MA002 Matematická analýza
Skúšková písomka – x termín xx. xx. xxx
Meno, priezvisko: ........................................... UČO: ..........
T1–T5 P1 P2 P3 P4 P5 ΣT ΣP Z ΣΣ
TEORETICKÁ ČASŤ
Za každú správnu odpoveď je možné získať 2 body.
T1 (ÁNO/NIE) Nech n je pevné prirodzené číslo a nech A ∈ Rn×n
je
matica. Potom funkcia Y (t) = eAt
je jediné riešenie začiatočnej úlohy
Y ′
= AY, Y (0) = I
na intervale (−∞, ∞), kde I je jednotková matica rádu n.
T2 (ÁNO/NIE) Každá uzavretá krivka sa nazýva Jordanova krivka.
T3 (ÁNO/NIE) Nech φ : [a, b] → R2
je po častiach hladká orientovaná
krivka a nech f : ⟨φ⟩ → R je ohraničená funkcia. Nech existuje krivkový
integrál I. druhu
∫
φ
f(x) ds. Potom platí
∫
φ
f(x) ds =
∫ b
a
f(φ(t)) dt.
T4 (ÁNO/NIE) Komplexná funkcia f(z) = log z je holomorfná na množine
C \ (−∞, 0].
T5 (ÁNO/NIE) Nech G ⊆ C je otvorená množina a f je komplexná
funkcia definovaná na G. Funkcia F : G → C sa nazýva primitívna k
funkcii f, ak platí
F(z) = f′
(z) pre každé z ∈ G.
1
PRAKTICKÁ ČASŤ
P1 (15 bodov) Nájdite všeobecné riešenie systému diferenciálnych rovníc
x′
= x − y, y′
= x − z, z′
= x.
P2 (12 bodov) Stanovte krivkový integrál
φ
[
(x + y) dx − (x − y) dy
x2 + y2
]
,
kde φ je záporne orientovaná kružnica s rovnicou x2
+ y2
= 4.
P3 (15 bodov) Určte holomorfnú funkciu f spĺňajúcu
Re f(z) = Re f(x + iy) = x2
− y2
+ xy, f(0) = 0.
Získaný výraz pre f(x+iy) vyjadrite iba pomocou komplexnej premennej
z = x + iy!
P4 (8 bodov) Vypočítajte komplexný integrál
∫
φ
sin z
z + i
dz
pozdĺž kladne orientovanej uzavretej cesty φ s vyjadrením |z + i| = 1.
Hodnotu integrálu (ako komplexné číslo) upravte na algebraický tvar!
P5 (10 bodov) Nájdite Laurentov rozvoj funkcie g(z) = z cos (1/z) v okolí
bodu 0 a stanovte jeho maximálne medzikružie konvergencie. Pomocou
týchto výsledkov potom určte hodnotu komplexného integrálu
∫
φ
z cos
(
1
z
)
dz,
kde φ je kladne orientovaná kružnica s vyjadrením |z| = 2.
2