Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Peter Šepitka podzim 2015 Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Základné pojmy Nech F : M ⊆ R3 → R je daná funkcia. Rovnica F(x, y, y ) = 0, kde := d dx , (1) sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu. Riešenie (integrál) rovnice (1) je každá funkcia y = ϕ(x), ktorá má deriváciu na intervale I ⊆ R a pre ∀x ∈ I platí [x, ϕ(x), ϕ (x)] ⊆ M a F(x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0. Graf funkcie y = ϕ(x), t.j., množina {[x, y] ⊆ R2 | x ∈ I, y = ϕ(x)}, sa nazýva integrálna krivka rovnice (1). V prípade, ak je možné upraviť rovnicu (1) na tvar y = f(x, y), (2) kde f : D ⊆ R2 → R je funkcia, rovnica (2) sa nazýva ODR I. rádu rozriešená vzhľadom na deriváciu. Rovnica (1) sa nazýva nerozriešená vzhľadom na deriváciu. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Začiatočná (Cauchyho) úloha (problém) – hľadáme riešenie y = ϕ(x) rovnice (2), ktorého integrálna krivka prechádza pevne zvoleným bodom [x0, y0] ∈ D, t.j., y = f(x, y), y(x0) = y0. (3) Riešenie úlohy (3) sa nazýva partikulárne riešenie rovnice (2). Všeobecné riešenie rovnice (2) – funkcia y = ϕ(x, C) závislá na jednom reálnom parametri C, pomocou ktorej možno vhodnou voľbou C získať riešenie každej úlohy (3) (t.j., pre každú voľbu [x0, y0] ∈ D). Úplné (maximálne) riešenie – problém predlžovania riešení úlohy (3). Singulárne riešenie – porušená jednoznačnosť úlohy (3) v každom bode integrálnej krivky. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 1 y = y x . Funkcia y = Cx je všeobecné riešenie uvedenej rovnice na intervaloch (−∞, 0) a (0, ∞). Každá začiatočná úloha y = y x , y(x0) = y0 totiž spĺňa x0 = 0 a funkcia y = C0x pre C0 = y0/x0 je jej riešením na (−∞, 0) a (0, ∞). Zároveň je to jediné a úplné riešenie tejto začiatočnej úlohy na intervaloch (−∞, 0) a (0, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 2 y = −y2 . Funkcia y = (x + C)−1 je pre každé C ∈ R jediným a úplným riešením uvedenej rovnice na intervaloch (−∞, −C) a (−C, ∞), avšak nie je to všeobecné riešenie tejto rovnice, pretože nevyčerpáva napr. riešenie začiatočnej úlohy y = −y2 , y(1) = 0. Táto začiatočná úloha má jediné a úplné riešenie y = 0 na celej reálnej osi. Príklad 3 y = 3y 2 3 , y(0) = 0. Funkcie y = 0 a y = x3 sú dve rôzne úplné riešenia tejto začiatočnej úlohy. Riešenie y = 0 je zároveň singulárnym riešením danej rovnice. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Veta 1 (Existencia a jednoznačnosť riešení) Nech D ⊆ R2 je oblasť a [x0, y0] ∈ D je daný bod. Uvažujme začiatočnú úlohu y = f(x, y), y(x0) = y0. (4) kde funkcia f je definovaná na D. Platí: 1 Ak f je spojitá na D, potom existuje interval I a funkcia ϕ tak, že y = ϕ(x) je riešenie úlohy (4) na I. 2 Ak naviac i ∂f/∂y je spojitá na D, potom pre každé riešenie y = ψ(x) úlohy (4) definované na intervale J platí ψ(x) = ϕ(x) pre ∀x ∈ J ∩ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Niektoré špeciálne typy ODR I. rádu ODR so separovateľnými premennými y = g(x) h(y). (5) Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu y = p(x) y + q(x). (6) Bernoulliho diferenciálna rovnica y = p(x) y + q(x) yk , k ∈ R \ {0, 1}. (7) Exaktná diferenciálna rovnica M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, ∂M ∂y = ∂N ∂x . (8) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Definícia a základné pojmy Nech n ∈ N. Súbor rovníc x1 = a11(t) x1 + a12(t) x2 + · · · + a1n(t) xn + b1(t), x2 = a21(t) x1 + a22(t) x2 + · · · + a2n(t) xn + b2(t), ... (9) xn = an1(t) x1 + an2(t) x2 + · · · + ann(t) xn + bn(t), kde aij a bi, i, j = 1, · · · , n sú reálne funkcie definované a spojité na reálnom intervale I (pripúšťame aj I = (−∞, ∞)) a znak znamená d/dt, sa nazýva systém lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu. Ak bi ≡ 0 na I pre každé i = 1, · · · , n, systém (9) sa nazýva homogénny. V opačnom prípade, t.j., bi ≡ 0 pre aspoň jedno i = 1, · · · , n, hovoríme o nehomogénnom systéme. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Zavedením označenia A(t) :=    a11(t) · · · a1n(t) ... ... ... an1(t) · · · ann(t)    , b(t) :=    b1(t) ... bn(t)    , x :=    x1 ... xn    (10) môžeme systém (9) prepísať do tzv. vektorového tvaru x = A(t) x + b(t). (11) Zobrazenia t → A(t), t → b(t) a t → x(t) sa nazývajú maticová (rádu n) a vektorové (n-vektorové) funkcie na intervale I. Platia pre ne všetky známe vlastnosti matíc a vektorov. Limity, spojitosť, derivovanie a integrovanie sa realizujú vždy po jednotlivých maticových prvkoch, resp. vektorových zložkách. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Systém (11) sa nazýva homogénny, ak b(t) ≡ 0 na I. V opačnom prípade je systém (11) nehomogénny a rovnica x = A(t) x sa nazýva pridružený homogénny systém k nehomogénnemu systému (11). Riešením systému (11) rozumieme každú n-vektorovú funkciu ϕ(t) = (ϕ1(t), · · · , ϕn(t))T definovanú a diferencovateľnú na J ⊆ I, ktorá spĺňa rovnicu (11) na J , t.j., ϕ (t) = A(t) ϕ(t) + b(t), ∀t ∈ J . Začiatočná (Cauchyho) úloha x = A(t) x + b(t), x(t0) = η, (12) kde t0 ∈ I je pevný bod a η ∈ Rn je pevný vektor. Riešenie úlohy (12) sa nazýva aj partikulárne riešenie. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Existencia a jednoznačnosť riešení Lema 1 Nech maticová funkcia A a vektorová funkcia b sú definované a spojité na intervale I. Potom funkcia ϕ je riešenie začiatočnej úlohy (12) na celom I práve vtedy keď ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds pre každé t ∈ I. (13) Poznámka 1 Lema 1 vyjadruje ekvivalenciu medzi úlohou (12) a integrálnou rovnicou (13). Stačí sa preto obmedziť na vyšetrovanie rovnice (13). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Dôkaz Lemy 1. Nech t ∈ I. Ak ϕ je riešenie úlohy (12), t.j. platí ϕ (s) = A(s) ϕ(s) + b(s) na I, (14) potom integráciou oboch strán rovnice (14) od t0 po t a využitím začiatočnej podmienky ϕ(t0) = η získame integrálnu rovnicu (13), nakoľko t t0 ϕ (s) ds = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, ϕ(t) − ϕ(t0) = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds. Naopak, nech ϕ je riešenie rovnice (13). Potom ϕ(t0) = η a funkcia ϕ je diferencovateľná na I. Derivovaním oboch strán rovnice (13) podľa t dostaneme ϕ (t) = A(t) ϕ(t) + b(t) pre každé t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Veta 2 (Existencia a globálna jednoznačnosť riešení) Nech maticová funkcia A a vektorová funkcia b sú definované a spojité na intervale I. Potom úloha (12), t.j., začiatočná úloha x = A(t) x + b(t), x(t0) = η má pre každé t0 ∈ I a η ∈ Rn práve jedno úplné riešenie, t.j., riešenie, ktoré existuje na celom I. Toto riešenie možno vyjadriť ako limitu tzv. Picardovej postupnosti postupných aproximácií {ϕk}∞ k=0, kde pre každé t ∈ I platí ϕ0(t) ≡ 0, ϕk+1(t) = η + t t0 [A(s) ϕk(s) + b(s)] ds, k ∈ N0. (15) Poznámka 2 Tvrdenie Vety 2 zostane v platnosti, ak za začiatočnú Picardovu aproximáciu ϕ0 zoberieme ľubovoľnú funkciu definovanú a spojitú na I. Limitná funkcia postupnosti {ϕk}∞ k=0 nezávisí na výbere funkcie ϕ0. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Dôkaz Vety 2 (náčrt). 1 Existencia Funkcie ϕk sú definované na celom I pre každé k ∈ N0. Ukážeme, že postupnosť {ϕk}∞ k=0 konverguje lokálne rovnomerne (skoro rovnomerne) na intervale I. To zaručuje existenciu funkcie ϕ, ktorá je definovaná na celom I a spĺňa lim k→∞ ϕk(t) = ϕ(t) (16) lim k→∞ t t0 [A(s) ϕk(s) + b(s)] ds = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds (17) pre každé t ∈ I. Z rovností (16) a (17) vyplýva, že ϕ rieši integrálnu rovnicu (13) na celom I. Podľa Lemy 1 je potom funkcia ϕ riešením začiatočnej úlohy (12) na celom I. 2 Jednoznačnosť Jednoznačnosť riešenia začiatočnej úlohy (12) na intervale I vyplýva z Gronwallovej lemy. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 4 Začiatočná úloha x1 = − x2 t + 9t, x2 = − x1 t − 3t, x1(1) = 1, x2(1) = 2 má na intervale (0, ∞) jediné úplné riešenie, pretože funkcie A(t) = 0 −1 t −1 t 0 , b(t) = 9t −3t sú definované a spojité na celom intervale (0, ∞) a bod t0 = 1 ∈ (0, ∞). Dá sa ukázať, že hľadaným riešením je dvojica x1(t) = 7t2 − 13 2 t + 1 2t , x2(t) = −5t2 + 13 2 t + 1 2t , t ∈ (0, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Poznámka 3 Picardova metóda postupných aproximácií umožňuje podľa Vety 2 hľadať riešenie ϕ začiatočnej úlohy (12) ako limitu postupnosti {ϕk}∞ k=0. Ak zavedieme funkcie ∆k pre k ∈ N0 predpisom ∆k(t) := ϕk+1(t) − ϕk(t), t ∈ I, potom je možné riešenie ϕ vyjadriť v tvare nekonečného radu ϕ(t) = ∞ k=0 ∆k(t), t ∈ I. (18) Nekonečný funkcionálny rad (18) konverguje lokálne rovnomerne na intervale I. Podľa Vety 2 funkcie ∆k spĺňajú pre každé t ∈ I ∆0(t) = η + t t0 b(s) ds, ∆k+1(t) = t t0 A(s) ∆k(s) ds, k ∈ N0. (19) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 5 Uvažujme homogénnu začiatočnú úlohu x = Ax, x(0) = (0, 1)T na intervale I = (−∞, ∞), kde A je reálna konštantná matica A = 0 1 −1 0 . Podľa Poznámky 3 s b(t) ≡ 0 na I, t0 = 0 a η = (0, 1)T pre funkcie ∆k platí ∆0(t) ≡ 0 1 , ∆k+1(t) = A t 0 ∆k(s) ds, k ∈ N0, t ∈ I. Pomocou matematickej indukcie vzhľadom na index k možno ukázať ∆k(t) = tk k! Ak η, k ∈ N0, t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 5 Postupnosť matíc {Ak }∞ k=0 je periodická s najmenšou periódou 4, nakoľko A0 = I, A1 = A, A2 = −1 0 0 −1 = −I, A3 = 0 −1 1 0 = −A. Preto pre každé l ∈ N0 platí A4l = I, A4l+1 = A, A4l+2 = −I, A4l+3 = −A. Riešenie ϕ začiatočnej úlohy potom bude mať podľa (18) pre každé t ∈ I tvar ϕ(t) = ∞ m=0 (−1)m (2m)! t2m η + ∞ m=0 (−1)m (2m + 1)! t2m+1 Aη = (cos t) 0 1 + (sin t) 0 1 −1 0 0 1 = sin t cos t . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Homogénny systém Nech n ∈ N. Uvažujme homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc y = A(t) y, (20) kde A je maticová funkcia rádu n definovaná a spojitá na intervale I. Ak y1 a y2 sú dve (úplné) riešenia systému (20) a c1, c2 sú ľubovoľné reálne konštanty, potom aj funkcia y = c1y1 + c2y2 je (úplným) riešením rovnice (20), nakoľko y = (c1y1 + c2y2) = c1y1 + c2y2 = c1Ay1 + c2Ay2 = A(c1y1 + c2y2) = Ay na celom intervale I. Táto vlastnosť je kľúčová pri skúmaní štruktúry množiny všetkých riešení systému (20). Veta 3 (Štruktúra množiny riešení) Množina všetkých riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny (vektorový) priestor nad telesom reálnych čísiel. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií I Definícia 1 Nech k ∈ N a nech y1, y2, . . . , yk sú funkcie definované na nedegenerovanom intervale I. Povieme, že funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I, ak existuje nenulová k-tica reálnych konštánt (c1, c2, . . . , ck) tak, že platí c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = 0 pre každé t ∈ I. V opačnom prípade sa funkcie y1, y2, . . . , yk nazývajú lineárne nezávislé na I. Príklad 6 Ukážeme, že 2−vektoré funkcie y1(t) = (t, t)T , y2(t) = (t2 , t)T , y3(t) = (t3 , t)T sú lineárne nezávislé na každom nedegenerovanom reálnom intervale. Nech I je takýto interval a nech c1, c2, c3 ∈ R spĺňajú c1y1 + c2y2 + c3y3 ≡ 0 na I, t.j., ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií II Príklad 6 c1 t t + c2 t2 t + c3 t3 t = 0 pre každé t ∈ I. Trojnásobným derivovaním poslednej rovnosti podľa premennej t dostaneme c3 6 0 = 0 =⇒ c3 = 0. Podobne, dvojnásobné derivovanie uvedenej rovnosti spolu s c3 = 0 implikuje c2 2 0 = 0 =⇒ c2 = 0. Teda c1(t, t)T = 0 na I, z čoho máme i c1 = 0. Preto sú funkcie y1, y2 a y3 lineárne nezávislé na intervale I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Lineárna závislosť a nezávislosť riešení V prípade riešení systému (20) sa vyšetrovanie lineárnej závislosti, resp. nezávislosti prevádza na problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti n-rozmerných reálnych vektorov. Veta 4 (Lineárna závislosť riešení) Nech k ∈ N a nech y1, y2, . . . , yk sú úplné riešenia systému (20). Potom funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I práve vtedy, keď aspoň pre jedno t0 ∈ I sú vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn lineárne závislé. Dôkaz. Implikácia ⇒ platí triviálne podľa Definície 1. Naopak, nech pre t0 ∈ I sú vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) lineárne závislé. Teda existuje nenulová k-tica (c1, c2, . . . , ck) tak, že c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + ckyk(t0) = 0. Funkcia y := c1y1 + c2y2 + · · · + ckyk je riešením rovnice (20) a y(t0) = 0. Z jednoznačnosti riešení podľa Vety 2 máme y(t) ≡ 0 na celom I, čo následne znamená, že funkcie y1, y2, . . . , yk sú lineárne závislé na I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Dôsledok 1 (Dimenzia priestoru riešení) Množina riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny priestor dimenzie n. Dôkaz. Z Vety 4 vieme, že dimenzia priestoru riešení je najviac n, pretože priestor Rn je n-dimenzionálny. Na druhej strane, táto dimenzia je aspoň n. Vyplýva to z nasledujúcej úvahy. Nech {e1, . . . , en} je kanonická báza priestoru Rn a nech t0 ∈ I. Podľa Vety 2 existujú úplné riešenia y1, y2, . . . , yn systému (20) s yi(t0) = ei, i = 1, · · · , n. Nakoľko vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0) sú lineárne nezávislé, podľa Vety 4 riešenia y1, y2, . . . , yn sú lineárne nezávislé na I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Fundamentálny systém riešení Definícia 2 (Fundamentálny systém riešení) Ľubovoľná báza priestoru všetkých riešení rovnice (20) sa nazýva fundamentálny systém riešení rovnice (20). Ak y1, y2, . . . , yn je nejaký fundamentálny systém riešení rovnice (20), potom pre každé riešenie y sa dá vyjadriť v tvare y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn na I, (21) pre vhodné konštanty c1, c2, . . . , cn ∈ R. Naopak, každá lineárna kombinácia riešení y1, y2, . . . , yn je zrejme opäť riešením systému (20). Riešenie (21) sa preto nazýva všeobecné riešenie rovnice (20). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 7 Uvažujme systém y = 0 −1 t −1 t 0 y na intervale I = (0, ∞). Dosadením sa ľahko ukáže, že 2-vektorové funkcie y1(t) = (t, −t)T , y2(t) = 1 t , 1 t T sú úplné riešenia tohto systému. Naviac, funkcie y1 a y2 sú lineárne nezávislé, pretože napr. vektory y1(1) = (1, −1)T a y2(1) = (1, 1)T sú lineárne nezávislé. Preto y1 a y2 tvoria fundamentálny systém riešení danej rovnice a jej všeobecné riešenie má pre každé t ∈ I tvar y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) =    c1t + c2 t −c1t + c2 t    , c1, c2 ∈ R. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Spolu s vektorovou rovnicou (20) sa súčasne uvažuje aj maticová rovnica Y = A(t)Y, t ∈ I, (22) kde nezáma Y je maticová funkcia rádu n. Ak Y je maticové riešenie rovnice (22) na I a C ∈ Rn×n je konštantná matica, potom funkcia Y C je riešením rovnice (22) na I, nakoľko platí (Y C) = Y C = AY C = A(Y C) na I. Podobne, pre každý konštantný vektor η ∈ Rn je funkcia Y η riešením rovnice (20). Obzvlášť, každý stĺpec matice Y je riešením systému (20). Maticové riešenie Y sa nazýva fundamentálne riešenie systému (22) (resp. fundamentálna matica systému (20)), ak stĺpce matice Y tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (20), t.j., sú lineárne nezávislé na intervale I. Preto riešenie Y rovnice (22) je fundamentálne riešenie práve vtedy, keď det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Veta 5 (Liouvilleov-Jacobiho vzorec) Nech Y je maticové riešenie rovnice (22) na intervale I a nech t0 ∈ I. Označme A(t) = (aij(t)). Potom pre každé t ∈ I platí det Y (t) = det Y (t0) exp t t0 Tr A(s) ds , (23) kde Tr A(s) = a11(s) + a22(s) + · · · + ann(s) je stopa matice A(s). Dôkaz (náčrt). Využitím definície determinantu štvorcovej matice sa dá ukázať, že funkcia z = det Y vyhovuje na intervale I homogénnej LDR prvého rádu z = Tr A(t) z. Riešením tejto rovnice dostaneme pre funkciu z vyjadrenie v tvrdení, t.j., z(t) = z(t0) exp t t0 Tr A(s) ds , t ∈ I. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Poznámka 4 Z Liouvilleovho-Jacobiho vzorca vyplýva, že pre každé maticové riešenie rovnice (22) platí buď det Y (t) = 0 alebo det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I. Preto Y je fundamentálnym riešením práve vtedy, keď det Y (t0) = 0 aspoň pre jedno t0 ∈ I. Okrem toho funkcia y = Y c, c ∈ Rn (24) je pre každú fundamentálnu maticu Y všeobecným riešením systému (20) na intervale I. Poznamenajme, že fundamentálna matica systému (20) je určená jednoznačne až na konštantný regulárny násobok sprava. Konkrétne, ak Y je nejaká fundamentálna matica (20) na I, potom maticová funkcia Z je tiež fundamentálnou maticou systému práve vtedy, keď na I platí Z = Y C, pre nejakú konštantnú štvorcovú maticu C s det C = 0. (25) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Nehomogénny systém Budeme skúmať všeobecný, nehomogénny systém (11), t.j., x = A(t) x + b(t), kde A je maticová funkcia rádu n a b je n-vektorová funkcia, obe definované a spojité na intervale I. Veta 6 (Štruktúra riešení nehomogénneho systému) Nech Y je úplné fundamentálne riešenie rovnice Y = A(t) Y a nech x0 je nejaké riešenie nehomogénneho systému (11) na I. Potom vektorová funkcia x je úplné riešenie rovnice (11) práve vtedy, keď pre nejaké c ∈ Rn platí x(t) = Y (t) c + x0(t) pre každé t ∈ I. (26) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Dôkaz Vety 6. Dosadením do (11) sa ľahko overí, že pre každý konštantný n-vektor c je funkcia x v (26) riešením rovnice (11), pretože x = Y c + x0 = AY c + Ax0 + b = A(Y c + x0) + b = Ax + b na I. Naopak, nech x je úplné riešenie systému (11). Potom funkcia x − x0 spĺňa rovnicu (20), nakoľko (x − x0) = x − x0 = Ax + b − Ax0 − b = A(x − x0) na I. Podľa rovnosti (21) v Poznámke 4 preto existuje c ∈ Rn tak, že x − x0 = Y c na celom I. Teda riešenie x = Y c + x0 má tvar (26). Poznámka 5 Z Vety 6 vyplýva významné pozorovanie o všeobecnom riešení rovnice (11): všeobecné riešenie nehom. systému = všeobecné riešenie pridruž. hom. systému + partikulárne riešenie nehom. systému . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Metóda variácie konštánt Na nájdenie partikulárneho riešenia systému (11) sa využíva metóda variácie konštánt. Nech x je úplné riešenie začiatočnej úlohy (12) na intervale I, t.j., x = A(t) x + b(t), x(t0) = η, pre pevné t0 ∈ I a η ∈ Rn . Pre danú fundamentálnu maticu Y pridruženého homogénneho systému (20) uvažujme vektorovú funkciu c := Y −1 x. Zrejme c je definovaná a diferencovateľná na celom I a platí x(t) = Y (t) c(t), t ∈ I. Po dosadení tohto vyjadrenia riešenia x do systému (11) a úpravách dostaneme c (t) = Y −1 (t) b(t) =⇒ c(t) = c(t0) + t t0 Y −1 (s) b(s) ds, t ∈ I. Hodnotu c(t0) určíme pomocou začiatočnej podmienky x(t0) = η, konkrétne c(t0) = Y −1 (t0) η. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Veta 7 (Metóda variácie konštánt) Začiatočná úloha (12) má jediné úplné riešenie tvaru x(t) = Y (t) Y −1 (t0) η + Y (t) t t0 Y −1 (s) b(s) ds, pre každé t ∈ I, (27) kde Y je ľubovoľná fundamentálna matica homogénneho systému (20). Poznámka 6 Všimnime si, že vo vzorci (27) funkcia xH (t) := Y (t) Y −1 (t0) η je partikulárne riešenie homogénneho systému (20) spĺňajúce xH (t0) = η, kým funkcia xP (t) := Y (t) t t0 Y −1 (s) b(s) ds je partikulárne riešenie rovnice (11) s podmienkou xP (t0) = 0, ako sa možno presvedčiť dosadením. Platí teda x = xH + xP v súlade s Poznámkou 5. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu Diferenciálna rovnica y(n) + pn−1(t) y(n−1) + · · · + p1(t) y + p0(t) y = f(t), (28) kde f a pi, i = 0, . . . , n − 1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité na intervale I ⊆ R, sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu. Ak f(t) ≡ 0, hovoríme o homogénnej LDR n-tého rádu, v opačnom prípade sa jedná o nehomogénnu rovnicu. Pre nehomogénnu rovnicu (28) sa rovnica y(n) + pn−1(t) y(n−1) + · · · + p1(t) y + p0(t) y = 0, (29) označuje ako pridružená homogénna rovnica. Ľavá strana rovnice (28) sa často označuje výrazom Ly, kde L : Cn (I) → C(I) je lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. (Úplným) riešením rovnice Ly = f rozumieme funkciu ψ ∈ Cn (I), ktorá identicky spĺňa rovnicu (28) na intervale I. Začiatočná (Cauchyho) úloha (problém) Ly = f, y(t0) = η1, y (t0) = η2, . . . , yn−1 (t0) = ηn, (30) kde t0 ∈ I je pevný bod a η1, η2, . . . , ηn ∈ R sú dané reálne konštanty. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Prevod na lineárny systém I Veta 8 (Prevod na systém) Nech ψ je (úplné) riešenie rovnice (28) a položme ϕ1 = ψ, ϕ2 = ψ , . . . , ϕn = ψn−1 . Potom n-vektorová funkcia ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T je (úplným) riešením systému x1 = x2, x2 = x3, ... (31) xn−1 = xn, xn = −p0(t) x1 − p1(t) x2 − · · · − pn−1(t) xn + f(t) na intervale I. Naopak, pre každé (úplné) riešenie ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T systému (31) na I je jeho prvá zložka ϕ1 (úplným) riešením rovnice (28). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Prevod na lineárny systém II Veta 8 (Prevod na systém) Nech t0 ∈ I a η ∈ Rn . Potom n-vektorová funkcia ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T je (úplné) riešenie systému (31) spĺňajúce začiatočnú podmienku ϕ(t0) = η = (η1, · · · , ηn)T práve vtedy, keď jeho prvá zložka ϕ1 je (úplné) riešenie rovnice (28) spĺňajúce začiatočnú podmienku ϕ1(t0) = η1, ϕ1(t0) = η2, . . . , ϕn−1 1 (t0) = ηn. Systém (31) sa dá prepísať do vektorového tvaru x = A(t) x + b, kde A(t) =        0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · 1 −p0(t) −p1(t) −p2(t) · · · −pn−1(t)        , b(t) =        0 0 ... 0 −f(t)        . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Existencia a jednoznačnosť riešení Veta 9 (Existencia a jednoznačnosť riešení) Nech f a pi, i = 0, . . . , n − 1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité na intervale I a nech t0 ∈ I a η1, . . . , ηn ∈ R sú dané. Potom začiatočná úloha (30) má práve jedno úplné riešenie na celom I. Príklad 8 Uvažujme LDR 2. rádu na intervale I = (e, ∞) a začiatočnú podmienku y + 1 t(1 − ln t) y − 1 t2(1 − ln t) y = 2 − ln t t(1 − ln t) , y(e2 ) = e2 , y (e2 ) = 2. Keďže koeficienty a pravá strana rovnice sú funkcie definované a spojité na intervale I, podľa Vety 9 má daná začiatočná úloha práve jedno úplné riešenie definované na celom intervale I. Dá sa ukázať, že toto riešenie má tvar y(t) = t ln t − t, t ∈ (e, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Obsah 1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie 2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc 3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov 6 Systémy s konštantnými koeficientami ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Systémy s konštantnými koeficientami Z predchádzajúcich výsledkov vyplýva, že na úplné určenie množiny všetkých riešení (všeobecného riešenia) systému lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu je nutné a zároveň stačí poznať nejakú fundamentálnu maticu pridruženého homogénneho systému. Vo všeobecnom prípade je to veľmi náročný problém. Budeme sa bližšie zaoberať prípadom homogénneho systému s konštantnými koeficientami, t.j. systémom y = Ay, (32) kde A je konštantná reálna matica rádu n. Každé riešenie systému (32) je definované na intervale (−∞, ∞). Ukážeme, že pre systém (32) je možné pomerne efektívne určiť všetky jeho fundamentálne riešenia Y , t.j., maticové funkcie Y rádu n spĺňajúce Y = AY a det Y (t) = 0 pre každé t ∈ (−∞, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Exponenciála matice Nech M je komplexná matica rádu n. Matica definovaná eM := ∞ k=0 1 k! Mk = I + M + 1 2! M2 + 1 3! M3 + · · · + 1 k! Mk + · · · (33) sa nazýva exponenciála matice M. Nekonečný rad v (33) konverguje absolútne pre každú maticu M, a teda matica eM je korektne definovaná pre každé M. Poznámka 7 (Niektoré vlastnosti exponenciály matice) Nech M, N sú komplexné matice rádu n. Potom platia nasledovné tvrdenia. e0 = I. eM e−M = I, t.j., matica eM je regulárna a eM −1 = e−M . Ak MN = NM, potom eM eN = eN eM = eM+N . Ak N je regulárna, potom eNMN−1 = NeM N−1 . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Exponenciála matice ako fundamentálne riešenie Veta 10 Nech A je reálna konštantná matica rádu n. Potom exponenciála eAt je fundamentálna matica homogénneho systému (32) na (−∞, ∞). Dôkaz. Maticová funkcia Y (t) = eAt je maticovým riešením systému (32), nakoľko Y = eAt = ∞ k=0 1 k! (At)k = I + ∞ k=1 1 k! (At)k = ∞ k=1 k k! Ak tk−1 = A ∞ k=1 1 (k − 1)! Ak−1 tk−1 (l=k−1) = A ∞ l=0 1 l! (At)l = A eAt = AY. Okrem toho Y (0) = I, podľa Poznámky 7. Preto Y (t) je regulárna na celom intervale (−∞, ∞), podľa Liouvilleovho-Jacobiho vzorca vo Vete 5. Teda Y (t) je fundamentálna matica systému (32) na celom (−∞, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Jordanov kanonický tvar matice Veta 11 (Jordanova) Nech M je komplexná matica rádu n. Potom existuje regulárna matica P rádu n tak, že P−1 MP =      J0 O · · · O O J1 · · · O ... ... · · · ... O O · · · Jm      . (34) Pritom matice J0 ∈ Cq×q a Ji ∈ Cni×ni pre i = 1, . . . , m majú tvar J0 =      λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... · · · ... 0 0 · · · λq      , Ji =        λq+i 1 0 · · · 0 0 λq+i 1 · · · 0 ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · λq+i        , (35) kde λj pre j = 1, . . . , q + m sú (nie nutne rôzne) vlastné čísla matice M a platí q + n1 + · · · + nm = n. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Matice Ji, i = 0, . . . , m, sa nazývajú Jordanove bloky (klietky) matice M a stĺpce matice P sa nazývajú zovšeobecnené vlastné vektory matice M. Blokovo diagonálna matica Q =      J0 O · · · O O J1 · · · O ... ... · · · ... O O · · · Jm      (36) v Jordanovom rozklade (34) je určená jednoznačne až na poradie Jordanovych blokov. Matica P nie je určená jednoznačne. Medzi stĺpcami matice P a Jordanovymi blokmi matice Q platí nasledovná korešpondencia. Stĺpce h1, . . . , hq sú vlastné vektory matice M odpovedajúce vlastným číslam λ1, . . . , λq. Stĺpce hq+n1+···+ni−1+1, . . . , hq+n1+···+ni−1+ni sú zovšeobecnené vlastné vektory matice M odpovedajúce vlastnému číslu λq+ni v bloku Ji pre i = 1, . . . , m. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Výpočet fundamentálnej matice Stanovíme teraz fundamentálnu maticu systému (32) ako vhodný pravostranný regulárny násobok exponenciály eAt . Nech t ∈ (−∞, ∞). Ak P a Q sú matice z Vety 11 odpovedajúce Jordanovmu rozkladu matice A, t.j., A = PQP−1 , potom podľa Poznámky 7 platí eAt = eP (Qt)P −1 = PeQt P−1 , teda eAt P = PeQt . (37) Z tvaru matice Q a z definície exponenciály matice vyplýva eQt =      eJ0t O · · · O O eJ1t · · · O ... ... · · · ... O O · · · eJmt      . (38) Pre exponenciálu Jordanovho bloku J0t platí eJ0t =      eλ1t 0 · · · 0 0 eλ2t · · · 0 ... ... · · · ... 0 0 · · · eλqt      . (39) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Výpočet fundamentálnej matice Blok Jit pre i = 1, . . . , m má tvar Jit = (λq+it)Ii + Mit, kde Ii je identická matica rádu ni a Mit =      0 t · · · 0 ... ... · · · ... 0 0 · · · t 0 0 · · · 0      (40) Matice (λq+it)Ii a Mit komutujú, preto podľa Poznámky 7 platí eJit = e(λq+it)Ii+Mit = eλq+it eMit . (41) Postupným počítaním mocnín (Mit)k pre k = 0, 1, . . . zistíme, že (Mit)k = 0 pre každé k ≥ ni, a teda eMit = ni−1 k=0 1 k! (Mit)k =          1 t t2 2! · · · tni−1 (ni−1)! 0 1 t · · · tni−2 (ni−2)! ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · t 0 0 0 · · · 1          . (42) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Výpočet fundamentálnej matice Kombináciu formúl (41) a (42) dostaneme tvar exponeciály bloku Jit eJit = eλq+it          1 t t2 2! · · · tni−1 (ni−1)! 0 1 t · · · tni−2 (ni−2)! ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · t 0 0 0 · · · 1          , (43) a tým aj, využitím vyjadrení v (38) a (39), exponenciálu matice Qt. Podľa Poznámky 4 je matica eAt P fundamentálnou maticou systému (32). Označme P = [h1, . . . , hn] a eAt P = [y1(t), . . . , yn(t)]. Rovnosť (37) a predchádzajúca analýza implikujú nasledujúce tvrdenie. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Fundamentálny systém riešení Veta 12 (Fundamentálny systém riešení) Vektorové funkcie y1(t) = eλ1t h1 ... yq(t) = eλqt hq yq+1(t) = eλq+1t hq+1 (44) yq+2(t) = eλq+1t [thq+1 + hq+2] ... yq+n1 (t) = eλq+1t tn1−1 (n1 − 1)! hq+1 + tn1−2 (n1 − 2)! hq+2 + · · · + hq+n1 ... yn(t) = eλq+mt tnm−1 (nm − 1)! hn−nm+1 + tnm−2 (nm − 2)! hn−nm+2 + · · · + hn , tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (32) na intervale (−∞, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Môžeme preto konštatovať, že zložky vektorových riešení fundamentálneho systému vo Vete 12 majú tvar kvázipolynómov, t.j., pk(t) eλkt , kde λk je vlastné číslo matice A a pk(t) sú polynómy v premennej t stupňa menšieho ako je algebraická násobnosť čísla λk. Keďže matica A je reálna, s každým nereálnym vlastným číslom α + iβ má aj komplexne združené vlastné číslo α − iβ. Vo fundamentálnom systéme (44) sa teda s každým nereálnym riešením y nachádza aj komplexne združené riešenie ¯y. Nakoľko platí Re y = 1 2 (y + ¯y), a Im y = 1 2i (y − ¯y), reálne vektorové funkcie Re y a Im y sú lineárne nezávislými riešeniami rovnice (32). Preto každú nereálnu dvojicu riešení y a ¯y môžeme nahradiť reálnou dvojicou riešení Re y a Im y. Tým získame reálny fundamentálny systém vektorových riešení, pričom zložky jednotlivých jeho riešení budú mať tvar [pk(t) cos ((Im λk) t) + qk(t) sin ((Im λk) t)] e(Re λk) t , kde pk(t) a qk(t) sú už reálne polynómy v premennej t stupňa menšieho než je algebraická násobnosť čísla λk. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 9 Určime nejakú fundamentálnu maticu systému x =       2 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1       x. Podľa Vety 10 stačí nájsť exponenciálu matice At. Matica A systému je už v Jordanovom blokovom tvare A =       2 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1       a má jednoduché vlastné číslo 2 a štvornásobné vlastné číslo −1. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 9 Exponenciála eAt má preto tvar Y (t) = eAt =        e2t 0 0 0 0 0 e−t 0 0 0 0 0 e−t te−t t2 2! e−t 0 0 0 e−t te−t 0 0 0 0 e−t        . Poznamenajme, že fundamentálna matica Y rovnice (32) je normovaná v bode t0 = 0, t.j., platí Y (0) = I. Fundamentálna matica Z normovaná napr. v bode t0 = 3, t.j., Z(3) = I, má tvar Z(t) =            e2(t−3) 0 0 0 0 0 e−(t−3) 0 0 0 0 0 e−(t−3) (t − 3) e−(t−3) (t−3)2 2! e−(t−3) 0 0 0 e−(t−3) (t − 3) e−(t−3) 0 0 0 0 e−(t−3)            . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 10 Nájdime všeobecné riešenie systému x =   1 −1 1 1 1 −1 0 −1 2   x. Zistíme vlastné čísla matice A systému. Jej charakteristický polynóm má tvar det(A − λI) = −λ3 + 4λ2 − 5λ + 2 = −(λ − 2)(λ − 1)2 . Matica A má teda jednoduché vlastné číslo 2 a dvojnásobné vlastné číslo 1. Vlastnému číslu 2 odpovedá jedno lineárne nezávislé riešenie tvaru x(t) = a e2t , b e2t , c e2t T , kde a, b, c sú konštanty. Dosadením tohto riešenia do systému v zadaní dostaneme po úpravách pre a, b, c sústavu troch lineárnych rovníc 2a = a − b + c, 2b = a + b − c, 2c = −b + 2c. Táto sústava má jedno lineárne nezávislé riešenie a = c = 1 a b = 0. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 10 Vlastnému číslu 1 odpovedajú dve lineárne nezávislé riešenia tvaru x(t) =   (at + b) et (ct + d) et (ft + g) et   , kde a, b, c, d, f, g sú konštanty. Dosadením tohto riešenia do systému v zadaní dostaneme po úpravách a + (at + b) = (at + b) − (ct + d) + (ft + g) c + (ct + d) = (at + b) + (ct + d) − (ft + g) f + (ft + g) = −(ct + d) + 2(ft + g). Ak porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách premennej t na oboch stranách týchto rovností, získame 4 nezávislé rovnice pre a, b, c, d, f, g, a to f − c = 0, a − f = 0, a = g − d, c = b − g. Táto sústava má dve lineárne nezávislé riešenia a = c = f = 0, b = d = g = 1 a a = b = c = f = 1, d = −1, g = 0. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 10 Zostrojili sme teda tri lineárne nezávislé vektorové riešenia rovnice v zadaní, a teda jej fundamentálny systém riešení je   e2t 0 e2t   ,   et et et   ,   (t + 1) et (t − 1) et t et   . Všeobecné riešenie systému v zadaní má potom pre každé t ∈ (−∞, ∞) tvar x(t) = c1   e2t 0 e2t  +c2   et et et  +c3   (t + 1) et (t − 1) et t et   =    c1e2t + c2et + c3(t + 1) et c2et + c3(t − 1) et c1e2t + c2et + c3t et    pre c1, c2, c3 ľubovoľné reálne konštanty. Pre úplnosť poznamenajme, že matica Y (t) =    e2t et (t + 1) et 0 et (t − 1) et e2t et t et    je fundamentálnou maticou rovnice v zadaní. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 11 Uvažujme systém x =   1 −1 −1 1 1 0 3 0 1   x. Matica A systému má jednoduché reálne vlastné číslo 1 a dvojicu jednoduchých nereálnych vlastných čísiel 1 ± 2i. Fundamentálny systém rovnice v zadaní je preto tvorený tromi lineárne nezávislými vektorovými riešeniami tvaru   a1 et a2 et a3 et   ,   b1 e(1+2i) t b2 e(1+2i) t b3 e(1+2i) t   ,   c1 e(1−2i) t c2 e(1−2i) t c3 e(1−2i) t   , kde ai, bi, ci pre i = 1, 2, 3 sú vo všeobecnosti komplexné konštanty. Podobným postupom ako v predchádzajúcom príklade zistíme riešenia    0 et −et    ,    2i e(1+2i) t e(1+2i) t 3e(1+2i) t    ,    −2i e(1−2i) t e(1−2i) t 3e(1−2i) t    . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 11 Získaný fundamentálny systém je nereálny. Nahradením posledných dvoch nereálnych vektorových funkcií ich reálnymi a imaginárnymi časťami dostaneme reálny fundamentálny systém riešení    0 et −et    ,    −2et sin 2t et cos 2t 3et cos 2t    ,    2et cos 2t et sin 2t 3et sin 2t    . Pri výpočte sme využili Eulerovu identitu e(1±2i) t = et (cos 2t ± i sin 2t). Príslušná fundamentálna matica Y (t) systému v zadaní má potom pre každé t ∈ (−∞, ∞) tvar Y (t) =    0 −2et cos 2t 2et cos 2t et et cos 2t et sin 2t −et 3et cos 2t 3et sin 2t    . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Metóda vlastných vektorov Nasledujúci spôsob výpočtu fundamentálneho systému riešení rovnice (32) je založený na nasledujúcom pozorovaní. Ak λ ∈ C je vlastné číslo matice A a v ∈ Cn je k nemu prislúchajúci vlastný vektor matice A, t.j., platí Av = λv ⇐⇒ (A − λI) v = 0, potom n-vektorová funkcia x(t) = eλt v je riešením systému (32) na (−∞, ∞). To vyplýva z nasledujúceho jednoduchého výpočtu x (t) = eλt v = eλt λ v = eλt Av = A(t) eλt v = Ax(t). Poznámka 8 Lineárne nezávislým vlastným vektorom matice A, ktoré prislúchajú rovnakému vlastnému číslu, odpovedajú lineárne nezávislé riešenia systému. Lineárne nezávislým vlastným vektorom matice A, ktoré prislúchajú rôznym vlastným číslam, odpovedajú lineárne nezávislé riešenia systému. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Násobnosť vlastného čísla λ matice A ako koreňa charakteristického polynómu matice A sa nazýva algebraická násobnosť m(λ) vlastného čísla λ. Maximálny počet lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A, ktoré prislúchajú danému vlastnému číslu λ, sa označuje ako geometrická násobnosť p(λ) vlastného čísla λ. Vo všeobecnosti platí nerovnosť 1 ≤ p(λ) ≤ m(λ). (45) V prípade, ak p(λ) < m(λ), vlastné číslo λ sa nazýva defektné. V opačnom prípade, t.j., ak platí p(λ) = m(λ), hovoríme o nedefektnom vlastnom čísle λ matice A. Ďalej, ak λ1, . . . , λr sú všetky rôzne vlastné čísla matice A, potom m(λ1) + · · · + m(λr) = n. Hľadanie fundamentálneho systému riešení rovnice (32) pre maticu A s iba nedefektnými vlastnými číslami sa teda redukuje na zistenie všetkých lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A (ich počet je v tomto prípade n). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 12 Nájdime všeobecné riešenie systému x = 1 −2 −1 2 x. Matica A má dve jednoduché vlastné čísla λ1 = 0 a λ2 = 3, pretože det(A − λI) = λ(λ − 3). Číslu λ1 = 0 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný vektor v1 = (2, 1)T , a následne riešenie rovnice v zadaní tvaru e0t (2, 1)T = (2, 1)T . Podobne, vlastnému číslu λ2 = 3 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný vektor v2 = (1, −1)T a riešenie tvaru e3t (1, −1)T = (e3t , −e3t )T . Všeobecné riešenie rovnice v zadaní má potom na intervale (−∞, ∞) tvar x(t) = c1 2 1 + c2 e3t −e3t = 2c1 + c2e3t c1 − c2e3t . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Zovšeobecnené vlastné vektory Ak matica A má aspoň jedno defektné vlastné číslo, potom maximálny počet jej lineáne nezávislých vlastných vektorov je ostro menší než n. Postupom použitým v predchádzajúcom príklade teda nezískame úplný fundamentálny systém riešení rovnice (32). Chýbajúce lineárne nezávislé riešenia zostrojíme pomocou tzv. zovšeobecnených vlastných vektorov matice A. Definícia 3 Nech A je reálna matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo. Pre dané r ∈ N sa vektor vr ∈ Cn nazýva zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ, ak platí (A − λI)r vr = 0 a súčasne (A − λI)r−1 vr = 0. (46) Ak vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ, potom konečná postupnosť vektorov v1, v2, · · · , vr definovaných ako v1 = (A−λI)r−1 vr, v2 = (A−λI)r−2 vr, · · · , vr−1 = (A−λI) vr, vr, sa nazýva reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov generovaný vr. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Každý vektor vp = (A − λI)r−p vr, 1 ≤ p ≤ r, obsiahnutý v reťazci tvorenom vektorom vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu p matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ, nakoľko platí (A − λI)p vp = (A − λI)p (A − λI)r−p vr = (A − λI)r vr = 0, (A − λI)p−1 vp = (A − λI)p−1 (A − λI)r−p vr = (A − λI)r−1 vr = 0. Postupnosť v1, v2, · · · , vp je potom (pod)reťazec rádu p zovšeobecnených vlastných vektorov generovaný vektorom vp. Veta 13 Pre každú reálnu maticu A rádu n platia nasledujúce tvrdenia. 1 Každý reťazec matice A je tvorený lineárne nezávislými vektormi. 2 Reťazce matice A generované lineárne nezávislými zovšeobecnenými vlastnými vektormi, ktoré prislúchajú jednému vlastnému číslu, sú lineárne nezávislé. 3 Reťazce matice A generované zovšeobecnenými vlastnými vektormi, ktoré prislúchajú rôznym vlastným číslam, sú lineárne nezávislé. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Fundamentálny systém riešení Veta 14 Nech A je reálna matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo. Nech v1, v2, · · · , vr je nejaký reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov matice A odpovedajúci vlastnému číslu λ. Potom vektorové funkcie x1(t) = eλt v1, x2(t) = eλt (v2 + tv1), ... xp(t) = eλt vp + tvp−1 + t2 2! vp−2 + · · · + tp−1 (p − 1)! v1 , (47) ... xr(t) = eλt vr + tvr−1 + t2 2! vr−2 + · · · + tr−1 (r − 1)! v1 , sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (32) na intervale (−∞, ∞). ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Veta 15 Nech A je reálna matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo s algebraickou násobnosťou m(λ). Potom existuje m(λ) lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov matice A prislúchajúcich vlastnému číslu λ. Tieto vektory sa dajú vhodne rozdeliť do navzájom disjunktných reťazcov. Dôsledkom Viet 15, 14 a 13 je skutočnosť, že každá reálna matica A rádu n má práve n lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov, pomocou ktorých vieme podľa (47) zostrojiť úplný fundamentálny systém rovnice (32). V nasledujúcom sa preto zameriame na jednu metódu konštrukcie všetkých lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov reálnej matice A. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Weyrova teória charakteristických čísiel matice Nech A je matica rádu n a nech λ ∈ C je vlastné číslo matice A s algebraickou násobnosťou m(λ). Uvažujme nasledovnú postupnosť matíc (A − λI)0 = I, (A − λI)1 = A − λI, (A − λI)2 , · · · , (A − λI)l , · · · , a k nej prislúchajúcu postupnosť ich hodností n = h0, h1, h2, · · · , hl, · · · . (48) Pomocou Jordanovho rozkladu vo Vete 11 sa dá ukázať, že postupnosť (48) je ostro klesajúca s eventuálnou hodnotou n − m(λ), t.j., existuje najmenší index k taký, že platí n = h0 > h1 > h2 > · · · > hk−1 > hk = n − m(λ), (49) a hl = n − m(λ) pre každé l > k. To znamená, že nulity νl = n − hl matíc (A − λI)l (t.j., dimenzie jadier matíc (A − λI)l ) pre l = 0, . . . , k spĺňajú 0 = ν0 < ν1 < ν2 < · · · < νk−1 < νk = m(λ). (50) ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Prirodzené čísla σl definované σl := νl − νl−1, l = 1, . . . , k, (51) sa nazývajú Weyrove charakteristiky (charakteristické čísla) matice A prislúchajúce vlastnému číslu λ. Z (51) ihneď vyplýva, že číslo σl vyjadruje celkový počet lineárne nezávislých reťazcov rádu l zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, odpovedajúcich vlastnému číslu λ. A keďže všetky takéto reťazce obsahujú podreťazce rádu l − 1, ktoré sú opäť lineárne nezávislé, máme σl−1 ≥ σl pre každé l = 1, . . . , k. Platí teda σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σk−1 ≥ σk > 0, (52) σ1 + σ2 + · · · + σk−1 + σk = νk − ν0 = m(λ). (53) Poznamenajme, že rovnosť (53) ako aj vyššie uvedené skutočnosti sú v súlade s výsledkom Vety 15. Lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory matice A odpovedajúce vlastnému číslu λ sa dajú vhodne usporiadať do tzv. Weyrovej tabuľky, kde stĺpce predstavujú jednotlivé lineárne nezávislé reťazce a riadky obsahujú lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory rovnakého rádu. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov v1,1 v1,2 v1,3 · · · v1,σk · · · v1,σ3 · · · v1,σ2 · · · v1,σ1 v2,1 v2,2 v2,3 · · · v2,σk · · · v2,σ3 · · · v2,σ2 v3,1 v3,2 v3,3 · · · v3,σk · · · v3,σ3 ... ... ... · · · ... vk,1 vk,2 vk,3 · · · vk,σk (54) Pri zostavovaní Weyrovej tabuľky zovšeobecnených vlastných vektorov určíme najprv najspodnejšie vektory v každom stĺpci, t.j., vektory vk,1, · · · , vk,σk , vk−1,σk+1, · · · , vk−1,σk−1 , ... vl,σl+1+1, · · · , vl,σl , (55) ... v2,σ3+1, · · · , v2,σ2 , v1,σ2+1, · · · , v1,σ1 . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Napr. posledných σl − σl+1 vektorov vl,σl+1+1, · · · , vl,σl v l-tom riadku tabuľky stanovíme ako niektoré lineárne nezávislé riešenia sústavy (A − λI)l v = 0, (A − λI)l−1 v = 0. Násobením vektorov v (55) mocninami matice A − λI postupne dostaneme ostatné vektory Weyrovej tabuľky (54). Jednotlivé vektory v (55) volíme tak, aby všetky postupne vznikajúce vektory tabuľky boli lineárne nezávislé. Postup ilustrujeme na konkrétnych príkladoch. Poznamenajme, že sústava lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktoré odpovedajú danému vlastnému číslu λ, nie je určená jednoznačne, avšak pre konštrukciu úplného fundamentálneho systému riešení rovnice (32) podľa Vety 14 nezáleží na jej konkrétnom výbere. ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 13 Uvažujme systém x =     4 0 1 0 2 2 3 0 −1 0 2 0 4 0 1 2     x. Matica A má dve dvojnásobné vlastné čísla λ1 = 3 a λ2 = 2, nakoľko det(A − λI) = (λ − 3)2 (λ − 2)2 . Pre λ1 = 3 je teda m = 2, n − m = 4 − 2 = 2 a h0 = n = 4. Ďalej máme A − 3I =     1 0 1 0 2 −1 3 0 −1 0 −1 0 4 0 1 −1     , (A − 3I)2 =     0 0 0 0 −3 1 −4 0 0 0 0 0 −1 0 2 1     . Platí h1 = 3 a h2 = 2, a teda index k = 2. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2, ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 13 ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = ν1 − ν0 = 1 a σ2 = ν2 − ν1 = 1. Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ1 = 3 bude teda mať k = 2 riadky, pričom v prvom riadku bude σ1 = 1 vektor a v druhom riadku bude σ2 = 1 vektor v1,1 v2,1 Vektor v2,1 spĺňa (A − 3I)2 v2,1 = 0 a (A − 3I) v2,1 = 0, teda napríklad v2,1 = (0, 4, 1, −1)T . Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A − 3I) v2,1, teda v1,1 = (1, −1, −1, 2)T . Vlastnému číslu λ1 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia x1(t) = eλ1t v1,1 =     e3t −e3t −e3t 2e3t     , x2(t) = eλ1t (v2,1 + tv1,1) =     te3t −(t − 4) e3t −(t − 1) e3t (2t − 1) e3t     . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 13 Podobne pre λ2 = 2 je m = 2, n − m = 4 − 2 = 2 a h0 = n = 4. Ďalej máme A − 2I =     2 0 1 0 2 0 3 0 −1 0 0 0 4 0 1 0     . Platí h1 = 2, a teda index k = 1. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 2, ktorá dáva jednu Weyrovu charakteristiku σ1 = ν1 − ν0 = 2. Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ2 = 2 bude teda mať k = 1 riadok s σ1 = 2 vektormi v1,1 v1,2 Vektory v1,1 a v1,2 spĺňajú (A − 2I) v1,1 = 0 = (A − 2I) v1,2 a v1,1 = 0, v1,2 = 0. Sú to teda lineárne nezávislé vlastné vektory odpovedajúce vlastnému číslu λ2 = 2. Výpočtom napríklad dostaneme ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 13 v1,1 = (0, 1, 0, 0)T , v1,2 = (0, 0, 0, 1)T . Vlastnému číslu λ2 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia x3(t) = eλ2t v1,1 =     0 e2t 0 0     , x4(t) = eλ2t v1,2 =     0 0 0 e2t     . Nakoniec, fundamentálna matica systému v zadaní má tvar Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)) =     e3t te3t 0 0 −e3t −(t − 4) e3t e2t 0 −e3t −(t − 1) e3t 0 0 2e3t (2t − 1) e3t 0 e2t     . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 14 Uvažujme systém x =   4 −1 0 3 1 −1 1 0 1   x. Matica A má jedno trojnásobné vlastné čísla λ = 2, nakoľko det(A − λI) = −(λ − 2)3 . Teda m = 3, n − m = 3 − 3 = 0 a h0 = n = 3. Ďalej máme A − 2I =   2 −1 0 3 −1 −1 1 0 −1   , (A − 2I)2 =   1 −1 1 2 −2 2 1 −1 1   , (A − 2I)3 = 0. Platí h1 = 2, h2 = 1, h3 = 0, a teda index k = 3. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2 < ν3 = 3, ktorá dáva tri Weyrove charakteristiky σ1 = 1, σ2 = 1 a σ3 = 1. Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov bude teda mať k = 3 riadky, ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 14 pričom v každom z nich bude jeden vektor v1,1 v2,1 v3,1 Vektor v3,1 spĺňa (A − 2I)3 v3,1 = 0 a (A − 2I)2 v3,1 = 0, teda napríklad v3,1 = (0, 0, 1)T . Pre vektor v2,1 potom platí v2,1 = (A − 2I) v3,1, teda v2,1 = (0, −1, −1)T , a pre vektor v1,1 platí v1,1 = (A − 2I)2 v3,1, teda v1,1 = (1, 2, 1)T . Danému vlastnému číslu teda odpovedajú tri lineárne nezávislé vektorové riešenia x1(t) = eλt v1,1 =    e2t 2e2t e2t    , x2(t) = eλt (v2,1 + tv1,1) =    te2t (2t − 1) e2t (t − 1) e2t    , x3(t) = eλt v3,1 + tv2,1 + t2 2 v1,1 =     t2 2 e2t (t2 − t) e2t t2 2 − t + 1 e2t     . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 14 Fundamentálna matica systému v zadaní má potom tvar Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =     e2t te2t t2 2 e2t 2e2t (2t − 1) e2t (t2 − t) e2t e2t (t − 1) e2t t2 2 − t + 1 e2t     . Príklad 15 Uvažujme systém x =   2 −1 −1 2 −1 −2 −1 1 2   x. Matica A má jedno trojnásobné vlastné čísla λ = 1, nakoľko det(A − λI) = −(λ − 1)3 . Teda m = 3, n − m = 3 − 3 = 0 a h0 = n = 3. Ďalej máme ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 15 A − I =   1 −1 −1 2 −2 −2 −1 1 1   , (A − I)2 = 0. Platí h1 = 1 a h2 = 0, a teda index k = 2. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 2 < ν2 = 3, ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = 2 a σ2 = 1. Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov bude teda mať k = 2 riadky, pričom v prvom riadku budú σ1 = 2 vektory a v druhom riadku bude σ2 = 1 vektor v1,1 v1,2 v2,1 Vektor v2,1 spĺňa (A − I)2 v2,1 = 0, (A − I) v2,1 = 0, napr. v2,1 = (1, 1, −1)T . Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A − I) v2,1, teda v1,1 = (1, 2, −1)T . Vektor v1,2 je vlastný vektor, t.j., (A − I) v1,2 = 0, lineárne nezávislý s v1,1 a v2,1. Takýmto vektorom je napr. v1,2 = (0, 1, −1)T . ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami Príklad 15 Vlastnému číslu λ = 1 teda odpovedajú tri lineárne nezávislé vektorové riešenia x1(t) = eλt v1,1 =    et 2et −et    , x2(t) = eλt (v2,1 + tv1,1) =    (t + 1) et (2t + 1) et −(t + 1) et    , x3(t) = eλt v1,2 =    0 et −et    . Príslušná fundamentálna matica rovnice v zadaní má potom tvar Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =    et (t + 1) et 0 2et (2t + 1) et et −et −(t + 1) et −et    .