Funkcia f s vlastnosťou
f(z) = lim
n→∞
fn(z) f(z) = fn(z) pre každé z ∈ G,
sa nazýva limitná funkcia postupnosti (súčet radu). Symbolicky značíme
fn → f fn → f na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Rovnomerná konvergencia na G – zhruba povedané, konvergencia k
limitnej funkcii (k súčtu) nezávisí na premennej z. Presnejšie, ak f je
limitná funkcia postupnosti {fn}, potom pre každé ε > 0 existuje index
nε ∈ N tak, že
|fn(z) − f(z)| < ε pre každé n ≥ nε a pre každé z ∈ G.
Rad fn(z) konverguje rovnomerne k súčtu f na G, ak jeho príslušná
postupnosť čiastočných súčtov {sk} konverguje rovnomerne k f na G.
Symbolicky zapisujeme fn ⇒ f ( fn ⇒ f) na G.
Veta 12 (Cauchyho–Bolzanove kritériá rovnomernej konvergencie)
Postupnosť {fn} konverguje rovnomerne na G práve vtedy, keď pre každé
ε > 0 existuje index nε ∈ N tak, že
|fn(z) − fm(z)| < ε pre každé n, m ≥ nε a pre každé z ∈ G.
Rad fn konverguje rovnomerne na G práve vtedy, keď pre každé ε > 0
existuje index nε ∈ N tak, že
m+n
k=n
fk(z) < ε pre každé n ≥ nε, m ∈ N, a pre každé z ∈ G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia
Cauchyho–Bolzanove kritéria udávajú nutné a zároveň postačujúce podmienky
rovnomernej konvergencie postupnosti (radu) funkcií. Pre praktické výpočty sa
však s výhodu využíva nasledujúce postačujúce kritérium.
Veta 13 (Weierstrassovo kritérium rovnomernej konvergencie)
Ak pre rad fn existuje konvergentný reálny číselný rad αn s vlastnosťou
|fn(z)| ≤ αn pre každé n ∈ N a pre každé z ∈ G,
potom rad fn konverguje rovnomerne na množine G.
Reálny číselný rad αn vo Vete 13 sa nazýva majorantný rad (majoranta) pre
funkcionálny rad fn.
Veta 14
Nech {fn} je postupnosť funkcií spojitých na množine G ⊆ C. Ak rad fn
konverguje rovnomerne na G k súčtu f, potom funkcia f je spojitá na G.