Krivkový integrál
Peter Šepitka
podzim 2015
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
Krivky I. druh
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
Krivky I. druh
Skalárne a vektorové funkcie
Deﬁnícia 1
Nech n, m sú prirodzené čísla. Zobrazenie f : Rn
→ Rm
sa nazýva reálna
m-vektorová funkcia n reálnych premenných. Každému n-rozmernému vektoru
x ∈ D(f) ⊆ Rn
sa priradí práve jeden m-rozmerný vektor
f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fm(x)) ∈ Rm
,
Funkcie f1, f2, . . . , fm sa nazývajú zložky vektorovej funkcie f.
Nech f = (f1, f2, · · · , fm) je vektorová funkcia n premenných. Potom
D(f) = D(f1) ∩ D(f2) ∩ · · · D(fm).
Ak m = n = 1, funkcia f sa nazýva aj skalárne pole. V prípade m = n ≥ 2
hovoríme o vektorovom poli. Limita a spojitosť vektorovej funkcie f sa deﬁnuje
po jednotlivých jej zložkách fi, t.j.,
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
f1(x), lim
x→x0
f2(x), · · · , lim
x→x0
fm(x) .
Krivky I. druh
Pojem krivky v Rm
Deﬁnícia 2
Nech m je prirodzené číslo a I ⊆ R je interval. Krivkou v Rm
rozumieme
každú vektorovú funkciu ϕ : I → Rm
, ktorá je spojitá na I. Množina
ϕ := ϕ(I) = {ϕ(t), t ∈ I} ⊆ Rm
sa nazýva geometrický obraz (trajektória) krivky ϕ. Funkcia ϕ sa potom
označuje ako parametrizácia množiny ϕ . Ak I = [a, b] je kompaktný interval,
potom ϕ(a) je začiatočný bod a ϕ(b) je koncový bod krivky.
Deﬁnícia 3
Krivka ϕ : [a, b] → Rm
sa nazýva
jednoduchá, ak ϕ je prostá na [a, b];
uzavretá, ak ϕ(a) = ϕ(b);
Jordanova, ak ϕ je prostá na [a, b) a ϕ(a) = ϕ(b) (t.j., ϕ je jednoduchá a
uzavretá krivka).
Krivky I. druh
Veta 1 (Jordanova)
Nech ϕ je Jordanova krivka v R2
. Potom existujú dve súvislé oblasti G1 a G2
tak, že každý bod z R2
\ ϕ patrí práve do jednej z nich. Oblasti G1 a G2 sú
teda disjunktné a platí G1 ∪ G2 ∪ ϕ = R2
, pričom trakejtória ϕ krivky ϕ je
spoločná hranica množín G1 a G2.
Poznamenajme, že práve jedna z oblastí G1 a G2 je ohraničená a nazýva sa
vnútro krivky ϕ – Int ϕ. Druhá, neohraničená oblasť sa potom označuje ako
vonkajšok krivky ϕ – Ext ϕ.
Krivky I. druh
Príklad 1
Graf každej reálnej funkcie f jednej reálnej premennej t, ktorá je spojitá na
nejakom intervale I, je trajektóriou jednoduchej krivky v R2
. Zobrazenie ϕ
I t −→ ϕ(t) = (t, f(t)) ⊆ R2
je totiž spojité a prosté na intervale I, a je teda jednoduchou krivkou v R2
.
Príklad 2
Kružnica
x = 3 + 2 cos t, y = 2 + 2 sin t, t ∈ [0, 2π],
je jednoduchá a uzavretá krivka v R2
, teda Jordanova krivka. Rovnice
x = 3 + 2 cos t, y = 2 + 2 sin t, t ∈ [0, 3π],
určujú trajektóriu krivky, ktorá nie je ani jednoduchá, ani uzavretá. Rovnice
x = 3 + 2 cos 2t, y = 2 + 2 sin 2t, t ∈ [0, 2π],
popisujú krivku v R2
, ktorá je uzavretá, ale nie je jednoduchá.
Krivky I. druh
Príklad 3
Bernoulliho lemniskáta
x =
a
√
2 cos t
1 + sin2
t
, y =
a
√
2 cos t sin t
1 + sin2
t
, t ∈ [0, 2π], a > 0,
je uzavretá krivka v R2
, ale nie jednoduchá.
Príklad 4
Cykloida
x = rt − d sin t, y = r − d cos t, t ∈ (−∞, ∞), r, d > 0,
nie je uzavretá krivka v R2
. Obyčajná cykloida (r = d) a skrátená cykloida
(r > d) sú jednoduché krivky, kým predĺžená cykloida (r < d) nie je
jednoduchá krivka.
Krivky I. druh
Deﬁnícia 4 (Transformácia parametra)
Nech ϕ : [a, b] → Rm
a ψ : [α, β] → Rm
sú krivky. Povieme, že ϕ a ψ sú
ekvivalentné a píšeme ϕ ∼ ψ, ak existuje spojito diferencovateľné zobrazenie
w : [α, β] → [a, b] také, že w (t) = 0 pre každé t ∈ [α, β] a platí
ϕ(w(t)) = ψ(t) pre každé t ∈ [α, β].
Pre funkciu w z Deﬁnície 4 platí, že jej derivácia w (t) nemení znamienko na
[α, β], a teda w je buď rastúca alebo klesajúca na [α, β]. Preto funkcia w je
prostá a jej inverzia w−1
je tiež spojito diferencovateľná na [α, β]. Relácia ∼ je
teda skutočne ekvivalencia a platí ϕ = ψ , t.j., zachováva trajektórie kriviek.
Deﬁnícia 4 potom vyjadruje transformáciu parametrizácie množiny ϕ.
Príklad 5
Uvažujme krivky ϕ a ψ dané
ϕ : x = t, y = t, t ∈ (0, 1),
ψ : x = t3
, y = t3
, t ∈ (0, 1).
Trajektóriou oboch kriviek je otvorená úsečka spájajúca body [0, 0] a [1, 1].
Krivky ϕ a ψ sú ekvivalentné s funkciou w : (0, 1) → (0, 1) tvaru w(t) = t3
.
Krivky I. druh
Deﬁnícia 5
Nech ϕ : [a, b] → Rm
a ψ : [α, β] → Rm
sú krivky spĺňajúce ϕ(b) = ψ(α).
Súčtom kriviek ϕ a ψ rozumieme krivku ϕ ⊕ ψ danú
(ϕ ⊕ ψ)(t) :=



ϕ(t), t ∈ [a, b]
ψ(t + α − b), t ∈ [b, b + β − α].
(1)
Opačnou krivkou ku krivke ϕ rozumieme krivku ϕ danú
( ϕ)(t) := ϕ(−t), t ∈ [−b, −a]. (2)
Z Deﬁnície 5 priamo vyplýva ϕ = ϕ a ϕ ⊕ ψ = ϕ ∪ ψ . Operácia ⊕
je asociatívna, t.j., pre každé tri krivky ϕ, ψ a ω v Rm
platí
(ϕ ⊕ ψ) ⊕ ω = ϕ ⊕ (ψ ⊕ ω),
ak aspoň jedna strana rovnosti má zmysel. Rozdiel kriviek ϕ a ω deﬁnujeme
ϕ ψ := ϕ ⊕ ( ψ), (3)
ak súčet ϕ ⊕ ( ψ) je deﬁnovaný, t.j., platí ϕ(b) = ψ(β).
Krivky I. druh
Nech ϕ = (ϕ1, · · · , ϕm) je krivka v Rm
deﬁnovaná na kompaktnom intervale
[a, b]. Deriváciou krivky ϕ v bode t ∈ [a, b] rozumieme vektor
ϕ (t) = (ϕ1(t), · · · , ϕm(t)), (4)
pričom pre t = a, resp. t = b uvažujeme príslušné jednostranné derivácie funkcií
ϕi, t.j.,
ϕ (a) = (ϕ1)+(a), · · · , (ϕm)+(a) , ϕ (b) = (ϕ1)−(b), · · · , (ϕm)−(b) .
Ak ϕ (t) = 0, vektor ϕ (t) sa nazýva dotykový vektor ku krivke ϕ v bode t a
vektor τ(t) := ϕ (t)/ ϕ (t) je jednotkový dotykový vektor. Pripomeňme, že
ϕ (t) := (ϕ1(t))2 + · · · + (ϕm(t))2
je (euklidovská) norma, resp. veľkosť vektora ϕ (t). Priamka deﬁnovaná
{ϕ(t) + hϕ (t), h ∈ R} (5)
sa označuje ako dotyčnica krivky ϕ v bode t. Dotyčnica sa zo všetkých priamok
prechádzajúcich cez bod ϕ(t) najviac primkýna ku trajektórii krivky ϕ.
Krivky I. druh
Deﬁnícia 6
Krivka ϕ : [a, b] → Rm
sa nazýva hladká, ak vektorová funkcia ϕ je spojito
diferencovateľná na [a, b] a ϕ (t) = 0 pre každé t ∈ [a, b]. V prípade uzavretej
hladkej krivky naviac požadujeme ϕ (a) = ϕ (b). Krivka ϕ sa označuje ako po
častiach hladká, ak existuje konečné delenie
D : a = t0 < t1 < · · · < tn = b
intervalu [a, b] také, že krivka ϕ|[tk−1,tk] je hladká pre každé k = 1, . . . , n.
V prípade po častiach hladkej krivky ϕ teda existuje najviac konečne veľa
izolovaných bodov t, v ktorých ϕ (t) neexistuje. Jednoduchá hladká krivka sa
nazýva oblúk (príp. hladký oblúk). Ak v Deﬁnícii 6 vynecháme podmienku
nenulovosti derivácie ϕ na intervale [a, b], dostaneme tzv. regulárnu, resp. po
častiach regulárnu krivku. Po častiach regulárna krivka sa nazýva aj cesta.
Krivky I. druh
Príklad 6
Kružnica alebo elipsa sú jednoduché hladké krivky (Jordanove hladké krivky).
Obvod štvorca alebo obdĺžnika je jednoduchá po častiach hladká krivka.
Príklad 7
Asteroida
ϕ(t) = (a cos3
t, a sin3
t), a > 0, t ∈ [0, 2π]
je príkladom jednoduchej uzavretej regulárnej krivky (Jordanova regulárna
krivka). Nie je však hladkou krivkou, nakoľko derivácia
ϕ (t) = (−3a cos2
t sin t, 3a sin2
t cos t)
má nulovú hodnotu v bodoch t = 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Podľa Deﬁnície 6 nie je
ani po častiach hladkou krivkou. Ako ukážeme neskôr, vhodnou transformáciou
parametra získame krivku, ktorá má rovnakú trajektóriu a je po častiach hladká.
Krivky I. druh
Orientácia krivky
Nech ϕ je krivka v Rm
deﬁnovaná na intervale I. Stanoviť orientáciu krivky ϕ
znamená zvoliť nejaké usporiadanie na množine ϕ , t.j., chceme určiť, ktorým
smerom sa pohybujeme po trajektórii krivky. Ak pre každú dvojicu t1, t2 ∈ I s
t1 < t2 platí, že bod ϕ(t1) je pred bodom ϕ(t2) v danom usporiadaní (pohybom
po ϕ prechádzame najprv bodom ϕ(t1) a až potom bodom ϕ(t2)), t.j.,
ϕ(t1) ϕ(t2) ⇐⇒ t1 < t2, (6)
potom krivka ϕ je orientovaná súhlasne s parametrizáciou. V prípade, ak
ϕ(t2) ϕ(t1) ⇐⇒ t1 < t2, (7)
krivka ϕ je orientovaná nesúhlasne s parametrizáciou. Krivka s usporiadaním
sa označuje ako orientovaná krivka. V prípade kompaktného intervalu I = [a, b]
a orientovanej krivky ϕ je možné jeden z krajných bodov ϕ(a) a ϕ(b) vyhlásiť
za začiatočný bod a druhý za koncový bod krivky ϕ. Opačná krivka má opačnú
orientáciu. Orientácia Jordanovej krivky je zadaná smerom dotykového vektora
v jednom bode krivky. Potom Jordanova krivka je kladne orientovaná, ak je
orientovaná proti smeru hodinových ručičiek. V opačnom prípade hovoríme o
záporne orientovanej Jordanovej krivke.
Krivky I. druh
Delenie a dĺžka krivky
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je krivka súhlasne orientovaná s parametrizáciou a
uvažujme konečné delenie intervalu [a, b], t.j.,
a = t0 < t1 < · · · < tn = b.
Body Pi = ϕ(ti), i = 1, . . . , n, trajektórie ϕ potom zrejme spĺňajú
P0 P1 · · · Pn.
Množina D = {P0, P1, . . . , Pn} sa nazýva delenie D krivky ϕ. Ak krivka ϕ je
uzavretá, požadujeme P0 = Pn. Množinu ϕ aproximujeme lomenou čiarou L
tvorenou úsečkami Pi−1Pi pre i = 1, . . . , n, t.j.,
L = P0P1 ∪ · · · ∪ Pn−1Pn. (8)
Pre jej dĺžku m1(L) potom platí
m1(L) = |P0P1| + · · · + |Pn−1Pn| (9)
Krivky I. druh
Deﬁnícia 7 (Dĺžka krivky)
Ak existuje reálne číslo M také, že pre každú lomenú čiaru L v (8) platí
m1(L) ≤ M,
potom povieme, že krivka ϕ má konečnú dĺžku alebo je rektiﬁkovateľná.
Najmenšie takéto číslo M nazveme dĺžka krivky ϕ a označíme m1( ϕ ).
Ak krivka ϕ má konečnú dĺžku, potom množina reálnych čísiel
{m1(L), L je lomená čiara v (8)}
je neprázdna a zhora ohraničená, a má teda suprémum rovné m1( ϕ ).
Veta 2
Každá regulárna krivka ϕ : [a, b] → Rm
má konečnú dĺžku a platí
m1( ϕ ) =
b
a
ϕ (t) dt =
b
a
(ϕ1(t))2 + · · · + (ϕm(t))2 dt.
Vzorec vo Vete 2 platí aj v prípade po častiach hladkej krivky ϕ.
Krivky I. druh
Príklad 8
Uvažujme skrutkovicu ϕ v R3
danú parametrickým vyjadrením
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, a, b > 0, t ∈ [0, 2π].
Krivka ϕ je regulárna a pre každé t ∈ [0, 2π] platí
ϕ (t) = (−a sin t)2 + (a cos t)2 + b2 = a2 + b2.
Preto daná skrutkovica je rektiﬁkovateľná krivka a na [0, 2π] má dĺžku
m1( ϕ ) =
2π
0
ϕ (t) dt =
2π
0
a2 + b2 dt = 2π a2 + b2.
Príklad 9
Krivka ϕ v R3
daná
x = t, y =
t sin π
t
, t = 0,
0, t = 0,
t ∈ [−1, 1],
nemá dĺžku, pretože množina reálnych čísiel m1(L) je zhora neohraničená.
Krivky I. druh
Prirodzená parametrizácia krivky
Pre každú krivku konečnej dĺžky je možné zvoliť jej parametrizáciu tak, aby
parameter vyjadroval priamo dĺžku krivky. Konkrétne, ak s1, s2 sú dve hodnoty
parametra spĺňajúce s1 < s2, potom časť krivky odpovedajúca intervalu [s1, s2]
má dĺžku s2 − s1. Takejto parametrizácii hovoríme prirodzená parametrizácia
krivky. Ak ϕ : [a, b] → Rm
je hladká krivka, potom funkcia
s(t) =
t
a
ϕ (u) du
je deﬁnovaná a spojito diferencovateľná na intervale [a, b] s s (t) = ϕ (t) .
Nakoľko ϕ (t) > 0 na [a, b], funkcia s(t) je prostá na [a, b] s oborom hodnôt
[0, m1( ϕ )]. Ak w(s) je funkcia inverzná k s(t), potom parametrizácia
ϕ(w(s)), s ∈ [0, m1( ϕ )],
je práve prirodzenou parametrizáciou krivky ϕ. Poznamenajme, že podľa
Deﬁnície 4 sú krivky ϕ a ϕ ◦ w ekvivalentné, a teda majú rovnaké trajektórie.
Krivky I. druh
Príklad 10
Nájdime prirodzenú parametrizáciu časti asteroidy z Príkladu 7. Pre
t ∈ [0, π/2] platí
s(t) =
t
0
ϕ (u) du =
t
0
(−3a cos2u sin u)2 + (3a sin2
u cos u)2 du
=
3a
2
sin2
t,
z čoho s(π/2) = 3a/2. Inverzná funkcia w(s) je teda deﬁnovaná na intervale
[0, 3a/2] a platí
w(s) = arcsin
2s
3a
, s ∈ 0,
3a
2
.
Prirodzená parametrizácia časti krivky ϕ má potom tvar
x = a (1 − 2s/3a)3/2
, y = a (2s/3a)3/2
, s ∈ 0,
3a
2
.
Krivky ϕ a ϕ ◦ w však nie sú ekvivalentné, hoci majú rovnakú trajektóriu.
Krivka ϕ totiž nie je hladká na [0, π/2] (v bodoch t = 0, π/2 má nulovú
deriváciu), kým krivka ϕ ◦ w je hladká na [0, 3a/2].
Krivky I. druh
Obsah
1 Krivky a ich parametrizácie
2 Krivkový integrál prvého druhu
Krivky I. druh
Krivkový integrál I. druhu
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je hladká krivka a nech f : ϕ → R je ohraničená
funkcia (m premenných). Pre n ∈ N uvažujme delenie intervalu [a, b]
a = t0 < t1 < · · · < tn = b,
a k nemu prislúchajúce delenie krivky ϕ
Dn = {P0, P1, . . . , Pn}, Pi = ϕ(ti), i = 0, . . . , n.
Body P0, . . . , Pn rozdelia krivku ϕ na n úsekov si = ϕ|[ti−1,ti], i = 1, . . . , n,
ktoré sa nazývajú elementy krivky ϕ. Dĺžku elementu si označíme m1(si). Číslo
Dn := max{m1(s1), . . . , m1(sn)}
sa nazýva norma delenia Dn. V každej z množín si zvolíme ľubovoľne bod
Mi a utvoríme integrálny súčet funkcie f s delením Dn krivky ϕ a s výberom
bodov M1, . . . , Mn
S(f, Dn) :=
n
i=1
f(Mi) m1(si). (10)
Krivky I. druh
Deﬁnícia 8 (Krivkový integrál I. druhu)
Hovoríme, že existuje krivkový integrál prvého druhu z funkcie f po krivke ϕ,
ak pre každú postupnosť {Dn}∞
n=1 delení krivky ϕ takú, že
lim
n→∞
Dn = 0, (11)
príslušná postupnosť {S(f, Dn)}∞
n=1 integrálnych súčtov funkcie f konverguje
pre každý výber bodov M1, . . . , Mn.
Postupnosť {Dn}∞
n=1 delení krivky ϕ s vlastnosťou (11) nazývame normálnou.
Platí, že ak existuje krivkový integrál I. druhu z funkcie f po krivke ϕ, potom
všetky postupnosti {S(f, Dn)}∞
n=1 integrálnych súčtov funkcie f z Deﬁnície 8
majú rovnakú limitu. Túto limitu potom nazývame krivkovým integrálom I.
druhu z funkcie f po krivke ϕ a označujeme
ϕ
f(x) ds, t.j.,
ϕ
f(x) ds := lim
n→∞
S(f, Dn). (12)
Všimnime si, že Deﬁnícia 8 nevyžaduje, aby krivka ϕ bola jednoduchá. Integrál
(12) sa dá deﬁnovať i v prípade po častiach hladkej krivky ϕ.
Krivky I. druh
Základné vlastnosti krivkových integrálov I. druhu
V nasledujúcich vetách budeme uvažovať po častiach hladké krivky.
Veta 3 (Linearita vzhľadom na integrand)
Nech existujú integrály ϕ
f(x) ds a ϕ
g(x) ds a nech α, β ∈ R. Potom
existuje aj integrál ϕ
[α f(x) + β g(x)] ds a platí
ϕ
[α f(x) + β g(x)] ds = α
ϕ
f(x) ds + β
ϕ
g(x) ds.
Veta 4 (Aditivita vzhľadom na integračný obor)
Nech ϕ a ψ sú krivky také, že súčet ϕ ⊕ ψ je deﬁnovaný. Ďalej nech existujú
integrály ϕ
f(x) ds, ψ
f(x) ds a ϕ⊕ψ
f(x) ds. Potom platí
ϕ⊕ψ
f(x) ds =
ϕ
f(x) ds +
ψ
f(x) ds.
Krivky I. druh
Veta 5 (Nezávisloť na orientácii krivky)
Nech ϕ je orientovaná krivka. Potom integrál ϕ
f(x) ds existuje práve vtedy,
keď existuje integrál ϕ
f(x) ds a platí
ϕ
f(x) ds =
ϕ
f(x) ds.
Veta 6 (Nezávisloť na ekvivalentnej parametrizácii krivky)
Nech ϕ a ψ sú ekvivalentné krivky. Potom integrál ϕ
f(x) ds existuje práve
vtedy, keď existuje integrál ψ
f(x) ds a platí
ϕ
f(x) ds =
ψ
f(x) ds.
Veta 7 (Dĺžka krivky)
Pre dĺžku rektiﬁkovateľnej krivky ϕ platí m1( ϕ ) = ϕ
ds.
Krivky I. druh
Veta 8
Nech existujú integrály ϕ
f(x) ds a ϕ
g(x) ds a nech platí f(x) ≤ g(x) pre
každé x ∈ ϕ . Potom platí
ϕ
f(x) ds ≤
ϕ
g(x) ds.
Veta 9
Nech ϕ je rektiﬁkovateľná krivka a nech existujú h, H ∈ R tak, že platí
h ≤ f(x) ≤ H pre každé x ∈ ϕ . Nech existuje integrál ϕ
f(x) ds. Potom
h m1( ϕ ) ≤
ϕ
f(x) ds ≤ H m1( ϕ ).
Krivky I. druh
Výpočet krivkového integrálu I. druhu
Prakticky sa krivkový integrál I. druhu počíta prevodom na určitý (Riemannov)
integrál z funkcie jednej premennej.
Veta 10
Nech ϕ : [a, b] → Rm
je po častiach hladká krivka a nech f : ϕ → R je
ohraničená funkcia, t.j., existuje M ∈ R tak, že |f(x)| ≤ M pre každé x ∈ ϕ .
Ďalej nech existuje Riemannov integrál
b
a
f(ϕ(t)) ϕ (t) dt.
Potom existuje i integrál ϕ
f(x) ds a platí
ϕ
f(x) ds =
b
a
f(ϕ(t)) ϕ (t) dt.
Krivky I. druh
Príklad 11
Vypočítajme krivkový integrál I. druhu
ϕ
sin 2x ds,
kde ϕ je časť grafu funkcie y = cos x pre x ∈ [0, π/2]. Krivka ϕ má napr.
parametrizáciu
x(t) = t, y(t) = cos t, t ∈ [0, π/2].
Krivka ϕ je hladká a platí
ϕ (t) = (x (t), y (t)) = (1, − sin t) =⇒ ϕ (t) = 1 + sin2
t, t ∈ [0, π/2].
Podľa Vety 10 potom platí
ϕ
sin 2x ds =
π/2
0
sin 2t 1 + sin2
t dt =
2
3
(
√
8 − 1).
Krivky I. druh
Príklad 12
Vypočítajme krivkový integrál I. druhu
ϕ
(x2
+ y2
+ z2
) ds,
kde ϕ je skrutkovica
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, a, b > 0, t ∈ [0, 2π].
Platí x2
+ y2
+ z2
= a2
+ b2
t2
pre každé t ∈ [0, 2π] a
x (t) = −a sin t, y (t) = a cos t, z (t) = b,
ϕ (t) = (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 = a2 + b2, t ∈ [0, 2π].
Podľa Vety 10 potom máme
ϕ
(x2
+ y2
+ z2
) ds =
2π
0
(a2
+ b2
t2
) a2 + b2 dt
= 2π a2 + b2 a2
+
4
3
π2
b2
.
Krivky I. druh
Aplikácie krivkového integrálu I. druhu
Dĺžka krivky
m1( ϕ ) =
ϕ
ds. (13)
Hmotnosť krivky s hustotou ρ = ρ(x)
M( ϕ ) =
ϕ
ρ(x) ds. (14)
Obsah valcovej plochy
m2( ϕ ) =
ϕ
f(x, y) ds. (15)
Krivky I. druh
Dĺžka krivky
Príklad 13
Vypočítajme dĺžku reťazovky, ktorá je grafom funkcie
y =
a
2
e
x
a + e− x
a pre a = 3/2 a x ∈ [−2, 2].
Zavedieme vhodnú parametrizáciu, napríklad
x = t, y =
a
2
e
t
a + e− t
a , t ∈ [−2, 2].
Jedná sa o hladkú krivku ϕ, pričom platí
x (t) = 1, y (t) = e
t
a − e− t
a /2,
ϕ (t) = (x (t))2 + (y (t))2 = e
t
a + e− t
a /2, t ∈ [−2, 2].
Podľa vzorca na predchádzajúcom slide (resp. podľa Vety 7) potom máme
m1( ϕ ) =
ϕ
ds =
2
−2
1
2
e
t
a + e− t
a dt = 2a sinh
2
a
= 3 sinh
4
3
.
Krivky I. druh
Obsah valcovej plochy
Príklad 14
Vypočítajme obsah prednej steny klinu, ktorý vznikol z trojbokého hranola
ohraničeného rovinami x + y = 2, x = 0, y = 0 a z = 0 odsekom plochou
z = 4 − y2
.
Po nakreslení vhodného obrázku zistíme, že máme vypočítať obsah valcovej
plochy, ktorej základňou je krivka ϕ : x + y = 2, x, y ≥ 0, a ktorá je zhora
ohraničená grafom funkcie z = f(x, y) = 4 − y2
. Parametrizujeme danú krivku
x = t, y = 2 − t, t ∈ [0, 2].
Ide o hladkú krivku s ϕ (t) = (x (t))2 + (y (t))2 =
√
1 + 1 =
√
2. Potom
pre hľadaný obsah platí
m2( ϕ ) =
ϕ
f(x, y) ds =
ϕ
(4 − y2
) ds =
2
0
4 − (2 − t)2
√
2 dt =
16
√
2
3
.