Komplexná analýza
Peter Šepitka
podzim 2015
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
4 Elementárne funkcie
5 Komplexný integrál a Cauchyho teória
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
4 Elementárne funkcie
5 Komplexný integrál a Cauchyho teória
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Obor komplexných čísiel
Pod pojmom komplexné číslo a rozumieme usporiadanú dvojicu (α, β) ∈ R2
.
Prvá zložka α tejto dvojice sa nazýva reálna časť komplexného čísla a, druhá
zložka β sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla a, označujeme α = Re a
a β = Im a. Definujeme sčítanie a násobenie komplexných čísiel
(α, β) + (γ, δ) := (α + γ, β + δ),
(α, β) · (γ, δ) := (αγ − βδ, αδ + βγ).
Sčítanie i násobenie komplexných čísiel sú asociatívne a komutatívne binárne
operácie a pre každú trojicu a, b, c komplexných čísiel platí distributívny zákon
a · (b + c) = a · b + a · c.
Pre úplnosť definujeme násobenie komplexného čísla reálnym číslom
r(α, β) := (rα, rβ), r ∈ R.
Nula – (0, 0) – neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie, t.j.,
(α, β) + (0, 0) = (0, 0) + (α, β) = (α, β).
Jednotka – (1, 0) – neutrálny prvok vzhľadom na násobenie, t.j.,
(α, β) · (1, 0) = (1, 0) · (α, β) = (α, β).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Opačné číslo ku komplexnému číslu a = (α, β)
−a := (−α, −β)
Komplexné číslo −a je jediné riešenie rovnice
a + z = (0, 0).
Inverzné číslo k nenulovému komplexnému číslu a = (α, β)
a−1
:=
α
α2 + β2
,
−β
α2 + β2
.
Komplexné číslo a−1
je jediné riešenie rovnice
a · z = (1, 0).
Odčítanie komplexných čísiel a, b definujeme a − b := a + (−b).
Delenie komplexných čísiel a, b, b = (0, 0), definujeme a/b := a · b−1
.
Množina všetkých komplexných čísiel sa označuje C. Algebraická štruktúra
(C, +, ·) je teleso, ktoré sa nedá usporiadať (na rozdiel od (R, +, ·)).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Algebraický tvar komplexného čísla
Podmnožina komplexných čísiel
R := {a ∈ C, a = (α, 0), α ∈ R}
je podtelesom telesa C izomorfným s telesom R všetkých reálnych čísiel. Preto
je možné množiny R a R, ako algebraické štruktúry, stotožniť. To znamená, že
v množine C budeme klásť α = (α, 0) pre každé α ∈ R. Potom 0 = (0, 0) a
1 = (1, 0). Ďalej, komplexné číslo (0, 1) sa označuje symbolom i, t.j., i = (0, 1),
a nazýva sa imaginárna jednotka. Platí i2
= (−1, 0) = −1. Tieto označenia
potom umožňujú vyjadriť komplexné číslo a = (α, β) v tzv. algebraickom tvare
a = (α, β) = (α, 0) + (0, β) = α(1, 0) + β(0, 1) = α + iβ. (1)
Komplexné číslo a = α + iβ s β = 0 (teda s Im a = 0) sa označuje ako reálne
(komplexné) číslo, kým komplexné číslo a = α + iβ s β = 0 (teda s Im a = 0)
sa nazýva imaginárne (komplexné) číslo. Imaginárne číslo s nulovou reálnou
časťou sa nazýva rýdzo imaginárne (komplexné) číslo. Komplexne združené
číslo ¯a k číslu a = α + iβ ∈ C je definované ako ¯a = α − iβ.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Absolútna hodnota (veľkosť) |a| komplexného čísla a = α + iβ sa definuje
|a| := α2 + β2. (2)
Reálne číslo |a| vyjadruje geometrickú vzdialenosť bodu [α, β] od bodu [0, 0] v
reálnej rovine. Všeobecne, pre a, b ∈ C reálne číslo |a − b| vyjadruje vzájomnú
vzdialenosť bodov [Re a, Im a] a [Re b, Im b] v reálnej rovine.
Poznámka 1 (Základné vlastnosti)
Nech a, a1, a2 ∈ C. Potom platí:
¯¯a = a, a1 ± a2 = ¯a1 ± ¯a2, a1a2 = ¯a1¯a2, a1/a2 = ¯a1/¯a2, ak a2 = 0.
a¯a = |a|2
, |a1a2| = |a1||a2|, |a1/a2| = |a1|/|a2|, ak a2 = 0.
trojuholníkové nerovnosti ||a1| − |a2|| ≤ |a1 + a2| ≤ |a1| + |a2|.
|Re a| ≤ |a|, |Im a| ≤ |a|.
Re a =
a + ¯a
2
, Im a =
a − ¯a
2i
.
Re (a1 ± a2) = Re a1 ± Re a2, Im (a1 ± a2) = Im a1 ± Im a2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Komplexná (Gaussova) rovina
Prirodzeným modelom množiny C komplexných čísiel je (euklidovská) rovina –
komplexná (Gaussova) rovina. Každému komplexnému číslu z = x + iy je
priradený bod v rovine so súradnicami [x, y]. Naopak, každému bodu [x, y]
roviny odpovedá práve jedno komplexné číslo z = x + iy. Ďalej budeme preto
pre jednoduchosť stotožnovať body roviny s komplexnými číslami. Vzdialenosť
(metrika) sa v množine C definuje pomocou absolútnej hodnoty komplexného
čísla zavedenej v (2), t.j., vzdialenosť dvoch komplexných čísiel z1 a z2 je
definovaná d(z1, z2) := |z1 − z2|.
Ako je to s pojmom “komplexné” nekonečno? Pre množinu C komplexných
čísiel sa definuje iba jedno “nekonečno”. Konkrétne, k množine C sa formálne
pridá jeden prvok, ktorý sa označuje symbolom ∞, spĺňajúci vlastnosti
∞ = −∞ = |∞|, ∞ · ∞ = ∞,
z + ∞ = ∞, z/∞ = 0, ∞/z = ∞ pre z ∈ C,
z · ∞ = ∞, z/0 = ∞, pre z ∈ C \ {0}.
Nedefinujú sa výrazy ∞ + ∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 0/0, ∞/∞. Množina C ∪ {∞}
sa spolu s danými algebraickými operáciami označuje ˜C a nazýva sa rozšírená
(uzavretá) komplexná rovina alebo tiež rozšírená (uzavretá) Gaussova rovina.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Goniometrický (polárny) tvar komplexného čísla
S modelom komplexnej roviny úzko súvisí tzv. goniometrický (polárny) tvar
komplexných čísiel. Každé nenulové komplexné číslo z je možné vyjadriť v tvare
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ), (3)
kde ϕ je argument komplexného čísla z definovaný rovnicami
cos ϕ =
Re z
|z|
, sin ϕ =
Im z
|z|
. (4)
Argument ϕ nie je určený jednoznačne (ak ϕ je argument z, potom i ϕ + 2kπ,
k ∈ Z, je argument z). Množina všetkých argumentov daného komplexného
čísla sa označuje Arg z (je to tzv. mnohoznačná funkcia premennej z). Symbol
arg z bude označovať základný (hlavný) argument komplexného čísla z, t.j.,
argument spĺňajúci −π ≤ arg z < π. Základný argument arg z je pre dané z
určený jednoznačne. Platí
Arg z = {arg z + 2kπ, k ∈ Z}. (5)
Posledná rovnosť sa často zapisuje i v tvare Arg z ≡ arg z (mod 2π).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Zavedenie goniometrického tvaru v (3) umožňuje efektívne násobiť a deliť
komplexné čísla. Konkrétne, ak
z1 = |z1| (cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = |z2| (cos ϕ2 + i sin ϕ2)
sú dve komplexné čísla a ϕ1 a ϕ2 sú ich ľubovoľné argumenty, potom platí
z1z2 = |z1||z2| (cos ϕ1 + i sin ϕ1) (cos ϕ2 + i sin ϕ2)
= |z1||z2| [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)
+ i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2)]
= |z1||z2| [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]. (6)
Z rovnosti (6) potom vyplýva
Arg (z1z2) = Arg z1 +Arg z2 a arg(z1z2) ≡ arg z1 +arg z2 (mod 2π), (7)
ako aj tzv. Moivreov vzorec na výpočet n-tej mocniny komplexného čísla z
zn
= |z|n
[cos (n arg z) + i sin (n arg z)], n ∈ N. (8)
Okrem toho z relácií (7) vyplýva
Arg (zn
) = n Arg z a arg(zn
) ≡ n arg z (mod 2π). (9)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Podobne, pre podiel z1/z2, z2 = 0, platí
z1
z2
=
|z1|
|z2|
cos ϕ1 + i sin ϕ1
cos ϕ2 + i sin ϕ2
=
|z1|
|z2|
cos ϕ1 + i sin ϕ1
cos ϕ2 + i sin ϕ2
cos ϕ2 − i sin ϕ2
cos ϕ2 − i sin ϕ2
=
|z1|
|z2|
cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)
cos2 ϕ2 + sin2
ϕ2
=
|z1|
|z2|
[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)]. (10)
Potom máme
Arg
z1
z2
= Arg z1 − Arg z2, arg
z1
z2
≡ arg z1 − arg z2 (mod 2π). (11)
Pre každé z ∈ C a n ∈ N je n-tá odmocnina zo z definovaná ako
n
√
z = n
|z| cos
arg z + 2kπ
n
+ i sin
arg z + 2kπ
n
, (12)
kde k = 0, . . . , n − 1. Pre pevné n sa teda jedná o mnohoznačnú funkciu
(premennej z), pričom pre každé z ∈ C existuje práve n jeho n-tých odmocnín.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Výraz cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R, sa obvykle označuje symbolom eiϕ
, t.j.,
eiϕ
:= cos ϕ + i sin ϕ. (13)
Pre každé z ∈ C potom platí
z = |z| eiϕ
, ϕ ∈ Arg z. (14)
Zápis (14) sa nazýva exponenciálny tvar komplexného čísla z. Pre každé ϕ, ϕ1,
ϕ2 ∈ R platí
|eiϕ
| = 1, arg eiϕ
≡ ϕ (mod 2π), eiϕ = e−iϕ
= 1/eiϕ
, (15)
cos ϕ =
eiϕ
+ e−iϕ
2
, sin ϕ =
eiϕ
− e−iϕ
2i
, (16)
ei(ϕ1+ϕ2)
= eiϕ1
eiϕ2
, ei(ϕ1−ϕ2)
= eiϕ1
/eiϕ2
, (17)
eiϕ
m
= eimϕ
, m ∈ Z. (18)
Neskôr ukážeme, že výraz eiϕ
zavedený v (13) je rozšírením exponenciálnej
funkcie ex
do oboru komplexných čísiel.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 1
Dané komplexné číslo napíšte v goniometrickom tvare
1 + i.
Pre komplexné číslo z = 1 + i platí
Re z = 1, Im z = 1, |z| = 12 + 12 =
√
2.
Ľubovoľný argument ϕ čísla z potom spĺňa rovnosti
cos ϕ = Re z/|z| = 1/
√
2, sin ϕ = Im z/|z| = 1/
√
2.
Riešenie tejto sústavy je napr. ϕ = 9π/4. Potom platí
z =
√
2 [cos (9π/4) + i sin (9π/4)].
Základný argument čísla z je arg z = π/4 a podobne platí
z =
√
2 [cos (π/4) + i sin (π/4)].
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 2
Dané komplexné číslo napíšte v goniometrickom tvare
−2
√
3 − 2i.
Pre komplexné číslo z = −2
√
3 − 2i platí
Re z = −2
√
3, Im z = −2, |z| = (−2
√
3)2 + (−2)2 = 4.
Ľubovoľný argument ϕ čísla z spĺňa rovnosti
cos ϕ = Re z/|z| = −
√
3/2, sin ϕ = Im z/|z| = −1/2.
Základný argument čísla z je arg z = −5π/6 a platí
z = 4 [cos (−5π/6) + i sin (−5π/6)].
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 3
Vypočítajte
(1 + i
√
3)15
.
Použijeme Moivreov vzorec (8). Komplexné číslo z = 1 + i
√
3 prepíšeme do
goniometrického tvaru. Platí |z| = 2, arg z = π/3, a teda
z = 2 [cos (π/3) + i sin (π/3)].
Potom podľa (8) máme
z15
= 215
[cos (15π/3) + i sin (15π/3)] = 215
[cos (5π) + i sin (5π)] = −215
.
Poznamenajme, že rovnaký výsledok by sme získali klasickým roznásobením
podľa binomickej vety.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 4
Vypočítajme v C
3
√
−8.
Podľa (12) existujú práve 3 komplexné tretie odmocniny z čísla z = −8.
Goniometrický tvar čísla z je
z = 8 [cos (−π) + i sin (−π)].
Podľa (12) platí
3
√
−8 =
3
√
8 cos
−π + 2kπ
3
+ i sin
−π + 2kπ
3
,
pričom k = 0, 1, 2. Postupne dostáveme
k = 0 −→
3
√
8 cos
−π
3
+ i sin
−π
3
= 1 − i
√
3,
k = 1 −→
3
√
8 cos
π
3
+ i sin
π
3
= 1 + i
√
3,
k = 2 −→
3
√
8 (cos π + i sin π) = −2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
4 Elementárne funkcie
5 Komplexný integrál a Cauchyho teória
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Postupnosti v C
Nech r ∈ R+
a z0 ∈ C. Otvoreným kruhom K(z0, r) so stredom v bode z0 a s
polomerom r rozumieme množinu K(z0, r) := {z ∈ C, |z − z0| < r}. Množina
K(z0, r) sa často označuje aj ako r-okolie bodu z0. Ak z0 = ∞, definujeme
K(∞, r) := {z ∈ ˜C, |z| > 1/r}. Nech {an}∞
n=1 je postupnosť komplexných
čísiel. Komplexné číslo a0 ∈ ˜C sa nazýva limitou postupnosti {an}∞
n=1, ak pre
každé ε-okolie bodu a0 existuje index nε ∈ N tak, že an ∈ K(a0, ε) pre každý
index n ≥ nε. Potom píšeme limn→∞ an = a0 alebo aj an → a0.
Veta 1
Nech {an}∞
n=1 je postupnosť v C a a0 ∈ C. Potom an → a0 práve vtedy, keď
lim
n→∞
|an −a0| = 0 ⇐⇒ lim
n→∞
Re an = Re a0 & lim
n→∞
Im an = Im a0. (19)
V tomto prípade platí i an → a0. Podobne, an → ∞ práve vtedy, keď
lim
n→∞
|an| = ∞, resp., lim
n→∞
1/|an| = 0. (20)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Číselné rady v C
Nech {an}∞
n=1 je postupnosť v C. Postupnosť {sk}∞
k=1 (tzv. postupnosť
čiastočných súčtov) definovaná ako sk := k
n=1 an sa nazýva nekonečný rad s
členmi an a označuje sa ∞
n=1 an, resp. an. Rad an konverguje (resp., je
konvergentný), ak existuje konečná limita postupnosti {sk}∞
k=1. Túto limitu
potom označujeme ako súčet s radu a píšeme s = an. V opačnom prípade
rad an diverguje (resp., je divergentný).
Veta 2
Nech an, bn sú konvergentné rady a a, b ∈ C. Potom platí:
limn→∞ an = 0 (nutná podmienka konvergencie radu).
Rad an konverguje so súčtom an = an.
Rad (aan + bbn) konverguje a (aan + bbn) = a an + b bn.
Veta 3
Komplexný rad an konverguje práve vtedy, keď konverguje každý z reálnych
radov Re an a Im an, pričom platí an = Re an + i Im an.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Komplexný rad an sa nazýva absolútne konvergentný, ak rad |an| je
konvergentný. Každý absolútne konvergentný rad je i konvergentný a platí
an ≤ |an|.
Ak an konverguje, ale rad |an| diverguje, potom hovoríme, že rad an
konverguje neabsolútne (relatívne). Platia nasledujúce výsledky.
Veta 4
Komplexný rad an konverguje absolútne práve vtedy, keď každý z reálnych
radov Re an a Im an konverguje absolútne.
Veta 5 (Riemannova veta o prerovnaní absolútne konvergentného radu)
Ak komplexný rad an konverguje absolútne, potom každé prerovnanie tohto
radu konverguje absolútne s rovnakým súčtom, t.j., platí
aτ(n) = an
pre každú permutáciu τ množiny N (t.j., pre každú bijekciu τ : N → N).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Pri vyšetrovaní (absolútnej) konvergencie komplexných radov môžeme aplikovať
mnohé kritériá využívané v reálnej analýze.
Porovnávacie kritérium – ak komplexný rad an spĺňa |an| ≤ bn pre
každé n ∈ N, kde bn je konvergentný reálny rad, potom rad an
konverguje absolútne.
D’Alembertovo podielové kritérium – ak komplexný rad an spĺňa
|an+1/an| ≤ q < 1 pre každé n ∈ N, potom an konverguje absolútne.
Ak |an+1/an| ≥ 1 pre každé n ∈ N, potom rad an diverguje. Obzvlášť,
ak existuje limn→∞ |an+1/an| = q ∈ R∗
, potom pre q < 1 (q > 1) rad
an konverguje absolútne (diverguje).
Cauchyho odmocninové kritérium – ak komplexný rad an spĺňa
n
|an| ≤ q < 1 pre každé n ∈ N, potom an konverguje absolútne. Ak
n
|an| ≥ 1 pre každé n ∈ N, potom rad an diverguje. Obzvlášť, ak
existuje limn→∞
n
|an| = q ∈ R∗
, potom pre q < 1 (q > 1) rad an
konverguje absolútne (diverguje).
Cauchyho integrálne kritérium – ak rad an spĺňa |an| = f(n) pre každé
n ∈ N, kde f : [1, ∞) → R je nezáporná, nerastúca a spojitá funkcia,
potom rad an konverguje absolútne práve vtedy, keď nevlastný integrál
∞
1
f(x) dx konverguje.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 5
Stanovme limitu
lim
n→∞
(1 + i)n
n!
.
Nájdeme reálnu a imaginárnu časť príslušnej postupnosti. Podľa Príkladu 1 platí
(1 + i)n
n!
=
√
2 [cos (π/4) + i sin (π/4)]
n
n!
=
(
√
2)n
cos (πn/4)
n!
+ i
(
√
2)n
sin (πn/4)
n!
.
Teda máme
Re
(1 + i)n
n!
=
(
√
2)n
cos (πn/4)
n!
, Im
(1 + i)n
n!
=
(
√
2)n
sin (πn/4)
n!
.
Keďže platí
lim
n→∞
Re
(1 + i)n
n!
= 0 = lim
n→∞
Im
(1 + i)n
n!
,
podľa Vety 1 limita v zadaní príkladu existuje a je rovná 0 + i0 = 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 6
Dokážme
lim
n→∞
in
n2n
= 0.
Uvedený výsledok vyplýva z Vety 1, pretože platí
lim
n→∞
in
n2n
− 0 = lim
n→∞
|i|n
n2n
= lim
n→∞
1
n2n
= 0.
Príklad 7
Nájdime limitu
lim
n→∞
n ein
.
Táto limita existuje a je nevlastná, pretože platí
lim
n→∞
n ein
= lim
n→∞
n ein
= lim
n→∞
n = ∞.
Pri výpočte sme využili prvú rovnosť v (15), t.j., ein
= 1. Podľa Vety 1 potom
lim
n→∞
n ein
= ∞.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 8
Nájdime súčet radu
∞
n=1
1 + i (−1)n−1
n
n2
.
V danom rade oddelíme jeho reálnu a imaginárnu časť. Dostaneme
Re
1 + i (−1)n−1
n
n2
=
1
n2
, Im
1 + i (−1)n−1
n
n2
=
(−1)n−1
n
, n ∈ N.
Keďže z reálnej analýzy máme
1/n2
= π2
/6, (−1)n−1
/n = ln 2,
podľa Vety 3 konverguje i rad v zadaní príkladu a platí
1 + i (−1)n−1
n
n2
=
π2
6
+ i ln 2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 9
Vyšetrime konvergenciu radu
∞
n=1
in
n
.
Oddelením reálnej a imaginárnej časti daného radu dostaneme
Re
in
n
=
(−1)k
/(2k), n = 2k,
0, n = 2k − 1,
Im
in
n
=
0, n = 2k,
(−1)k−1
/(2k − 1), n = 2k − 1.
Obidva reálne rady Re a Im konvergujú (podľa Leibnizovho kritéria), a
preto podľa Vety 3 konverguje i rad v zadaní príkladu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 10
Vyšetrime konvergenciu radov
a)
∞
n=1
n(1 + i)n
3n
, b)
∞
n=1
an
, a ∈ C.
a) Rad konverguje absolútne podľa D’Alembertovho kritéria, nakoľko
lim
n→∞
(n+1)(1+i)n+1
3n+1
n(1+i)n
3n
= lim
n→∞
(n + 1)(1 + i)
3n
= lim
n→∞
(n + 1)
√
2
3n
=
√
2
3
< 1.
b) Aplikovaním Cauchyho odmocninového kritéria dostaneme
lim
n→∞
n
|an| = lim
n→∞
n
|a|n = lim
n→∞
|a| = |a|.
Pre |a| < 1 daný rad konverguje absolútne, pre |a| > 1 rad diverguje. V prípade
|a| = 1 rad diverguje, pretože nie je splnená nutná podmienka konvergencie vo
Vete 2 (limn→∞ an
= 0, resp. neexistuje).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Funkcie v C
Nech D je podmnožina v ˜C. Pod pojmom (komplexná) funkcia (komplexnej
premennej) f budeme rozumieť priradenie, ktoré každému číslu z ∈ D priradí
jednu alebo viac hodnôt w ∈ ˜C. Množina D sa nazýva definičný obor funkcie f
a označuje sa D(f). Množina
H(f) := {w ∈ ˜C, w = f(z), z ∈ D(f)}
sa nazýva obor hodnôt funkcie f. Ak je každému z ∈ D(f) priradená práve
jedna hodnota w = f(z) ∈ H(f), potom hovoríme o jednoznačnej funkcii f. V
opačnom prípade funkciu f označujeme ako mnohoznačnú. Vhodným zúžením
oboru hodnôt H(f) mnohoznačnej funkcie f dostaneme jednoznačnú funkciu –
tzv. jednoznačnú vetvu komplexnej funkcie f. Vo všeobecnosti teda komplexná
funkcia komplexnej premennej nie je zobrazenie, pričom symbol f(z) znamená
podmnožinu v H(f). Inverznou funkciou k funkcii f : w = f(z), z ∈ D(f),
rozumieme funkciu f−1
: z = f−1
(w), ktorá každému w ∈ H(f) priradí práve
tie z ∈ D(f), pre ktoré w = f(z). Zrejme D(f−1
) = H(f) a H(f−1
) = D(f).
Okrem toho, f(f−1
(w)) = w, pre každé w ∈ H(f), avšak neplatí všeobecne
f−1
(f(z)) = z, pre z ∈ D(f). Inverzná funkcia f−1
môže byť jednoznačná i
mnohoznačná.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Nech f je funkcia. Ak D(f) ⊆ R, jedná sa o funkciu reálnej premennej, inak
hovoríme o funkcii komplexnej premennej. V prípade H(f) ⊆ R máme reálnu
funkciu, inak (t.j., pre H(f) ⊆ ˜C) máme komplexnú funkciu. Ak platí dokonca
H(f) ⊆ C, potom hovoríme o konečnej (komplexnej) funkcii.
Nech f je konečná funkcia komplexnej premennej. Potom existujú jediné reálne
funkcie u, v : R2
→ R také, že pre každé z = x + iy ∈ D(f) ∩ C platí
f(z) = u(x, y) + i v(x, y). (21)
Funkcie u a v sa nazývajú reálna a imaginárna časť funkcie f, t.j.,
u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z). (22)
Funkcia ¯f definovaná ¯f(z) := f(z), z ∈ D(f), sa nazýva funkcia komplexne
združená s f. Zrejme potom platí ¯f(z) = u(x, y) − i v(x, y) a
Re f(z) =
f(z) + ¯f(z)
2
, Im f(z) =
f(z) − ¯f(z)
2i
, z ∈ D(f). (23)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Limitu a spojitosť komplexnej funkcie f komplexnej premennej definujeme
podobným spôsobom ako v reálnej analýze. Nech M ⊆ ˜C a z0 je hromadný
bod množiny M. Číslo w0 ∈ ˜C nazývame limitou funkcie f v bode z0
vzhľadom na množinu M a píšeme
lim
z→z0
z∈M
f(z) = w0,
ak pre každé okolie O(w0) bodu w0 existuje rýdze okolie O∗
(z0) bodu z0 také,
že pre každé z ∈ O∗
(z0) ∩ M platí f(z) ∈ O(w0). V prípade M = D(f)
dostávame limitu funkcie f v tradičnom slova zmysle, t.j.,
lim
z→z0
f(z) = lim
z→z0
z∈D(f)
f(z) = w0.
Okrem toho platia relácie
lim
z→z0
f(z) = w0 ⇐⇒ lim
z→z0
Re f(z) = Re w0, lim
z→z0
Im f(z) = Im w0, (24)
lim
z→z0
f(z) = w0 ⇐⇒ lim
z→z0
¯f(z) = w0. (25)
Funkcia f je spojitá v bode z0 ∈ D(f), ak limz→z0 f(z) = f(z0). Pre spojitosť
funkcie potom platia výsledky analogické s (24) a (25).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 11
Príkladom reálnych funkcií komplexnej premennej sú funkcie
w = Re z, w = |z|, w = arg z.
Jedná sa o jednoznačné funkcie. Funkcia w = zn
, pre n ∈ N pevné, je
komplexná funkcia komplexnej premennej, kým funkcia w = eiϕ
, ϕ ∈ R, je
komplexná funkcia reálnej premennej ϕ. Ďalej, funkcie
w = Arg z, w = n
√
z, n ∈ N pevné,
sú príkladmi mnohoznačných komplexných funkcií komplexnej premennej. Prvá
z nich je nekonečne-značná, druhá je n-značná. Zúžením oboru hodnôt prvej z
nich dostaneme napríklad už zmienenú jednoznačnú funkciu ˜w = arg z.
Jednoznačnou vetvou druhej funkcie je napríklad funkcia (porovnaj s (12))
˜w = n
|z| cos
arg z
n
+ i sin
arg z
n
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 12
Stanovme limitu
lim
z→0
Re z
z
.
V limitovanej funkcii oddelíme jej reálnu a imaginárnu časť. Poznamenajme, že
konvergencia z = x + iy → 0 je ekvivalentná s x → 0 & y → 0. Platí
lim
z→0
Re z
z
= lim
(x,y)→(0,0)
x
x + iy
= lim
(x,y)→(0,0)
x
x + iy
x − iy
x − iy
= lim
(x,y)→(0,0)
x(x − iy)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
− i
xy
x2 + y2
.
Z reálnej analýzy funkcií dvoch premenných vieme ľahko ukázať, že limity
lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
, lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
neexistujú. Podľa (24) potom neexistuje ani limita v zadaní príkladu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 13
Vypočítajme limitu
lim
z→0
z Re z
|z|
.
V limitovanej funkcii oddelíme jej reálnu a imaginárnu časť. Dostaneme
lim
z→0
z Re z
|z|
= lim
(x,y)→(0,0)
(x + iy)x
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
+ i
yx
x2 + y2
.
V tomto prípade platí
lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
= 0 = lim
(x,y)→(0,0)
yx
x2 + y2
.
Preto podľa (24) limita v zadaní príkladu má hodnotu 0 + i0 = 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 14
Zistime limitu
lim
z→i
z2
+ 1
z − i
.
V limitovanej funkcii vykonáme algebraické úpravy (rozklad čitateľa na súčin)
lim
z→i
z2
+ 1
z − i
= lim
z→i
(z + i)(z − i)
z − i
= lim
z→i
(z + i) = 2i.
Príklad 15
Rozhodnime o existencii limity
lim
z→0
¯z
z
.
Dokážeme, že uvedená limita neexistuje. Nech z sa blíži k bodu 0 = 0 + i0 po
reálnej osi, t.j., z = x ∈ R. Potom ¯z/z = ¯x/x = x/x = 1, a v tomto prípade
limz→0 ¯z/z = 1. Ak z sa bude k 0 blížiť po imaginárnej osi, t.j., z = iy ∈ i R,
potom platí ¯z/z = −iy/iy = −1, a v tomto prípade limz→0 ¯z/z = −1. Pri
pohybe po dvoch rôznych cestách do bodu 0 sme dostali dve rôzne hodnoty
limity. Preto daná limita neexistuje.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
4 Elementárne funkcie
5 Komplexný integrál a Cauchyho teória
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Derivácia komplexnej funkcie
Definícia 1 (Komplexná diferencovateľnosť)
Nech G je otvorená podmnožina v C a f je konečná funkcia definovaná na G.
Hovoríme, že f je komplexne diferencovateľná (monogénna) v bode z0 ∈ G, ak
existuje konečná limita
lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
resp. lim
h→0
h∈C
f(z0 + h) − f(z0)
h
. (26)
Limita v (26) sa nazýva derivácia funkcie f v bode z0 a označuje sa f (z0),
resp. df
dz
(z0).
V komplexnej analýze sa teda nedefinuje nevlastná derivácia a derivácia v bode
∞. Z Definície 1 vyplýva, že funkcia f : G → C je komplexne diferencovateľná
v bode z0 ∈ G práve vtedy, keď existuje komplexné číslo a s vlastnosťou
lim
h→0
h∈C
f(z0 + h) − f(z0) − ah
h
= 0. (27)
V tomto prípade a = f (z0). Výraz ah sa nazýva diferenciál funkcie f v bode
z0 a označuje sa df(z0), resp. df(z0)(h).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Komplexná derivácia má podobné základné vlastnosti ako derivácia v reálnom
obore. Vo všeobecnosti je však komplexná diferencovateľnosť podstatne silnejší
koncept než reálna diferencovateľnosť.
Veta 6
Ak funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C, potom je v bode z0
spojitá.
Dôkaz.
Výsledok vyplýva z Definície 1 a z nasledujúceho výpočtu
lim
z→z0
f(z) = lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
(z − z0) + f(z0) = f (z0)·0+f(z0) = f(z0).
Poznámka 2
Poznamenajme, že podobne ako v reálnom obore spojitosť funkcie nezaručuje
komplexnú diferencovateľnosť funkcie. Túto skutočnosť ilustruje Príklad 17.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 7 (Základné vlastnosti)
(i) Ak funkcie f, g sú komplexne diferencovateľné v bode z0 ∈ C, potom aj
funkcie f ± g, f · g a f/g (ak g(z0) = 0) sú komplexne diferencovateľné v
bode z0 a platí
(f ± g) (z0) = f (z0) ± g (z0),
(f · g) (z0) = f (z0) g(z0) + f(z0) g (z0),
(f/g) (z0) = f (z0) g(z0) − f(z0) g (z0) /[g(z0)]2
.
(ii) Ak funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C a funkcia g je
komplexne diferencovateľná v bode f(z0), potom aj zložená funkcia g ◦ f
je komplexne diferencovateľná v z0 a platí (g ◦ f) (z0) = g (f(z0)) f (z0).
(iii) Ak funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C a prostá na
okolí bodu z0, potom inverzná funkcia f−1
je komplexne diferencovateľná
v bode w0 = f(z0) a platí
f−1
(w0) = 1/f (z0).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
V nasledujúcom budeme pracovať s algebraickým tvarom komplexných čísiel a
funkcií, t.j., podľa (21) pre dané z ∈ C a danú komplexnú funkciu f máme
z = x + iy a f(z) = u(x, y) + iv(x, y) pre x, y ∈ R. (28)
Pripomeňme, že jednoznačne určené reálne funkcie u, v sú podľa (22) reálnou a
imaginárnou časťou funkcie f.
Veta 8 (Nutná podmienka komplexnej diferencovateľnosti)
Nech funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 = x0 + iy0. Potom
funkcie u, v v (28) spĺňajú tzv. Cauchyho–Riemannove rovnice (podmienky)
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0),
∂u
∂y
(x0, y0) = −
∂v
∂x
(x0, y0). (29)
Pre deriváciu f (z0) potom platí
f (z0) =
∂u
∂x
(x0, y0) + i
∂v
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0) − i
∂u
∂y
(x0, y0). (30)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Náčrt dôkazu.
Ak f je komplexne diferencovateľná v bode z0, potom podľa Definície 1 je f
definovaná na nejakom okolí bodu z0 a existuje limita v (26). Hodnota tejto
limity nezávisí na ceste, po ktorej sa s premenlivým bodom z blížime do bodu
z0. Uvažujme napríklad z = x + iy0, kde x ∈ R a x → x0. Do z0 = x0 + iy0 sa
teda blížíme po priamke y = y0. Platí potom
f (z0) = lim
z=x+iy0
x→x0
f(z) − f(z0)
z − z0
= lim
x→x0
f(x + iy0) − f(x0 + iy0)
x − x0
.
Pomocou funkcií u, v sa posledná limita dá rozpísať do tvaru
f (z0) = lim
x→x0
u(x, y0) + iv(x, y0) − u(x0, y0) − iv(x0, y0)
x − x0
= lim
x→x0
u(x, y0) − u(x0, y0)
x − x0
+ i
v(x, y0) − v(x0, y0)
x − x0
.
Limitovaním posledného výrazu dostaneme prvú rovnosť v (30). Podobným
spôsobom odvodíme i druhé vyjadrenie derivácie f (z0) v (30), kde uvažujeme
z = x0 + iy s y ∈ R a y → y0 (priamka x = x0). Porovnaním reálnych a
imaginárnych častí vyjadrení v (30) dostaneme rovnosti (29).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Poznámka 3
Z Vety 8 vyplýva, že nutnými podmienkami existencie komplexnej derivácie
f (z0) je existencia prvých parciálnych derivácií reálnych funkcií u, v v bode
[x0, y0] a platnosť Cauchyho–Riemannovych podmienok (29) v bode [x0, y0].
Ako však ukazuje nasledujúca veta, nie sú to zároveň aj postačujúce podmienky.
Veta 9 (Nutná a postačujúca podmienka komplexnej diferencovateľnosti)
Funkcia f je komplexne diferencovateľná v bode z0 ∈ C práve vtedy, keď reálne
funkcie u, v v (28) sú diferencovateľné v [x0, y0] a platia rovnice v (29).
Nech G ⊆ C je otvorená množina. Hovoríme, že komplexná funkcia f je
komplexne diferencovateľná na G, ak f (z) existuje v každom bode z ∈ G. Z
Vety 9 vyplýva, že ak funkcie u, v v (28) majú spojité I. parciálne derivácie na G
a spĺňajú podmienky (29) na G, potom f je komplexne diferencovateľná v G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Cauchyho–Riemannove podmienky (29) výrazne obmedzujú triedu reálnych
diferencovateľných funkcií u, v, ktoré môžu byť reálnymi, resp. imaginárnymi
časťami komplexne diferencovateľných funkcií. Ak totiž funkcia f = u + iv je
komplexne diferencovateľná v otvorenej množine G ⊆ C a funkcie u, v majú
naviac spojité i druhé parciálne derivácie na G, potom u, v sú riešeniami tzv.
Laplaceovej rovnice na G, t.j., platí
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0,
∂2
v
∂x2
+
∂2
v
∂y2
= 0 na G. (31)
Riešenia Laplaceovej rovnice sa označujú ako harmonické funkcie. Reálne a
imaginárne časti komplexne diferencovateľných funkcií v G musia preto byť
nutne harmonickými funkciami v G. Neskôr ukážeme, že požiadavka existencie
a spojitosti druhých (dokonca i všetkých vyšších) parciálnych derivácií funkcií
u, v na G je prekvapivo prirodzene zabudovaná v koncepte komplexnej derivácie
funkcie f na množine G.
Veta 10
Nech G ⊆ C je jednoducho súvislá oblasť. Potom ku každej harmonickej funkcii
u (resp. v) na G existuje funkcia f komplexne diferencovateľná na G tak, že
u = Re f (resp. v = Im f) na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 16
Dokážme, že pre každé pevné n ∈ N platí
(zn
) = nzn−1
, z ∈ C.
Označme f(z) = zn
a nech z0 ∈ C je zafixované. Podľa Definície 1 máme
f (z0) = lim
z→z0
zn
− zn
0
z − z0
= lim
z→z0
zn−1
+ zn−2
z0 + · · · + zzn−2
0 + zn−1
0
= nzn−1
0 .
Príklad 17
Funkcia f(z) = ¯z = x − iy je síce spojitá v celej komplexnej rovine, ale nie je
nikde v C komplexne diferencovateľná, pretože limita
lim
h→0
h∈C
z0 + h − z0
h
= lim
h→0
h∈C
z0 + ¯h − z0
h
= lim
h→0
h∈C
¯h
h
neexistuje pre žiadne z0 ∈ C (porovnaj s Príkladom 15).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 18
Rozhodnime o existencii derivácie funkcie (ako funkcie v C)
f(z) = 1/z
overením Cauchyho–Riemannovych rovností (29). Zrejme D(f) = C \ {0}.
Oddelíme reálnu a imaginárnu časť funkcie f
1
z
=
1
x + iy
=
x − iy
(x + iy)(x − iy)
=
x
x2 + y2
+ i
−y
x2 + y2
.
Platí u(x, y) = x/(x2
+ y2
), v(x, y) = −y/(x2
+ y2
), a ďalej
ux = (y2
− x2
)/(x2
+ y2
)2
, uy = (−2xy)/(x2
+ y2
)2
,
vx = (2xy)/(x2
+ y2
)2
, vy = (y2
− x2
)/(x2
+ y2
)2
,
Funkcie u, v sú diferencovateľné na D(f) a platia rovnosti (29) na D(f). Teda
podľa Vety 9 funkcia f je komplexne diferencovateľná na D(f) a platí
1
z
= ux+ivx =
y2
− x2
(x2 + y2)2
+i
2xy
(x2 + y2)2
= −
(x − iy)2
(x2 + y2)2
= −
(¯z)2
|z|4
= −
1
z2
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 19
Určme komplexne diferencovateľnú funkciu f, ktorá spĺňa
Re f(z) = x3
− 3xy2
+ 3x2
− 3y2
+ 1, f(0) = 1.
Funkcia u(x, y) = x3
− 3xy2
+ 3x2
− 3y2
+ 1 je harmonická v C, nakoľko
ux = 3x2
− 3y2
+ 6x, uxx = 6x + 6,
uy = −6xy − 6y, uyy = −6x − 6,
⇓
uxx + uyy = 0 v R2
.
Podľa Vety 10 je funkcia u reálnou časťou istej funkcie f, ktorá je komplexne
diferencovateľná na C. Jej imaginárnu časť v určíme z podmienok (29)
vx = −uy = 6xy + 6y, vy = ux = 3x2
− 3y2
+ 6x.
Máme teda určiť kmeňovú funkciu v pre dvojicu 6xy + 6y a 3x2
− 3y2
+ 6x.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 19
Postupujúc štandardným spôsobom, dostaneme
v(x, y) = −y3
+ 3x2
y + 6xy + K, K ∈ R.
Keďže f(0) = 1, platí v(0, 0) = Im f(0) = 0, a teda K = 0. Funkcia f má tvar
f(z) = x3
− 3xy2
+ 3x2
− 3y2
+ 1 + i (−y3
+ 3x2
y + 6xy).
Nakoniec, ak dosadeníme za reálne premenné x, y výrazy
x = (z + ¯z)/2, y = (z − ¯z)/2i,
dostaneme vyjadrenie hodnoty f(z) pomocou komplexnej premennej z. Po
úpravách získame finálny predpis
f(z) = z3
+ 3z2
+ 1.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Holomorfné funkcie
Definícia 2 (Holomorfná funkcia)
Hovoríme, že funkcia f je holomorfná (analytická, regulárna) v bode z0 ∈ C, ak
f má deriváciu na nejakom okolí bodu z0. Funkcia f je holomorfná na množine
G ⊆ C, ak je holomorfná v každom bode z ∈ G.
Pojem holomorfnosti funkcie (na rozdiel od komplexnej diferencovateľnosti) je
možné zaviesť i pre nevlastný bod ∞. Konkétne, funkcia f(z) sa označuje ako
holomorfná v bode ∞, ak funkcia f(1/z) je holomorfná v bode z0 = 0.
Príklad 20
Z predchádzajúcich príkladov (Príklady 16, 17 a 18) vyplýva, že funkcia
f(z) = zn
je holomorfná v celej komplexnej rovine, funkcia g(z) = ¯z nie je
holomorfná v žiadnom bode z ˜C a funkcia h(z) = 1/z je holomorfná na ˜C \ {0}.
Príklad 21
Funkcia f(z) = |z|2
nie je holomorfná v žiadnom bode z ˜C, hoci je komplexne
diferencovateľná v bode z0 = 0, ako sa možno ľahko presvedčiť.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 11
Nech G ⊆ C je oblasť. Funkcia f : G → C je konštantná na G práve vtedy,
keď je holomorfná na G a f (z) = 0 pre každé z ∈ G.
Dôkaz.
Implikácia “⇒” vyplýva priamo z Definícií 1 a 2. Naopak, nech f je holomorfná
na G s f (z) = 0 pre každé z ∈ G. Funkcie u, v z (28) podľa (30) spĺňajú
ux(x, y) = 0 = vx(x, y), vy(x, y) = 0 = −uy(x, y) pre každé [x, y] ∈ G,
z čoho vyplýva, že funkcie u, v sú konštantné na oblasti G. To znamená, že i
funkcia f = u + iv je konštantná na G.
Dôsledok 1
Nech f, g sú funkcie holomorfné na oblasti G ⊆ C. Potom platia tvrdenia.
(i) Rovnosť f ≡ g platí na G práve vtedy, keď f ≡ g + K na G, kde K je
(komplexná) konštanta.
(ii) Funkcia f je polynóm stupňa menšieho ako n na G práve vtedy, keď
f(n)
≡ 0 na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Komplexné funkcionálne rady
Nech G ⊆ C je neprázdna množina a nech {fn(z)}∞
n=1 je postupnosť funkcií
definovaných na G. Postupnosť čiastočných súčtov {sk(z)}∞
k=1 definovaná
sk(z) :=
k
n=1
fn(z), z ∈ G, k ∈ N,
sa nazýva (nekonečný) funkcionálny rad s členmi fn a označuje sa ∞
n=1 fn(z),
resp. fn(z). Rozlišujeme dva typy konvergencie funkcionálnych postupností
a radov.
Bodová konvergencia na G – pre každé z0 ∈ G je číselná postupnosť
{fn(z0)} (číselný rad fn(z0)) konvergentná(ý). Funkcia f s vlastnosťou
f(z) = lim
n→∞
fn(z) f(z) = fn(z) pre každé z ∈ G,
sa nazýva limitná funkcia postupnosti (súčet radu). Symbolicky značíme
fn → f fn → f na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Rovnomerná konvergencia na G – zhruba povedané, konvergencia k
limitnej funkcii (k súčtu) nezávisí na premennej z. Presnejšie, ak f je
limitná funkcia postupnosti {fn}, potom pre každé ε > 0 existuje index
nε ∈ N tak, že
|fn(z) − f(z)| < ε pre každé n ≥ nε a pre každé z ∈ G.
Rad fn(z) konverguje rovnomerne k súčtu f na G, ak jeho príslušná
postupnosť čiastočných súčtov {sk} konverguje rovnomerne k f na G.
Symbolicky zapisujeme fn f ( fn f) na G.
Veta 12 (Cauchyho–Bolzanove kritériá rovnomernej konvergencie)
Postupnosť {fn} konverguje rovnomerne na G práve vtedy, keď pre každé
ε > 0 existuje index nε ∈ N tak, že
|fn(z) − fm(z)| < ε pre každé n, m ≥ nε a pre každé z ∈ G.
Rad fn konverguje rovnomerne na G práve vtedy, keď pre každé ε > 0
existuje index nε ∈ N tak, že
m+n
k=n
fk(z) < ε pre každé n ≥ nε, m ∈ N, a pre každé z ∈ G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Cauchyho–Bolzanove kritéria udávajú nutné a zároveň postačujúce podmienky
rovnomernej konvergencie postupnosti (radu) funkcií. Pre praktické výpočty sa
však s výhodu využíva nasledujúce postačujúce kritérium.
Veta 13 (Weierstrassovo kritérium rovnomernej konvergencie)
Ak pre rad fn existuje konvergentný reálny číselný rad αn s vlastnosťou
|fn(z)| ≤ αn pre každé n ∈ N a pre každé z ∈ G,
potom rad fn konverguje rovnomerne na množine G.
Reálny číselný rad αn vo Vete 13 sa nazýva majorantný rad (majoranta) pre
funkcionálny rad fn.
Veta 14
Nech {fn} je postupnosť funkcií spojitých na množine G ⊆ C. Ak rad fn
konverguje rovnomerne na G k súčtu f, potom funkcia f je spojitá na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Mocninové rady
Dôležitým typom funkcionálnych radov sú tzv. mocninové rady, t.j., rady tvaru
∞
n=0
an(z − z0)n
, (32)
kde z0, an ∈ C pre každé n ∈ N0. Číslo z0 sa nazýva stred mocninového radu
(32) a čísla an jeho koeficienty. Množina všetkých komplexných čísiel z, pre
ktoré rad (32) konverguje, sa nazýva obor konvergencie mocninového radu. Je
zrejme, že obor konvergencie ľubovoľného mocninového radu je vždy neprázdna
podmnožina v C (rad (32) vždy konverguje vo svojom strede z0). Nasledujúce
dve vety popisujú štruktúru oboru konvergencie mocninových radov.
Veta 15 (Abelova veta)
Ak mocninový rad (32) konverguje v istom komplexnom čísle z1 = z0, potom
konverguje absolútne v každom z ∈ C spĺňajúcom
|z − z0| < |z1 − z0|.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 16 (Cauchyho–Hadamardova veta)
Pre rad (32) definujme nezáporné reálne číslo R predpisom
R := 1/ lim sup
n→∞
n
|an|. (33)
Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Ak R = 0, potom rad (32) konverguje iba vo svojom strede z0 (teda
diverguje na C \ {z0}).
(ii) Ak R = ∞, potom rad (32) konverguje absolútne v každom z ∈ C.
(iii) Ak 0 < R < ∞, potom rad (32) konverguje absolútne pre každé z ∈ C
spĺňajúce |z − z0| < R a diverguje pre každé z ∈ C spĺňajúce |z − z0| > R.
Číslo R v (33) sa nazýva polomer konvergencie mocninového radu (32). Pre R
kladné a konečné sa množina
{z ∈ C, |z − z0| < R} (34)
označuje ako konvergenčný kruh radu (33). Rad (33) konverguje absolútne vo
svojom konvergenčnom kruhu. Naviac, može konvergovať v niektorých bodoch
tzv. konvergenčnej kružnice |z − z0| = R.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Poznámka 4
Ak existuje limn→∞
n
|an|, potom polomer konvergencie R radu (32) spĺňa
R = 1/ lim
n→∞
n
|an|. (35)
Ak naviac existuje i limn→∞ |an+1/an|, potom polomer konvergencie R je
možné vyjadriť aj v tvare
R = 1/ lim
n→∞
an+1
an
. (36)
Identita (36) vyplýva z nerovností
lim inf
n→∞
an+1
an
≤ lim inf
n→∞
n
|an| ≤ lim sup
n→∞
n
|an| ≤ lim sup
n→∞
an+1
an
.
Veta 17
Rad (32) s kladným polomerom konvergencie konverguje absolútne vo svojom
konvergenčnom kruhu. Naviac, rad (32) konverguje rovnomerne na každej
kompaktnej podmnožine svojho konvergenčného kruhu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 18
Nech mocninový rad (32) má kladný polomer konvergencie R a nech f značí
súčet radu (32), t.j.,
f(z) =
∞
n=0
an(z − z0)n
, |z − z0| < R.
Potom funkcia f je spojitá a holomorfná v konvergenčnom kruhu radu (32) a
f (z) = a1 + 2a2(z − z0) + · · · =
∞
n=0
(n + 1)an+1(z − z0)n
(37)
pre každé z ∈ C spĺňajúce |z − z0| < R. Obzvlášť, mocninový rad (37) (tzv.
derivácia radu (32)) má opäť polomer konvergencie R.
Z Vety 18 vyplýva, že súčet každého mocninového radu je funkcia holomorfná v
konvergenčnom kruhu tohto radu. Naviac, tento súčet má derivácie všetkých
rádov, ktoré sú opäť holomorfné v danom konvergenčnom kruhu. Neskôr
ukážeme, že každá holomorfná funkcia (na otvorenej podmnožine v C) sa dá
vyjadriť ako súčet istého mocninového radu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 22
Najjednoduchším netriviálnym príkladom mocninového radu je geometrický rad
∞
n=0
zn
= 1 + z + z2
+ z3
+ · · · ,
pozri tiež Príklad 10 b). Jedná sa o mocninový rad so stredom v bode z0 = 0.
Nakoľko v tomto prípade an = 1 pre každé n ∈ N0, platí
lim sup
n→∞
n
|an| = lim sup
n→∞
1 = lim
n→∞
1 = 1.
Pre polomer konvergencie teda máme R = 1 a konvergenčný kruh daného radu
má tvar |z| < 1, podľa Vety 16. Ako sme ukázali v Príklade 10 b), kruh |z| < 1
je zároveň aj oborom konvergencie daného radu (geometrický rad v zadaní totiž
diverguje v každom bode konvergenčnej kružnice |z| = 1).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 23
Nájdime polomery konvergencie mocninových radov
a)
∞
n=0
(n!) zn
, b)
∞
n=0
zn
n!
.
a) Platí an = n! pre n ∈ N0. Keďže existuje limita
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
(n + 1)!
n!
= lim
n→∞
(n + 1) = ∞,
podľa formuly (36) v Poznámke 4 polomer konvergencie je R = 1/∞ = 0. V
súlade s Vetou 16(i) teda daný rad konverguje iba vo svojom strede z = 0.
b) V tomto prípade máme an = 1/n! pre n ∈ N0 a
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
n!
(n + 1)!
= lim
n→∞
1
n + 1
= 0.
Pre polomer konvergencie potom platí R = 1/0 = ∞. Podľa Vety 16(ii) rad
konverguje absolútne v celej komplexnej rovine.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 24
Určme obor konvergencie mocninového radu
∞
n=0
(z + 2)n
(n + 2)3 4n
.
Koeficienty tohto radu majú tvar an = 1
(n+2)3 4n , n ∈ N0. Ďalej platí
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
1
(n+3)3 4n+1
1
(n+2)3 4n
= lim
n→∞
1
4
n + 2
n + 3
3
=
1
4
.
Preto polomer konvergencie je R = 4. Podľa Vety 16(iii) rad v zadaní príkladu
konverguje absolútne na množine |z + 2| < 4 a diverguje pre |z + 2| > 4. V
prípade bodov konvergenčnej kružnice, t.j., |z + 2| = 4, platí
(z + 2)n
(n + 2)3 4n
=
|z + 2|n
(n + 2)3 4n
=
4n
(n + 2)3 4n
=
1
(n + 2)3
.
Z reálnej analýzy vieme, že číselný rad 1/(n + 2)3
je konvergentný. Preto
podľa porovnávacieho kritéria rad v zadaní príkladu konverguje absolútne i na
konvergenčnej kružnici. Obor konvergencie je teda uzavretý kruh |z + 2| ≤ 4.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 25
Nájdime obor konvergencie radu
∞
n=1
z3n
n
.
Jedná sa o mocninový rad anzn
, v ktorom niektoré mocniny z “chýbajú”
∞
n=1
z3n
n
= 0 · z0
+ 0 · z1
+ 0 · z2
+ (1/1) · z3
+ 0 · z4
+ 0 · z5
+ (1/2) · z6
+ · · · .
Všeobecný koeficient an tohto radu možno zapísať v tvare
an =
0, n = 0, n = 3k − 2, n = 3k − 1,
3/n, n = 3k = 0.
Postupnosť n
|an| má teda dva hromadné body, 0 a limn→∞
n
3/n = 1.
To znamená, že lim supn→∞
n
|an| = 1, a polomer konvergencie R = 1. Rad
v zadaní preto konverguje absolútne v kruhu |z| < 1 a diverguje pre |z| > 1.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 25
Vyšetríme teraz konvergenciu radu na konvergenčnej kružnici |z| = 1. Každé
takéto z má podľa (3) goniometrický tvar z = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ [−π, π).
Dosadením do radu v zadaní a využitím Moivreovho vzorca (8) dostaneme
∞
n=1
z3n
n
=
∞
n=1
(cos ϕ + i sin ϕ)3n
n
(8)
=
∞
n=1
cos 3nϕ + i sin 3nϕ
n
=
∞
n=1
(cos 3nϕ/n) + i
∞
n=1
(sin 3nϕ/n).
Pre 3ϕ = 2kπ sú obidva reálne rady v poslednom výraze konvergentné, podľa
Dirichletovho kritéria. Teda konverguje i pôvodný komplexný rad v zadaní. Vo
zvyšných prípadoch, t.j., v súlade s −π ≤ ϕ < π, pre
ϕ1 = −2π/3 z1 = cos (−2π/3) + i sin (−2π/3) = −(1 + i
√
3)/2,
ϕ2 = 0 z2 = cos 0 + i0 = 1,
ϕ3 = 2π/3 z3 = cos (2π/3) + i sin (2π/3) = (−1 + i
√
3)/2
daný komplexný rad diverguje. Obor konvergencie je teda uzavretý kruh |z| ≤ 1
okrem vyššie uvedených bodov z1, z2, z3.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
4 Elementárne funkcie
5 Komplexný integrál a Cauchyho teória
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Polynómy a racionálne lomené funkcie
Polynómom stupňa n ∈ N0 rozumieme funkciu komplexnej premennej z tvaru
P(z) = anzn
+ an−1zn−1
+ · · · + a1z + a0, (38)
kde komplexné čísla a0, a1, . . . , an, an = 0, sa nazývajú koeficienty polynómu.
Ak a0 = · · · = an = 0, t.j., P(z) ≡ 0 v C, hovoríme o tzv. nulovom polynóme.
Stupeň nulového polynómu kladieme −∞. Je ďalej zrejmé, že každá nenulová
konštantná funkcia je polynómom stupňa 0. Komplexné číslo z0 s vlastnosťou
P(z) = (z − z0)k
Q(z),
kde Q(z) je polynóm s vlastnosťou Q(z0) = 0, nazývame k-násobným koreňom
polynómu P.
Veta 19 (Základná veta algebry)
Každý polynóm stupňa väčšieho ako nula s komplexnými koeficientami má v C
aspoň jeden koreň.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Priamym dôsledkom Vety 19 je skutočnosť, že každý polynóm P stupňa n > 0
má v C práve n koreňov vrátane ich násobností. To dáva rozklad polynómu P
P(z) = an(z − z1)k1
(z − z2)k2
· · · (z − zl)kl
, (39)
kde z1, z2, . . . , zl sú navzájom rôzne korene polynómu P s odpovedajúcimi
násobnosťami k1, k2, . . . , kl, pričom platí k1 + k2 + · · · + kl = n. Polynómy sú
funkcie spojité a holomorfné v celej komplexnej rovine s deriváciou
P (z) = nanzn−1
+ (n − 1) an−1zn−2
+ · · · + 2a2z + a1, z ∈ C.
Racionálnu lomenú funkciu definujeme ako podiel dvoch polynómov, t.j.,
f(z) = P(z)/Q(z), (40)
kde P, Q sú polynómy a Q ≡ 0. Definičný obor racionálnej lomenej funkcie f je
množina C \ {z ∈ C, Q(z) = 0}. Každá racionálna lomená funkcia f v (40) sa
dá vyjadriť ako súčet polynómu a konečného počtu parciálnych zlomkov tvaru
A/(z − α)k
,
kde A ∈ C a α ∈ C je aspoň k-násobný koreň polynómu Q. Racionálne lomené
funkcie sú spojité a holomorfné všade na svojich definičných oboroch.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Exponenciálna funkcia
Exponenciálnu funkciu komplexnej premennej z definujeme vzťahom
exp z =
∞
n=0
zn
n!
. (41)
Mocninový rad v (41) konverguje absolútne v celej komplexnej rovine (polomer
konvergencie R = ∞). Podľa Viet 17 a 18 je preto funkcia exp z definovaná a
holomorfná v celom C s deriváciou
(exp z) = exp z pre každé z ∈ C. (42)
Z definície v (41) ďalej vyplýva, že platí
exp 0 = 1, (exp z) · (exp w) = exp(z + w), z, w ∈ C. (43)
Exponenciálna funkcia exp z je preto nenulová v celej komplexnej rovine a
(exp z)−1
= exp(−z), z ∈ C. (44)
Vlastnosti (42), (43) a (44) naznačujú, že funkcia exp z je holomorfným
rozšírením reálnej exponenciálnej funkcie ex
z R na C. Budeme preto používať
označenie ez
namiesto exp z.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 20 (Jednoznačnosť exponenciálnej funkcie)
Nech G ⊆ C je oblasť obsahujúca bod 0. Komplexná funkcia f definovaná na
G je exponeciálnou funkciou na G, t.j., platí f(z) = ez
pre každé z ∈ G, práve
vtedy, keď f je holomorfná na G a platí f(0) = 1 a f (z) = f(z) na G.
Dôsledok 2
Pre každé z = x + iy ∈ C platia nasledujúce tvrdenia.
(i) ez
= ex
cos y + i ex
sin y.
(ii) Re ez
= eRe z
cos (Im z), Im ez
= eRe z
sin (Im z), e¯z
= ez.
(iii) | ez
| = eRe z
= ex
, arg ez
≡ Im z = y (mod 2π).
Poznamenajme, že z Dôsledku 2(iii) vyplýva, že oborom hodnôt funkcie ez
sú
všetky nenulové komplexné čísla z, t.j., množina C \ {0}. Ďalej platia relácie
ez
= 1 ⇐⇒ z = 2kπi, k ∈ Z, (45)
ez
= −1 ⇐⇒ z = (2k − 1)πi, k ∈ Z, (46)
ez1
= ez2
⇐⇒ z1 − z2 = 2kπi, k ∈ Z. (47)
Podľa (47) je teda funkcia ez
periodická s množinou všetkých periód 2πiZ.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Goniometrické a hyperbolické funkcie
Goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens pre z ∈ C definujeme
sin z =
∞
n=0
(−1)n
(2n + 1)!
z2n+1
, cos z =
∞
n=0
(−1)n
(2n)!
z2n
, (48)
tg z = sin z/ cos z, cotg z = cos z/ sin z. (49)
K nim odpovedajúce komplexné hyperbolické funkcie sa definujú
sh z =
∞
n=0
z2n+1
(2n + 1)!
, ch z =
∞
n=0
z2n
(2n)!
, (50)
tgh z = sh z/ch z, cotgh z = ch z/sh z. (51)
Platia tzv. Eulerove vzorce
cos z ± i sin z = e±iz
, ch z ± sh z = e±z
, z ∈ C, (52)
ktoré dávajú do súvislosti goniometrické funkcie sin z, cos z, resp. hyperbolické
funkcie sh z, ch z, s exponenciálnou funkciou ez
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Pomocou formúl (52) je možné pre každé z ∈ C ľahko odvodiť vyjadrenia
sin z =
eiz
− e−iz
2i
, cos z =
eiz
+ e−iz
2
, (53)
sh z =
ez
− e−z
2
, ch z =
ez
+ e−z
2
. (54)
Definície v (48) a (50) ďalej dávajú vzájomné vzťahy medzi funkciami sin z,
sh z a cos z, ch z
sh z = −i sin (iz), sin z = −i sh (iz), (55)
ch z = cos (iz), cos z = ch (iz). (56)
Z identít (53), (54) a z vlastností exponenciálnej funkcie ez
vyplýva, že funkcie
sin z, cos z, sh z a ch z sú definované a holomorfné v celej komplexnej rovine a
(sin z) = cos z, (cos z) = − sin z, (57)
(sh z) = ch z, (ch z) = sh z. (58)
Hovoríme preto, že tieto funkcie sú holomorfnými rozšíreniami reálnych funkcií
sin x, cos x, sinh x a cosh x z R na C.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Goniometrické a hyperbolické funkcie spĺňajú všetky formule platiace pre ich
reálne analógie. Napríklad, pre každé z ∈ C platia rovnosti
sin2
z + cos2
z = 1, ch2
z − sh2
z = 1.
Funkcie sin z a sh z sú nepárne, t.j.,
sin(−z) = − sin z, sh (−z) = −sh z,
kým funkcie cos z a ch z sú párne, t.j.,
cos(−z) = cos z, ch (−z) = ch z.
Funkcie sin z, cos z sú periodické s možinou všetkých periód 2πZ. Funkcie sh z,
ch z sú periodické s periódami 2πiZ. Ďalej platia relácie
sin z = 0 ⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z, (59)
cos z = 0 ⇐⇒ z = (2k − 1)π/2, k ∈ Z, (60)
sh z = 0 ⇐⇒ z = kπi, k ∈ Z, (61)
ch z = 0 ⇐⇒ z = (2k − 1)πi/2, k ∈ Z. (62)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 21
Pre každé z = x + iy ∈ C platia nasledujúce tvrdenia.
(i) sin z = sin x ch y + i cos x sh y, cos z = cos x ch y − i sin x sh y.
(ii) sin ¯z = sin z, cos ¯z = cos z.
(iii) | sin z| = sin2
x + sh2
y, | cos z| = cos2 x + sh2
y.
Veta 22
Pre každé z = x + iy ∈ C platia nasledujúce tvrdenia.
(i) sh z = sh x cos y + i ch x sin y, ch z = ch x cos y + i sh x sin y.
(ii) sh ¯z = sh z, ch ¯z = ch z.
(iii) | sh z| = sh2
x + sin2
y, | ch z| = ch2
x − sin2
y.
Z Vety 21(iii) vyplýva, že goniometrické funkcie sin z a cos z sú v komplexnom
obore neohraničené (na rozdiel od reálneho oboru), nakoľko reálny hyperbolický
sínus sh y nie je ohraničený v R. Oborom hodnôt funkcií sin z, cos z, sh z, ch z
je celé C.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Logaritmická funkcia
Funkcia inverzná k exponenciálnej funkcii ez
sa nazýva logaritmus (logaritmická
funkcia). Keďže funkcia ez
je periodická (s periódami 2πiZ), logaritmus je vo
všeobecnosti mnohoznačná funkcia a označujeme ju Log. Logaritmická funkcia
je definovaná pre nenulové komplexné čísla, pričom pre každé z ∈ C \ {0} platí
Log z = ln |z| + i Arg z = ln |z| + i arg z + 2kπi, k ∈ Z. (63)
Funkcia Log v (63) spĺňa základné vlastnosti
eLog z
= z, Log (ez
) = z + 2kπi, z ∈ C \ {0}, k ∈ Z. (64)
Každá celočíslená hodnota k v (63) určuje jedinú jednoznačnú vetvu logaritmu
Log. Pre k = 0 dostaneme tzv. hlavnú vetvu logaritmu, ktorá sa označuje log.
Pre každé nenulové komplexné číslo z potom platí
log z = ln |z| + i arg z, Re (log z) = ln |z|, Im (log z) = arg z. (65)
Obor hodnôt hlavnej vetvy logaritmu log je teda {w ∈ C, −π ≤ Im w < π}.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 23
Hlavná vetva logaritmu log je funkcia holomorfná na množine C \ (−∞, 0] a
(log z) = 1/z pre každé z ∈ C \ (−∞, 0].
Dôvodom, prečo sa vo Vete 23 uvažuje množina C \ (−∞, 0] a nie celý
definičný obor C \ {0} funkcie log, je skutočnosť, že funkcia arg, a následne,
podľa (65), i funkcia log, nie sú spojité na polpriamke (−∞, 0) v C. To
znamená, že hlavná vetva logaritmu log nemôže byť ani holomorfná na
(−∞, 0) (pozri Definícia 2 a Veta 6). Poznamenajme, že štandardné vlastnosti
reálnych logaritmov platia v komplexnom obore iba pre funkciu Log, t.j., pre
každé z1, z2 ∈ C \ {0} máme
Log (z1z2) = Log z1 + Log z2, Log (z1/z2) = Log z1 − Log z2, (66)
ale vo všeobecnosti log(z1z2) = log z1 + log z2 a log(z1/z2) = log z1 − log z2.
Naproti tomu, platí klasická rovnosť log 1 = 0, avšak
Log 1 = 2kπi, k ∈ Z, teda Log 1 = 2πiZ. (67)
Tieto skutočnosti sú dôsledkom mnohoznačnosti logaritmickej funkcie Log, t.j.,
symbol Log z znamená istú množinu hodnôt, a nielen jednu konkrétnu hodnotu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Mocninová funkcia
Pre dané c ∈ C definujeme funkciu c-tá mocnina komplexnej premennej z ako
zc
= ec Log z
. (68)
Definičným oborom mocninovej funkcie pre všeobecné komplexné c je množina
C \ {0}. Využitím formúl v (63) a (65) sa výraz v (68) dá vyjadriť v tvare
zc
= ec (ln |z|+i arg z+2kπi)
= ec (log z+2kπi)
, k ∈ Z, z ∈ C \ {0}. (69)
Funkcia zc
je preto vo všeobecnosti mnohoznačnou komplexnou funkciou. Pre
jednotlivé celočíselné hodnoty k dostávame jej tzv. jednoznačné spojité vetvy.
Jednoznačná vetva mocninovej funkcie v (69) odpovedajúca hodnote k = 0 sa
zvykne označovať ako hlavná spojitá vetva funkcie zc
. Významnu triedu tvoria
mocninové funkcie s reálnym racionálnym exponentom c, t.j., pre c = m/n, kde
m ∈ Z a n ∈ N. V tomto prípade je funkcia zc
najviac n-značná a platí
z
m
n = |z|
m
n cos
m arg z + 2mkπ
n
+ i sin
m arg z + 2mkπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1, z ∈ C \ {0}. (70)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
n = 1 – mocninová funkcia sa redukuje na polynóm (m ≥ 0), resp. na
racionálnu lomenú funkciu (m < 0). V tomto prípade máme jednoznačnú
funkciu s hodnotou
zm
= |z|m
[cos (m arg z) + i sin (m arg z)] , z ∈ C \ {0}.
m = 1 – jedná sa o n-tú odmocninu, zavedenú v (12). Mocninová funkcia
je n-značná, definovaná v celej komplexnej rovine s hodnotami v (12).
m, n sú vzájomne nesúdeliteľné – mocninová funkcia je v tomto prípade
práve n-značná, pričom pre dané nenulové komplexné číslo z0 hodnoty
z
m/n
0 ležia vo vrcholoch pravidelného n-uholníka vpísaného do kružnice so
stredom v bode 0 a s polomerom |z0|m/n
. Okrem toho platia identity
z
m
n = n
√
z
m
= n
√
zm pre každé z ∈ C \ {0}.
m, n majú netriviálneho spoločného deliteľa – v tomto prípade má funkcia
zm/n
práve n/d jednoznačných spojitých vetiev, kde d označuje najväčší
spoločný deliteľ čísiel m a n. Ďalej platí z
m
n = ( n
√
z)
m
pre každé nenulové
z, avšak vo všeobecnosti z
m
n = n
√
zm, ako to ilustujeme v Príklade 32.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 24
Nech m ∈ Z a n ∈ N. Každá jednoznačná vetva mocninovej funkcie zm/n
je
holomorfná na množine C \ (−∞, 0] a platí
z
m
n =
m
n
·
z
m
n
z
pre každé z ∈ C \ (−∞, 0].
V súlade s Vetou 24 potom hovoríme o jednoznačných holomorfných vetvách
mnohoznačnej funkcie zm/n
.
Príklad 26
Vypočítajme
eiπ
, e2+i π
6 .
Podľa Dôsledku 2(i) platí
eiπ
= e0+iπ
= e0
cos π + e0
sin π = −1,
e2+i π
6 = e2
cos (π/6) + i e2
sin (π/6) =
e2
2
√
3 + i .
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 27
Nájdime v C všetky riešenia rovnice
sin z = 2.
Nech z = x + iy. Potom podľa Vety 21(i) je rovnica v zadaní ekvivalentná s
sin x ch y + i cos x sh y = 2 ⇐⇒ sin x ch y = 2 ∧ cos x sh y = 0.
Z posledných dvoch rovníc vyplýva cos x = 0, teda x = (2k + 1)π/2 pre k ∈ Z.
Po dosadení do rovnice sin x ch y = 2 dostaneme ch y = ±2. Keďže reálna
hyperbolická funkcia ch y nadobúda len kladné hodnoty, platí ch y = 2, a podľa
(54) máme
ey
+ e−y
= 4.
Táto transcendentná rovnica má práve dve riešenia y = ln 2 ±
√
3 . Množina
všetkých riešení rovnice v zadaní príkladu má teda tvar
z =
π
2
+ kπ + i ln 2 ±
√
3 , k ∈ Z.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 28
Dokážme rovnosť množín
Log (1/z) = −Log z, z ∈ C \ {0},
a zároveň nájdime z, pre ktoré log (1/z) = − log z, resp. log (1/z) = − log z.
Pre ľubovoľné z ∈ C \ {0} platia podľa (66) a (67) rovnosti množín
Log (1/z) = Log 1 − Log z = {2kπi, k ∈ Z} − {ln |z| + arg z + 2lπi, l ∈ Z}
= {− ln |z| − arg z + 2(k − l)πi, k, l ∈ Z}
= −{ln |z| + arg z + 2mπi, m ∈ Z} = −Log z.
Napríklad pre z = −2 = −2 + i0 pomocou (65) máme
log (−1/2) = ln | − 1/2| + i arg (−1/2) = − ln 2 − iπ,
− log (−2) = − ln | − 2| − i arg (−2) = − ln 2 + iπ.
Teda log (−1/2) = − log (−2). Naproti tomu, pre z = 1 + i dostaneme rovnosť
log [1/(1 + i)] = log [(1 − i)/2] = ln (1/
√
2) − iπ/4,
− log (1 + i) = − ln
√
2 − iπ/4 = ln (1/
√
2) − iπ/4.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Poznámka 5 (k Príkladu 28)
Pozorovania v Príklade 28 majú svoje zovšeobecnenie. Konkrétne, dá sa
ukázať, že pre každé nenulové komplexné číslo z platí
log
1
z
=



− log z − 2πi, z ∈ (−∞, 0),
− log z, z ∈ C \ (−∞, 0].
Skutočne, ako sme zistili v Príklade 28, pre z = −2 ∈ (−∞, 0) máme
− log (−2) − 2πi = − ln 2 + iπ − 2πi = − ln 2 − πi = log (−1/2),
kým pre z = 1 + i ∈ C \ (−∞, 0] sme dostali log [1/(1 + i)] = − log (1 + i).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 29
Vypočítajme
a) log i, Log i b) log (2 + 3i), Log (2 + 3i).
a)
log i = ln | i | + i arg i = ln 1 + iπ/2 = iπ/2,
Log i = {log i + 2kπi, k ∈ Z} = {i (π/2 + 2kπ) , k ∈ Z}.
b)
log (2 + 3i) = ln |2 + 3i| + i arg (2 + 3i) = ln
√
13 + i arctg (3/2),
Log (2 + 3i) = {log (2 + 3i) + 2kπi, k ∈ Z}
= {ln
√
13 + i (arctg (3/2) + 2kπ) , k ∈ Z}.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 30
Stanovme
1i
, ii
, 1(1+i)/
√
2
.
V súlade s definíciami v (68) a (69) postupne dostaneme
1i
= ei Log 1
= ei (ln 1+2kπi)
= e−2kπ
, k ∈ Z,
ii
= ei Log i
= ei (ln | i |+iπ/2+2kπi)
= ei (iπ/2+2kπi)
= e−π/2−2kπ
, k ∈ Z,
1(1+i)/
√
2
= e
1+i√
2
Log 1
= e
1+i√
2
(ln 1+2kπi)
= e(−1+i)
√
2kπ
= e−
√
2kπ+i
√
2kπ
= e−
√
2kπ
cos
√
2kπ + i sin
√
2kπ , k ∈ Z.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 31
Porovnajme nasledujúce množiny
(−8)
2
3 , 3
√
−8
2
, 3
(−8)2.
Na všetky tri mocniny aplikujeme vzorec v (70). Podľa Príkladu 4 vieme, že
| − 8| = 8 a arg (−8) = −π. V prípade prvej mocniny je m = 2 a n = 3, teda
(−8)
2
3 = 4 cos
4kπ − 2π
3
+ i sin
4kπ − 2π
3
, k = 0, 1, 2.
Celkovo máme tri hodnoty pre mocninu (−8)2/3
, a to
k = 0 −→ 4 [cos (−2π/3) + i sin (−2π/3)] = −2 − 2
√
3i,
k = 1 −→ 4 [cos (2π/3) + i sin (2π/3)] = −2 + 2
√
3i,
k = 2 −→ 4 [cos (2π) + i sin (2π)] = 4.
Pri zisťovaní hodnôt druhej mocniny 3
√
−8
2
využijeme výsledky z Príkladu 4,
pričom dostaneme
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 31
3
√
−8 =



1 − i
√
3,
1 + i
√
3,
−2,
=⇒ 3
√
−8
2
=



−2 − 2
√
3i,
−2 + 2
√
3i,
4.
Pre poslednú mocninu v zadaní príkladu platí 3
(−8)2 = 3
√
64. Preto vo vzorci
(70) dosadzujeme m = 1, n = 3, z = 64, |z| = 64 a arg z = arg (64) = 0, t.j.,
3
(−8)2 =
3
√
64 = 4 cos
2kπ
3
+ i sin
2kπ
3
, k = 0, 1, 2.
Jednotlivé hodnoty pre 3
(−8)2 potom sú
k = 0 −→ 4 [cos 0 + i sin 0] = 4,
k = 1 −→ 4 [cos (2π/3) + i sin (2π/3)] = −2 + 2
√
3i,
k = 2 −→ 4 [cos (4π/3) + i sin (4π/3)] = −2 − 2
√
3i.
Vo všetkých troch prípadoch sme dostali rovnakú množinu hodnôt mocnín.
Tento výsledok je v súlade s diskusiou uvedenou vyššie, nakoľko čísla m = 2 a
n = 3 sú vzájomne nesúdeliteľné.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 32
Porovnajme nasledujúce množiny
(−4)
2
4 , 4
√
−4
2
, 4
(−4)2.
Na mocniny aplikujeme podobný postup ako v Príklade 31. Postupne
dostaneme
(−4)
2
4 = (−4)
1
2 =
√
−4 = ±2i,
4
√
−4 =



1 − i,
1 + i,
−1 + i,
−1 − i,
=⇒ 4
√
−4
2
=
−2i,
2i,
4
(−4)2 =
4
√
16 =



2,
2i,
−2,
−2i.
Platí teda (−4)
2
4 = 4
√
−4
2
= 4
(−4)2, nakoľko čísla m = 2 a n = 4 nie sú
vzájomne nesúdeliteľné a majú netriviálneho spoločného deliteľa d = 2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
L’Hospitalovo pravidlo v komplexnom obore
Podobne ako v reálnom obore, tak i v C platí tzv. L’Hospitalovo pravidlo, ktoré
umožňuje výpočet istého typu limít funkcií. Poznamenajme, že L’Hospitalovo
pravidlo pre komplexné funkcie je silnejšie tvrdenie než jeho “reálna verzia”. Je
to spôsobené skutočnosťou, že pôvodný predpoklad reálnej diferencovateľnosti
funkcií je teraz nahradený silnejším predpokladom holomorfnosti funkcií. Pre
r ∈ R+
a z0 ∈ C budeme pod pojmom prstencové r-okolie bodu z0 rozumieť
množinu K∗
(z0, r) = {z ∈ C, 0 < |z − z0| < r}. V prípade nevlastného bodu
z0 = ∞ definujeme K∗
(∞, r) = {z ∈ C, |z| > 1/r}.
Veta 25 (L’Hospitalovo pravidlo)
Nech funkcie f a g sú holomorfné na prstencovom okolí K∗
(z0, r), r > 0, bodu
z0 ∈ ˜C a nech platí limz→z0 f(z) = 0 = limz→z0 g(z), pričom g nie je identicky
nulová funkcia. Potom existuje limz→z0 (f(z)/g(z)) (vlastná, nevlastná) a platí
lim
z→z0
f(z)
g(z)
= lim
z→z0
f (z)
g (z)
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 33
Určme limitu
lim
z→0
log (1 + z)
z
.
Zložená funkcia f(z) = log (1 + z) je podľa Vety 23 definovaná a holomorfná
na C \ (−∞, −1], kým funkcia g(z) = z je holomorfná v celej komplexnej
rovine. Ďalej g ≡ 0 v C a platí
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
log (1 + z) = log 1 = 0, lim
z→0
g(z) = lim
z→0
z = 0.
Sú teda splnené všetky predpoklady Vety 25. Limita v zadaní príkladu existuje a
lim
z→0
log (1 + z)
z
= lim
z→0
[log (1 + z)]
(z)
= lim
z→0
1
1+z
1
= lim
z→0
1
1 + z
= 1.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Obsah
1 Komplexné čísla
2 Postupnosti, rady a funkcie
3 Komplexná derivácia a holomorfné funkcie
4 Elementárne funkcie
5 Komplexný integrál a Cauchyho teória
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Komplexný krivkový integrál
Nech [α, β] ⊆ R je reálny interval a nech f : [α, β] → C je komplexná funkcia
reálnej premennej t ∈ [α, β]. Pre funkciu f sa definuje derivácia f (t0) v bode
t0 ∈ (α, β) vzťahom
f (t0) = lim
t→t0
f(t) − f(t0)
t − t0
= [Re f] (t0) + i [Im f] (t0), (71)
kde [Re f] (t0), [Im f] (t0) znamenajú (reálne) derivácie reálnych funkcií Re f,
Im f podľa premennej t. V prípade t0 = α, resp. t0 = β uvažujeme deriváciu
sprava, resp. zľava
f+(α) = [Re f]+(α)+i [Im f]+(α), resp. f−(β) = [Re f]−(β)+i [Im f]−(β).
Ďalej definujeme určitý integrál komplexnej funkcie f reálnej premennej t na
intervale [α, β] zápisom
β
α
f(t) dt =
β
α
Re f(t) dt + i
β
α
Im f(t) dt. (72)
Pre počítanie s deriváciami a určitými integrálmi z komplexných funkcií reálnej
premennej platia pravidlá analogické reálnemu oboru (substitúcia, per-partes).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 34
Vypočítajme deriváciu a určitý integrál z funkcie
f(t) = eiat
, a ∈ R, t ∈ [0, 2π].
Využijúc Dôsledok 2(i), oddelíme reálnu a imaginárnu časť funkcie f
f(t) = eiat
= cos at + i sin at, t ∈ [0, 2π].
Potom podľa (71) a (72) postupne máme
f (t) = −a sin at + ia cos at = iaeiat
,
2π
0
f(t) dt =
2π
0
cos at dt + i
2π
0
sin at dt
=
1
a
sin at
2π
0
+ i −
1
a
cos at
2π
0
=
1
ia
eiat
2π
0
=
e2aπi
− 1
ia
.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Poznámka 6
Poznamenajme, že výsledky v Príklade 34 sú analogické s tradičnými pravidlami
pre deriváciu a neurčitý integrál exponenciálnej funkcie, t.j., pre a ∈ R platí
eiat
= ia · eiat
, eiat
dt =
1
ia
· eiat
.
Ako sa možno ľahko presvedčiť, tieto vlastnosti exponenciálnej funkcie zostanú
v platnosti i pre komplexnú hodnotu konštanty a. Konkrétne, platia rovnosti
eat
= a · eat
, eat
dt =
1
a
· eat
+ K, a ∈ C, (73)
kde K označuje komplexnú integračnú konštantu. Na druhej strane, nie všetky
pravidlá platné v R fungujú i pre komplexné funkcie reálnych premenných. V
Príklade 35 demonštrujeme neplatnosť reálneho L’Hospitalovho pravidla.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 35
Nech f(t) = t a g(t) = t ei/t
pre t ∈ R \ {0}. Potom platí limt→0 f(t) = 0 a
lim
t→0
g(t) = lim
t→0
[t cos (1/t) + i t sin (1/t)] = 0 + i0 = 0.
Ďalej, pre (reálne) derivácie funkcií f, g podľa premennej t máme f (t) = 1 a
g (t) = [t cos (1/t)] + i [t sin (1/t)]
= cos (1/t) + (1/t) · sin (1/t) + i [sin (1/t) − (1/t) · cos (1/t)]
= ei/t
(t − i)/t.
Limita z podielu f /g v bode 0 existuje, pričom
lim
t→0
f (t)
g (t)
= lim
t→0
1
ei/t(t − i)/t
= lim
t→0
t e−i/t
t − i
= lim
t→0
t cos (1/t) − i t sin (1/t)
t − i
=
0 + i0
−i
= 0.
Avšak limita limt→0 f(t)/g(t) = limt→0 e−i/t
neexistuje, napriek tomu, že sú
splnené všetky predpoklady reálneho L’Hospitalovho pravidla.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
V teórii krivkového integrálu v R2
sme rovinnú krivku definovali ako spojité
zobrazenie ϕ : [a, b] → R2
, kde [a, b] ⊆ R, t.j., ako spojité zobrazenie reálneho
intervalu do “reálnej” roviny. Nakoľko medzi rovinou R2
a komplexnou rovinou
C existuje jednoznačná korešpondencia [x, y] ↔ x + iy, v nasledujúcom výklade
budeme krivkou v C rozumieť spojitú komplexnú funkciu reálnej premennej, t.j.,
ϕ : [a, b] → C. Je zrejmé, že pre takto definovanú (komplexnú) krivku platia
všetky pojmy a výsledky získané pre (reálne) krivky v R2
. Obzvlášť, množinu
ϕ = {z ∈ C, z = ϕ(t), t ∈ [a, b]}
budeme nazývať trajektóriou (geometrickým obrazom) krivky ϕ, kým samotné
zobrazenie ϕ potom budeme označovať ako parametrizáciu množiny ϕ . Pre
jednoduchosť budeme komplexné krivky v C a s nimi korešpondujúce reálne
krivky v R2
stotožňovať.
Definícia 3 (Krivkový integrál z komplexnej funkcie)
Nech ϕ : [a, b] → C je cesta a f : ϕ → C spojitá funkcia. Potom krivkový
integrál ϕ
f(z) dz z funkcie f po ceste ϕ definujeme vzťahom
ϕ
f(z) dz =
b
a
f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. (74)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Z predpisu (74) sa dá ľahko odvodiť súvislosť medzi krivkovým integrálom v C
a krivkovým integrálom II. druhu v R2
. Konkrétne, ak u a v označujú reálnu a
imaginárnu časť funkcie f, t.j., f(z) = u(x, y) + iv(x, y) pre z = x + iy ∈ ϕ ,
potom platí formula
ϕ
f(z) dz =
ϕ
[u(x, y) dx − v(x, y) dy] + i
ϕ
[v(x, y) dx + u(x, y) dy]. (75)
Komplexný integrál v (74) má mnohé analogické vlastnosti ako krivkový integrál
II. druhu v R. Obzvlášť, jeho hodnota sa tzv. reparametrizáciou cesty ϕ nemení
(t.j., integrál v (74) nezávisí na výbere ekvivalentnej parametrizácie danej cesty
ϕ). Nasledovné tvrdenie objasňuje koncept substitúcie v komplexnom integrále.
Veta 26 (Transformačné pravidlo)
Nech G1, G2 ⊆ C sú otvorené množiny a g : G1 → G2 je holomorfná funkcia.
Nech ϕ1 je cesta v G1 a ϕ2 = g ◦ ϕ1. Potom pre každú komplexnú funkciu f
definovanú a spojitú na ϕ2 platí
ϕ2
f(z) dz =
ϕ1
f(g(w)) g (w) dw. (76)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Realizácia substitúcie pre komplexný integrál v (74) je podľa Vety 26 formálne
analogická ako pri určitom (Riemannovom) integrále v R. Postupne platí
z = g(w)
transformácia integračnej premennej
ϕ2(·) = g(ϕ1(·))
transformácia “integračných medzí”
⇓
dz = g (w) dw
⇓
ϕ2
f(z) dz =
ϕ1
f(g(w)) g (w) dw.
Poznamenajme, že g (w) značí komplexnú deriváciu holomorfnej funkcie g v
bode w ∈ ϕ1 .
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 27
Nech ϕ je cesta v C a {fn}∞
n=1 je postupnosť komplexných funkcií spojitých na
ϕ . Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Ak f je limitná funkcia postupnosti {fn} a fn f na ϕ , potom
lim
n→∞ ϕ
fn(z) dz =
ϕ
lim
n→∞
fn(z) dz =
ϕ
f(z) dz.
(ii) Ak f je súčet radu fn a fn f na ϕ , potom
∞
n=1 ϕ
fn(z) dz =
ϕ
∞
n=1
fn(z) dz =
ϕ
f(z) dz.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Nezávislosť krivkového integrálu na integračnej
ceste a primitívna funkcia
Definícia 4 (Nezávislosť na integračnej ceste)
Nech G ⊆ C je otvorená množina a f : G → C je spojitá funkcia. Hovoríme,
že krivkový integrál ϕ
f(z) dz nezávisí v G na integračnej ceste, ak pre každé
dve cesty ϕ1, ϕ2 v G majúce spoločný začiatočný i koncový bod platí
ϕ1
f(z) dz =
ϕ2
f(z) dz. (77)
Ekvivalentne, krivkový integrál z funkcie f nezávisí v G na integračnej ceste, ak
pre každú uzavretú cestu ϕ v G platí ϕ
f(z) dz = 0.
Definícia 5 (Primitívna funkcia)
Nech G ⊆ C je otvorená množina a f je komplexná funkcia definovaná na G.
Holomorfná funkcia F : G → C sa nazýva primitívna k funkcii f (v G), ak platí
F (z) = f(z) pre každé z ∈ G. (78)
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 28 (Newtonova–Leibnizova formula)
Nech G ⊆ C je otvorená množina a nech f je komplexná funkcia spojitá na G.
Potom F : G → C je primitívna funkcia k f v G práve vtedy, keď pre každú
dvojicu z1, z2 ∈ G a každú cestu ϕ v G so začiatočným bodom z1 a koncovým
bodom z2 platí
ϕ
f(z) dz = F(z2) − F(z1). (79)
Dôsledok 3 (Existencia primitívnej funkcie)
Funkcia f spojitá na otvorenej množine G ⊆ C má v G primitívnu funkciu
práve vtedy, keď krivkový integrál ϕ
f(z) dz nezávisí v G na integračnej ceste.
Poznámka 7
Ako vidno z Dôsledku 3, pojem primitívnej funkcie v C je silnejší koncept než
jeho klasická reálna analógia. Ak F je funkcia primitívna k f na G, potom pre
každú konštantu K ∈ C i funkcia F + K je primitívna k f na G. V prípade, ak
G je súvislá množina, teda oblasť, platí i opačné tvrdenie, t.j., rozdiel dvoch
funkcií, ktoré sú primitívne k f na G, je funkcia konštantná na G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 36
Vypočítajme krivkový integrál
ϕ
1
z
dz,
kde krivka ϕ je polkružnica z = R eit
, R > 0, t ∈ [0, π]. Využijeme Definíciu 3 s
f(z) = 1/z, ϕ(t) = R eit
, t ∈ [0, π].
Podľa Poznámky 6 pre deriváciu krivky ϕ platí ϕ (t) = R i eit
pre t ∈ [0, π]. Po
dosadení do formuly (74) dostaneme
ϕ
1
z
dz =
π
0
1
R eit
· R i eit
dt = i
π
0
dt = iπ.
Poznamenajme, že rovnaký výsledok dostaneme i použitím rovnosti (75), t.j.,
prevodom komplexného krivkového integrálu na dva (reálne) krivkové integrály
II. druhu. V tomto prípade používame “reálnu” parametrizáciu krivky ϕ
x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, π],
keďže z = x + iy a podľa (13) platí eit
= cos t + i sin t. Reálna a imaginárna
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 36
časť funkcie f(z) = 1/z majú tvar
1
z
=
1
x + iy
=
x − iy
(x + iy)(x − iy)
=
x
x2 + y2
− i
y
x2 + y2
⇓
u =
x
x2 + y2
, v = −
y
x2 + y2
.
V súlade s (75) potom počítame dva reálne krivkové integrály
I1 =
ϕ
[u dx − v dy] =
ϕ
x dx + y dy
x2 + y2
,
I2 =
ϕ
[v dx + u dy] =
ϕ
−y dx + x dy
x2 + y2
,
pričom hodnota integrálu v zadaní príkladu je I1 + iI2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 37
Dokážme, že pre pevné n ∈ Z, z0 ∈ C a R > 0 platí
ϕ
(z − z0)n
dz =
0, n = −1,
2πi, n = −1,
(80)
kde ϕ je kružnica |z − z0| = R. Jej parametrické vyjadrenie má zrejme tvar
z − z0 = R eit
=⇒ z = z0 + R eit
, t ∈ [0, 2π].
Pre diferenciál dz potom platí dz = z (t) dt = R i eit
dt. Integrál v zadaní má
potom podľa (74) tvar
ϕ
(z − z0)n
dz =
2π
0
Rn
eint
· R i eit
dt = iRn+1
2π
0
ei(n+1)t
dt.
Ak n = −1, pre posledný integrál pomocou (73) a (45) dostaneme
ϕ
(z − z0)n
dz = iRn+1 ei(n+1)t
i(n + 1)
2π
0
= iRn+1 e2π(n+1)i
− 1
i(n + 1)
(45)
= 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 37
V prípade n = −1 (t.j., n + 1 = 0) platí
ϕ
(z − z0)−1
dz = i
2π
0
dt = i [t]2π
0 = 2πi.
Príklad 38
Pre pevné n ∈ Z stanovme primitívnu funkciu k
f(z) = zn
na množine C \ {0}. Pre n = −1 je F(z) = zn+1
/(n + 1) funkciou primitívnou
k f pre z ∈ C \ {0}, nakoľko F je holomorfná na C \ {0} a F (z) = f(z) pre
z = 0. V prípade n = −1, t.j., f(z) = 1/z, neexistuje primitívna funkcia k f na
C\{0}. Vyplýva to z Dôsledku 3 a z formuly (80) v Príklade 37 s z0 = 0, podľa
ktorej krivkový integrál z 1/z pozdĺž (uzavretej) kružnice so stredom v bode 0
je nenulový. Naproti tomu, na množine C \ (−∞, 0] má funkcia f(z) = 1/z za
primitívnu funkciu hlavnú vetvu logaritmu log, nakoľko podľa Vety 23 platí
(log z) = 1/z, z ∈ C \ (−∞, 0].
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Cauchyho teória krivkového integrálu
V teórii funkcií komplexnej premennej má osobitný význam počítanie integrálov
po uzavretých cestách (napr. Dôsledok 3). Základné výsledky o komplexných
krivkových integráloch pozdĺž uzavretých ciest sa zvyčajne súhrne označujú ako
tzv. Cauchyho teória. Ako uvidíme, významnú úlohu v tejto teórii zohrávajú
funkcie, ktoré sú holomorfné na otvorených podmnožinách komplexnej roviny.
Lema 1
Nech ϕ je merateľná cesta v C a f : ϕ → C je spojitá funkcia. Potom platí
ϕ
f(z) dz ≤ ML(ϕ), kde M = supz∈ ϕ |f(z)| a L(ϕ) je dĺžka krivky ϕ.
Veta 29 (Cauchyho integrálna veta)
Nech G ⊆ C je jednoducho súvislá oblasť a f : G → C funkcia holomorfná v
G. Potom pre každú uzavretú cestu ϕ v G platí
ϕ
f(z) dz = 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Dôkaz Vety 29.
Dôkaz vykonáme pre prípad, keď ϕ je Jordanova cesta (po častiach regulárna,
jednoduchá a uzavretá krivka). Podľa formuly (75) platí
ϕ
f(z) dz =
ϕ
[u(x, y) dx − v(x, y) dy] + i
ϕ
[v(x, y) dx + u(x, y) dy],
kde u, v označujú reálnu a imaginárnu časť funkcie f, t.j., f = u + iv. Keďže f
je holomorfná v G, z Definície 2 a Vety 9 vyplýva, že reálne funkcie u a v sú
(spojito) diferencovateľné v G a spĺňajú Cauchyho–Riemannove rovnosti
ux(x, y) = vy(x, y), uy(x, y) = −vx(x, y), [x, y] ∈ G. (81)
Aplikovaním Greenovej integrálnej vety na dva vyššie uvedené (reálne) krivkové
integrály II. druhu a s označením D := Int ϕ ∪ ϕ dostaneme
ϕ
[u(x, y) dx − v(x, y) dy] =
D
−vx(x, y) − uy(x, y) dx dy
(81)
=
D
0 dx dy = 0,
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Dôkaz Vety 29 (pokračovanie).
ϕ
[v(x, y) dx + u(x, y) dy] =
D
ux(x, y) − vy(x, y) dx dy
(81)
=
D
0 dx dy = 0.
Z posledných dvoch rovností potom vyplýva ϕ
f(z) dz = 0 + i0 = 0.
Predpokladajúc spojitosť funkcie f v G, platí i obrátené tvrdenie ku Cauchyho
integrálnej vete.
Veta 30 (Morerova veta)
Nech funkcia f je spojitá v otvorenej množine G ⊆ C a nech krivkový integrál
ϕ
f(z) dz nezávisí v G na integračnej ceste, t.j.,
ϕ
f(z) dz = 0 pre každú uzavretú cestu ϕ v G.
Potom f je funkcia holomorfná v G.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Nasledujúce vety majú význam pri samotnom počítaní hodnôt integrálov pozdĺž
uzavretých kriviek. Za istých predpokladov umožňujú zámenu integračnej cesty,
čím sa celý výpočet integrálu môže výrazne zjednodušiť.
Veta 31 (Princíp deformácie krivky)
Nech ϕ, ψ sú dve kladne orientované Jordanove cesty v C také, že ψ ⊆ Int ϕ.
Nech f je funkcia holomorfná v Ext ψ ∩ Int ϕ a spojitá a konečná na uzávere
množiny Ext ψ ∩ Int ϕ, t.j., na množine Ext ψ ∩ Int ϕ. Potom platí
ϕ
f(z) dz =
ψ
f(z) dz.
Veta 32 (Zovšeobecnený princíp deformácie krivky)
Nech ϕ, ψj, j = 1, . . . , n, sú kladne orientované Jordanove cesty v C také, že
množiny Int ψj sú po dvoch disjunktné a ψj ⊆ Int ϕ pre j = 1, . . . , n. Nech f
je funkcia holomorfná v Int ϕ \ n
j=1 Int ψj a spojitá a konečná na uzávere
Int ϕ \ n
j=1 Int ψj, t.j., na množine Int ϕ \ n
j=1 Int ψj. Potom platí
ϕ
f(z) dz =
n
j=1 ψj
f(z) dz.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 33 (Cauchyho integrálna formula)
Nech ϕ je kladne orientovaná Jordanova cesta v C a nech f : Int ϕ → C je
funkcia holomorfná v Int ϕ a spojitá a konečná na Int ϕ. Potom platí
f(z0) =
1
2πi ϕ
f(z)
z − z0
dz pre každé z0 ∈ Int ϕ.
Veta 34 (Cauchyho integrálna formula pre n-tú deriváciu)
Nech G ⊆ C je jednoducho súvislá oblasť a f : G → C funkcia holomorfná v
G. Potom pre každé n ∈ N0 a pre každú kladne orientovaná Jordanova cestu ϕ
v C, ležiacu v G, platí
f(n)
(z0) =
n!
2πi ϕ
f(z)
(z − z0)n+1
dz pre každé z0 ∈ Int ϕ.
Vety 29, 31, 32, 33 a 34 predstavujú základné nástroje na praktické počítanie
hodnôt niektorých typov komplexných krivkových integrálov pozdĺž uzavretých
ciest. Neskôr, zavedením pojmu rezíduum funkcie, tieto techniky podstatne
rozšírime.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Vlastnosti holomorfných funkcií
Predchádzajúce výsledky Cauchyho teórie majú niekoľko významných dôsledkov
v teórii holomorfných funkcií.
Dôsledok 4 (Vety 29)
Ku každej funkcii, ktorá je holomorfná v jednoducho súvislej oblasti G ⊆ C,
existuje funkcia primitívna v G.
Dôsledok 5 (Vety 34)
Nech f je funkcia holomorfná v otvornej množine G ⊆ C. Potom f má v G
komplexné derivácie všetkých rádov, ktoré sú holomorfné v G.
Poznámka 8
Podľa Dôsledku 5 a Definície 2 teda z existencie prvej komplexnej derivácie na
otvorenej množine vyplýva i existencia všetkých komplexných derivácií na tejto
množine. V reálnej analýze podobné tvrdenie rozhodne neplatí.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Celé funkcie
Definícia 6 (Celá funkcia)
Funkcia f : C → C sa nazýva celá, ak je holomorfná v celej komplexnej rovine.
Poznámka 9
Príkladom celých funkcií sú polynómy v C. Celé funkcie, ktoré nie sú polynómy,
sa označuju ako celé transcendentné funkcie. Exponenciálna funkcia ez
, resp.
goniometrické funkcie sin z a cos z alebo hypebolické funkcie sh z a ch z sú celé
transcendentné funkcie.
Veta 35
Nech f je celá funkcia a n ∈ N. Potom f je polynóm stupňa menšieho ako n
práve vtedy, keď platí limz→∞ f(z)/zn
= 0.
Veta 36 (Liouvilleova)
Celá funkcia je ohraničená na celom C práve vtedy, keď je konštantná v C.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Dôkaz Vety 36.
Nech f je celá funkcia, ktorá je ohraničená na C, t.j., existuje K ∈ R+
také, že
|f(z)| ≤ K pre každé z ∈ C. Potom platí
0 ≤
f(z)
z
≤
K
|z|
−→
z→∞
0, teda lim
z→∞
f(z)
z
= 0.
Posledná limita je ekvivalentná s limz→∞ f(z)/z = 0. Funkcia f je preto podľa
Vety 35 polynóm stupňa menšieho ako 1, teda konštantná v celom C. Opačná
implikácia platí triviálne.
Veta 37 (Malá Picardova veta)
Obor hodnôt každej nekonštantnej celej funkcie je celé C s výnimkou nanajvyš
jednej hodnoty.
Poznámka 10
Malá Picardova veta je zosilnenie Liouvilleovej vety 36. Napríklad celá funkcia
ez
nadobúda všetky komplexné hodnoty okrem hodnoty 0, kým goniometrické
funkcie sin z a cos z majú za obor hodnôt celú komplexnú rovinu.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Komplexný Taylorov rad
Veta 38 (Taylorova veta)
Nech funkcia f je pre dané z0 ∈ C a R ∈ R+
∪ {∞} definovaná a holomorfná
na otvorenom kruhu K(z0, R). Potom platí
f(z) =
∞
n=0
f(n)
(z0)
n!
(z − z0)n
pre každé z ∈ K(z0, R). (82)
Vyjadrenie v (82) sa označuje ako Taylorov rozvoj funkcie f v okolí bodu z0,
pričom mocninový rad na pravej strane danej formuly sa nazýva Taylorov rad
funkcie f so stredom v bode z0.
Poznámka 11
Taylorov rozvoj funkcie f v okolí bodu z0 je, ako rozvoj do mocninového radu v
okolí z0, určený jednoznačne. To znamená, že každý mocninový rad so stredom
v bode z0, ktorý má za svoj súčet funkciu f, je Taylorovym radom funkcie f na
príslušnom konvergenčnom kruhu. Toto pozorovanie má svoje uplatnenie najmä
pri praktickom hľadaní mocninových rozvojov komplexných funkcií (Príklad 44).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Veta 39
Nech funkcia f je definovaná na oblasti G ⊆ C. Potom f je holomorfná v G
práve vtedy, keď je v okolí každého bodu z0 ∈ G rozvinuteľná do mocninového
radu.
Veta 40
Funkcia f : C → C je celá práve vtedy, keď je v okolí každého bodu z0 ∈ C
rozvinuteľná do mocninového radu, ktorý konverguje v celej komplexnej rovine.
Príklad 39
Vypočítajme krivkový integrál
ϕ
(z + 1/z) dz
pozdĺž kružnice ϕ s predpisom |z − 2| = 1. Funkcia f(z) = z + 1/z je zrejme
holomorfná v jednoducho súvislej oblasti G = {z ∈ C, Re z > 0}. A nakoľko ϕ
je uzavretá cesta s ϕ ⊆ G, podľa Cauchyho integrálnej vety 29 je integrál v
zadaní príkladu rovný 0.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 40
Určme krivkový integrál
I =
ϕ
(z + 1/z) dz,
kde ϕ je kladne orientovaný obvod štvorca s vrcholmi v bodoch 2 + 2i, −2 + 2i,
−2 − 2i a 2 − 2i. Ukážeme tri spôsoby riešenia tohto príkladu.
a) Deformácia krivky, Cauchyho integrálna veta: Nech ψ je kladne orientovaná
kružnica s predpisom |z| = 1. Nie je ťažké overiť, že pre krivky ϕ, ψ a funkciu
f(z) = z + 1/z sú splnené predpoklady Vety 31. Preto máme
I =
ψ
(z + 1/z) dz =
ψ
z dz +
ψ
(1/z) dz.
Nakoľko funkcia g(z) = z je holomorfná na Int ψ, integrál ψ
z dz = 0, podľa
Cauchyho integrálnej vety 29. Z Príkladu 37 zas vieme, že ψ
(1/z) dz = 2πi.
Preto hodnota integrálu v zadaní príkladu je I = 0 + 2πi = 2πi.
b) Cauchyho integrálna formula: Integrál v zadaní príkladu upravíme na tvar
I =
ϕ
z2
+ 1
z
dz.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 40
Funkcia f(z) = z2
+ 1 je iste holomorfná v Int ϕ, spojitá a konečná na Int ϕ, a
z0 = 0 ∈ Int ϕ. V súlade s Vetou 33 potom platí
I = 2πi f(0) = 2πi.
c) Priamy výpočet krivkového integrálu: Po častiach hladká Jordanova krivka ϕ
pozostáva zo 4 orientovaných úsečiek
ϕ1(t) = 2t − 2i, ϕ2(t) = 2 + 2it, ϕ3(t) = −2t + 2i, ϕ4(t) = −2 − 2it,
kde t ∈ [−1, 1]. Integrál v zadaní príkladu má teda vyjadrenie
I =
ϕ1
(z + 1/z) dz +
ϕ2
(z + 1/z) dz +
ϕ3
(z + 1/z) dz +
ϕ4
(z + 1/z) dz.
Pomocou rovnosti (74) v Definícii 3 postupne dostaneme
ϕ1
(z + 1/z) dz =
1
−1
2t − 2i +
1
2t − 2i
· 2 dt =
1
−1
4t − 4i +
1
t − i
dt,
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 40
ϕ2
(z + 1/z) dz =
1
−1
2 + 2it +
1
2 + 2it
· 2i dt =
1
−1
4i − 4t +
1
t − i
dt,
ϕ3
(z + 1/z) dz =
1
−1
2i − 2t +
1
2i − 2t
(−2) dt =
1
−1
4t − 4i +
1
t − i
dt,
ϕ4
(z + 1/z) dz =
1
−1
−2 − 2it −
1
2 + 2it
(−2i) dt =
1
−1
4i − 4t +
1
t − i
dt.
Pre integrál I teda platí
I = 4
1
−1
1
t − i
dt = 4
1
−1
t + i
(t − i)(t + i)
dt =
1
−1
4t
t2 + 1
dt + i
1
−1
4
t2 + 1
dt.
Reálna časť z I je nulová, nakoľko integrand 4t/(t2
+ 1) je nepárna funkcia v
argumente t. Preto, v súlade s predchádzajúcimi dvoma postupmi, dostaneme
I = i
1
−1
4
t2 + 1
dt = i [4 arctg t]1
−1 = 2πi.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 41
Vypočítajme krivkový integrál
I =
ϕ
sin (πz/4)
z2 − 1
dz
pozdĺž kladne orientovanej kružnice ϕ s vyjadrením z(t) = 2 eit
, kde t ∈ [0, 2π].
Funkcia pod integrálom je holomorfná všade v danom otvorenom kruhu okrem
bodov z = ±1, ako vyplýva z rozkladu z2
− 1 = (z − 1)(z + 1). Príklad možno
riešiť dvoma prístupmi (samozrejme, okrem priameho výpočtu :-)).
a) Deformácia krivky, Cauchyho integrálna formula: Nech ψ1, ψ2 sú dve kladne
orientované kružnice s vyjadreniami
ψ1 : |z − 1| = 1/2, ψ2 : |z + 1| = 1/2.
Ľahko sa presvedčíme, že pre krivky ϕ, ψ1 a ψ2 a funkciu pod integrálom v
zadaní príkladu sú splnené všetky predpoklady Vety 32. Preto pre I máme
I =
ψ1
sin πz
4
z2 − 1
dz +
ψ2
sin πz
4
z2 − 1
dz =
ψ1
sin (πz/4)
z+1
z − 1
dz +
ψ2
sin (πz/4)
z−1
z + 1
dz.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 41
Funkcia sin (πz/4)/(z + 1) je holomorfná v Int ψ1 a funkcia sin (πz/4)/(z − 1)
je holomorfná v Int ψ2. Aplikovaním Cauchyho integrálnej formuly vo Vete 33
na posledné dva integrály dostaneme
I = 2πi
sin (πz/4)
z + 1 z=1
+ 2πi
sin (πz/4)
z − 1 z=−1
=
πi
√
2
+
πi
√
2
= πi
√
2.
b) Rozklad na parciálne zlomky, Cauchyho integrálna formula: Racionálnu
lomenú funkciu 1/(z2
− 1) rozložíme na parciálne zlomky. Dostaneme
1
z2 − 1
=
1/2
z − 1
−
1/2
z + 1
.
Dosadením do integrálu I v zadaní príkladu máme
I =
ϕ
1
2
sin πz
4
z − 1
−
1
2
sin πz
4
z + 1
dz =
1
2 ϕ
sin πz
4
z − 1
dz −
1
2 ϕ
sin πz
4
z + 1
dz.
Keďže funkcia sin (πz/4) je holomorfná v Int ϕ, podľa Vety 33 platí
I = πi [sin (πz/4)]z=1 − πi [sin (πz/4)]z=−1 = πi/
√
2 + πi/
√
2 = πi
√
2.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 42
Stanovme integrál
I =
ϕ
zez
(z + 2 − πi)3
dz,
kde ϕ je kladne orientovaná kružnica so stredom v bode πi − 2 a polomerom 1.
Funkcia f(z) = zez
je holomorfná v celej komplexnej rovine. Integrál I má tvar
I = ϕ
zez
(z−[πi−2])3 dz, pričom bod z0 = πi − 2 ∈ Int ϕ. Podľa Vety 34 pre
n = 2 potom platí
I = (2πi/2!) · f (z0) = πi (zez
) |z=πi−2.
Elementárnym derivovaním dostaneme (zez
) = ez
(z + 2), a teda hodnota
integrálu v zadaní príkladu je I = πi eπi−2
πi = (π/e)2
.
Poznámka 12
Poznamenajme, že v Príkladoch 41 a 42 by priamy výpočet integrálov, t.j.,
podľa Definície 3, bol veľmi obtiažny, ak nie celkom nemožný.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 43
Určme Taylorov rad funkcie f(z) = log (1 + z) so stredom v z0 = 0. Funkcia f
je podľa Vety 23 definovaná a holomorfná v otvorenom kruhu K(0, 1). Podľa
Vety 38 potom vieme, že hľadaný rad existuje a v súlade s (82) má tvar
∞
n=0
f(n)
(0)
n!
zn
z ∈ K(0, 1).
Postupným výpočtom zistíme
f(0) = 0, f(n)
(0) = (−1)n−1
(n − 1)!, n ∈ N.
Preto platí (Taylorov) rozvoj
log (1 + z) =
∞
n=1
(−1)n−1
n
zn
= z −
z2
2
+
z3
3
−
z4
4
+ · · · , z ∈ K(0, 1).
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 44
Rozviňme funkciu f(z) = 1/(3 − z) do mocninového radu
a) v okolí bodu z0 = 0, b) v okolí bodu z0 = −1 + 3i.
a) Predpis pre funkciu f vhodne upravíme
f(z) =
1
3 − z
=
1
3 (1 − z/3)
=
1
3
·
1
(1 − z/3)
.
Zlomok 1/[1 − (z/3)] je však pre |z/3| < 1 súčtom nekonečného geometrického
radu s prvým členom 1 a s kvocientom z/3, t.j.,
1
1 − z/3
=
∞
n=0
z
3
n
pre každé |z| < 3.
Preto pre funkciu f platí mocninový rozvoj
f(z) =
1
3
∞
n=0
z
3
n
=
∞
n=0
1
3n+1
zn
, |z| < 3.
Komplexné čísla Funkcie Derivácia Elementy Integrál
Príklad 44
Posledná rovnosť zároveň predstavuje, v súlade s Poznámkou 11, Taylorov
rozvoj funkcie f v okolí bodu 0, platný na otvorenom kruhu K(0, 3).
b) Funkciu f opäť vhodne upravíme a rozvinieme do geometrického radu
f(z) =
1
3 − z
=
1
4 − 3i − (z + 1 − 3i)
=
1
(4 − 3i) 1 − z+1−3i
4−3i
=
1
4 − 3i
·
1
1 − z+1−3i
4−3i
=
1
4 − 3i
∞
n=0
z + 1 − 3i
4 − 3i
n
,
z + 1 − 3i
4 − 3i
< 1.
Posledná podmienka konvergencie kladená na z je ekvivalentná s
|z + 1 − 3i| < |4 − 3i| = 5, a teda z ∈ K(−1 + 3i, 5).
Pre funkciu f sme našli mocninový rozvoj tvaru
f(z) =
∞
n=0
1
(4 − 3i)n+1
(z + 1 − 3i)n
,
platný na otvorenom kruhu K(−1 + 3i, 5). Zároveň je to i Taylorov rozvoj f v
okolí bodu −1 + 3i.