Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Peter Šepitka podzim 2015 Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Základné pojmy Nech F : M ⊆ R3 → R je daná funkcia. Rovnica F(x, y, y ) = 0, kde := d dx , (1) sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu. Riešenie (integrál) rovnice (1) je každá funkcia y = ϕ(x), ktorá má deriváciu na intervale I ⊆ R a pre ∀x ∈ I platí [x, ϕ(x), ϕ (x)] ⊆ M a F(x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0. Graf funkcie y = ϕ(x), t.j., množina {[x, y] ⊆ R2 | x ∈ I, y = ϕ(x)}, sa nazýva integrálna krivka rovnice (1). V prípade, ak je možné upraviť rovnicu (1) na tvar y = f(x, y), (2) kde f : D ⊆ R2 → R je funkcia, rovnica (2) sa nazýva ODR I. rádu rozriešená vzhľadom na deriváciu. Rovnica (1) sa nazýva nerozriešená vzhľadom na deriváciu. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Začiatočná (Cauchyho) úloha (problém) – hľadáme riešenie y = ϕ(x) rovnice (2), ktorého integrálna krivka prechádza pevne zvoleným bodom [x0, y0] ∈ D, t.j., y = f(x, y), y(x0) = y0. (3) Riešenie úlohy (3) sa nazýva partikulárne riešenie rovnice (2). Všeobecné riešenie rovnice (2) – funkcia y = ϕ(x, C) závislá na jednom reálnom parametri C, pomocou ktorej možno vhodnou voľbou C získať riešenie každej úlohy (3) (t.j., pre každú voľbu [x0, y0] ∈ D). Úplné (maximálne) riešenie – problém predlžovania riešení úlohy (3). Singulárne riešenie – porušená jednoznačnosť úlohy (3) v každom bode integrálnej krivky. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Príklad 1 y = y x . Funkcia y = Cx je všeobecné riešenie uvedenej rovnice na intervaloch (−∞, 0) a (0, ∞). Každá začiatočná úloha y = y x , y(x0) = y0 totiž spĺňa x0 = 0 a funkcia y = C0x pre C0 = y0/x0 je jej riešením na (−∞, 0) a (0, ∞). Zároveň je to jediné a úplné riešenie tejto začiatočnej úlohy na intervaloch (−∞, 0) a (0, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Príklad 2 y = −y2 . Funkcia y = (x + C)−1 je pre každé C ∈ R jediným a úplným riešením uvedenej rovnice na intervaloch (−∞, −C) a (−C, ∞), avšak nie je to všeobecné riešenie tejto rovnice, pretože nevyčerpáva napr. riešenie začiatočnej úlohy y = −y2 , y(1) = 0. Táto začiatočná úloha má jediné a úplné riešenie y = 0 na celej reálnej osi. Príklad 3 y = 3y 2 3 , y(0) = 0. Funkcie y = 0 a y = x3 sú dve rôzne úplné riešenia tejto začiatočnej úlohy. Riešenie y = 0 je zároveň singulárnym riešením danej rovnice. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Veta 1 (Existencia a jednoznačnosť riešení) Nech D ⊆ R2 je oblasť a [x0, y0] ∈ D je daný bod. Uvažujme začiatočnú úlohu y = f(x, y), y(x0) = y0. (4) kde funkcia f je definovaná na D. Platí: 1 Ak f je spojitá na D, potom existuje interval I a funkcia ϕ tak, že y = ϕ(x) je riešenie úlohy (4) na I. 2 Ak naviac i ∂f/∂y je spojitá na D, potom pre každé riešenie y = ψ(x) úlohy (4) definované na intervale J platí ψ(x) = ϕ(x) pre ∀x ∈ J ∩ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Niektoré špeciálne typy ODR I. rádu ODR so separovateľnými premennými y = g(x) h(y). (5) Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu y = p(x) y + q(x). (6) Bernoulliho diferenciálna rovnica y = p(x) y + q(x) yk , k ∈ R \ {0, 1}. (7) Exaktná diferenciálna rovnica M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, ∂M ∂y = ∂N ∂x . (8) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Definícia a základné pojmy Nech n ∈ N. Súbor rovníc x1 = a11(t) x1 + a12(t) x2 + · · · + a1n(t) xn + b1(t), x2 = a21(t) x1 + a22(t) x2 + · · · + a2n(t) xn + b2(t), ... (9) xn = an1(t) x1 + an2(t) x2 + · · · + ann(t) xn + bn(t), kde aij a bi, i, j = 1, · · · , n sú reálne funkcie definované a spojité na reálnom intervale I (pripúšťame aj I = (−∞, ∞)) a znak znamená d/dt, sa nazýva systém lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu. Ak bi ≡ 0 na I pre každé i = 1, · · · , n, systém (9) sa nazýva homogénny. V opačnom prípade, t.j., bi ≡ 0 pre aspoň jedno i = 1, · · · , n, hovoríme o nehomogénnom systéme. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Zavedením označenia A(t) :=    a11(t) · · · a1n(t) ... ... ... an1(t) · · · ann(t)    , b(t) :=    b1(t) ... bn(t)    , x :=    x1 ... xn    (10) môžeme systém (9) prepísať do tzv. vektorového tvaru x = A(t) x + b(t). (11) Zobrazenia t → A(t), t → b(t) a t → x(t) sa nazývajú maticová (rádu n) a vektorové (n-vektorové) funkcie na intervale I. Platia pre ne všetky známe vlastnosti matíc a vektorov. Limity, spojitosť, derivovanie a integrovanie sa realizujú vždy po jednotlivých maticových prvkoch, resp. vektorových zložkách. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Systém (11) sa nazýva homogénny, ak b(t) ≡ 0 na I. V opačnom prípade je systém (11) nehomogénny a rovnica x = A(t) x sa nazýva pridružený homogénny systém k nehomogénnemu systému (11). Riešením systému (11) rozumieme každú n-vektorovú funkciu ϕ(t) = (ϕ1(t), · · · , ϕn(t))T definovanú a diferencovateľnú na J ⊆ I, ktorá spĺňa rovnicu (11) na J , t.j., ϕ (t) = A(t) ϕ(t) + b(t), ∀t ∈ J . Začiatočná (Cauchyho) úloha x = A(t) x + b(t), x(t0) = η, (12) kde t0 ∈ I je pevný bod a η ∈ Rn je pevný vektor. Riešenie úlohy (12) sa nazýva aj partikulárne riešenie. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Existencia a jednoznačnosť riešení Lema 1 Nech maticová funkcia A a vektorová funkcia b sú definované a spojité na intervale I. Potom funkcia ϕ je riešenie začiatočnej úlohy (12) na celom I práve vtedy keď ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds pre každé t ∈ I. (13) Poznámka 1 Lema 1 vyjadruje ekvivalenciu medzi úlohou (12) a integrálnou rovnicou (13). Stačí sa preto obmedziť na vyšetrovanie rovnice (13). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Dôkaz Lemy 1. Nech t ∈ I. Ak ϕ je riešenie úlohy (12), t.j. platí ϕ (s) = A(s) ϕ(s) + b(s) na I, (14) potom integráciou oboch strán rovnice (14) od t0 po t a využitím začiatočnej podmienky ϕ(t0) = η získame integrálnu rovnicu (13), nakoľko t t0 ϕ (s) ds = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, ϕ(t) − ϕ(t0) = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds. Naopak, nech ϕ je riešenie rovnice (13). Potom ϕ(t0) = η a funkcia ϕ je diferencovateľná na I. Derivovaním oboch strán rovnice (13) podľa t dostaneme ϕ (t) = A(t) ϕ(t) + b(t) pre každé t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Veta 2 (Existencia a globálna jednoznačnosť riešení) Nech maticová funkcia A a vektorová funkcia b sú definované a spojité na intervale I. Potom úloha (12), t.j., začiatočná úloha x = A(t) x + b(t), x(t0) = η má pre každé t0 ∈ I a η ∈ Rn práve jedno úplné riešenie, t.j., riešenie, ktoré existuje na celom I. Toto riešenie možno vyjadriť ako limitu tzv. Picardovej postupnosti postupných aproximácií {ϕk}∞ k=0, kde pre každé t ∈ I platí ϕ0(t) ≡ 0, ϕk+1(t) = η + t t0 [A(s) ϕk(s) + b(s)] ds, k ∈ N0. (15) Poznámka 2 Tvrdenie Vety 2 zostane v platnosti, ak za začiatočnú Picardovu aproximáciu ϕ0 zoberieme ľubovoľnú funkciu definovanú a spojitú na I. Limitná funkcia postupnosti {ϕk}∞ k=0 nezávisí na výbere funkcie ϕ0. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Dôkaz Vety 2 (náčrt). 1 Existencia Funkcie ϕk sú definované na celom I pre každé k ∈ N0. Ukážeme, že postupnosť {ϕk}∞ k=0 konverguje lokálne rovnomerne (skoro rovnomerne) na intervale I. To zaručuje existenciu funkcie ϕ, ktorá je definovaná na celom I a spĺňa lim k→∞ ϕk(t) = ϕ(t) (16) lim k→∞ t t0 [A(s) ϕk(s) + b(s)] ds = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds (17) pre každé t ∈ I. Z rovností (16) a (17) vyplýva, že ϕ rieši integrálnu rovnicu (13) na celom I. Podľa Lemy 1 je potom funkcia ϕ riešením začiatočnej úlohy (12) na celom I. 2 Jednoznačnosť Jednoznačnosť riešenia začiatočnej úlohy (12) na intervale I vyplýva z Gronwallovej lemy. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Príklad 4 Začiatočná úloha x1 = − x2 t + 9t, x2 = − x1 t − 3t, x1(1) = 1, x2(1) = 2 má na intervale (0, ∞) jediné úplné riešenie, pretože funkcie A(t) = 0 −1 t −1 t 0 , b(t) = 9t −3t sú definované a spojité na celom intervale (0, ∞) a bod t0 = 1 ∈ (0, ∞). Dá sa ukázať, že hľadaným riešením je dvojica x1(t) = 7t2 − 13 2 t + 1 2t , x2(t) = −5t2 + 13 2 t + 1 2t , t ∈ (0, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Poznámka 3 Picardova metóda postupných aproximácií umožňuje podľa Vety 2 hľadať riešenie ϕ začiatočnej úlohy (12) ako limitu postupnosti {ϕk}∞ k=0. Ak zavedieme funkcie ∆k pre k ∈ N0 predpisom ∆k(t) := ϕk+1(t) − ϕk(t), t ∈ I, potom je možné riešenie ϕ vyjadriť v tvare nekonečného radu ϕ(t) = ∞ k=0 ∆k(t), t ∈ I. (18) Nekonečný funkcionálny rad (18) konverguje lokálne rovnomerne na intervale I. Podľa Vety 2 funkcie ∆k spĺňajú pre každé t ∈ I ∆0(t) = η + t t0 b(s) ds, ∆k+1(t) = t t0 A(s) ∆k(s) ds, k ∈ N0. (19) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Príklad 5 Uvažujme homogénnu začiatočnú úlohu x = Ax, x(0) = (0, 1)T na intervale I = (−∞, ∞), kde A je reálna konštantná matica A = 0 1 −1 0 . Podľa Poznámky 3 s b(t) ≡ 0 na I, t0 = 0 a η = (0, 1)T pre funkcie ∆k platí ∆0(t) ≡ 0 1 , ∆k+1(t) = A t 0 ∆k(s) ds, k ∈ N0, t ∈ I. Pomocou matematickej indukcie vzhľadom na index k možno ukázať ∆k(t) = tk k! Ak η, k ∈ N0, t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Príklad 5 Postupnosť matíc {Ak }∞ k=0 je periodická s najmenšou periódou 4, nakoľko A0 = I, A1 = A, A2 = −1 0 0 −1 = −I, A3 = 0 −1 1 0 = −A. Preto pre každé l ∈ N0 platí A4l = I, A4l+1 = A, A4l+2 = −I, A4l+3 = −A. Riešenie ϕ začiatočnej úlohy potom bude mať podľa (18) pre každé t ∈ I tvar ϕ(t) = ∞ m=0 (−1)m (2m)! t2m η + ∞ m=0 (−1)m (2m + 1)! t2m+1 Aη = (cos t) 0 1 + (sin t) 0 1 −1 0 0 1 = sin t cos t . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Homogénny systém Nech n ∈ N. Uvažujme homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc y = A(t) y, (20) kde A je maticová funkcia rádu n definovaná a spojitá na intervale I. Ak y1 a y2 sú dve (úplné) riešenia systému (20) a c1, c2 sú ľubovoľné reálne konštanty, potom aj funkcia y = c1y1 + c2y2 je (úplným) riešením rovnice (20), nakoľko y = (c1y1 + c2y2) = c1y1 + c2y2 = c1Ay1 + c2Ay2 = A(c1y1 + c2y2) = Ay na celom intervale I. Táto vlastnosť je kľúčová pri skúmaní štruktúry množiny všetkých riešení systému (20). Veta 3 (Štruktúra množiny riešení) Množina všetkých riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny (vektorový) priestor nad telesom reálnych čísiel. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií I Definícia 1 Nech k ∈ N a nech y1, y2, . . . , yk sú funkcie definované na nedegenerovanom intervale I. Povieme, že funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I, ak existuje nenulová k-tica reálnych konštánt (c1, c2, . . . , ck) tak, že platí c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = 0 pre každé t ∈ I. V opačnom prípade sa funkcie y1, y2, . . . , yk nazývajú lineárne nezávislé na I. Príklad 6 Ukážeme, že 2−vektoré funkcie y1(t) = (t, t)T , y2(t) = (t2 , t)T , y3(t) = (t3 , t)T sú lineárne nezávislé na každom nedegenerovanom reálnom intervale. Nech I je takýto interval a nech c1, c2, c3 ∈ R spĺňajú c1y1 + c2y2 + c3y3 ≡ 0 na I, t.j., ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií II Príklad 6 c1 t t + c2 t2 t + c3 t3 t = 0 pre každé t ∈ I. Trojnásobným derivovaním poslednej rovnosti podľa premennej t dostaneme c3 6 0 = 0 =⇒ c3 = 0. Podobne, dvojnásobné derivovanie uvedenej rovnosti spolu s c3 = 0 implikuje c2 2 0 = 0 =⇒ c2 = 0. Teda c1(t, t)T = 0 na I, z čoho máme i c1 = 0. Preto sú funkcie y1, y2 a y3 lineárne nezávislé na intervale I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Lineárna závislosť a nezávislosť riešení V prípade riešení systému (20) sa vyšetrovanie lineárnej závislosti, resp. nezávislosti prevádza na problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti n-rozmerných reálnych vektorov. Veta 4 (Lineárna závislosť riešení) Nech k ∈ N a nech y1, y2, . . . , yk sú úplné riešenia systému (20). Potom funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I práve vtedy, keď aspoň pre jedno t0 ∈ I sú vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn lineárne závislé. Dôkaz. Implikácia ⇒ platí triviálne podľa Definície 1. Naopak, nech pre t0 ∈ I sú vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) lineárne závislé. Teda existuje nenulová k-tica (c1, c2, . . . , ck) tak, že c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + ckyk(t0) = 0. Funkcia y := c1y1 + c2y2 + · · · + ckyk je riešením rovnice (20) a y(t0) = 0. Z jednoznačnosti riešení podľa Vety 2 máme y(t) ≡ 0 na celom I, čo následne znamená, že funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Dôsledok 1 (Dimenzia priestoru riešení) Množina riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny priestor dimenzie n. Dôkaz. Z Vety 4 vieme, že dimenzia priestoru riešení je najviac n, pretože priestor Rn je n-dimenzionálny. Na druhej strane, táto dimenzia je aspoň n. Vyplýva to z nasledujúcej úvahy. Nech {e1, . . . , en} je kanonická báza priestoru Rn a nech t0 ∈ I. Podľa Vety 2 existujú úplné riešenia y1, y2, . . . , yn systému (20) s yi(t0) = ei, i = 1, · · · , n. Nakoľko vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0) sú lineárne nezávislé, podľa Vety 4 riešenia y1, y2, . . . , yn sú lineárne nezávislé na I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Fundamentálny systém riešení Definícia 2 (Fundamentálny systém riešení) Ľubovoľná báza priestoru všetkých riešení rovnice (20) sa nazýva fundamentálny systém riešení rovnice (20). Ak y1, y2, . . . , yn je nejaký fundamentálny systém riešení rovnice (20), potom pre každé riešenie y sa dá vyjadriť v tvare y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn na I, (21) pre vhodné konštanty c1, c2, . . . , cn ∈ R. Naopak, každá lineárna kombinácia riešení y1, y2, . . . , yn je zrejme opäť riešením systému (20). Riešenie (21) sa preto nazýva všeobecné riešenie rovnice (20). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Príklad 7 Uvažujme systém y = 0 −1 t −1 t 0 y na intervale I = (0, ∞). Dosadením sa ľahko ukáže, že 2-vektorové funkcie y1(t) = (t, −t)T , y2(t) = 1 t , 1 t T sú úplné riešenia tohto systému. Naviac, funkcie y1 a y2 sú lineárne nezávislé, pretože napr. vektory y1(1) = (1, −1)T a y2(1) = (1, 1)T sú lineárne nezávislé. Preto y1 a y2 tvoria fundamentálny systém riešení danej rovnice a jej všeobecné riešenie má pre každé t ∈ I tvar y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) =    c1t + c2 t −c1t + c2 t    , c1, c2 ∈ R. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Spolu s vektorovou rovnicou (20) sa súčasne uvažuje aj maticová rovnica Y = A(t)Y, t ∈ I, (22) kde nezáma Y je maticová funkcia rádu n. Ak Y je maticové riešenie rovnice (22) na I a C ∈ Rn×n je konštantná matica, potom funkcia Y C je riešením rovnice (22) na I, nakoľko platí (Y C) = Y C = AY C = A(Y C) na I. Podobne, pre každý konštantný vektor η ∈ Rn je funkcia Y η riešením rovnice (20). Obzvlášť, každý stĺpec matice Y je riešením systému (20). Maticové riešenie Y sa nazýva fundamentálne riešenie systému (22) (resp. fundamentálna matica systému (20)), ak stĺpce matice Y tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (20), t.j., sú lineárne nezávislé na intervale I. Preto riešenie Y rovnice (22) je fundamentálne riešenie práve vtedy, keď det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Veta 5 (Liouvilleov-Jacobiho vzorec) Nech Y je maticové riešenie rovnice (22) na intervale I a nech t0 ∈ I. Označme A(t) = (aij(t)). Potom pre každé t ∈ I platí det Y (t) = det Y (t0) exp t t0 Tr A(s) ds , (23) kde Tr A(s) = a11(s) + a22(s) + · · · + ann(s) je stopa matice A(s). Dôkaz (náčrt). Využitím definície determinantu štvorcovej matice sa dá ukázať, že funkcia z = det Y vyhovuje na intervale I homogénnej LDR prvého rádu z = Tr A(t) z. Riešením tejto rovnice dostaneme pre funkciu z vyjadrenie v tvrdení, t.j., z(t) = z(t0) exp t t0 Tr A(s) ds , t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Poznámka 4 Z Liouvilleovho-Jacobiho vzorca vyplýva, že pre každé maticové riešenie rovnice (22) platí buď det Y (t) = 0 alebo det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I. Preto Y je fundamentálnym riešením práve vtedy, keď det Y (t0) = 0 aspoň pre jedno t0 ∈ I. Okrem toho funkcia y = Y c, c ∈ Rn (24) je pre každú fundamentálnu maticu Y všeobecným riešením systému (20) na intervale I. Poznamenajme, že fundamentálna matica systému (20) je určená jednoznačne až na konštantný regulárny násobok sprava. Konkrétne, ak Y je nejaká fundamentálna matica (20) na I, potom maticová funkcia Z je tiež fundamentálnou maticou systému práve vtedy, keď na I platí Z = Y C, pre nejakú konštantnú štvorcovú maticu C s det C = 0. (25)