Domáca úloha MA002 č. 1. & 2.
1. Pomocou izoklín znázornite smerové pole pre dané diferenciálne rovnice
a na základe toho odhadnite tvar integrálnych kriviek pre tieto rovnice
vo fázovom priestore
y = − x2 + y2, y = 2x.
2. Overte pomocou kritéria (cez determinant), či je daná rovnica separo-
vateľná
x(y3
− y2
+ y − 1)dx − y3
dy = 0.
V prípade, že je separovateľná, vyriešte ju.
3. Upravte danú diferenciálnu rovnicu na vhodný tvar (separovateľná) a
nájdite jej partikulárne riešenie
y(x) = 1 −
y (x)
sin2
x
2
, y(0) = 1.
HINT: Pri výpočte sin2
x dx si pomôžte trigonometrickým vzorcom
cos 2x = cos2
x − sin2
x.
4. Riešte dané lineárne diferenciálne rovnice metódou variácie konštant aj
metódou integračného faktora.
• y + 2y = e−x
.
• y − 2
x+1
y = (x + 1)3
.
• y + 2y
x
= e−x2
x
.
• y + x2
y = x2
.
5. Riešte dané Bernoulliho diferenciálne rovnice.
• y + xy = xy3
.
• y + y = x
√
y.
• y + y
x
= y2
ln x.
• y ln x2
+ y
x
= cos x
y
.
6. Zistite, či je daná diferenciálna rovnica exaktná. Ak áno, nájdite kmeňovú
funkciu, ktorá predstavuje riešenie v implicitnom tvare pre túto
rovnicu.
• 2xy2
dx + (2x2
y + 5) dy = 0.
• (7x + 5y)dx + (5x −
√
y) dy = 0.
• 3x
√
y dx + 3
4
x2
y
−3
2 dy = 0.
7. Nájdite riešenia (homogénnych/nehomogénnych) lineárnych diferenciálnych
rovníc n-tého rádu s konštantnými koeficientami.
Zaveďme označenie y(n)
(x) := dny
dxn .
1.
y − 9y + 26y − 24y = 0.
2.
4y − 4y + y = 0.
3.
y(4)
+ 6y(3)
+ 9y(2)
= 0.
4.
y(5)
− 3y(4)
+ 2y(3)
− 6y(2)
= 0.
5.
y + 7y + 19y + 13y = 0.
6.
y + y =
sin x (2 + cos2
x)
cos3 x
.
7.
y − 2y = −4e4x
sin e2x
.
8. Riešte homogénne/nehomogénne systémy lineárnych diferenciálnych
rovníc s konštantnými koeficientmi (LDs) eliminačnou metódou.
Porovnajte riešenie rovnice n-tého rádu s vektorovým riešením
pre odpovedajúci systém.
x = A x + b; x, b ∈ Rn
.
1.
x1 = x2
x2 = 12x1 − x2,
čo je možné ekvivalentne zapísať v maticovej notácii
x1
x2
=
0 1
12 −1
x1
x2
, t.j., A =
0 1
12 −1
a b = 0.
2.
A =


3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3

 .
3.
A =
−7 9
−1 −1
.
4.
A =


1 −1 −1
1 −1 0
1 0 −1

 , x1(0) = −2, x2(0) = 4, x3(0) = 2.
5.
A =
1 −5
2 −1
.
6.
A =
0 1
1 0
, b =
2et
t2 .
7.
A =
−1 1
1 −1
, b =
et
et , x1(0) = 1 = x2(0).
Aplikačné príklady na diferenciálne rovnice
a) Uvažujme N(t) ako populáciu rádioaktívnych atómov izotopu uhlíka
C14
. Nech je na začiatku (v čase t0 = 0) množstvo rádioaktívneho
izotopu uhlíka N0. Stanovte čas t, za ktorý sa pôvodné množstvo C14
rozpadne na štvrtinu svojej pôvodnej hmotnosti, ak vieme, že polčas
rozpadu pre C14
je T ≈ 5650 rokov.
HINT: Použite rovnaký algoritmus ako pri výpočte Ra − 226 (na cvi-
čeniach)!
b) Výmenou tepla medzi telesom a okolím sa povrchová teplota telesa
mení rýchlosťou, ktorá je priamo úmerná rozdielu teploty telesa a okolitého
prostredia (Newtonov tepelný zákon). Odvoďte závislosť teploty
θ(t) telesa na čase t, ak poznáte začiatočná teplotu telesa θ(0) = θ0 a
ak viete, že
θ (t) = −k [θ(t) − T] ,
kde T je teplota okolitého prostredia a k je konštanta úmernosti.
Riešenie:
Pomocou integračného faktora exp(kt) dostaneme partikulárne riešenie
tvaru
θ(t) = T + (θ0 − T) exp[−kt].
c) V elektrickom obvode so striedavým prúdom pri vhodne použitých jednotkách
kapacity kondenzátora, ohmického odporu indukčnej cievky a
samoindukčnosti spĺňa elektrický prúd x(t) ako funkcia času t diferenciálnou
rovnicou
d2
x
dt2
+ 4
dx
dt
+ 3x = sin t.
Nájdite všeobecné riešenie tejto nehomogénnej diferenciálnej rovnice!
Pozn. V špeciálnom prípade budú konštanty c1, c2 určené začiatočnými
podmienkami, napríklad ak vieme hodnotu elektrického prúdu v čase
t0 a to, ako sa mení. Všimnime si, že obe riešenia fundamentálneho
systému tejto rovnice konvergujú pre rastúci čas t k nule a to pomerne
rýchlo, t.j.,
c1e−t
& c2e−3t
−→ 0 pre t → ∞.
Takže pre akékoľvek hodnoty začiatočných podmienok sa priebeh elektrického
prúdu ustáli (pre t → ∞ ) na tvare 1
10
[sin t − 2 cos t].
Mgr. Peter Šepitka
Mgr. Milan Bačík